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1 
 
Microeconomia II (EAE 0205) 
Lista de Exercícios 1 
10 de Agosto de 2011 
 
QUESTÃO 01 
A função dispêndio 
 UE ,p
 é a função valor associada ao problema de minimização do 
dispêndio, condicionado a determinado nível de utilidade 
U
 que o consumidor deseja 
alcançar. 
a) Mostre que as seguintes propriedades são válidas para essa função: 
homogeneidade de grau um nos preços dos produtos, não decrescente nos preços 
de cada produto pi, crescente em U e côncava nos preços. 
RESPOSTA: 
HOMOGENEIDADE DE GRAU 1: Suponha que a função utilidade, 
 nxxu ,1
, seja 
contínua e que represente uma relação de preferências monotônica
1
. A função dispêndio 
é dada por: 
  



n
i
ii
x
xpMinUE
i 1
0
:,p
, 
sujeito a: 
  Uxxu n ,1
. 
Tome 
0
. Então, o problema acima, quando 
pp '
 é: 
  





n
i
ii
x
n
i
ii
x
xpMinxpMinUE
ii 1
0
1
0
:, p
, 
sujeito a: 
  Uxxu n ,1
. 
 
1
 O argumento que se segue também é válido sob a hipótese menos restritiva de que a relação de 
preferências é localmente não-saciada. 
2 
 
Como a restrição permanece inalterada e 

 é uma constante, a solução do problema 
acima 
 **1 ,, nxx 
, é idêntica à do problema original e, portanto, 
   UEUE ,, pp  
. 
Logo, a função dispêndio é homogênea de grau 1. 
NÃO DECRESCENTE NOS PREÇOS: 
Sejam 2 vetores de preço com k+1 elementos, 
''p
e 
'p
, tal que 
''' ll pp 
e 
''' kk pp 
para 
todo 
lk 
. Então, 
''' pp 
. Sejam também 
''x
o vetor de quantidades que resolve o 
problema de minimização do dispêndio quando o vetor de preços é 
''p
; e 
'x
o vetor de 
quantidades que resolve o problema de minimização do dispêndio quando o vetor de 
preços da economia é 
'p
. Então, 
),'(''.'''.'''.'),''( UpExpxpxpUpE 
, 
Com a primeira desigualdade valendo pois 
''' pp 
; e a segunda desigualdade valendo 
pela própria definição de 
),'( UpE
. 
CRESCENTE EM U: 
Vamos supor que 
),( UpE
 não seja decrescente em U. Sejam também 
''x
o vetor de 
quantidades que resolve o problema de minimização do dispêndio quando o nível de 
utilidade desejado é 
''U
; e 
'x
o vetor de quantidades que resolve o problema de 
minimização do dispêndio quando o nível de utilidade desejado é 
'U
. Suponha que 
''' xx 
. Então: 
)',()'',('''''' UpEUpExpxp 
. 
Como 
),( UpE
 é não decrescente em U, isto implica que 
'.'' UU 
Porém, isto significa que 
)'()''( xUxU 
, o que contraria a Monotonicidade de U(.). Logo U tem que ser crescente em 
U. 
CÔNCAVA NOS PREÇOS: 
Seja 
')1('' ppp  
, em que 
]1,0[
. Ou seja, p’’ é uma média ponderada de p e p’. 
Pela definição da função deispêndio, 
),'()1(),('')1('''')')1((),''( UpEUpEpxpxxppUpE   , com a 
desigualdade valendo devido à definição de 
),( UpE
 e 
),'( UpE
. Assim: 
3 
 
),'()1(),(),''( UpEUpEUpE   , que é a própria definição de Concavidade quando 
')1('' ppp  
. Logo, 
),( UpE
é côncava nos preços. 
 
b) Sabendo que a função de utilidade indireta de um consumidor é dada por: 
 
5,0
2
5,0
1
21
2
,,
pp
R
RppV 
 qual é a função dispêndio associada a essas preferências? 
RESPOSTA: Considere a renda 
E
 tal que 
E
 seja igual à menor renda necessária para 
gerar o nível de utilidade 
 RppVU ,, 21
. Então: 
UppE
pp
E
U 5,02
5,0
15,0
2
5,0
1
2
2

