508-7105-aula4-cursoestrategiaconcursos-matematicaparacaixa-profalexandreazevedo

Prévia do material em texto

Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 1 
 
 
 
 
 
Oi pessoal, falaremos hoje sobre análise de investimentos. 
 
Sem muitas delongas, vamos começar a aula, que será um pouco 
mais curta do que as demais. 
 
Um grande abraço! 
 
Prof Alexandre Azevedo 
 
Março/ 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 04: Análise de Investimentos 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 2 
1. Avaliação Econômica de Investimentos 
 
1.1 Lucro 
 
O lucro gerado pelas operações da uma empresa é denominado lucro 
econômico, conceito diferente do lucro contábil. 
 
Na definição de lucro econômico está incluído o conceito de custo de 
oportunidade. 
 
Ex.: O custo de oportunidade de investir em uma empresa em vez de 
investir em títulos públicos federais é de 12,5% ao ano. 
 
No ponto de equilíbrio econômico, quando o lucro econômico for igual 
a zero, a receita total do projeto deverá ser suficiente para cobrir todos os 
custos, incluindo o custo de oportunidade do capital fornecido pelos seus 
financiadores. 
 
Para decidir sobre a aceitação ou não de um projeto de investimento 
deve-se: 
 
• Determinar o lucro do investimento; 
• Incluir os efeitos do tempo nos desembolsos e receitas da proposta de 
investimento. 
 
1.2 Valor do dinheiro no tempo 
 
Você acha que $1.000 hoje e $1.000 daqui a um ano têm o mesmo 
valor? 
Você preferiria receber $1.000 hoje ou daqui a um ano? 
O valor de $1.000 recebido hoje é maior do que o valor de $1.000 
recebido daqui a um ano, pois: 
 
• Recebendo $1.000 você poderia comprar um bem e começar a usufruí-
lo hoje. 
• Você poderia aplicar $1.000 pelo um ano, resgatando um valor maior 
ao final do prazo. 
 
Assim deduzimos que $1.000 guardados em um cofre, com o passar do 
tempo valem cada vez menos. Essa perda de valor é ocasionada por dois 
motivos: 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 3 
 
• Perda de poder aquisitivo, causado pela inflação. 
• Perda dos juros por não ter aplicado o dinheiro. 
 
Portanto: 
 
• O valor do dinheiro varia com o tempo. 
• Na análise de um projeto de investimentos torna-se necessário dispor 
de procedimentos de avaliação do valor do dinheiro em função do tempo. 
 
1.2.1 Valor Futuro (FV) 
 
Então, $1.000,00 valerá quanto daqui a um ano? 
 
Supondo que, pelo prazo de um ano, foi aplicando $1.000,00 em renda 
fixa a uma taxa pré-fixada de 20% a.a. (líquido de impostos). Qual será o 
valor resgatado no final do período? 
 
Vamos utilizar a fórmula matemática e fazer o cálculo: 
 
VF = VP x ( 1 + i )n 
 
VP = Valor Presente 
VF = Valor Futuro 
n = prazo 
 
VF = 1.000 x ( 1 + 0,2 ) = 1.200 
 
1.2.1 Valor Presente (PV) e Desconto 
 
Valor presente é aquele que expressa o montante ajustado em função do 
tempo a transcorrer entre as datas da operação e do seu vencimento. 
 
Calcular o valor presente de um ativo, título ou investimento, significa 
calcular quanto vale hoje um determinado valor que o investidor irá 
receber em uma data futura. Assim, partimos do valor futuro (valor em 
uma data futura) e, a partir da aplicação de uma taxa de juros 
determinada (taxa de desconto), encontramos o valor presente. 
 
Fórmula matemática para cálculo o valor presente: 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 4 
 
Então, vamos calcular quanto vale hoje $1.200,00 que será resgatado da 
aplicação de renda fixa (do exemplo anterior) com taxa de juros de 20% 
a.a.? 
 
 
Portanto, em um contexto com taxa de juros de 20% a.a., $1.000 hoje 
ou $1.200 daqui a um ano valem a mesma coisa, são equivalentes. 
 
1.2 Taxa Requerida de Juro 
 
 
 
1.3.1 Taxa Mínima de Atratividade (TMA) 
 
 
 
A taxa requerida denominada, também como Custo de Capital: 
 
• Reflete o valor do dinheiro no tempo e o risco do fluxo de caixa do 
projeto. 
 
• É a taxa de juro oferecida por outros ativos com risco equivalente ao do 
investimento sob avaliação1. Em resumo, é o custo de oportunidade de 
abandonar a melhor alternativa disponível em favor do investimento 
escolhido. 
 
1.3.2 Taxa Esperada 
 
 
 
É a medida de rentabilidade do investimento, é a Taxa Interna de 
Retorno (TIR) do fluxo de caixa do investimento. 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 5 
1.3.3 Taxa Realizada 
 
 
 
É Portanto, a taxa realizada pode ser diferente da taxa esperada caso as 
condições previstas no projeto de investimento não se concretizem. 
 
