Gabarito Lista 2 Parte 1

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Microeconomia II
Resolução da Lista de Exercícios 1 - Parte 1
Maximiliano Barbosa da Silva
Universidade de São Paulo
28 de Agosto de 2011
(*) Questão 1 - Provinha 2 (2010). Suponha uma economia de trocas
com dois bens, indexados por j ∈ {1, 2} e três consumidores, indexados por
i ∈ {A,B,C}. A função utilidade do consumidor i é dada por ui
(
x1i , x
2
i
)
=
αi lnx
1
i + (1− αi) lnx2i , onde xji denota a quantidade consumida do bem j pelo
indivíduo i. A dotação inicial de cada indivíduo i é dada por ωi =
(
ω1i , ω
2
i
)
, onde
ωji denota a dotação inicial do indivíduo i pelo bem j. Suponha que αA = 0, 5,
ωA = (7, 3), αB = 0, 2, ωB = (2, 4), αC = 0, 8, ωC = (3, 2).
(a) Monte o problema de Pareto desta economia.
O problema de Pareto consiste em encontrar o conjunto de alocações Pareto
eficientes. No caso da economia descrita na questão, o problema de Pareto é
expresso da seguinte maneira:
max
x1A,x
2
A,x
1
B ,x
2
B ,x
1
C ,x
2
C
0, 5 ln
(
x1A
)
+ 0, 5 ln
(
x2A
)
sujeito a:
0, 2 ln
(
x1B
)
+ 0, 8 ln
(
x2B
) ≥ uB ;
0, 8 ln
(
x1C
)
+ 0, 2 ln
(
x2C
) ≥ uC ;
x1A + x
1
B + x
1
C ≤ 12;
x2A + x
2
B + x
2
C ≤ 9;
x1A, x
2
A, x
1
B , x
2
B , x
1
C , x
2
C ≥ 0.
(b) Encontre o equilíbrio competitivo desta economia.
1
Pela Lei de Walras, sabe-se que o preço de um dos bens pode ser normalizado
para a unidade
1
. Escolhendo p1 = 1, o problema do consumidor i ∈ {A,B,C}
é o seguinte:
max
x1i ,x
2
i
αi ln
(
x1i
)
+ (1− αi) ln
(
x2i
)
sujeito a:
x1i + px
2
i ≤ ω1i + pω2i ;
x1i , x
2
i ≥ 0.
Como esta é uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas, sabe-se que a
solução do problema acima é a seguinte:
x1i = αi
(
ω1i + pω
2
i
)
; (1)
x2i = (1− αi)
ω1i + pω
2
i
p
. (2)
Logo, as funções demandas são as seguintes:
x1A = 0, 5 (7 + 3p) ; (3)
x2A = 0, 5
7 + 3p
p
; (4)
x1B = 0, 2 (2 + 4p) ; (5)
x2B = 0, 8
2 + 4p
p
; (6)
x1C = 0, 8 (3 + 2p) ; (7)
x2C = 0, 2
3 + 2p
p
. (8)
As condições de market clearing estabelecem que:
0, 5 (7 + 3p∗) + 0, 2 (2 + 4p∗) + 0, 8 (3 + 2p∗) = 12; (9)
0, 5
7 + 3p∗
p∗
+ 0, 8
2 + 4p∗
p∗
+ 0, 2
3 + 2p∗
p∗
= 9. (10)
Pela Lei de Walras, sabe-se que se market clearing vale para o primeiro
mercado, então ele também vale para o segundo. Logo, é conveniente determinar
p pela primeira equação, que é algebricamente mais simples. Resolvendo a
equação (9), encontra-se que:
p∗ =
1, 9
1, 3
. (11)
1
Uma outra normalização comum, usada para provar a existência de equilíbrio competitivo,
é que
J∑
j=1
pj = 1, onde J denota o número de bens na economia. Note que para computar os
equilíbrios é mais conveniente fixar um dos preços igual à unidade.
2
Agora, substituindo (11) nas funções de demanda, encontra-se a alocação de
equilíbrio competitivo:
x1∗A = 0, 5
(
7 + 3
1, 9
1, 3
)
⇒ x1∗A =
7, 4
1, 3
; (12)
x2∗A = 0, 5
7 + 3 1,91,3
1,9
1,3
⇒ x2∗A =
7, 4
1, 9
; (13)
x1∗B = 0, 2
(
2 + 4
1, 9
1, 3
)
⇒ x1∗B =
2, 04
1, 3
; (14)
x2∗B = 0, 8
2 + 4 1,91,3
1,9
1,3
⇒ x2∗B =
8, 16
1, 9
; (15)
x1∗C = 0, 8
(
3 + 2
1, 9
1, 3
)
⇒ x1∗C =
4
5
7, 7
1, 3
; (16)
x2∗C = 0, 2
3 + 2 1,91,3
1,9
1,3
⇒ x2∗C =
1
5
7, 7
1, 9
. (17)
(c) Dizemos que uma alocação é justa se ela é Pareto eficiente e nenhum indi-
víduo inveja a cesta dos demais. O equilíbrio competitivo obtido no item (b) é
justo? Justifique sua resposta.
Primeiramente, pelo Primeiro Teorema do Bem-Estar, sabe-se que a alocação
de equilíbrio competitivo é eficiente no sentido de Pareto. Então, para verificar
se a alocação obtida no item anterior é justa, resta apenas checar se existe inveja.
Isto evidentemente acontece porque, na alocação de equilíbrio competitivo, o
consumidor A consome mais de ambos os bens do que o consumidor C, ou seja:
(
x1∗A , x
2∗
A
)
=
(
7, 4
1, 3
,
7, 4
1, 9
)
�
(
4
5
7, 7
1, 3
,
1
5
7, 7
1, 9
)
=
(
x1∗C , x
2∗
C
)
. (18)
Portanto:
uC
(
x1∗C , x
2∗
C
)
= uC
(
4
5
7, 7
1, 3
,
1
5
7, 7
1, 9
)
< uC
(
7, 4
1, 3
,
7, 4
1, 9
)
= uC
(
x1∗A , x
2∗
A
)
. (19)
(d) Sugira uma redistribuição da dotação inicial dos indivíduos que mantenha
a dotação agregada dos dois bens inalterada e gere um equilíbrio competitivo
justo. Justifique sua resposta.
Se a alocação inicial for igualitária, ou seja, se cada consumidor receber a
mesma dotação de cada bem que todos os demais consumidores, então a alocação
de equilíbrio competitivo será justa. Para provar esta proposição, suponha que
todos os consumidores tenham a mesma dotação inicial ω =
(
ω1, ω2
)
e que em,
equilíbrio competitivo, algum agente i inveje o agente i′ 6= i. Se isto ocorre,
3
ui
(
x1∗i , x
2∗
i
)
< ui
(
x1∗i′ , x
2∗
i′
)
e, conseqüentemente, pelo fato de as preferências
serem monotônicas, ω1i + p
∗ω2i < x
1
i′ + p
∗x2∗i′ . Porém, ω
1
i + p
∗ω2i = ω
1
i′ + p
∗ω2i′ =
ω1+ p∗ω2 e x1i′ + p
∗x2∗i′ = ω
1+ p∗ω2, por monotonicidade das preferências de i′.
Desta forma obtém-se um absurdo, pois ω1 + p∗ω2 = ω1i + p
∗ω2i < x
1
i′ + p
∗x2∗i′
e x1i′ + p
∗x2∗i′ = ω
1 + p∗ω2, logo ω1 + p∗ω2 < ω1 + p∗ω2. Conclui-se assim que,
ω = (4, 3) gera um equilíbrio competitivo justo para a economia da questão.