. 
 
c) Sabendo que as preferências de um consumidor são representadas pela relação 
binária descrita abaixo, na qual a cesta 
x
 é fracamente preferível à cesta 
y
 se e 
somente se: 
221111 y xe y=ou x y>xyx  .Mostre que essas preferências 
são completas, transitivas e convexas, mas não são contínuas. 
RESPOSTA: A relação binária da questão descreve o que se chamam preferências 
lexicográficas. Este tipo de preferência é muito interessante e possui as seguintes 
propriedades: 
 Completude 
É fácil ver que esta relação binária é completa, pois para todo par de cestas 
2, yx
 
sempre é possível dizer se 
yx 
 ou se 
xy 
. Isto porque, pelo fato de 

 ser um 
corpo ordenado completo, para todo 
ix
 e para todo 
iy
, 
ii yx 
 ou 
ii xy 
. Pela 
descrição das preferências propostas, se 
11 yx 
, então 
yx 
. Por simetria, se 
11 xy 
, 
então
xy 
. Se 
11 yx 
, então basta comparar 
2x
 e 
2y
. Neste caso, se 
22 yx 
, então 
yx 
. Ainda supondo que 
11 yx 
, por simetria, se 
22 xy 
, então 
xy 
. 
 Transitividade 
Sejam três cestas 
2,, zyx
. Suponha que 
yx 
 e que 
zy 
. Então, têm-se as 
seguintes possibilidades: 
4 
 
a. 
11 yx 
 e 
11 zy 
. 
Então: 
11 zx 
. Logo, 
zx 
. 
b. 
11 yx 
, 
22 yx 
 e 
11 zy 
. 
Então, 
11 zx 
. Logo, 
zx 
. 
c. 
11 yx 
, 
11 zy 
 e 
22 zy 
. 
Então, 
11 zx 
. Logo, 
zx 
. 
d. 
11 yx 
, 
22 yx 
, 
11 zy 
 e 
22 zy 
. 
Então, 
11 zx 
 e 
22 zx 
. Logo, 
zx 
. 
 Continuidade 
Diz-se que uma relação de preferências é contínua se para qualquer seqüência de 
pares de cestas 
  1, nnn yx
 tais que 
nn
yx 
 para todo 
n
, com 
xx 

n
n
lim
 e com 
yy 

n
n
lim
, tem-se que 
yx 
. É fácil ver que preferências lexicográficas não são 
contínuas. Para verificar isto, considere 






 k
n
n ,
1
x
 e 
  kn ,0y
, 
0
. Note que 
0
1

n
 para todo 
0n
 e, portanto, 
nn
yx 
 para todo 
0n
. Porém, 
 kn
n
,0lim 

x
 e 
 

kn
n
,0lim y
. Como 
011  yx
 e 
22 ykkx  
, conclui-se que 
xy 
 e 
que não se verifica 
yx 
. Logo, 
xy 
, o que significa que esta relação de 
preferências não se preserva nos limites e, portanto, não é contínua. 
 
QUESTÃO 2 
Seja um consumidor que possui preferências sobre N bens. Suponha que ele tenha 
preferências monotônicas. Mostre que não é possível que todos os bens sejam 
inferiores. 
RESPOSTA: Dada a restrição orçamentária: 
5 
 
mxpxpxp nn  ...2211
, com a igualdade valendo pela a hipótese de monotonicidade 
das preferências (os indivíduos gastam toda sua renda, ou não estão fazendo o melhor que 
podem para atender suas preferências estritamente crescentes com maior consumo). 
Derivando ambos os lados em relação a m: 
1...22
1
1 








m
x
p
m
x
p
m
x
p nn
. Como 1 > 0, o lado esquerdo tem que ser necessariamente 
maior que zero. Uma condição necessária para tal (mas não suficiente) é que, como todos os 
preços são positivos, pelo menos algum dos 
m
xk


 seja maior que zero, ou seja, pelo menos um 
dos bens tem que ser normal. 
QUESTÃO 3 
Julgue se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. 
a) Suponha que existam apenas dois bens, cujas demandas são denotadas por 
x
 e 
y
. 
Se 
x
 apresenta elasticidade-renda unitária e o consumidor gasta uma fração 
positiva de sua renda em cada bem, então y também apresenta elasticidade-renda 
unitária; 
Resposta: Verdadeira. 
É fácil provar esta afirmação. A restrição orçamentária é dada por: 
    yyxxyx pmppypmppxm ,,,, 
 
