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1 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DAS FACULDADES 
METROPOLITANAS UNIDAS 
Departamento de Engenharia 
Curso: Engenharia Ambiental 
Sala:104 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercício 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2013 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes do Grupo 
 
Nome: R.A.: 
Nome: R.A.: 
Nome: R.A.: 
Nome: R.A.: 
 
 
 
Material de apoio elaborado pela Profa Claudia para o Complexo Educacional FMU – Engenharia 
 
Forme grupos com 4 componentes. Resolva as questões passo a passo a lápis 
com resposta final à tinta azul ou preta em folha de sulfite ou almaço obedecendo 
a ordem numérica. Escreva os nomes dos componentes do grupo e os R.As no 
espaço reservado abaixo. 
3 
 
 
 
 
1) Para este exercício, use a definição de limite: 
(*Obs: utilize as regras de fatoração e produtos notáveis) 
a) Calcule a derivada da função f(x) no ponto xo: f(x) = 3x² , xo = 2 
b) Calcule a derivada da função f(x) no ponto xo: f(x) = x² - 3, xo = 2 
c) Calcule a derivada da função f(x) no ponto xo: f(x) = x² - 3x + 4 , xo = 6 
d) Calcule a derivada da função , xo = 1. 
Respostas: a) 12 b) 4 c) 9 d) 2 
 
2) Quais são as derivadas das funções f(x) = 3 + x; g(x) = x4 + 5x e h (x) = 3x5 – 8x² + 1? 
R: a) 1 b) 4x
3 
+ 5 c) 15x
4
 – 16x 
 
3) Calcule a derivada: 
a) f(x) = 1000 
b) f(x) = 200x 
c) f(x) = x5 
d) f(x) = x + sen(x) 
e) f(x) = x3 + x2 
f) f(x) = sen(x) + cos(x) 
g) f(x) = 1 / x 
h) f(x) = x.sen(x) 
i) f(x) = x + tg(x) 
 
 
4) Dada a função do 1º grau f ( x ) = 2 x – 3, calcule: 
 
a) f ′(2) = c) f ′( -1) = 
 
b) f ′(5) = d) f ′(- 3) = 
 
RESPOSTAS: 
a) f ´(x) = 0 
b) f ´(x) = 200 
c) f ´(x) = 5x4 
d) f ´(x) = 1 + cos(x) 
e) f ´(x) = 3x2 + 2x 
f) f ´(x) = cos(x) - sen(x) 
g) f ´(x) = - 1 / x2 
h) f ´(x) = sen(x) + x.cos(x) 
i) f ´(x) = 1 + sec2 (x) 
4 
 
 
 
 
5) Calcule o valor numérico das derivadas: (*utilize as regras das derivadas 
fundamentais – regra do tombo e outras, derivada do quociente, do produto, da potência, 
da cadeia, ou seja, aplique a regra adequada a cada caso) 
 
a) f(x) = 2 x 3 + 3 x 2 – 4 x + 1 f ′ ( 1 ) = 
 
b) f(x) = 5 x 4 – 2 f ′ ( - 1 ) = 
 
c) f ( x ) = x 2 – 2 x f ′ ( 2 ) = 
 
d) f ( x ) = 32
3
2
+− x
x
 f ′ ( 1 ) = 
 
e) f(x) = 8 x ( 3 x + 2 ) f ′ ( 0 ) = 
 
f) f ( x ) = ( 2 x + 4 ) ( 3 x – 4 ) f ′ ( - 1 ) = 
 
g) f(x) = 3 x 2 – 1 f ′ ( - 1 ) = 
 
h) f (x) = x 3 + x 2 – x + 5 f ′ ( - 2 ) = 
 
i) f ( x ) = ( 3 x + 5 ) 3 f ′ ( - 1 ) = 
 
j) f (x) = ( 2 x 2 – x + 1 ) 2 f ′ ( 3 ) = 
 
l) f ( x ) = 
3
18
3
5
9
127
3
3
7 3
679
−+−+−
x
x
xxx
 f ′ ( - 1 ) = 
 
m) f(x) = ( 5 x 4 – 8 ) 4 f ′ ( 1 ) = 
n) f (x) = 
5
4
6
2
7






− x
x
 f ′ ( 0 ) = 
o) f ( x ) = 3 x 4 . ( 7 x 2 – 5 ) f ′ ( 1 ) = 
 
p) f ( x ) = ( 7 – 10 x 2 ) ( - 8 x + 4 x 3 ) 3 f ′ ( 0 ) = 
 
q) f ( x ) = - 8 x 4 . ( 4 x + 1 ) 5 f ′ ( -1 ) = 
 
6) Calcule a derivada nos pontos: (*use a regra do “tombo” e outras que são adequadas 
a cada caso e em seguida substitua o ponto dado) 
 