(*) Questão 2 - Provinha 2 (2010). Em uma economia de trocas pura, há
dois consumidores - A e B, cujas preferências são representadas pelas funções
utilidade
uA (x1A, x2A) = min {x1A, x2A} ; (20)
e
uB (x1B , x2B) = min {θx1B , x2B} , θ > 0. (21)
A dotação agregada dos bens é ω = (10, 8). Assuma θ > 1.
(a) Em uma caixa de Edgeworth, esboce o conjunto das alocações ótimas de
Pareto.
A caixa de Edgeworth desta economia está representada abaixo. Nela, o
indivíduo A é indicado em azul e a sua perspectiva é sudoeste, enquanto que o
indivíduo B é indicado pela cor vermelha sendo sua perspectiva nordeste. Na
caixa também estão desenhados os caminhos de expansão da renda dos dois
indivíduos com suas respectivas cores. É fácil perceber que o conjunto das
alocações eficientes de Pareto é dado pela região compreendida entre os dois
caminhos de expansão da renda (inclusive).
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4
(b) Encontre o(s) equilíbrio(s) competitivo(s) desta economia quando as dotações
individuais são ωA = (3, 6) e ωB = (7, 2).
Na caixa de Edgeworth abaixo estão representandos os equilíbrios com-
petitivos desta economia. Note que o vetor de preços de equilíbrio é dado
por (p∗1, p
∗
2) = (0, p) para todo p ∈ R++. Já as alocações de equilíbrio são
(x∗1A, x
∗
2A) = (x, 6) e (x
∗
1B , x
∗
2B) = (10− x, 2), onde x ∈
[
6, 10− 2θ
]
.
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Assuma agora que θ = 0, 6.
(c) Em uma caixa de Edgeworth, esboce o conjunto das alocações ótimas de
Pareto.
Na caixa de Edgeworth, desenhada abaixo, o conjunto das alocações efi-
cientes de Pareto é dado pela região compreendida entre os dois caminhos de
expansão da renda (inclusive).
5
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(d) Encontre o(s) equilíbrio(s) competitivo(s) desta economia quando as dotações
individuais sãom ωA = (3, 6) e ωB = (7, 2).
Na caixa de Edgeworth abaixo estão destacados os equilíbrios competitivos
desta economia. Um conjunto de equilíbrio é dado por por (p∗1, p
∗
2) = (0, p) para
todo p ∈ R++ com alocações (x∗1A, x∗2A) = (x, 6) e (x∗1B , x∗2B) = (10− x, 2),
onde x ∈ [6; 6, 66]. Um outro conjunto de equilíbrio é dado por por (p∗1, p∗2) =
(p, 0) para todo p ∈ R++ com alocações (x∗1A, x∗2A) = (3, y) e (x∗1B , x∗2B) =
(7, 8− y), onde y ∈ [3; 3, 8]. O outro equilíbrio ocorre quando (p∗1, p∗2) =
(
1, 12
)
,
(x∗1A, x
∗
2A) = (5, 5) e (x
∗
1B , x
∗
2B) = (5, 3).
6
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(*) Questão 3 - Prova 1 (2010). Em uma determinada economia há dois
consumidores, duas firmas, dois insumos, e um bemde consumo. As firmas - 1
e 2 - produzem o bem final y a partir das funções de produção y1 = 2
√
h1 e
y2 = 4
√
h2. h1 é a quantidade de trabalho do tipo 1, ofertado exclusivamente
pelo consumidor A, enquanto h2 é a quantidade de trabalho do tipo 2, ofertado
exclusivamente pelo consumidor B. As preferências dos consumidores A e B
são representadas por uA = xAlA e uB = xBlB , em que xi é o consumo do bem
final pelo consumidor i, e li é a quantidade de lazer consumida pelo consumidor
i (i = A,B). A restrição de tempo hi + li = 16, i = A,B. O consumidor A é
proprietário da firma 1, e o consumidor B é proprietário da firma 2.
(a) Verifique que a Lei de Walras é válida nesta economia.
Para verificar a validade da Lei de Walras, primeiramente, é necessário en-
contrar as funções demanda e oferta.
Problema da firma 1:
max
h1
pi1 (h1) = px2
√
h1 − w1h1
sujeito a:
h1 ≥ 0.
Como o produto marginal de h1 tende a infinito quando h1 tende a zero,
sabe-se que a solução deste problema é interior, ou seja: h∗1 (px, w1) > 0 para
todo (px, w1) ∈ R2+. Sendo assim, a condição de primeira ordem é:
px2
1
2
1√
h∗1
− w1 = 0⇒ h∗1 =
(
px
w1
)2
. (22)
7
Logo, a função oferta da firma 1 é:
y1 (px, w1) = 2
√(
px
w1
)2
= 2
px
w1
. (23)
Já a sua função lucro é:
pi1 (px, w1) = px2
px
w1
− w1
(
px
w1
)2
=
p2x
w1
. (24)
Problema da firma 2:
max
h2
pi2 (h2) = px4
√
h2 − w2h2
sujeito a:
h2 ≥ 0.
Como o produto marginal de h2 tende a infinito quando h2 tende a zero,
sabe-se que a solução deste problema é interior, ou seja: h∗2 (px, w2) > 0 para
todo (px, w2) ∈ R2+. Sendo assim, a condição de primeira ordem é:
px4
1
2
1√
h∗2
− w2 = 0⇒ h∗2 = 4
(
px
w2
)2
. (25)
Logo, a função oferta da firma 2 é:
y2 (px, w2) = 4
√
4
(
px
w2
)2
= 8
px
w2
. (26)
Já a sua função lucro é:
pi2 (px, w1) = px8
px
w2
− w24
(
px
w2
)2
= 4
p2x
w2
. (27)
Problema do consumidor A:
max
xA,lA
uA (xA, lA) = xAlA
8
sujeito a:
pxxA ≤ w1hsA + pi1;
hsA + lA ≤ 16;
xA, lA ≥ 0.
A solução deste problema é:
x∗A (px, w1) =
1
2
16w1 + pi1
px
; (28)
l∗A (px, w1) =
1
2
16w1 + pi1
w1
; (29)
hs∗A (px, w1) = 16−
1
2
16w1 + pi1
w1
. (30)
Problema do consumidor B:
max
xB ,lB
uB (xB , lB) = xBlB
sujeito a:
pxxB ≤ w2hsB + pi2;
hsB + lB ≤ 16;
xB , lB ≥ 0.
A solução deste problema é:
x∗B (px, w2) =
1
2
16w2 + pi2
px
; (31)
l∗B (px, w1) =
1
2
16w2 + pi2
w2
; (32)
hs∗B (px, w1) = 16−
1
2
16w2 + pi2
w2
. (33)
Somando os valores de excesso de demanda do mercado de bens e dos mer-
cados de trabalho:
V (px, w1, w2) = px
1
2
16w1 +
p2x
w1
px
+
1
2
16w2 + 4
p2x
w2
px
−
(
2
px
w1
+ 8
px
w2
)+
+w1
( px
w1
)2
−
16− 1
2
16w1 +
p2x
w1
w1
+
+w2
4( px
w2
)2
−
16− 1
2
16w2 + 4
p2x
w2
w2

. (34)
9
Simplificando a equação acima, encontra-se que:
V (px, w1, w2) = 0. (35)
Portanto, a Lei de Walras é válida nesta economia.