Vamos a alguns exemplos para fixar melhor esses conceitos: 
 
 
 
A taxa esperada de juro do título é de 20%.a., ou seja, ao adquirir esse 
título espera-se resgatar $1.200 no final do período. 
 
Se a taxa mínima requerida pelo investir for de 20% a.a., o valor 
presente deste título será: 
 
 
 
Neste caso, 20% a.a. é a taxa mínima aceita pelo investidor para decidir 
pela realização da operação. Como a taxa esperada do título A é igual à 
taxa mínima requerida, a operação será aceita pelo investidor. Caso a 
taxa esperada fosse inferior a 20% a.a., a operação seria rejeitada. 
 
Mas supondo que no mercado exista outro título semelhante: 
 
 
 
Então o valor presente deste título será: 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 6 
 
 
No exemplo acima, a taxa esperada do título B é superior à taxa mínima 
requerida pelo investidor, o que indica a aceitação da operação. 
 
Mas, tendo duas alternativas de investimento com o mesmo nível de 
risco, qual das duas deverá o investidor escolher? 
 
Ao comparar o valor presente dos dois títulos, observa-se que o título B 
tem valor superior ao título A. Como a taxa esperada do título B, de 25%, 
é maior do que a taxa requerida de 20% a.a., é como se o investidor 
estivesse comprando por $1.000.000 um título que hoje vale $1.041.667. 
Com isso, o investidor está adicionando valor ao seu patrimônio; o 
investidor está criando valor igual à $41.667 – valor medido na data 
inicial da operação. 
 
A seguir iremos estudar os métodos utilizados na avaliação das 
alternativas de investimento. 
 
2. Métodos de Payback para Avaliação de Investimentos 
 
Payback é o tempo necessário para recuperar o capital investido em um 
projeto. O procedimento de avaliação desse tempo é denominado Método 
de Payback e ele pode ser Simples ou Descontado. 
 
2.1 Método do Payback Simples 
 
 
 
O Payback Simples trata-se de um método fácil e direto que não leva em 
consideração o valor do dinheiro no tempo. 
 
Vamos entender melhor através de um exemplo: 
 
A tabela seguinte registra o fluxo de caixa anual projetado de um 
projeto de investimento com duração de quatro anos. 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 7 
 
 
OBS: Em um fluxo de caixa convencional de um projeto de investimento, 
o valor negativo no ano zero representa o capital investido no projeto (o 
valor é negativo pois representa um desembolso para o investidor) e os 
demais valores positivos representam o retorno líquido para o investidor 
ao final de cadaperíodo. O investimento ocorre no ano zero (momento 
presente) e o ano 1 representa o valor que resultou desse investimento 
após um ano do início do projeto. 
 
Vamos visualizar a representação gráfica desse fluxo de caixa para ficar 
bem claro: 
 
 
 
Agora, para calcular o tempo necessário para recuperar o capital a ser 
investido, primeiramente vamos criar uma nova linha para calcular o 
saldo do projeto. 
 
 
 
Percebemos que, ao final do primeiro ano, o projeto terá gerado o retorno 
líquido de $800.000 e o saldo do projeto será ($1.700.000) – resultado 
da diferença entre o investimento inicial ($2.500.000) e o retorno de 
$800.000. Continuando esse procedimento até o final do quarto ano, a 
tabela mostra que o capital investido será totalmente recuperado ao final 
do terceiro ano. Assim, o payback deste projeto é de três anos. 
 
• Cálculo do PBS (Prazo do Payback Simples) 
 
Vamos a outro exemplo, utilizando uma questão da prova da Petrobrás: 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 8 
1. (Cesgranrio - 2010 - Petrobras - Contador júnior) A Cia 
Pantanal S/A está estudando duas alternativas de investimento, 
com as características abaixo: 
I 
 
 
 
Considerando-se exclusivamente essas informações, o período de 
payback efetivo da alternativa Q, em anos, é: 
 
(A) 3,23 
(B) 2,92 
(C) 2,86 
(D) 2,55 
(E) 2,33to 
 
Resolução: 
 
Na tabela apresentada pela banca examinadora o valor do investimento 
inicial está sendo apresentado na forma “positiva”. Mas, como já vimos 
anteriormente, o investimento inicial em um fluxo de caixa de um 
projeto de investimento ocorre no período zero e é sempre 
representado como um valor negativo por se tratar de um 
desembolso para o investidor. 
 
Dito isso, vejamos o cálculo da resolução da questão. 
 
Iniciamos o cálculo organizando as informações apenas do projeto Q em 
questão, construindo a linha do saldo do projeto: 
 
 
 
A tabela mostra que no ano 2 o investimento ainda não foi totalmente 
recuperado e no ano 3 o saldo do projeto é superior a zero, o que 
significa que a recuperação do capital ocorre durante o terceiro ano. 
Nesse caso, como calcular o PBS (Prazo do Payback Simples)? 
 