Derivando a restrição orçamentária em relação à renda, tem-se que: 
   
y
yx
x
yx
p
m
mppy
p
m
mppx






,,,,
1
 
Multiplicando e dividindo o lado direito da equação por 
m
: 
   
m
p
m
m
mppy
m
p
m
m
mppx yyxxyx






,,,,
1
 
Multiplicando e dividindo o primeiro termo do lado direito da equação por 
 mppx yx ,,
 
e o segundo por 
 mppy yx ,,
: 
 
 
   
 
 
m
pmppy
mppy
m
m
mppy
m
pmppx
mppx
m
m
mppx yyx
yx
yxxyx
yx
yx ,,
,,
,,,,
,,
,,
1






 
6 
 
Logo: 
       mppmppmppmpp yxyyxyyxxyxx ,,,,,,,,1   
onde 
 mpp yxx ,,
 e 
 mpp yxy ,,
 denotam as elasticidades-renda das demandas pelos 
bens 
x
 e 
y
 em 
 mpp yx ,,
, respectivamente e 
 mpp yxx ,,
 e 
 mpp yxy ,,
 
representam as suas respectivas participaçõesno orçamento. Assim, com base nas 
condições impostas no enunciado: 
  yyxyx mpp  ,,11 
 
Como 
yx  1
, tem-se que: 
        1,,1,,01,,11  mppmppmpp yxyyxyyxyxyy  
 
b) Suponha que existam apenas dois bens, 1 e 2. Suponha ainda que o bem 1 é um 
bem comum e que sua demanda é elástica relativamente ao seu próprio preço. Se 
o bem 1 é um complementar bruto do bem 2, então o bem 1 é um bem normal 
necessário; 
Resposta: Falsa. 
Como a função demanda é homogênea de grau zero, pelo Teorema de Euler: 
     
0
,,,,,, 21
2
2
21
1
1
21 








m
m
mppx
p
p
mppx
p
p
mppx
 
Dividindo tudo por 
x
, que se assume maior do que zero: 
     
0
,,,,,,
1
21
1
221
1
121 








x
m
m
mppx
x
p
p
mppx
x
p
p
mppx
yx
 
Denotando por 
ij
 a elasticidade da demanda do bem 
i
 em relação ao preço do bem 
j
 
e por 
im
 a elasticidade-renda do bem 
i
, encontra-se que: 
mm 1121111211 0  
. 
Portanto, seguindo os dados da questão, se 
111 
 e 
012 
, então 
11 m
, o que 
significa que o bem 1 é um bem de luxo. 
 
7 
 
c) Suponha que existam apenas dois bens, 1 e 2. Suponha ainda que o consumidor 
gasta metade de sua renda em cada bem e que o bem 1 é um bem normal de luxo, 
com elasticidade-renda estritamente maior que 2. Então o bem 2 deve ser um bem 
inferior. 
Resposta: Verdadeira. 
Com base nas derivações da resposta do item (2), sabe-se que: 
       mppmppmppmpp yxyyxyyxxyxx ,,,,,,,,1   
Usando os dados da questão: 
      0,,
2
1
,,
2
1
,,1
1
2



mppmppmpp yxyyxyyxx 
  

 
Portanto, nas condições da questão, conclui-se que o bem 2 deve ser inferior. 
QUESTÃO 4 
Considere a seguinte função utilidade 
 
yx
yxu
11
, 
, em que 
x
 denota a quantidade 
do bem 1 e 
y
 a quantidade do bem 2. Denote por 
xp
 o preço do bem 1, por 
yp
 o preço 
do bem 2 e por r a renda do consumidor. 
a) Compute a demanda marshaliana pelos bens 1 e 2; 
RESPOSTA: O problema do consumidor é o seguinte: 
 
yx
yxu
yx
11
,max
,

 
sujeito a: 
rypxp yx 
 
A função Lagrangeana é dada por: 
   rypxp
yx
yxL yx   11,,
 
Como as preferências deste consumidor são monotônicas, a restrição orçamentária vale 
com igualdade. Assim, as condições de primeira ordem (necessárias) são: 
8 
 