a) f ( x ) = x 2 + 1 no ponto x = 5 
 
b) f ( x ) = 3 x 2 no ponto x = 2 
 
c) f ( x ) = 2 x 3 no ponto x = 1 
5 
 
 
d) f ( x ) = 2 x 3 – 2 no ponto x = 3 
 
e) f ( x ) = x 3 + 4 x no ponto x = 2 
 
f) f ( x ) = 
7
8
3
4
5






− x
x
 no ponto x = 1 
g) f ( x ) = 
5
12
2
3
6
97
2
3
4 3
679
−+−+−
x
x
xxx
 no ponto x = - 1 
 
h) f ( x ) = ( 4 x 3 – 3 ) ( - 6 x 2 + 4 x ) 6 no ponto x = 1 
 
 
7) Considere f ( x ) = 2 x 3 + 15 x 2 + 12 x, determine f ′ ( 1 ). 
 
 
8) Sendo f ( x ) = 2 x 3 – 15 x 2 + 36 x – 7 e g ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 11 x – 6 , determine : 
 f ′ ( 0 ) - 2 g ′ ( 1 ) 
 
 
9) Dada a função f ( x ) = 3 x 2 – 1, calcule f ′ ( - 4 ). 
 
 
10) Calcule a derivada de f ( x ) = ( x 2 – 3 x ) 3 e encontre f ′ ( 2 ). 
 
 
11) Calcule a derivada de f ( x ) = ( x 3 – 2 x ) 2 e encontre f ′ ( - 2 ). 
 
RESPOSTAS: 
 
4) a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 
 
5) a) 8 b) – 20 c) 2 d) - 
3
4
 
 e) 16 f) -8 g) – 6 h) 7 
 
 i) 36 j) 352 l) - 
6
47 m) - 2160 
 
 n) 0 o) 66 p) 0 q) - 20736 
 
6) a) 10 b) 12 c) 6 d) 54 
 
 e) 16 f) 
4096
5764801
 g) - 
6
43 h) 2304 
 
7) 48 8) 32 9) – 24 10) 12 
 
 11) - 80 
6 
 
 
 
 
13) Calcule a derivada da função exponencial: f(x) = e 3x 
Use: 
 
Resposta: R: f ´(x) = 3. e 3x 
 
14) Calcule a derivada da função potência de base constante igual a 5: f(x) = 5 1/x 
Use: e a Regra do quociente 
 
Resposta: R: f ´(x) = 
2
.1
x
−
 
 
15) Calcule a derivada do logaritmo f(x) = log 6 (3x³ +7) 
Use: derivada 
u
u
a
u
a
′






= .
ln
1
log
 
Resp: 6ln).73(
9
)(
2
2
+
=′
x
x
xf
 
 
16) Obter a função derivada da função ( )45ln += xy . 
Use: 
Resp: )45(
5
+
=′
x
y
 
 
 
 . ln 5 
7 
 
17) Calcular a função derivada da função ( )45log8 += xy . 
Use: derivada u
u
a
u
a
′






= .
ln
1
log
 
Resp: 8ln).45(
5
+
=′′
x
y
 
18) Determine a função derivada da função 
xx
y
225 +=
 
Use: 
Resp: y´= 5 x² +2x . ln 5. (2x+2)
 
19) Obter a função derivada da função 
xx
ey
22 +=
 
Use: 
Resp: y´= 5 x² +2x . (2x+2) 
 
20) Calcule a derivada: 
Use a Regra do Produto: f ´(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x) 
a) f(x) = sen x. cos x 
b) f(x) = x². cos x 
c) f(x) = x³. (2x² - 3x) 
d) f(x) = (x³ - 7) . (2x² + 3) 
e) f(t) = (t² - 1) . (t² + 1) 
f) f(t) = (t² + 1) . (t³ - 2) 
g) f(t) = (t5 – 2t³) . (t² + t - 2) 
 
Respostas: 
a) cos² x – sen² x f) 5t4 + 3t² - 4t 
b) x (2 cos x – x sen x) g) 7t6 + 6t5 - 20t4 – 8t³ + 12t² 
c) 10 x 4 – 12x³ d) 10x 4 + 9x² - 28x e) 4t³ 
8 
 
 
21) Quais são as derivadas das funções 
Resposta: 
 
 
22) Calcule a derivada do quociente de f(x) = x² + 2x + 1 por g (x) = 2x -1 
Use: 
2)]([
)´().()().´()´(
xv
xvxuxvxuxf −=
 
Resp: 
 