Aceitando a hipótese de que o retorno líquido de cada ano do fluxo de 
caixa é uniformemente distribuído durante o ano, o PBS será ajustado 
pelo cálculo de uma fração do terceiro ano: 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 9 
 
Do retorno líquido de $1.500.000 do terceiro ano serão necessários, 
ainda, $500.000 para a cobertura do saldo negativo que restou ao final do 
segundo ano, assim: 
 
 
Portanto, o projeto leva dois anos inteiros e mais 1/3 do terceiro ano 
para recuperar o capital investido, ou seja, três anos e quatro meses. 
 
Gabarito: E 
 
Pessoal, é importante que vocês percebam o seguinte: 
 
- O Saldo do Projeto até a data do PBS é sempre negativo. O momento 
em que o Saldo do Projeto se torna maior ou igual a zero significa que 
todo o capital investido foi recuperado. 
 
- Se o Saldo do Projeto for sempre negativo até completar o prazo de 
análise do projeto, então não terá PBS. Isso significa que o capital 
investido não será recuperado durante o prazo de análise. 
 
2.2 Método do Payback Descontado 
 
A diferença desse método para o Payback Simples é que o Payback 
Descontado leva em consideração o valor do dinheiro no tempo. Assim 
sendo, 
 
 
 
 
Conforme já vimos, o capital investido no projeto não é gratuito. Existe o 
custo de oportunidade, que é o valor da melhor alternativa abandonada 
em favor da alternativa escolhida. Esse custo deve ser incluído no prazo 
de análise do projeto de investimento. 
 
Vamos utilizar o mesmo exemplo que vimos no item anterior, mas agora 
iremos calcular o payback descontado: 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 10 
 
 
Supondo que a taxa mínima requerida pelo investidor para aceitar um 
projeto seja de 20% a.a., qual o PBD (Prazo do PayBack Descontado) das 
duas alternativas apresentadas? 
 
Antes de calcular o saldo do projeto será necessário conhecer o valor do 
fluxo de caixa descontado, ou seja, precisamos calcular o Valor 
Presente (VP) de cada período do fluxo de caixa, ou seja, trazer o valor 
do resultado de cada período para o período zero (momento presente). O 
resto do cálculo é igual ao que já aprendemos no payback simples. 
 
Para calcular o valor presente dos fluxos usaremos a fórmula 
matemática: 
 
 
 
Assim, conseguiremos compor as nossas tabelas para avaliar o payback 
descontado das duas alternativas: 
 
 
 
VPL = -3.000.000,00 + (600.000 / 1,20) + (800.000 / 1,202) + 
(1.500.000 /1,203) + (1.800.000 / 1,204) = -208.333 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 11 
 
 
VPL = -5.000.000,00 + (2.000.000 / 1,20) + (2.500.000 / 1,202) + 
(1.500.000 / 1,203) + (1.800.000 / 1,204) = 138.889 
 
Verificamos que o saldo do projeto no caso do projeto P fica negativo 
durante todo o período de análise, o que significa que o investido não 
conseguirá recuperar o capital investido mais o seu custo de oportunidade 
durante o prazo analisado. Ao final do quarto ano ainda faltaria recuperar 
$208.333. 
 
Já no projeto Q o valor capital será totalmente recuperado e acrescido de 
uma remuneração de 20% a.a. durante o quarto ano. 
 
Vamos ver, então, o cálculo do PBD do projeto Q3: 
 
 
 
O PBD do projeto Q é de 3 anos e 10 meses. Portanto, constatamos que, 
neste caso, o projeto Q será aceito pelo investidor, enquanto o projeto P 
será descartado. 
 
- O Saldo do Projeto até a data do PBD é sempre negativo. O momento 
em que o Saldo do Projeto se torna maior ou igual a zero significa que 
todo o capital investido foi recuperado acrescido da remuneração pela 
taxa mínima requerida para o projeto. 
 
- Se o Saldo do Projeto for sempre negativo até completar o prazo de 
análise do projeto, então não terá PBD. Isso significa que não haverá a 
recuperação do investimento remunerado durante o prazo de análise. 
 
- O método do payback define um ponto de equilíbrio. Quando aplicamos 
o método do PBS estamos obtendo um ponto de equilíbrio contábil, e 
quando aplicamos o método do PBD obtemos um ponto de equilíbrio 
financeiro. 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 12 
3. Método do Valor Presente Líquido (VPL) 
 
O método do Valor Presente Líquido (VPL) se aproxima do método de 
payback descontado, pois se trata da soma do valor presente (VP) de 
todos os períodos que compõem o fluxo de caixa descontado. 
 
