Questão resolvida - Seja f(x,y) 2x²-4bxy+y² uma função diferencialvel Qual condição a constante b deve satisfazer para que f tenha um ponto de sela_ - Cálculo II - UFRJ

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Seja uma função diferencialvel. Qual condição a constante f x, y = 2x² - 4bxy + y²( )
b deve satisfazer para que f tenha um ponto de sela?
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, para isso fazemos 
as derivadas parcias fx e fy:
fx = 4x - 4by e fy = -4bx + 2y
 
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema:
 
fx = 0 4x - 4by = 0→
fy = 0 -4bx + 2y = 0→
 
4x - 4by = 0 4x = 4by x = x = by→ →
4by
4
→
 
Substituindo na segunda equação : - 4bby + 2y = 0 -4b y + 2y = 0 y -4b + 2 = 0→ 2 → 2
Só há a possibilidade de haver um único ponto crítico, se - 4b + 2 ≠ 0, resolvendo;2
 
-4b + 2 ≠ 0 -4b ≠ - 2 b ≠ b ≠ b ≠ ± b ≠ ±2 → 2 → 2
2
4
→
2 1
2
→
1
2
→
1
2
b ≠ ± ⋅ b ≠ ±
1
2
2
2
→
2
2
Se b ≠ ± , então, y = 0 e x = b ⋅ 0 x = 0, assim, o único ponto crítico possível é 0, 0
2
2
→ ( )
Para verificar se 0, 0 é um ponto de sela devemos resolver a matriz hessiana :( )
 
H x, y =( ) fxx fyx
fxy fyy
 
É necessário encontrar fxx, fyx, fxy e fyy;
 
fxx = 4; fxy = -4b; fyy = 2 e fyx = -4b
 
Substituindo na matriz hessiana e resolvendo o determinante, temos :
 
 
 
H x, y = H x, y = 4 ⋅ 2 - -4b -4b = 8 - 16b( ) 4 -4b
-4b 2
→ ( ) ( )( ) 2
Para ser ponto de sela, H x, y < 0, ou seja, 8 - 16b < 0( ) 2
 
Para obter a solução da inequação, primeiro, resolvemos a equação : 
 
8 - 16b = 0 8 1 - 2b = 0 1 - 2b = 1 - 2b = 0 -2b = - 12 → 2 → 2
0
8
→
2
→
2
b = b = b = ± b = ±2
-1
-2
→
2 1
2
→
1
2
→
1
2
b = ± ⋅ b = ±
1
2
2
2
→
2
2
 
Finalmente, concluímos que para haver um ponto de sela em b deve está contido no f x, y( )
seguinte conjunto:
b ∈ R / b < - ou b >
2
2
2
2
 
 
 
-
2
2
+
2
2
Estudo do sinal da função: 8 - 16b2
++++++++++++++ - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -
(Resposta)