(b) Encontre as alocações e os preços vigentes no equilíbrio competitivo desta
economia (Dica: Use o bem final de numerário).
Usando as funções demanda e oferta obtidas no item anterior e aplicando as
condições de market clearing, obtém-se que:
1
2
16w1 + pi1
px
+
1
2
16w2 + pi2
px
= 2
px
w1
+ 8
px
w2
; (36)(
px
w1
)2
= 16− 1
2
16w1 + pi1
w1
; (37)
4
(
px
w2
)2
= 16− 1
2
16w2 + pi2
w2
. (38)
Substituindo as funções lucro, também calculadas anteriormente, nas condições
acima, encontra-se que:
1
2
16w1 +
p2x
w1
px
+
1
2
16w2 + 4
p2x
w2
px
= 2
px
w1
+ 8
px
w2
; (39)
(
px
w1
)2
= 16− 1
2
16w1 +
p2x
w1
w1
; (40)
4
(
px
w2
)2
= 16− 1
2
16w2 + 4
p2x
w2
w2
. (41)
Estabelecendo o bem final como numerário, px = 1, e resolvendo as equações
(40) e (41), encontra-se que:
w1 =
√
3
4
; (42)
w2 =
√
3
2
. (43)
Logo as firmas auferem os seguintes lucros:
pi1 =
1
√
3
4
⇒ pi1 = 4
√
3
3
; (44)
pi2 = 4
1
√
3
2
⇒ pi2 = 8
√
3
3
. (45)
10
Consequentemente, as alocações são:
x∗A (px, w1) =
1
2
16
√
3
4 +
4
√
3
3
1
⇒ x∗A (px, w1) =
8
√
3
3
; (46)
l∗A (px, w1) =
1
2
16
√
3
4 +
4
√
3
3√
3
4
⇒ l∗A (px, w1) =
32
3
; (47)
hs∗A (px, w1) = 16−
32
3
⇒ hs∗A (px, w1) =
16
3
; (48)
x∗B (px, w2) =
1
2
16
√
3
2 +
8
√
3
3
1
⇒ x∗B (px, w2) =
16
√
3
3
; (49)
l∗B (px, w1) =
1
2
16
√
3
2 +
8
√
3
3√
3
2
⇒ l∗B (px, w1) =
32
3
; (50)
hs∗B (px, w1) = 16−
26
3
⇒ hs∗B (px, w1) =
16
3
. (51)
(c) Monte o problema de Pareto.
O problema de Pareto pode ser expresso da seguinte maneira:
max
xA,lA,xB ,lB ,h1,h2
λAxAlA + λBxBlB
sujeito a:
xA + xB ≤ 2
√
h1 + 4
√
h2;
h1 + lA = 16;
h2 + lB = 16;
xA, lA, xB , lB , h1, h2 ≥ 0.
(*) Questão 4 - Lista de Exercícios (2010). Uma economia tem duas
firmas, 1 e 2, cada uma das quais produz um bem. A função de produção das
firmas é:
f1 (l1, k1) = k
1
3
1 l
2
3
1 (52)
f2 (l2, k2) = k
1
2
2 l
1
2
2 (53)
Há 2 tipos de agente, A e B, sendo que os indivíduos do tipo A têm uma
dotação de uma unidade de trabalho e duas unidades de capital. Os do tipo B
têm uma dotação de uma unidade de capital e duas de trabalho. Ou seja:
ωlA = 1;ω
k
A = 2 (54)
ωlB = 2;ω
k
B = 1 (55)
11
Há N agentes do tipo A, e N agentes do tipo B. As funções utilidade dos
agentes dos tipos A e B são, respectivamente:
uA (xA1, xA2) = ln (xA1) + 2 ln (xA2) (56)
uB (xB1, xB2) = 2 ln (xB1) + ln (xB2) (57)
(a) Encontre uma expressão algébrica para a fronteira de possibilidades de pro-
dução (uma fórmula que relaciona a quantidade agregada produzida do bem 2,
x2, em função da quantidade agregada do bem 1, x1).
Para encontrar a fronteira de possibilidades de produção desta economia,
deve-se resolver o seguinte problema:
max
k1,l1,k2,l2
x1 = k
1
3
1 l
2
3
1
sujeito a:
k
1
2
2 l
1
2
2 ≥ x2;
k1 + k2 ≤ 3N ;
l1 + l2 ≤ 3N ;
k1, l1, k2, l2 ≥ 0.
Pelo fato de a produção ser crescente na quantidade de cada um dos insumos,
sabe-se que as três primeiras restrições valem com igualdade. Quando x2 = 0
segue-se que k1 = l1 = x1 = 3N e k2 = l2 = 0. Quando x1 = 0 segue-se que
k2 = l2 = x2 = 3N e k1 = l1 = 0. Sendo assim, resta apenas resolver o problema
para os casos de solução interior, sabendo que as três primeiras restrições valem
com igualdade. Logo, a função Lagrangeana é a seguinte:
L (k1, l1, k2, l2, λ1, λ2, λ3) = k
1
3
1 l
2
3
1 + λ1
(
k
1
2
2 l
1
2
2 − x2
)
+
−λ2 (k1 + k2 − 3N)− λ3 (l1 + l2 − 3N) (58)
As condições de primeira ordem estabelecem que:
1
3
k
− 23
1 l
2
3
1 − λ2 = 0⇒
1
3
k
− 23
1 l
2
3
1 = λ2; (59)
2
3
k
1
3
1 l
− 13
1 − λ3 = 0⇒
2
3
k
1
3
1 l
− 13
1 = λ3; (60)
1
2
λ1k
− 12
2 l
1
2
2 − λ2 = 0⇒
1
2
λ1k
− 12
2 l
1
2
2 = λ2; (61)
1
2
λ1k
1
2
2 l
− 12
2 − λ3 = 0⇒
1
2
λ1k
1
2
2 l
− 12
2 = λ3; (62)
k
1
2
2 l
1
2
2 − x2 = 0⇒ k
1
2
2 l
1
2
2 = x2; (63)
12
k1 + k2 − 3N = 0⇒ k1 + k2 = 3N ; (64)
l1 + l2 − 3N = 0⇒ l1 + l2 = 3N . (65)
Pelas equações (59) e (61), encontra-se que:
1
3
k
− 23
1 l
2
3
1 =
1
2
λ1k
− 12
2 l
1
2
2 ⇒ λ1 =
2
3
k
− 23
1 l
2
3
1
k
− 12
2 l
1
2
2
. (66)
Das equações (60) e (62), obtém-se que:
2
3
k
1
3
1 l
− 13
1 =
1
2
λ1k
1
2
2 l
− 12
2 ⇒ λ1 =
4
3
k
1
3
1 l
− 13
1
k
1
2
2 l
− 12
2
. (67)
Igualando as equações (66) e (67):
2
3
k
− 23
1 l
2
3
1
k
− 12
2 l
1
2
2
=
4
3
k
1
3
1 l
− 13
1
k
1
2
2 l
− 12
2
⇒ k2
l2
= 2
k1
l1
. (68)
Substituindo as equações (64) e (65) na equação (68):
k2
l2
= 2
3N − k2
3N − l2 ⇒ l2 =
3Nk2
6N − k2 . (69)
Plugando a equação (69) na equação (63):
k
1
2
2
(
3Nk2
6N − k2
) 1
2
= x2 ⇒ 3Nk22 + x22k2 − 6Nx22 = 0. (70)
Usando a fórmula de Bhaskara para raízes de equações do segundo grau:
k2 =
−x22 ±
√
x42 − 4 · 3N · (−6Nx22)
2 · 3N
= x2
−x2 ±
√
x22 + 72N
2
6N
. (71)
Como k2 ≥ 0, segue-se que:
k2 = x2
−x2 +
√
x22 + 72N
2
6N
. (72)
A equação (64) e a equação (72) implicam que:
k1 = 3N − x2−x2 +
√
x22 + 72N
2
6N
. (73)
13
A equação (69) e a equação (72) implicam que:
l2 =
3Nx2
−x2+
√
x22+72N
2
6N
6N − x2−x2+
√
x22+72N
2
6N
= x2
x2 +
√
x22 + 72N
2
12N
. (74)
Plugando a equação (74) na equação (65), chega-se a:
l1 = 3N − x2x2 +
√
x22 + 72N
2
12N
. (75)
Finalmente, plugando asequações (73) e (75) na função objetivo, obtém-se
que:
x1 =
[
3N − x2−x2 +
√
x22 + 72N
2
6N
] 1
3
[
3N − x2x2 +
√
x22 + 72N
2
12N
] 2
3
. (76)
Lembre que, pelo fato de as funções de produção serem diferentes quanto
à intensidade relativa de capital e de trabalho, a fronteira de possibilidades de
produção não é uma linha reta, apesar de ambas as funções de produção apre-
sentarem retornos constantes de escala. O gráfico da equação (30) é apresentado
abaixo e, como se pode perceber, esta curva é bastante próxima de uma reta.