Se um projeto for aceito pelo método do PBD (Payback Descontado) 
então seu VPL será positivo. 
 
Para entender melhor, vamos retomar o exemplo já utilizado nos itens 
anteriores: 
 
 
O cálculo é realizado da mesma que forma que fizemos no cálculo do 
payback descontado: 
 
 
 
VPL = -3.000.000,00 + (600.000 / 1,20) + (800.000 / 1,202) + 
(1.500.000 /1,203) + (1.800.000 / 1,204) = -208.333 
 
 
 
VPL = -5.000.000,00 + (2.000.000 / 1,20) + (2.500.000 / 1,202) + 
(1.500.000 / 1,203) + (1.800.000 / 1,204) = 138.889 
 
Agora vamos somar a linha do Fluxo de Caixa DESCONTADO: 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br13 
 
 
 
Conforme foi dito, o VPL de um projeto é soma do valor presente de todos 
os períodos que compõem o seu fluxo de caixa descontado. Então, o VPL 
do projeto P é ($208.333) e do projeto Q é $138.889. Notem que esse 
resultado é exatamente igual ao valor apresentado no saldo do projeto no 
último ano de análise. Isso não é coincidência, pois a expressão “Líquido” 
se refere à diferença entre o valor presente dos capitais positivos e os 
capitais negativos do fluxo de caixa do projeto de investimento. 
 
Podemos concluir que se a soma de todos os retornos do projeto na data 
zero for maior do que o investimento, então o VPL do projeto será 
positivo. 
 
O critério do método do VPL estabelece que se o VPL encontrado no 
cálculo for maior do que zero (VPL>0), então o projeto deverá ser aceito; 
 
se o VPL for menor do que zero (VPL<0), o projeto não deverá ser aceito. 
 
Se o VPL for igual a zero (VPL=0) é indiferente aceitar ou não o projeto. 
 
O valor resultante do cálculo do VPL representa um lucro extra ao 
investidor, acima da remuneração dada pela taxa mínima requerida. 
No caso de estarmos comparando dois ou mais investimentos entre si, a 
escolhe deverá ser pelo projeto que apresentar o maior VPL. 
 
OBS: No método de VPL está incluída a premissa de que, durante o prazo 
de análise, todos os retornos gerados pelo projeto serão reinvestidos na 
taxa mínima requerida usada para calcular o VPL do projeto. 
 
Vamos analisar novamente o projeto Q, agora sob outro enfoque: qual 
seria o juro, calculado pela taxa mínima requerida – 20% a.a. - sobre os 
retornos anuais gerados pelo investimento analisado? 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 14 
 
O cálculo nos mostra que no final do quarto ano o retorno total dos fluxos 
anuais, reinvestidos à taxa mínima requerida, é de $10.656.000. 
Agora vamos trazer esse valor para o momento zero e ver qual o valor 
presente desse retorno: 
 
 
O VP do futuro dos retornos total é $5.138.889. Se descontarmos desse 
valor o investimento inicial ($5.000.000), o resultado será o VPL do 
projeto - $138.889. 
 
Assim sendo, durante o prazo de análise, os retornos gerados pelo projeto 
Q estarão sendo reinvestidos à taxa de juros de 20% a.a. (taxa mínima 
requerida) e o investidor terá, ao final desse prazo, além da remuneração 
do capital investido, um lucro extra de $138.889 (VPL). 
 
Com isso: 
 
- Se o VPL for positivo o projeto deverá ser aceito, pois isso significa que 
todo o capital investido será recuperado, acrescido da remuneração pela 
taxa mínima requerida para o projeto, e ainda gerará um lucro extra igual 
ao VPL. 
 
- Se o VPL for sempre negativo o projeto não deverá ser aceito, pois o 
projeto gerará um prejuízo igual ao VPL. 
 
2. (FUMARC - 2008 – Fundação de Parques Municipais – 
Economista) Analise o VPL de um Investimento de R$ 250.000,00, 
à Taxa Mínima de Atratividade de 12%, com retornos de (R$ 
55.00,00), R$ 95.000,00, R$ 140.000,00 e R$ 185.000,00. Com 
base no resultado, é CORRETO afirmar: 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 15 
a) O projeto não possui viabilidade financeira, pois não há ganho 
para o investimento planejado, já que o VPL é de (R$ 6.153,65). 
 
b) O projeto terá viabilidade financeira, porque o VPL de R$ 
92.060,64 mostra que não haverá prejuízo para o investidor. 
 
c) O projeto tem viabilidade financeira, com ganho sobre o capital 
aplicado de R$ 92.060,64. 
 
d) O projeto terá viabilidade financeira se o investidor julgar que 
o ganho de R$ 92.060,64 sobre o capital aplicado é suficiente para 
cobrir o prêmio pelo risco. 
 