22
11
xp
p
x x
x  
 
22
11
yp
p
y y
y  
 
rypxp yx 
 
Das duas primeiras condições, obtém-se que: 
y
x
xy
yx p
p
xyxpyp
ypxp
 22
22
11
 
 
Substituindo este resultado na restrição orçamentária: 
 
yxx
yxxyxxy
y
x
x
ppp
r
xrpppxrppxxprp
p
p
xxp


 
Logo: 
  yxyy
x
yxxy
x
yxx ppp
r
y
p
p
ppp
r
y
p
p
ppp
r
y






 
 
b) Calcule a utilidade indireta; 
RESPOSTA: A função utilidade indireta é obtida da seguinte maneira: 
      rppyrppxurppV yxyxyx ,,,,,,, 
 
   
r
pppp
rppV
ppp
r
ppp
r
rppV
yxyx
yx
yxyyxx
yx
2
,,
11
,,






 
c) Encontre a função demanda hicksiana para os bens 1 e 2. 
RESPOSTA: A função de demanda hicksiana é obtida da seguinte maneira: 
yx
yx
ypxp 
,
min
 
sujeito a: 
9 
 
  0
11
, u
yx
yxu 
 
 
A função Lagrangeana é dada por: 
  





 0
11
,, u
yx
ypxpyxL yx 
 
As condições de primeira ordem (necessárias) são: 
2
2
1
xx
x
x hp
h
p  
 
2
2
1
yy
y
y hp
h
p  
 
0
11
u
hh yx

 
Das duas primeiras condições de primeira ordem, segue-se que: 
x
y
x
yyyxxyyxx h
p
p
hhphphphp  2222
 
Substituindo na restrição do problema: 
x
yx
x
x
x
y
x
y
xx
y
xx
x
y
xx
p
pp
u
h
hu
p
p
u
p
p
h
u
p
p
hh
u
h
p
ph












0
0000
1
11
11111
 
Logo: 
y
yx
y
x
yx
y
x
y
p
pp
u
h
p
pp
up
p
h









 

00
11 
d) Calcule a equação de Slutsky. 
RESPOSTA: Vamos calcular a equação para x. A resposta para y é análoga. 
A equação de Slutsky é calculada por: 
10 
 
 
r
x
x
p
h
p
x
x
x
x 







 
Calculando, utilizando as equações dos itans anteriores, temos: 
2)()2(2
.
yxxyxyxx
yx
x ppp
r
ppppp
rpp
p
x





 
QUESTÃO 5 
Considere uma loteria com 3 possíveis resultados: o recebimento de $100 com 
probabilidade 0,10; o recebimento de $25 com probabilidade 0,60; e o recebimento de 
$0 com probabilidade 0,30. 
a) Se a função-utilidade de um indivíduo for dada por 
xxU )(
, onde x 
corresponde ao valor recebido, qual é a utilidade esperada desta loteria? 
RESPOSTA: 
4
031
030,0560,01010,0
030,02560,010010,0




UE
UE
UE
UE
 
b) Mostre que um indivíduo com preferências dadas pela função-utilidade 
xxU )(
, onde x corresponde ao valor recebido, é indiferente entre receber um bilhete 
desta loteria ou receber $16 com certeza. 
RESPOSTA: Como foi calculado no item anterior, a utilidade esperada do 
indivíduo é 
4UE
. Sendo assim, para encontrar o valor recebido 
x~
 que faz com 
que o indivíduo seja indiferente entre o bilhete da loteria descrita e 
x~
, basta 
realizar a seguinte operação: 
16~
4~
4~
2



x
x
x
 
c) Discuta a relação entre a concavidade de uma função utilidade e a aversão a risco 
do indivíduo. 
11 
 