14
(b) Suponha que N = 1. Formule um problema que permita encontrar todas
as alocações eficientes. (Dica: você pode formular a função-objetivo como U =
λuA (xA1, xA2) + (1− λ)uB (xB1, xB2), sendo que λ ∈ [0, 1] é o chamado peso
de Pareto do consumidor A).
Para encontrar todas as alocações eficientes de Pareto, pode-se proceder da
seguinte maneira:
max
xA1,xA2,xB1,xB2,l1,k1,l2,k2
U = λuA (xA1, xA2) + (1− λ)uB (xB1, xB2)
sujeito a:
xA1 + xB1 ≤ f1 (l1, k1) ;
xA2 + xB2 ≤ f2 (l2, k2) ;
k1 + k2 ≤ 3;
l1 + l2 ≤ 3;
xA1, xA2, xB1, xB2, l1, k1, l2, k2 ≥ 0.
Então, para cada peso de Pareto λ encontra-se uma alocação eficiente. Var-
iando λ ∈ [0, 1] encontram-se todas as alocação eficientes no sentido de Pareto.
(c) Mostre que, em um equilíbrio competitivo, o lucro de ambas as firmas será
igual a zero.
O lucro da firma i ∈ {1, 2} é dado pela seguinte equação:
pii (li, ki) = pifi (li, ki)− plli − pkki.
Note que, pelos dados da questão, fi (li, ki) é homogênea de grau 1 para todo
i ∈ {1, 2}, o que implica que ambas as firmas apresentam retornos constantes
de escala. Agora, suponha por absurdo, que em um equilíbrio competitivo
pii (li, ki) > 0 para algum i ∈ {1, 2}. Neste caso, para todo ξ > 1,
pii (ξli, ξki) = pifi (ξli, ξki)− plξli − pkξki
= ξ [pifi (li, ki)− plli − pkki]
= ξpii (li, ki) > pii (li, ki) ,
o que contradiz a hipótese de que a economia está em equilíbrio competitivo
porque, se estivesse, pii (li, ki) seria máximo.
(d) Encontre o equilíbrio competitivo desta economia, tomando como numerário
o bem 2 (ou seja, p2 = 1).
O problema do consumidor do tipo A é o seguinte:
max
xA1,xA2
uA (xA1, xA2) = ln (xA1) + 2 ln (xA2)
sujeito a:
15
pxA1 + xA2 ≤ pl + 2pk;
xA1, xA2 ≥ 0.
A solução deste problema é:
xA1 =
1
3
pl + 2pk
p
; (77)
xA2 =
2
3
(pl + 2pk) . (78)
O problema do consumidor do tipo B é o seguinte:
max
xB1,xB2
uB (xB1, xB2) = 2 ln (xB1) + ln (xB2)
sujeito a:
pxB1 + xB2 ≤ 2pl + pk;
xB1, xB2 ≥ 0.
A solução deste problema é:
xB1 =
2
3
2pl + pk
p
; (79)
xB2 =
1
3
(2pl + pk) . (80)
Como existem N consumidores de cada tipo, as demandas agregadas dos
bens, x1 e x2, são:
x1 = N
(
1
3
pl + 2pk
p
+
2
3
2pl + pk
p
)
=
N
3
5pl + 4pk
p
; (81)
x2 = N
[
2
3
(pl + 2pk) +
1
3
(2pl + pk)
]
=
N
3
(4pl + 5pk) . (82)
A firma 1 resolve o seguinte problema:
max
l1,k1
pi1 (l1, k1) = pk
1
3
1 l
2
3
1 − pll1 − pkk1
sujeito a:
l1, k1 ≥ 0.
16
As condições de primeira ordem são as seguintes:
p
1
3
k
− 23
1 l
2
3
1 = pk ⇒ k1 =
1
3
p
pk
y1; (83)
p
2
3
k
1
3
1 l
− 13
1 = pl ⇒ l1 =
2
3
p
pl
y1. (84)
A firma 2 resolve o seguinte problema:
max
l2,k2
pi2 (l2, k2) = k
1
2
2 l
1
2
2 − pll2 − pkk2
sujeito a:
l2, k2 ≥ 0.