Resolução: 
 
Aplicando a fórmula do valor presente nos fluxos nós temos: 
 
 
 
 
VPL = -250.000,00 + (-55.000 / 1,12) + (95.000 / 1,122) + (140.000 / 
1,123) + (185.000 / 1,124) = -6.153,65 
 
A resposta correta é a letra A. Mas vamos examinar as demais 
alternativas apresentadas: três das quatro alternativas citam o valor de 
VPL de R$ 92.060,64. Por quê? 
 
O concurseiro descuidado pode esquecer-se do sinal negativo do valor 
referente ao primeiro ano do fluxo (R$ 55.000,00), dessa forma, o 
resultado ficaria assim: 
 
 
 
VPL = -250.000,00 + (55.000 / 1,12) + (95.000 / 1,122) + (140.000 / 
1,123) + (185.000 / 1,124) = 92.060,64 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 16 
 
Continuando a análise, veremos que a resposta B e a resposta C têm o 
mesmo sentido: o VPL positivo de R$ 92.060,64 mostra que não há 
prejuízo para o investidor (B) e o VPL é o ganho sobre o capital aplicado 
(C). Quanto à alternativa C é preciso lembrar que o prêmio pelo risco 
deve ser considerado pelo investidor no momento de definir qual será a 
taxa mínima de atratividade para o projeto. 
 
Gabarito: A 
 
3. (FEPESE - 2010 – SEF-SC – Auditor Fiscal da Receita Estadual) 
Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) 
depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de ocorrência, 
e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado 
projeto. 
 
A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma 
taxa de juros de 10% ao ano, 
 
 
calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta 
correta. 
 
a) $ 89.790,57 
b) $ 87.029,57 
c) $ 80.920,57 
d) $ 78.290,57 
e) $ 72.790,57 
 
O cálculo dispensa maiores comentários. Basta trazer os fluxos a valor 
presente, como já vimos nos exemplos anteriores: 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 17 
 
VPL = -800.000,00 + (200.000 / 1,10) + (250.000 / 1,102) + 
(300.000 /1,103) + (400.000 / 1,104) = 87.029,57 
 
Gabarito: B 
 
4. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
 
 
E o que exatamente significa isso? Vamos ver um exemplo: 
 
 
 
No item anterior nós calculamos o VPL do Projeto Q, utilizando uma taxa 
mínima requerida (k) igual 20% a.a. Agora vamos fazer uma simulação 
dos possíveis resultados do VPL quando a taxa mínima requerida (k) varia 
entre 0% e 30% a.a.: 
 
 
Construindo um gráfico a partir dos valores apresentados, concluímos 
que: 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 18 
 
 
À medida que a taxa requerida (k) aumenta, o valor do VPL diminui; 
 
• Existe uma taxa de juro (k*) que torna o valor do VPL igual a zero: 
 
- quando a taxa requerida (k) for menor do que a taxa de juro (k*), o 
investimento deverá ser aceito; 
 
- quando a taxa requerida (k) for maior do que a taxa de juro (k*), o 
investimento não deverá ser aceito; 
 
Mas qual é a taxa de juros (k*) que anula o valor do VPL do 
investimento? 
 
A partir da tabela deduzimos que essa taxa está situada entre 20% e 
25%. Com a interpolação linear obtemos o valor de (k*): 
 
 
 
Isso significa que a TIR do investimento é de 21,6%. Portanto, se a taxa 
requerida para o investimento for inferior a 21,6%, o projeto deverá ser 
aceito. Se a taxa requerida for superior a 21,6% o projeto deverá ser 
rejeitado. 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 19 
 
 
Outra conclusão é que o lucro extra que verificamos no cálculo do VPL 
($138.889) se deve justamente a essa diferença entre a TIR do projeto(21,6%) e a taxa mínima requerida (20%) para sua aceitação. Quanto 
maior for a diferença entre as duas taxas, maior será o lucro extra. Ao 
contrário, se a TIR for inferior à taxa requerida, quanto maior for 
diferença, maior será o prejuízo do investidor. 
 
Como já vimos anteriormente, no método de VPL está incluída a 
premissa de que, durante o prazo de análise, todos os retornos gerados 
pelo projeto serão reinvestidos na taxa mínima requerida usada para 
calcular o VPL do projeto. 
 
Nesse caso, se substituirmos a taxa mínima requerida (k) pela taxa 
interna de retorno (TIR) sobre os retornos anuais gerados pelo 
investimento analisado, qual seria o juro? E o VPL? 
 
 
 
O cálculo nos mostra que no final do quarto ano o retorno total dos 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 20 
fluxos anuais, reinvestidos à taxa interna de retorno (TIR), é de 
$10.903.744. 
 
Agora vamos trazer esse valor para o momento zero e ver qual o valor 
presente desse retorno: 
 
 
 
O VP do futuro dos retornos total é igual ao investimento - $5.000.000, 
portanto, o VPL do projeto será igual a zero. 
 