RESPOSTA: Quanto mais côncava for a função de utilidade do indivíduo, maior será a aversão 
ao risco do indivíduo, pois este indivíduo será mais tendencioso a preferir rendimentos fixos 
do que rendimentos esperados de loterias. 
QUESTÃO 6 
Um fazendeiro tem a opção de cultivar trigo e batatas. Se fizer sol e o fazendeiro 
destinar sua propriedade exclusivamente ao plantio de trigo, ele terá um lucro de 200. 
Se fizer chuva, seu lucro (plantando somente trigo) será de 120. Se ele destinar sua 
fazenda apenas à produção de batatas, obterá um lucro de 100, em caso de sol. Se fizer 
chuva, o lucro da plantação exclusiva de batatas será de 200. A utilidade da renda do 
fazendeiro é dada por 
)ln()( YYU 
, em que Y é o lucro. As probabilidades de sol e 
chuva são iguais. 
 Para responder as questões que se seguem, é útil montar a seguinte tabela, que 
resume o ambiente em que o fazendeiro encontra-se. 
 Sol Chuva Fração das terras 
Trigo 200 120 α 
Batata 100 200 1-α 
Probabilidade ½ ½ 1 
 
a. Escreva a função de utilidade esperada do fazendeiro. 
RESPOSTA: 
         
       20080ln
2
1
100100ln
2
1
1200120ln
2
1
1100200ln
2
1




UE
UE
 
b. Qual a fração ótima das terras destinadas ao plantio de trigo? 
RESPOSTA: 
O fazendeiro deseja maximizar a sua utilidade. Sendo assim, o problema do 
fazendeiro é: 
     20080ln
2
1
100100ln
2
1
max   UE
 
A condição de primeira ordem deste problema é dada por: 
12 
 
   
   
4
3
ˆ
1600
1200
ˆ
ˆ16001200
800ˆ800ˆ8002000
100ˆ1008ˆ8020010
ˆ80200
8
100ˆ100
10
ˆ80200
80
2
1
100ˆ100
100
2
1
080
ˆ80200
1
2
1
100
100ˆ100
1
2
1
ˆ

























d
dUE
 
c. Qual o lucro esperado pelo fazendeiro? 
RESPOSTA: 
        
      20080
2
1
100100
2
1
1200120
2
1
1100200
2
1




E
E
 
d. Suponha que as terras do fazendeiro foram ocupadas pelo MST. O governo 
planeja arrendar as terras e destiná-las aos sem-terra. Qual o aluguel mínimo que o 
governo deve oferecer ao fazendeiro para que o mesmo fique indiferente entre 
alugar sua propriedade e continuar produzindo? 
 
O aluguel mínimo, 
rˆ
, que torna o fazendeiro indiferente entre alugar sua propriedade e 
continuar produzindo, deve ser tal que gere um nível de utilidade igual à utilidade 
esperada decorrente da produção, quando a fração das terras destinadas ao cultivo de 
trigo é ótima. Ou seja: 
13 
 
    
   
   
0225,156ˆ
05,5)ˆln(
140ln
2
1
175ln
2
1
)ˆln(
140ln
2
1
175ln
2
1
)ˆln(
20060ln
2
1
10075ln
2
1
)ˆln(
200
4
3
80ln
2
1
100
4
3
100ln
2
1
)ˆln(






























r
r
r
r
r
r
 
QUESTÃO 7 
Sobre a Teoria da Produção, classifique as afirmativas abaixo em Verdadeiras (V) ou 
Falsas (F). Justifique todas as suas respostas. 
(0) A função de produção que exibe retornos constantes de escala é uma função 
homogênea do grau 0. 
 
Resposta: Falsa. 
Se uma função de produção apresenta retornos constantes de escala, então ela é 
homogênea de grau 1. 
 
(1) Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas, sendo os coeficientes 
técnicos 
a
 e 
b
, tal que 
1ba
. A elasticidade de substituição desta função de 
produção também é superior à unidade. 
 