As condições de primeira ordem são as seguintes:
1
2
k
− 12
2 l
1
2
2 = pk ⇒ k2 =
1
2
1
pk
y2; (85)
1
2
k
1
2
2 l
− 12
2 = pl ⇒ l2 =
1
2
1
pl
y2. (86)
Impondo market clearing no mercado do bem 1, y1 = x1, obtêm-se as de-
mandas pelos fatores de produção por parte das firma 1:
k1 =
1
3
p
pk
(
N
3
5pl + 4pk
p
)
⇒ k1 = N
9
5pl + 4pk
pk
; (87)
l1 =
2
3
p
pl
(
N
3
5pl + 4pk
p
)
⇒ l1 = 2N
9
5pl + 4pk
pl
. (88)
Impondo market clearing no mercado do bem 2, y2 = x2, obtêm-se as de-
mandas pelos fatores de produção por parte das firma 2:
k2 =
1
2
1
pk
[
N
3
(4pl + 5pk)
]
⇒ k2 = N
6
4pl + 5pk
pk
; (89)
l2 =
1
2
1
pl
[
N
3
(4pl + 5pk)
]
⇒ l2 = N
6
4pl + 5pk
pl
. (90)
Portanto, as demandas agregadas pelos fatores de produção, k e l, são:
k =
N
9
5pl + 4pk
pk
+
N
6
4pl + 5pk
pk
=
N
pk
23pk + 22pl
18
; (91)
l =
2N
9
5pl + 4pk
pl
+
N
6
4pl + 5pk
pl
=
N
pl
31pk + 32pl
18
. (92)
17
Agora, impondo market clearing nos mercados de fatores de produção, k =
ωkA + ω
k
B = 3N e l = ω
l
A + ω
l
B = 3N , encontra-se que;
N
pk
23pk + 22pl
18
= 3N ⇒ pk = 22
31
pl; (93)
N
pl
31pk + 32pl
18
= 3N ⇒ pk = 22
31
pl. (94)
Como, em equilíbrio competitivo, o lucro das firmas deve ser nulo, segue-se
que pi2 (l2, k2) = 0:[
N
6
4pl + 5
22
31pl
22
31pl
] 1
2
[
N
6
4pl + 5
22
31pl
pl
] 1
2
−plN
6
4pl + 5
22
31pl
pl
−22
31
pl
N
6
4pl + 5
22
31pl
22
31pl
= 0
(95)
Disto segue que:
pl =
1
2
√
31
22
. (96)
Logo:
pk =
22
31
1
2
√
31
22
=
1
2
√
22
31
. (97)
Conseqüentemente, as firmas demandam as seguintes quantidades de fatores
de produção:
k1 =
N
9
5 12
√
31
22 + 4
1
2
√
22
31
1
2
√
22
31
=
27
22
N ; (98)
l1 =
2N
9
5 12
√
31
22 + 4
1
2
√
22
31
1
2
√
31
22
=
54
31
N ; (99)
k2 =
N
6
4 12
√
31
22 + 5
1
2
√
22
31
1
2
√
22
31
=
39
22
N ; (100)
18
l2 =
N
6
4 12
√
31
22 + 5
1
2
√
22
31
1
2
√
31
22
=
39
31
N . (101)
Sendo assim, pela condição de primeira ordem da fima 1, p = 3k1pky1 :
p = 3
27
22N
1
2
√
22
31(
27
22N
) 1
3
(
54
31N
) 2
3
=
3
2
11
6
(
31
11
) 1
6
. (102)
As quantidades demandadas de bens por cada indivíduo do tipo i ∈ {A,B}
são:
xA1 =
1
3
1
2
√
31
22 + 2
1
2
√
22
31
3
2
11
6
(
31
11
) 1
6
=
25
(
2
11
) 1
3
3 · 31 23 ; (103)
xA2 =
2
3
(
1
2
√
31
22
+ 2
1
2
√
22
31
)
=
25√
682
; (104)
xB1 =
2
3
2 12
√
31
22 +
1
2
√
22
31
3
2
11
6
(
31
11
) 1
6
=
56
(
2
11
) 1
3
3 · 31 23 ; (105)
xB2 =
1
3
(
2
1
2
√
31
22
+
1
2
√
22
31
)
= 7
√
2
341
. (106)
19
Por fim, as quantidades produzidas são:
y1 =
(
27
22
N
) 1
3
(
54
31
N
) 2
3
=
27
(
2
11
) 1
3 N
31
2
3
; (107)
y2 =
(
39
22
N
) 1
2
(
39
31
N
) 1
2
=
39√
682
N ; (108)
(e) A alocação competitiva é eficiente? Em caso afirmativo, encontre o peso de
Pareto de cada indivíduo num equilíbrio competitivo no caso em que N = 1.
Sim, como as preferências são monotônicas, pelo Primeiro Teorema do Bem-
Estar, sabe-se que o equilíbrio competitivo é eficiente de Pareto. Conforme
discutido no item (b), para encontrar todas as alocações eficientes de Pareto,
pode-se proceder da seguinte maneira:
max
xA1,xA2,xB1,xB2,l1,k1,l2,k2
U = λ [ln (xA1) + 2 ln (xA2)] +
+ (1− λ) [2 ln (xB1) + ln (xB2)]
sujeito a:
xA1 + xB1 ≤ f1 (l1, k1) ;
xA2 + xB2 ≤ f2 (l2, k2) ;
k1 + k2 ≤ 3;
l1 + l2 ≤ 3;
xA1, xA2, xB1, xB2, l1, k1, l2, k2 ≥ 0.
onde λ é o peso de Pareto do indivíduo do tipo A.
O equilíbrio competitivo calculado no item (d) é eficiente de Pareto e, por-
tanto, existe um peso de Pareto λ˜ a ele associado. Sendo assim, para en-
contrar λ˜ basta resolver o problema acima e impor a alocação de equilíbrio
competitivo encontrada no item (d). Como no equilíbrio competitivo calculado
xA1, xA2, xB1, xB2, l1, k1, l2, k2 > 0 a última restrição está satisfeita. Além disto,
todas as demais restrições são ativas, ou seja: valem com igualdade. Logo, as
condições de primeira ordem do problema acima são:
λ
1
xA1
− (1− λ) 2
y1 − xA1 = 0⇒
y1 − xA1
2xA1
=
1− λ
λ
; (109)
20
λ
2
xA2
− (1− λ) 1
y2 − xA2 = 0⇒ 2
y2 − xA2
xA2
=
1− λ
λ
. (110)
Plugando xA1 e y1 |N=1 de equilíbrio competitivo calculado no item (d) na
equação (84), encontra-se o peso de Pareto λ˜:
1− λ˜
λ˜
=
27( 211 )
1
3
31
2
3
− 25(
2
11 )
1
3
3·31 23
2
25( 211 )
1
3
3·31 23
⇒ λ˜ = 25
53
. (111)
(*) Questão 5 - Nicholson: Problema 13.2. Suponha dois indivíduos
(Smith e Jones) possuem cada 10 horas de trabalho para dedicar à produção ou
de sorvete (x) ou canja (y). A função utilidade do Smith é dada por
US = x
0,3
S y
0,7
S , (112)
enquanto a função utilidade do Jones é dada por
UJ = x
0,5
J y
0,5
J . (113)
Os indivíduos não se importam se eles produzem x ou y, e a função de
produção de cada bem é dada por:x = 2lx (114)
e
y = 3ly, (115)
onde l é o total de trabalho destinado à produção de cada bem.
(a) Qual deve ser a razão de preços px/py?
Primeiramente, é necessário obter a fronteira de possibilidades de produção.
Para isto, note que lx + ly = 20. Sendo assim, pela equação (114), segue que:
x = 2 (20− ly)⇒ ly = 20− x
2
. (116)
Substituindo a equação (116) na equação (115), obtém-se que:
y = 3
(
20− x
2
)
= 60− 3
2
x. (117)
A equação (117) é a fronteira de possibilidades de produção. Como se sabe,
em equilíbrio competitivo, px/py deve ser igual ao módulo da taxa marginal
de transformação, que é dada pela inclinação da fronteira de possibilidades de
produção. Logo:
p∗x
p∗y
=
3
2
. (118)
21
(b) Dada esta razão de preços, quanto de x e y Smith e Jones demandarão?
Dica: Fixe o salário igual a 1 aqui.
O problema do Smith é o seguinte:
max
xS ,yS
US = x
0,3
S y
0,7
S
sujeito a:
pxxS + pyyS ≤ 10w;
xS , yS ≥ 0.
Como a função utilidade do Smith é Cobb-Douglas, sabe-se que as suas
funções demanda são dadas por:
xS = 0, 3
10w
px
; (119)
yS = 0, 7
10w
py
. (120)
O problema do Jones é o seguinte:
max
xJ ,yJ
UJ = x
0,5
J y
0,5
J
sujeito a:
pxxJ + pyyJ ≤ 10w;
xJ , yJ ≥ 0.