Isso significa dizer que, durante o prazo de análise, os retornos gerados 
pelo projeto Q estarão sendo reinvestidos à taxa de juros de 21,6% a.a. 
(taxa interna de retorno - TIR). 
 
OBS: Podemos dizer que se a taxa interna de retorno for maior do que a 
taxa mínima requerida (TIR > k), então o investimento será: 
 
• Totalmente recuperado. 
• Remunerado com a taxa mínima requerida k. 
• E o projeto gerará um lucro extra igual ao VPL na data zero. 
 
Se um investimento for aceito pelo método do PBD, então seu VPL será 
positivo e sua TIR será maior do que a taxa requerida k. 
 
4. (Cesgranrio - 2011 - Transpetro - Contador júnior) Determinada 
empresa está analisando 5 alternativas de investimentos, em 
reais,conforme segue. 
 
 
 
Sabendo-se que a taxa requerida pela empresa é de 20% ao ano, 
o melhor projeto apresenta Valor Presente Líquido, em reais, na 
faixa: 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 21 
(A) entre 300.000,00 e 400.000,00 
(B) entre 200.000,00 e 300.000,00 
(C) entre 100.000,00 e 200.000,00 
(D) entre 50.000,00 e 100.000,00 
(E) abaixo de 50.000,00 
 
Resolução: 
 
Por se tratar de um cálculo complexo e impreciso, normalmente não são 
exigidos pelas bancas examinadoras cálculos de TIR em provas de 
concursos públicos. Mas o conceito de TIR é testado através de questões 
como essa. A questão pede o cálculo de VPL do melhor projeto dentre as 
5 alternativas apresentadas. A informação sobre a TIR de cada um dos 5 
projetos, apresentada na questão, nos indica qual deles é melhor projeto. 
 
Conforme estudamos, quanto maior for a diferença entre a TIR e a taxa 
mínima requerida (k), maior será o VPL do projeto (desde que a diferença 
seja positiva). 
 
Vamos, então, organizar as informações do projeto I (que tem a maior 
TIR) e calcular o seu VPL: 
 
 
 
VPL = -2.500.000,00 + (800.000 / 1,20) + (700.000 / 1,202) + 
(1.000.000 / 1,203) + (2.000.000 / 1,204) = 195.988 
 
Após calcular o valor presente de todos os fluxos, somamos e chegamos 
ao resultado do VPL = $195.988. 
 
Gabarito: C 
 
5. (FUMARC - 2008 – Fundação de Parques Municipais – 
Economista) Analise a TIR (valor limite para a TMA) de um 
Investimento de R$ 120.000,00 com os fluxos de R$ 25.000,00, 
R$ 27.000,00, R$ 35.000,00, R$ 38.000,00 e R$ 40.000,00 com 
TaxaMínima de Atratividade (TMA) de 10%. Com base no 
resultado, é CORRETO afirmar: 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 22 
 
a) O projeto é viável, pois a TIR é igual à TMA. 
b) O projeto só é viável se a TIR é menor do que à TMA. 
c) O projeto é viável se 0,63% acima da TMA cobrir lucro e prêmio 
de risco. 
d) O projeto é inviável, pois a TMA excede TIR em menos de 1%. 
 
Resolução: 
 
Vamos começar calculando o VPL do fluxo de caixa: 
 
 
 
VPL = -120.000,00 + (25.000 / 1,10) + (27.000 / 1,102) + 
(35.000 / 1,103) + 38.000 / 1,104) + (40.000 / 1,105) = 2.128,70 
 
E agora? Será que precisaremos fazer todo aquele cálculo, interpolação, 
etc, para encontrar a resposta? 
 
Muita calma nessa hora! 
 
Vamos começar analisando as alternativas a partir dos dados do VPL: 
 
- opção A – “O projeto é viável, pois a TIR é igual à TMA” – errada, pois 
se a TIR fosse igual a TMA, o VPL seria zero. 
 
- opção B – “O projeto só é viável se a TIR é menor do que à TMA” – 
errada, pois se a TIR for menor do que TMA o projeto NÃO é viável. 
 
- opção C – “O projeto é viável se 0,63% acima da TMA cobrir lucro e 
prêmio de risco” – é possível – não temos o cálculo da TIR, mas se ela for 
0,63% acima da TMA então o projeto é viável. 
 
- opção D – “O projeto é inviável, pois a TMA excede TIR em menos de 
1%” – errada, pois se TMA excedesse a TIR o VPL seria negativo. 
 
Para quem quiser conferir o valor da TIR a partir de uma calculadora 
financeira ou uma planilha eletrônica vai encontrar o resultado de 
10,63%. 
 
Gabarito: C 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 23 
6. (FEPESE - 2010 – SEF-SC – Auditor Fiscal da Receita Estadual) 
Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y representa os VPLs 
em $ e o eixo X, as taxas em %. 
 