23) Calcule a derivada de uma potência (Use y´= m. u m-1 . u´) 
a) y = (7x³ - x²)² 
b) y = (5 + 3x³)² 
c) y = (2x³ + 5)³ 
d) y = (3x4 + 4x – 2)² 
e) y = (2 – 5x²)9 
 
24) Calcule a derivada das funções para x = 2 nos seguintes casos: 
Use: 
2)]([
)´().()().´()´(
xv
xvxuxvxuxf −=
 
a) 32
)(
+
=
x
x
xf
 b) 
2
2
4
1
)(
xx
xx
xf
−+
+−
=
 
 
Resp: 3/49 b) 15/4 
9 
 
 
25) Considere a função definida em R por 
Use: 
2)]([
)´().()().´()´(
xv
xvxuxvxuxf −=
 
a) Calcule a derivada 
b) Calcule f´(1) e f`(-1) 
 
26) Calcule a derivada do quociente : 
Resp: 
 
27) Demonstre a derivada da tangente (tg x), ou seja, porque a derivada da tangente x é sec² x 
 
28) Calcule a derivada de cada função abaixo (Regra do produto e do Quociente): 
Use a Regra do Produto: f ´(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x) 
Use a regra do Quociente:
2)]([
)´().()().´()´(
xv
xvxuxvxuxf −=
 
 
 
 
29) Calcule a derivada de cada função abaixo (Regra do Produto e do Quociente): 
Use a Regra do Produto: f ´(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x) 
10 
 
Use a regra do Quociente:
2)]([
)´().()().´()´(
xv
xvxuxvxuxf −=
 
 
 
 
30) Calcule a derivada pela Regra da Cadeia: 
a) f(x)=cos 6x 
b) f(x)= sen (3x +1) 
c) f(x) = sen 3x – cos 2x 
d) f(x)= (x³ + 2x)² 
e) f(x)= e 2x-3 
 
31) Calcule a derivada pela Regra da Cadeia: 
a) y = (x³ - 4x² + x – 2)4 
b) 
21 xy += 
c) y = e 3 + ln x 
d) y = 3 ln x 
e) y = e 3 x³ + 5 
f) y = ln (3x² + 9x +1) 
g) xxy −=
5
 
 
h) 
5 21 xy −= 
Respostas: 
a) – 6 sen 6x 
b) 3 cos ( 3x +1) 
c) 3 cos 3x + 2 sen 2x 
11 
 
i) 
3
2 32
17)( 





+
+
=
t
t
tf
 
j) ( )42log)( 2 += xxf 
l) y = (5x4 - 3x² + 2 x +1)10 
m) y = (3x - 2)10. (5x² - x +1)12 
 
Respostas: 
a) )183.()24.(4
2323 +−−+−=′ xxxxxy 
b) 
21 x
x
y
+
=′
 
c) x
e
y
xln3+
=′
 
d) 
3ln
1
.3ln
x
y
x=′
 
 
32) * Para os problemas abaixo, utilize a noção de derivada. 
32.1) Uma partícula move-se sobre uma reta de acordó com a lei e = 5t² + 20t sendo e a 
distância percorrida em metros ao fim de t segundos. 
a) calcule a velocidade média no intervalo [1,4] 
b) calcule a velocidade no instante 3s (derive a função) 
Resp: a) 45 m/s b) 50 m/s 
 
32.2) Uma partícula se desloca, em trajetória retilínea, obedecendo à função horária das 
posições dada por: S = 1t³ - 3t2 + 4t (no SI). Calcule a velocidade escalar e a aceleração 
escalar no instante 1s. Resp: 1m/s; zero 
32.3) A velocidade de um corpo que se move ao longo de uma trajetória retilínea é v (t) 
= 2 – 3t + 5t², em que t está em segundos e v está em metros por segundo. Qual é a 
velocidade escalar e a aceleração do corpo quando t = 7s? Resp: 226m/s; 67m/s² 
32.4) Dada a função custo total C(x) = 2x3 – x2 –3x +1, determinar: 
a) a função do custo marginal. 
12 
 
b) o custo da vigésima unidade do produto 
Resp: a) C’(x) = 6x2 –2x –3; b) C’(20) = R$ 2357,00 
 
32.5) Dada a função receita total R(x) = – 2x2 + 4000x , determinar: 
a) a função da receita marginal. 
b) a receita decorrente da venda da centésima unidade do produto 
Resp: a) R’(x) = -4x + 4000; b) R’(100) = R$ 3600,00 
 
32.6) O custo total de se produzir x unidades de u produto é C (x) =3x² + 5x + 10. 
a) qual o custo marginal? 
b) qual o custo marginal de 50 unidades? 
c) qual o custo real de se produzir a 51ª unidade do produto? 
Resp: a) C´(x) = 6x + 5; b) C´ (50) =R$ 305,00 ; c) R$ 308,00