Como a função utilidade do Jones é Cobb-Douglas, sabe-se que as suas
funções demanda são dadas por:
xJ = 0, 5
10w
px
; (121)
yJ = 0, 5
10w
py
. (122)
Agora, fixando w = 1, p∗x = 3 e p
∗
y = 2 encontra-se que as quantidades
demandadas em equilíbrio são:
x∗S = 0, 3
10 · 1
3
⇒ x∗S = 1; (123)
y∗S = 0, 7
10 · 1
2
⇒ y∗S =
7
2
; (124)
x∗J = 0, 5
10 · 1
3
⇒ x∗J =
5
3
; (125)
22
y∗J = 0, 5
10 · 1
2
⇒ y∗J =
5
2
. (126)
(c) Como o trabalho deve ser alocado entre x e y para satisfazer a demanda
calculada na parte (b)?
A quantidade total demandada, em equilíbrio, pelo bem x definida por x∗ :=
x∗S + x
∗
J é
x∗ = 1 +
5
3
=
8
3
. (127)
A quantidade total demandada, em equilíbrio, pelo bem y definida por y∗ :=
y∗S + y
∗
J é
y∗ =
7
2
+
5
2
= 6. (128)
Então, pelas equações (3) e (4), encontra-se que
8
3
= 2l∗x ⇒ l∗x =
4
3
; (129)
6 = 3l∗y ⇒ l∗y = 2. (130)
Questão 6 - Nicholson: Problema 13.4. Suponha que Robinson Crusoé
produz e consome peixe (F ) e coco (C). Assuma que, durante um certo período,
ele decidiu trabalhar 200 horas e é indiferente entre gastar o seu tempo pescando
ou coletando cocos. A produção de peixe de Robinson é dada por
F =
√
lF (131)
e a de cocos é dada por
C =
√
lC , (132)
onde lF e lC são o número de horas gastas pescando e coletando cocos. Conse-
qüentemente,
lC + lF = 200. (133)
A função utilidade de Robinson Crusoé por peixe e coco é dada por
U (F,C) =
√
FC. (134)
(a) Se Robinson não pode trocar com o resto do mundo, como ele escolherá
alocar seu trabalho? Quais serão os níveis ótimos de F e C? Qual será a sua
utilidade? Qual será a a taxa marginal de transformação (de peixe por cocos)?
23
O problema de Robinson Crusoé é o seguinte:
max
F,C,lC ,lF
U (F,C) =
√
FC
sujeito a:
F ≤
√
lF ;
C ≤
√
lC ;
lF + lC = 200;
F,C, lC , lF ≥ 0.
Pelo fato de as curvas de indiferença da função Cobb-Douglas não cruzarem
os eixos, na solução deste problema, F,C > 0. Como não é possível obter
uma produção estritamente positiva usando uma quantidade nula de fatores de
produção, segue que lC , lF > 0. Sendo assim, a função lagrangeana de Robinson
é dada por:
L (F,C, lC , lF , λ1, λ2, λ3) =
√
FC − λ1
(
F −
√
lF
)
− λ2
(
C −
√
lC
)
+
−λ3 (lF + lC − 200) . (135)
Como tanto a função utilidade quanto as funções de produção são estrita-
mente crescentes, as duas primeiras restrições valem com igualdade. Logo, as
condições de primeira ordem são as seguintes:
1
2
√
C
F
− λ1 = 0⇒ 1
2
√
C
F
= λ1; (136)
1
2
√
F
C
− λ2 = 0⇒ 1
2
√
F
C
= λ2; (137)
−λ1
(
− 1
2
√
lF
)
− λ3 = 0⇒ λ1 = λ32
√
lF ; (138)
−λ2
(
− 1
2
√
lC
)
− λ3 = 0⇒ λ2 = λ32
√
lC . (139)
Igualando (136) a (138) e (137) a (139), encontra-se que:
1
2
√
C
F
= λ32
√
lF ⇒ λ3 = 1
4
√
C
F
1√
lF
; (140)
1
2
√
F
C
= λ32
√
lC ⇒ λ3 = 1
4
√
F
C
1√
lC
. (141)
Igualando (140) a (141):
1
4
√
C
F
1√
lF
=
1
4
√
F
C
1√
lC
⇒ C
F
=
√
lF√
lC
. (142)
24
Substituindo as restrições F =
√
lF e C =
√
lC em (142), chega-se que
√
lC√
lF
=
√
lF√
lC
⇒ lC = lF . (143)
Conseqüentemente, pelas restrições F =
√
lF e C =
√
lC :
C = F . (144)
Substituindo (143) na restrição lF + lC = 200, obtém-se que
lF + lF = 200⇒ lF = lC = 100. (145)
Logo, pelas funções de produção,
C = F =
√
100⇒ C = F = 10. (146)
Plugando (146) na função utilidade,
U (10, 10) =
√
10 · 10
= 10. (147)
Uma forma de obter a fronteira de possibilidades de produção desta economia
é a seguinte. Pela equação lF + lC = 200, lC = 200− lF . Pela restrição C =
√
lC
, lC = C
2
. Logo,
C2 = 200− lF ⇒ lF = 200− C2. (148)
Substituindo (148) em F =
√
lF , chega-se que a fronteira de possibilidade
de produção é
F =
√
200− C2. (149)
A taxa marginal de transformação é dada por
dF
dC
(C) =
1
2
√
200− C2 2C
=
C√
200− C2 . (150)
Quando C = 10, que é a quantidade de coco desejada por Robinson,
dF
dC
(10) =
10√
200− 102
= 1. (151)
O gráfico abaixo ilustra a fronteira de possibilidade de produção desta econo-
mia e a escolha ótima de Robinson Crusoé. Deve ser ressaltado que todos estes
resultados são óbvios dada a simetria do problema.
25
(b) Suponha agora que o comércio é aberto e que Robinson pode trocar peixe
e cocos ao preço relativo pF /pC = 2/1. Se Robinson continua a produzir as
quantidades de F e de C da parte (a), o que ele escolherá consumir uma vez que
lhe é dada a oportunidade de trocar? Qual será o seu novo nível de utilidade?
Assumindo que Robinson Crusoé produz as mesmas quantidades calculadas
no item anterior e que a razão de preços é pF /pC = 2/1, o problema de Robinson
é o seguinte:
max
F,C
U (F,C) =
√
FC
sujeito a:
2F + C ≤ 30;
F,C ≥ 0.
As demandas por peixe e por coco são dadas, respectivamente, por:
F =
1
2
30
2
=
15
2
. (152)
C =
1
2
30
= 15. (153)
26
Então, o seu novo nível de utilidade será dado por
U
(
15
2
, 15
)
=
√
15
2
· 15
=
15√
2
> 10 = U (10, 10) . (154)
(c) Como a sua resposta para a parte (b) mudaria se Robinson ajusta a sua
produção para tirar vantagem dos preços mundiais?
Assumindo que a razão de preços é pF /pC = 2/1 e que Robinson pode ajustar
a quantidade produzida livremente, o problema de Robinson é o seguinte:
max
F,C,lF ,lC
U (F,C) =
√
FC
sujeito a:
2F + C ≤ 2YF + YC ;
YF ≤
√
lF ;
YC ≤
√
lC ;
lF + lC = 200;
F,C, lF , lC ≥ 0.