 
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna 
de Retorno (TIR). 
a) 30% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 15% 
c) 0% 
 
Resolução: 
 
Vocês se recordam do gráfico do exemplo do cálculo da TIR? Pois é... é o 
mesmo! 
 
A TIR é a taxa de juros que faz com que o VPL se iguale a zero. Então, 
no gráfico a TIR é marcada exatamente no ponto em que a reta cruza a 
linha, conforme pode ser visto no gráfico: 
 
 
 
Gabarito: C 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 24 
 
 
7. (FUNRIO - 2009 – MPOG – Analista Administrativo) Uma 
empresa compara dois projetos de investimento a e b. 
Considerando os critérios do VPL (valor presente líquido) e da TIR 
(taxa interna de retorno), e havendo a necessidade de escolha de 
apenas um dos dois projetos, baseada em que informações a 
empresa optaria pelo projeto A? 
 
a) VPLa>VPLb, VPLa<0 e TIRa = TIRb. 
b) VPLa> 0, VPLa >VPLb e TIRa>TIRb. 
c) VPLb< 0, VPLa< 0, VPLb>VPLa e TIRa>TIRb. 
d) VPLb = VPLa= 0 e TIRb>TIRa. 
e) VPLa>TIRb e TIRa>0. 
 
Resolução: 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
a) – “VPLa>VPLb” – Sim – lucro extra de “a” maior do que de “b” 
– “VPLa<0” – Não – prejuízo ao investidor 
– “TIRa = TIRb” – Sim – retorno de “a” maior que retorno de “b” 
 
b) – “VPLa> 0” – Sim – lucro extra ao investidor 
– “VPLa >VPLb” – Sim – lucro extra de “a” maior que lucro extra de “b” 
– “TIRa>TIRb” – Sim – retorno de “a” maior que retorno de “b” 
 
c) – “VPLb< 0” – indiferente 
– “VPLa<0” – Não – prejuízo ao investidor 
– “VPLb>VPLa” – Não – lucro extra de “b” maior do que lucro extra de “a” 
– “TIRa>TIRb” – Sim – retorno de “a” maior que retorno de “b” 
 
d) – “VPLb = VPLa= 0” – indiferente 
– “TIRb>TIRa” – Não – retorno de “b” maior que retorno de “a” 
 
e) – “VPLa>TIRb” – não é possível comparar, pois o VPL é expresso em $ 
e a TIR é expressa em % 
– “TIRa>0” – Sim – retorno de “a” maior do que zero 
 
Gabarito: B 
 
8. (CESGRANRIO - 2008 – TJ-RO – Analista Judiciário) Uma 
empresa está analisando a possibilidade de realizar um 
determinadoinvestimento no montante de R$ 1.200.000,00. Os 
benefícios de caixa, em reais, trazidos por este investimento são: 
 
1o ano: 250.000,00; 
2o ano: 500.000,00; 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 25 
3o ano: 650.000,00; 
4o ano: 300.000,00. 
 
Sabendo-se que a expectativa da empresa é de um retorno 
mínimo de 15% ao ano, e que a Taxa Interna de Retorno é de 
14,78% ao ano, o Valor Presente Líquido (VPL) desse 
investimento, em reais, será: 
 
a) 3.333,33 
b) 1.125,53 
c) zero 
d) (2.456,79) 
e) (5.625,35) 
 
Resolução: 
 
Como a TIR é inferior ao retorno mínimo exigido, já sabemos que o VPL 
desse projeto é negativo. Assim, só nos restam duas possibilidades de 
resposta. Fazendo o cálculo do valor presente dos fluxos de caixa 
chegamos ao resultado de VPL igual a R$ (5.625,35): 
 
 
VPL = -1.200.000,00 + (250.000 / 1,15) + (500.000 / 1,152) + (650.000 
/1,153) + (300.000 / 1,154) = -5625,35 
 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 26 
 
Questões Comentadas nesta Aula 
 
1. (Cesgranrio - 2010 - Petrobras - Contador júnior) A Cia 
Pantanal S/A está estudando duas alternativas de investimento, 
com as características abaixo: 
I 
 
 
 
Considerando-se exclusivamente essas informações, o período de 
payback efetivo da alternativa Q, em anos, é: 
 
(A) 3,23 
(B) 2,92 
(C) 2,86 
(D) 2,55 
(E) 2,33to 
 
2. (FUMARC - 2008 – Fundação de Parques Municipais – 
Economista) Analise o VPL de um Investimento de R$ 250.000,00, 
à Taxa Mínima de Atratividade de 12%, com retornos de (R$ 
55.00,00), R$ 95.000,00, R$ 140.000,00 e R$ 185.000,00. Com 
base no resultado, é CORRETO afirmar: 
 
a) O projeto não possui viabilidade financeira, pois não há ganho 
para o investimento planejado, já que o VPL é de (R$ 6.153,65). 
 
b) O projeto terá viabilidade financeira, porque o VPL de R$ 
92.060,64 mostra que não haverá prejuízo para o investidor. 
 
c) O projeto tem viabilidade financeira, com ganho sobre o capital 
aplicado de R$ 92.060,64. 
 
d) O projeto terá viabilidade financeira se o investidor julgar que 
o ganho de R$ 92.060,64 sobre o capital aplicado é suficiente para 
cobrir o prêmio pelo risco. 
 