Resposta: Falsa. 
Seja a função de produção dada por: 
  ba zzzzfq 2121, 
. 
A elasticidade de substituição é definida da seguinte maneira: 
14 
 
 
  
 
1
2
21
21
1
2
212,1
,
,
,
z
z
zzTMgS
zzTMgS
z
z
zz








 . 
A taxa marginal de substituição é a seguinte: 
 
1
2
1
21
2
1
1
21,
bz
az
zbz
zaz
zzTMgS
ba
ba


. 
Agora, aplicando a definição de elasticidade de substituição: 
  1,
1
2
1
2
1
2
1
2
212,1 
















b
a
a
b
z
z
bz
az
bz
az
z
z
zz . 
 
(2) Suponha uma função de produção do tipo CES, definida da seguinte forma: 
   

 lklkfq  ,[
. A elasticidade de substituição referente a essa função é 
definida por: 




1
1
. 
 
Resposta: Falsa. 
A taxa marginal de substituição é a seguinte: 
 
 
 
1
11
11
,


























k
l
klk
llk
lkTMgS . 
Agora, aplicando a definição de elasticidade de substituição apresentada no item 
anterior: 
 




 














































 1
1
1
1
,
1
1, k
l
k
l
l
k
k
l
k
l
l
k
lkkl . 
15 
 
 
(3) Suponha que 
 
 é a função lucro do e que 
 y
 é a oferta associada. Nesse 
contexto, segundo o Lema de Hotelling: se 
 y
 consiste de um único ponto, e 
 
 é diferenciável em 
p
, então 
   pypDp 
. 
 
Resposta: Verdadeira. 
Este é precisamente o enunciado do Lema de Hotelling. Este é um resultado imediato do 
teorema da dualidade, porém ele também pode ser obtido usando o teorema do envelope 
da seguinte maneira. Seja 
 klfy ,
 a função de produção, onde 
l
 e 
k
 denotam 
trabalho e capital, respectivamente. Represente por 
w
 o salário, por 
r
 o aluguel do 
capital e por 
p
 o preço do produto. Então, o problema de maximização de lucro da 
firma é: 
 
 
  rkwlklpfkl
kl


,maxarg,
,
**
0
. 
Suponha solução interior, ou seja: 
  0,,* rwpl
 e 
  0,,* rwpk
. Então, a função 
oferta é: 
      rwpkrwplfrwpy ,,,,,,, **
 
e a função lucro (função valor) é: 
          rwprkrwpwlrwpkrwplpfrwp ,,,,,,,,,,, ****  
       rwprkrwpwlrwppyrwp ,,,,,,,, **  
Então, pelo teorema do envelope: 
 
 rwpy
p
rwp
,,
,,



. 
 
(4) A função lucro atende às propriedades de ser homogênea do grau 1 em preços e 
convexa nos preços. 
 
Resposta: Verdadeira. 
16 
 
 Homogeneidade de grau 1: 
Para provar que a função lucro é homogênea de grau 1, note primeiramente que a 
solução do problema de maximização de lucro é dada por: 
  0, ** 


wkl
l
f
p
, com igualdade se 
0* l
 
  0, ** 


rkl
k
f
p
, com igualdade se 
0* k
 
Agora, tome 
0
. Então: 
    0,0, **** 





wkl
l
f
pwkl
l
f
p 
 
    0,0, **** 





rkl
k
f
prkl
k
f
p 
 
Ou seja, a demanda por fatores de produção é homogênea de grau zero. Logo: 
             rwpyrwpkrwplfrwpkrwplfrwpy ,,,,,,,,,,,,,, ****   , 
o que significa que a função oferta também é homogênea de grau zero. Sendo assim: 
         rwprwprkrwpwlrwppyrwp  ,,,,,,,,,, **  
Portanto, a função lucro é homogênea de grau 1. 
 Convexidade nos preços: 
Seja 
 1,0
 e tome dois vetores de preços 
 rwp ,,
 e 
 rwp  ,,
. Então, defina 
      rwprwprwp  ,,1,,,,  . O lucro quando os preços são  rwp ,, é dado 
por: 
       rwprkrwpwlrwppyrwp ,,,,,,,,  . 
O lucro quando os preços são 
 rwp  ,,
 é dado por: 
       rwpkrrwplwrwpyprwp  ,,,,,,,, . 
O lucro quando os preços são 
 rwp  ,,
 é dado por: 
       rwpkrrwplwrwpyprwp  ,,,,,,,, . 
Evidentemente, as seguintes desigualdades são válidas: 
17 
 