A função lagrangeana é a seguinte:
L (F,C, lF , lC , λ, γ) =
√
FC − λ
(
2F + C − 2
√
lF −
√
lC
)
+
−γ (lF + lC − 200) . (155)
As condições de primeira ordem determinam que
1
2
√
C
F
− 2λ = 0⇒
√
C
F
= 4λ; (156)
1
2
√
F
C
− λ = 0⇒
√
C
F
= 2λ; (157)
−λ2 1
2
√
lF
− γ = 0⇒ −λ 1√
lF
= γ; (158)
−λ 1
2
√
lC
− γ = 0⇒ −λ 1√
lC
= 2γ. (159)
Como as preferências são Cobb-Douglas, as quantidades consumidas são
dadas por
F =
1
2
2
√
lF +
√
lC
2
⇒ F = 2
√
lF +
√
lC
4
; (160)
27
C =
1
2
(
2
√
lF +
√
lC
)
. (161)
Substituindo (158) em (159), segue que
−λ 1√
lC
= 2
(
−λ 1√
lF
)
⇒ lF = 4lC . (162)
Então, substituindo (162) em lF + lC = 200, encontra-se que:
4lC + lC = 200⇒ lC = 40 (163)
e, portanto, por (162):
lF = 160. (164)
Logo, a solução do problema de maximização de utilidade é
F =
2
√
160 +
√
40
4
= 5
√
5
2
; (165)
C =
1
2
(
2
√
160 +
√
40
)
= 5
√
10. (166)
Portanto, o seu nível de utilidade é:
U
(
5
√
5
2
, 5
√
10
)
=
√
5
√
5
2
· 5
√
10
= 5
√
5 > U
(
15
2
, 15
)
=
15√
2
> U (10, 10) = 10. (167)
(d) Desenhe o gráfico dos seus resultados das partes (a), (b) e (c).
28
(*) Questão 7 - Nicholson: Problema 13.6. Na Ruritânia, existem duas
regiões, A e B. Dois bens (x e y) são produzidos em ambas as regiões. As
funções de produção da região A são dadas por
xA =
√
lx, (168)
yA =
√
ly, (169)
onde lx e ly são as quantidades de trabalho dedicadas à produção de x e y,
respectivamente. O total de trabalho disponível na região A é de 100 unidades;
istoé,
lx + ly = 100. (170)
Usando uma notação similar para a região B, as funções de produção são
dadas por
xB =
1
2
√
lx, (171)
yB =
1
2
√
ly. (172)
Existem também 100 unidades de trabalho na região B:
lx + ly = 100. (173)
(a) Calcule as curvas de possibilidades de produção para as regiões A e B.
29
Para encontrar a curva de possibilidades de produção da região A deve-se
resolver o seguinte problema:
max
lxA,lyA
yA =
√
lyA
sujeito a:√
lxA ≥ xA;
lxA + lyA ≤ 100;
lxA, lyA ≥ 0.
De
√
lxA ≥= x, segue que
lxA = x
2
A. (174)
Substituindo (174) em lxA + lyA = 100;:
x2A + lyA = 100⇒ lyA = 100− x2A. (175)
Plugando (175) na função objetivo, obtém-se que
yA =
√
100− x2A. (176)
Como xA ≥ 0, (176) corresponde à equação do arco de uma circunferência
de raio 10 e centro (0, 0) contido no primeiro quadrante do plano cartesiano.
Para encontrar a curva de possibilidades de produção da região B deve-se
resolver o seguinte problema:
max
lxB ,lyB
yB =
1
2
√
lyB
sujeito a:
1
2
√
lxB ≥ xB ;
lxB + lyB ≤ 100;
lxB , lyB ≥ 0.
De
1
2
√
lxB ≥= x, segue que
lxB = 4x
2
B . (177)
Substituindo (177) em lxB + lyB = 100:
4x2B + lyB = 100⇒ lyB = 100− 4x2B . (178)
Plugando (178) na função objetivo, obtem-se que
yB =
1
2
√
100− 4x2B ⇒ yB =
√
25− x2B . (179)
Como xB ≥ 0, (179) corresponde à equação do arco de uma circunferência de
raio 5 e centro (0, 0) contido no primeiro quadrante do plano cartesiano. Abaixo
está o gráfico da fronteira de possibilidades de produção da região A e da região
B:
30
(b) Que condição deve ser satisfeita se a produção na Ruritânia deve ser alocada
eficientemente entre as regiões A e B (assumindo que trabalho não pode migrar
de uma região para outra)?
Sejam fA (xA) e fB (xB) as fronteiras de possibilidades de produção das
regiões A e B, respectivamente. Se trabalho não pode migrar entre as regiões,
o problema de alocação eficiente da produção entre as duas regiões é o seguinte:
max
xA,xB
yA + yB = fA (xA) + fB (xB)
sujeito a:
xA + xB ≥ x;
Se fA (xA) ou fB (xB) for estritamente decrescente, então a restrição vale
com igualdade. Neste caso, substituindo a restrição, que vale com igualdade, na
função objetivo e calculando a condição de primeira ordem, encontra-se que:
f ′A (x
∗
A)− f ′B (x∗B) = 0⇒ f ′A (x∗A) = f ′B (x∗B) . (180)
Isto significa que a taxa marginal de transformação deve ser a mesma nas
duas regiões. Aplicando a condição de eficiência na alocação inter-regional sobre
as fronteiras de possibilidade de produção calculadas no item anterior, obtém-se
que
1
2
√
100− x∗2A
(−2x∗A) =
1
2
√
25− x2B
(−2x∗B)⇒
y∗A
x∗A
=
y∗B
x∗B
. (181)
31
(c) Calcule a curva de possibilidades de produção para a Ruritânia (novamente
assumindo que trabalho é imóvel entre as regiões). Qual o máximo de y que
a Ruritânia pode produzir se a produção total de x é 12? Dica: Uma análise
gráfica pode ser útil aqui.
Assumindo que trabalho é imóvel entre as regiões, a fronteira de possibili-
dades de produção da Ruritânia pode ser obtida da seguinte maneira:
max
lyA,lyB ,lxA,lxB
yA + yB =
√
lyA +
1
2
√
lyB
sujeito a:√
lxA +
1
2
√
lxB ≥ x;
lxA + lyA ≤ 100;
lxB + lyB ≤ 100;
lyA, lyB , lxA, lxB ≥ 0.
A função lagrangeana é a seguinte:
L (lxA, lxB , λ) =
√
100− lxA+1
2
√
100− lxB+λ
(√
lxA +
1
2
√
lxB − x
)
. (182)
As condições de primeira ordem são as seguintes:
1
2
√
100− lxA
(−1) + λ 1
2
√
lxA
= 0⇒
√
lxA√
100− lxA
= λ; (183)
1
2
√
100− lxB
(−1) + λ1
2
1
2
√
lxB
= 0⇒ 2
√
lxB√
100− lxB
= λ. (184)
Igualando as equações (183) e (184):
√
lxA√
100− lxA
=
2
√
lxB√
100− lxB
. (185)
Esta equação pode ser expressa da seguinte maneira:
y∗A
x∗A
=
y∗B
x∗B
, (186)
que é exatamente a condição de eficiência obtida no item anterior. Agora note
que isto implica que
y∗A
x∗A
=
y∗B
x∗B
=
y
x
. (187)
Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, a equação que descreve a fronteira de
possibilidades de produção da Ruritânia é
y =
√
225− x2. (188)
32
Se a produção de x é 12, o máximo que pode ser produzido de y é
y =
√
225− 122
= 9. (189)
Questão 8 - Nicholson: Problema 13.10 (Teorema de Rybczynski).
Podunk é um país que produz apenas trigo e roupa usando como insumos terra
e trabalho. Ambos são produzidos por funções de produção com retornos con-
stantes de escala. Trigo é o bem relativamente terra-intensivo.