 
3. (FEPESE - 2010 – SEF-SC – Auditor Fiscal da Receita Estadual) 
Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) 
depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de ocorrência, 
e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado 
projeto. 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 27 
 
A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma 
taxa de juros de 10% ao ano, 
 
 
calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta 
correta. 
 
a) $ 89.790,57 
b) $ 87.029,57 
c) $ 80.920,57 
d) $ 78.290,57 
e) $ 72.790,57 
 
4. (Cesgranrio - 2011 - Transpetro - Contador júnior) Determinada 
empresa está analisando 5 alternativas de investimentos, em 
reais, 
conforme segue. 
 
 
 
Sabendo-se que a taxa requerida pela empresa é de 20% ao ano, 
o melhor projeto apresenta Valor Presente Líquido, em reais, na 
faixa: 
(A) entre 300.000,00 e 400.000,00 
(B) entre 200.000,00 e 300.000,00 
(C) entre 100.000,00 e 200.000,00 
(D) entre 50.000,00 e 100.000,00 
(E) abaixo de 50.000,00 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 28 
 
5)(FUMARC - 2008 – Fundação de Parques Municipais – 
Economista) Analise a TIR (valor limite para a TMA) de um 
Investimento de R$ 120.000,00 com os fluxos de R$ 25.000,00, 
R$27.000,00, R$ 35.000,00, R$ 38.000,00 e R$ 40.000,00 com 
Taxa Mínima de Atratividade (TMA) de 10%. Com base no 
resultado, é CORRETO afirmar: 
 
a) O projeto é viável, pois a TIR é igual à TMA. 
b) O projeto só é viável se a TIR é menor do que à TMA. 
c) O projeto é viável se 0,63% acima da TMA cobrir lucro e prêmio 
de risco. 
d) O projeto é inviável, pois a TMA excede TIR em menos de 1%. 
 
 
6. (FEPESE - 2010 – SEF-SC – Auditor Fiscal da Receita Estadual) 
Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y representa os VPLs 
em $ e o eixo X, as taxas em %. 
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna 
de Retorno (TIR). 
a) 30% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 15% 
c) 0% 
 
7. (FUNRIO - 2009 – MPOG – Analista Administrativo) Uma 
empresa compara dois projetos de investimento a e b. 
Considerando os critérios do VPL (valor presente líquido) e da TIR 
(taxa interna de retorno), e havendo a necessidade de escolha de 
apenas um dos dois projetos, baseada em que informações a 
empresa optaria pelo projeto A? 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 29 
 
a) VPLa>VPLb, VPLa<0 e TIRa = TIRb. 
b) VPLa> 0, VPLa >VPLb e TIRa>TIRb. 
c) VPLb< 0, VPLa< 0, VPLb>VPLa e TIRa>TIRb. 
d) VPLb = VPLa= 0 e TIRb>TIRa. 
e) VPLa>TIRb e TIRa>0. 
 
 
8. (CESGRANRIO - 2008 – TJ-RO – Analista Judiciário) Uma 
empresa está analisando a possibilidade de realizar um 
determinado investimento no montante de R$ 1.200.000,00. Os 
benefícios de caixa, em reais, trazidos por este investimento são: 
 
1o ano: 250.000,00; 
2o ano: 500.000,00; 
3o ano: 650.000,00; 
4o ano: 300.000,00. 
 
Sabendo-se que a expectativa da empresa é de um retorno 
mínimo de 
15% ao ano, e que a Taxa Interna de Retorno é de 14,78% ao 
ano, o 
Valor Presente Líquido (VPL) desse investimento, em reais, será 
a) 3.333,33 
b) 1.125,53 
c) zero 
d) (2.456,79) 
e) (5.625,35) 
 
 
Gabarito: 
 
1 – E 2 – C 3 – B 4 – A 5 – C 6 – C 7 – B 8 – E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 04 
 
 
Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viram só? No final das contas uma coisa está diretamente relacionada 
com a outra. Se você entender a relação entre TIR/VPL/Payback 
Descontado será mais fácil resolver as questões na hora da prova. 
 
 
Espero que vocês tenham conseguido assimilar o conteúdo dessa aula. 
 
Continuem mandando as suas dúvidas para: 
 
alexandre@estrategiaconcursos.com.br 
 
Garra nos estudos, pois sua aprovação irá chegar! 
mailto:alexandre@estrategiaconcursos.com.br