           rwprkrwpwlrwppyrwprkrwpwlrwppy ,,,,,,,,,,,, 
 
           rwpkrrwplwrwpyprwpkrrwplwrwpyp  ,,,,,,,,,,,,
 
Multiplicando a primeira desigualdade por 

 e a segunda desigualdade por 
1
, 
obtêm-se: 
             rwprkrwpwlrwpyrwprkrwpwlrwppy ,,,,,,,,,,,,   
 
Somando as duas desigualdades acima, simplificando e aplicando a as definições de 
 rwp ,,
 e 
 rwp  ,,
: 
              
     rwprwp
rwpkrrrwplwwrwpypp


,,1,,
,,1,,1,,1  
 
Aplicando a definição de 
 rwp  ,,
, chega-se que: 
           rwprwprwpkrrwplwrwpyp  ,,1,,,,,,,,  
Logo, aplicando a definição de 
 rwp  ,,
: 
       rwprwprwp  ,,1,,,,  
Conclui-se, desta forma, que a função lucro é convexa. 
QUESTÃO 08 
Uma empresa produzindo bolas de futebol possui função de produção 
KLQ 2
. 
Suponha que no curto prazo a quantidade de capital é fixa em 
100K
, e seja 
L
 a 
quantidade de trabalho, w é a remuneração do trabalho, r é a remuneração do capital. 
a) Calcule a função custo marginal de curto prazo. 
RESPOSTA: No curto prazo, a quantidade de capital é dada por 
100K
. Sendo assim, 
o seu custo é dado por: 
 
400
100
2Q
wrQCCP 
 
Sendo assim, a função custo marginal de longo prazo é a seguinte: 
                 rwpkrrwplwrwpyprwpkrrwplwrwpyp  ,,,,,,1,,,,,,1 
18 
 
 
200
wQ
Q
QCCP
CMgCP 



 
 
b) Calcule a função custo médio de curto prazo. 
RESPOSTA: Por definição, a função custo médio de curto prazo é dada por: 
   
Q
QCCP
QCMeCP 
 
Usando então a função custo total de curto prazo calculada na resposta do item anterior, 
obtém-se que: 
 
400
100 Q
w
Q
r
QCMeCP 
 
 
c) Mostre que, no curto prazo, a curva de custo fixo médio é decrescente; 
RESPOSTA: O custo fixo médio é definido como 
 
Q
CF
QCFMe 
. Nesta questão, o 
custo fixo médio é 
 
Q
r
QCFMe
100

. Evidentemente, à medida que a quantidade 
produzida aumenta, esta medida decresce. Para verificar isto formalmente, basta derivar 
o custo fixo médio em relação à quantidade, conforme abaixo: 
 
0
2



Q
CF
Q
QCFMe
 
 
0
100
2



Q
r
Q
QCFMe
 
 
d) Esta função de produção possui produto marginal decrescente para o trabalho? 
Justifique. 
RESPOSTA: O produto marginal do trabalho é dado por: 
  0, 



L
K
L
Q
LKPMgL
 
19 
 
Para ver que o produto marginal do trabalho é decrescente, basta agora derivar a função 
produto marginal do trabalho em relação a este fator de produção: 
 
0
2
1,

 L
K
LL
LKPMgL
 
Como esta última derivada é negativa, conclui-se que o produto marginal do trabalho é 
decrescente. 
 
e) Esta função de produção possui retornos constantes de escala? Justifique. 
RESPOSTA:Se multiplicarmos a quantidade empregada de todos os fatores por 
0
, 
tem-se que: 
QKLKLLK   222 2 
 Portanto, esta função de produção possui retornos constantes de escala. 
QUESTÃO 09 
Seja a função utilidade de um indivíduo dada por 






