EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE SÉRIE DE TAYLOR E MACLAURIN

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DE SÉRIE DE TAYLOR E MACLAURIN 
 
1. Encontre os seis primeiros termos da aproximação da 𝑓(𝑥) = 𝑥5, pela série de Taylor 
centrada no x=1. E veja a aproximação em x=2; 
𝑎0 = 𝑓(1) = 15 = 1 
𝑎1 =
𝑓´(1)
1!
=
5𝑥4
1
=
5(1)4
1
= 5 
𝑎2 =
𝑓´´(1)
2!
=
20𝑥3
2
= 10𝑥3 = 10(1)3 = 10 
𝑎3 =
𝑓´´´(1)
3!
=
60𝑥2
6
= 10𝑥2 = 10. (1)2 = 10 
𝑎4 =
𝑓(4)(1)
4!
=
120𝑥
24
= 5𝑥 = 5. (1) = 5 
𝑎5 =
𝑓5(1)
5!
=
120
120
= 1 
∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 1)𝑛 = 1 + 5(𝑥 − 1)1 + 10(𝑥 − 1)2 + 10(𝑥 − 1)3 + 5(𝑥 − 1)4 + 1(𝑥 − 1)5
∞
𝑛→0
= 𝑥5 = 𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥5 = 𝑓(2) = 25 = 32 
1 + 5(2 − 1)1 + 10(2 − 1)2 + 10(2 − 1)3 + 5(2 − 1)4 + 1(2 − 1)5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 
2. Encontre os quatros primeiros termos da aproximação da 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, pela série 
de maclaurin, e veja a aproximação em x=π/3 ; 
𝑎0 = 𝑓(0) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 
𝑎1 =
𝑓´(0)
1!
=
cos 𝑥
1
=
cos 0
1
=
1
1
= 1 
𝑎2 =
𝑓´´(0)
2!
= −
𝑠𝑒𝑛𝑥
2
= −
𝑠𝑒𝑛0
2
=
0
2
= 0 
𝑎3 =
𝑓´´´(0)
3!
= −
𝑐𝑜𝑠𝑥
6
= −
1
6
 
∑ 𝑎𝑛. 𝑥𝑛
∞
𝑛→0
= 0 + 1𝑥1 + 0𝑥2 −
1
6
𝑥3 = 𝑥 −
1
6
𝑥3 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑓 (
π
3
) = 𝑠𝑒𝑛 (
π
3
) =
√3
2
= 0,866 
∑ 𝑎𝑛. 𝑥𝑛
∞
𝑛→0
= 𝑥 −
1
6
𝑥3 = (
π
3
) −
1
6
. (
π
3
)
3
= 0,8558 
3. Quantos termos da série de Maclaurin são necessários para aproximar a imagem da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 no ponto 𝑥 = 2, com erro na casa de 10−1? Aproxime-o. 
 
4. Encontre os oito primeiros termos da aproximação da 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, pela série de 
maclaurin, e veja a aproximação em x=π/4 ;