(a) Explique, em palavras ou com diagramas, como o preço do trigo relativo a
roupa (p) determina a razão terra-trabalho em cada uma das duas indústrias.
No gráfico abaixo é apresentada a curva de alocações eficientes dos fatores
de produção terra (L) e trabalho (N) entre os dois setores: trigo (t) e roupa
(r). Note que trigo é o setor relativamente intensivo no emprego de terra, pois
a curva de alocações eficientes de fatores de produção é côncava da perspectiva
da produção deste bem. Para um preço relativo de trigo p1, a produção de trigo
emprega 〈Nt (p1) , Lt (p1)〉 e a produção de roupa emprega 〈Nr (p1) , Lr (p1)〉,
sendo que
Lt(p1)
Nt(p1)
> Lr(p1)Nr(p1) , pois a produção de trigo é mais terra-intensiva
do que a produção de roupa. Quando o preço do trigo aumenta para p2 >
p1, a quantidade produzida de trigo cresce e a quantidade produzida de roupa
diminui. Sendo assim, o setor produtor de trigo aumenta o emprego dos dois
fatores de produção para 〈Nt (p2) , Lt (p2)〉 � 〈Nt (p1) , Lt (p1)〉 e o setor têxtil
33
reduz o emprego de ambos os fatores de produção para 〈Nr (p2) , Lr (p2)〉 �
〈Nr (p1) , Lr (p1)〉. Como anteriormente,Lt(p2)Nt(p2) >
Lr(p2)
Nr(p2)
, pois a produção de
trigo é mais terra-intensiva do que a produção de roupa. Além disto,
Lt(p1)
Nt(p1)
>
Lt(p2)
Nt(p2)
e
Lr(p1)
Nr(p1)
> Lr(p2)Nr(p2) , o que significa que os dois setores tornam-se menos
intensivos em terra.
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(b) Suponha que p é dado por forças externas (este seria o caso se Podunk fosse
uma país "pequeno" trocando livremente com um mundo "grande"). Mostre,
usando a caixa de Edgeworth, que se a oferta de trabalho aumenta em Podunk
então a produção de roupa crescerá e a produção de trigo cairá. Nota: Este
resultado foi descoberto pelo economista polonês Tadeusz Rybczynski. Este é
um resultado fundamental na teoria de comércio internacional.
Na caixa de Edgeworth abaixo, quando a oferta de trabalho de trabalho é
N1, a produção de trigo emprega 〈Nt (N1) , Lt (N1)〉 e a produção de roupa em-
prega 〈Nr (N1) , Lr (N1)〉. Quando a oferta de trabalho aumenta para N2 > N1,
a caixa de Edgeworth expande-se para a direita e surge uma nova curva de alo-
cações eficientes de fatores de produção. Por outro lado, a relação terra-trabalho
demandada por cada um dos setores mantém-se inalterada, pois p é constante e
as tecnologias apresentam retornos constantes de escala. Assim, a produção de
trigo passa a empregar 〈Nt (N2) , Lt (N2)〉 � 〈Nt (N1) , Lt (N1)〉 e a produção
de roupas 〈Nr (N2) , Lr (N2)〉 � 〈Nr (N1) , Lr (N1)〉. Como as tecnologias são
estritamente monotônicas, segue-se que a produção de trigo diminui e a de roupa
aumenta.
34
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Uma forma útil de entender este resultado é olhar para a fronteira de possi-
bilidades de produção. No gráfico abaixo, a curva em azul representa a fronteira
de possibilidades de produção antes do aumento da oferta de trabalho, ou seja,
quando a quantidade de trabalho disponível é N1. Já a linha verde é a fronteira
de possibilidades de produção quando a quantidade disponível de trabalho é
N2 > N1. Note que a elevação na disponibnilidade de trabalho faz com que
a fronteira de possibilidades de produção expanda de forma viesada em favor
da produção de roupa porque este setor é intensivo neste insumo. Se o preço
relativo entre roupa e trigo é p, quando a oferta de trabalho é N1, a economia
produz 〈t (N1) , r (N1)〉. Se a oferta de trabalho é N2e o preço relativo entre
roupa e trigo não se altera, então a economia produz 〈t (N2) , r (N2)〉, sendo que
t (N1) > t (N2) e r (N1) < r (N2).
35
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(*) Questão 9 - Nicholson: Problema 13.11 (Lei de Walras). Suponha
que existam apenas três bens (x1, x2, x3) em uma economia e que as funções de
excesso de demanda por x2 e x3 são dadas por
ED2 = −3p2
p1
+
2p3
p1
− 1; (190)
ED3 =
4p2
p1
− 2p3
p1
− 2. (191)
(a) Mostre que estas funções são homogêneas de grau 0 em p1, p2 e p3.
Para verificar que estas funções são homogêneas de grau 0, tome λ > 0
arbitrariamente. Então:
ED2 (λp1, λp2, λp3) = −3λp2
λp1
+
2λp3
λp1
− 1
= −3p2
p1
+
2p3
p1
− 1 = ED2 (p1, p2, p3) . (192)
ED3 (λp1, λp2, λp3) =
4λp2
λp1
− 2λp3
λp1
− 2
=
4p2
p1
− 2p3
p1
− 2 = ED3 (p1, p2, p3) . (193)
36
(b) Use a lei de Walras para mostrar que, se ED2 = ED3 = 0, então ED1 deve
também ser 0. Você pode usar a lei de Walras para calcular ED1?
Segundo a lei de Walras, a soma dos valores dos excessos de demanda deve
ser igual a zero. Ou seja:
p1ED1 + p2ED2 + p3ED3 = 0. (194)
Sendo assim, se ED2 = ED3 = 0, segue-se que p1ED1 = 0. Como p1 > 0,
ED1 = 0.
Para encontrar ED1, basta aplicar a lei de Walras usando os dados da
questão, conforme abaixo:
p1ED1 + p2
(
−3p2
p1
+
2p3
p1
− 1
)
+ p3
(
−4p2
p1
+
2p3
p1
− 2
)
= 0, (195)
o que implica que
ED1 =
1
p1
[
p2
p1
(p1 + 3p2) + 2
p3
p1
(p1 − 3p2)
]
+ 2
(
p3
p1
)2
. (196)
(c) Resolva este sistema de equações para os preços relativos de equilíbrio p2/p1
e p3/p1. Qual o valor de equilíbrio para p3/p2?
O sistema de equações que deve ser resolvido é formado pelas seguintes
equações:
ED1 =
1
p1
[
p2
p1
(p1 + 3p2) + 2
p3
p1
(p1 − 3p2)
]
+ 2
(
p3
p1
)2
= 0; (197)
ED2 = −3p2
p1
+
2p3
p1
− 1 = 0; (198)
ED3 =
4p2
p1
− 2p3
p1
− 2 = 0. (199)
Igualando as duas últimas equações:
−3p2
p1
+
2p3
p1
− 1 = 4p2
p1
− 2p3
p1
− 2⇒ p2
p1
=
1
7
(
4
p3
p1
+ 1
)
. (200)
Substituindo (200) em (199):
4
[
1
7
(
4
p3
p1
+ 1
)]
− 2p3
p1
− 2 = 0⇒ p3
p1
= 5. (201)
Plugando este resultado em (200):
p2
p1
=
1
7
(4 · 5 + 1)⇒ p2
p1
= 3. (202)
O valor de equilíbrio para
p3
p2
é:
p3
p2
=
p3
p1
p2
p1
=
5
3
. (203)
37