1
1
)(
1c
cU
. 
a) Calcule os coeficientes de aversão ao risco de Arrow Pratt. 
RESPOSTA: Os coeficientes de aversão ao risco são dados por: 
Coeficiente de aversão absoluto: CAbs = 
)('
)(''
cU
cU
. Calculando, temos: CAbs = 
cc
c
CAbs





 







)1(
)1(
1 
Coeficiente de Aversão relativa: CRel = 
c
cU
cU
)('
)(''
. Assim: 
  c
c
lC Re
. 
b) Mostre que 




1
11c
 ( ). 
20 
 
RESPOSTA: É possível aplicar a regra de L’Hospital, pois este limite tende a 
0
0
 . 
Aplicando esta regra, ou seja, derivando o numerador e o numerador em relação a 

e 
aplicando novamente o limite, temos: 
 




1
11c
= 
)ln(
1
).ln(
lim
)ln()1(
1
c
ec c







 
E o resultado está demonstrado. 
QUESTÃO 10 
 
Suponha um indivíduo que vive por dois períodos. Como todo agente racional, este 
indivíduo maximiza sua utilidade intertemporalmente. Suponha que sua função 
utilidade (genérica) seja dada por 
   tt ccu ln
, com 
0tc
 e t = 1, 2. A taxa de 
desconto intertemporal do agente é igual a 

, 
10  
, e a taxa de desconto da 
economia (taxa real de juros) é 
r
, 
0r
. Finalmente, assuma que a restrição 
orçamentária intertemporal deste agente é dada por 
)1()1(
2
1
2
1
r
m
m
r
c
c




, onde 
tc
 é 
o consumo na data t e, 
tm
 é a renda do indivíduo na data t. 
 
a. Encontre a condução ótima de consumo em cada um dos períodos, ou seja, 
encontre a trajetória de consumo que maximiza 
 


2
1t
t
t cuU 
, sujeito à 
restrição orçamentária intertemporal descrita no enunciado. Interprete. 
 
RESPOSTA: O problema do indivíduo é: 
)ln()ln( 21
, 21
ccMAX
CC

 sujeito a 
)1()1(
2
1
2
1
r
m
m
r
c
c




. 
A CPO do Lagrangeano fica: 

1
1
1
:
c
c
 
)1(
:
2
2
rc
c



 
Assim, 
)1(12 rcc  
 (1) 
21 
 
Substituindo (1) na Restrição do Problema: 
)1()1(
)1( 2
1
1
1
r
m
m
r
rc
c





 
Isolando 
1c
: 
)1(
1
)1(
2
11 








r
m
mc
 (2) 
Substituindo (2) em (1), temos: 
)1(
)1(
)1(
2
12 











r
r
m
mc
 
 
Interpretação: O indivíduo consome sua renda total, 








)1(
2
1
r
m
m
, em duas partes, nos 
dois períodos, de modo a que o consumo no primeiro período corresponde ao equivalente de 
consumo do segundo período trazido a valor presente pela taxa de desconto 

. Note que 
aquilo que o indivíduo não consome de sua renda 
1m
no primeiro período é consumido com 
um acréscimo de juros 
)1( r
no segundo período, indicando que o indivíduo poupou e 
recebeu a taxa de juros de mercado em cima daquilo que poupou. A idéia é que o indivíduo, 
por ser avesso ao risco, suaviza seu consumo entre os dois períodos, de modo a poupar parte 
da renda no primeiro período para consumir no segundo. 
 
b. Com base na resposta do item anterior, qual é a taxa de desconto que iguala a 
quantidade consumida nos dois períodos? 
RESPOSTA: Igualando 
12 cc 
: 
)1(
1
)1(
1
)1()1(
)1(
)1(
2
1
2
1
rr
m
m
r
r
m
m




















 
 
Ou seja, chega-se ao resultado que a taxa de desconto do indivíduo é igual ao inverso da taxa 
de juros de mercado. Tal resultado tem como intuição o fato de que o indivíduo sabe que o 
custo de oportunidade de gastar seu dinheiro no primeiro período é justamente deixar de 
obter a taxa de juros de mercado como rendimento.