AOL 03 Cálculo Diferencial Respondida

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Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
O estudo dos limites e de suas propriedades tem fundamental importância 
para o Cálculo, pois com esse conceito definimos a noção da derivada de 
uma função em um ponto por meio da aproximação de um intervalo 
infinitesimal em torno desse ponto, analisando sua taxa de variação. 
De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre o 
significado da derivada como limite, seu uso em problemas da reta tangente 
e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A velocidade instantânea de um corpo em movimento uniformemente 
variado em determinado ponto de sua trajetória é sempre igual à sua 
velocidade média. 
II. A reta tangente à curva da função f(x) no ponto P(a,f(a)) tem seu 
coeficiente angular dado pelo limite de [f(x+h)−f(a)]/(x−a) quando x≥a. 
 
III. O limite citado no item II pode ser entendido como uma taxa de variação, 
e no caso de um gráfico de velocidade por tempo, em seus pontos de 
máximo ou mínimo temos que a taxa de variação (aceleração) vale zero. 
 
IV. Em regiões crescentes de um gráfico, a derivada da função é maior que 
zero, e em regiões decrescentes, a derivada da função é negativa. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
 II e IV. 
2. 
 I, e IV. 
3. 
 II e III. 
4. 
 II, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
 I, II e III. 
2. Pergunta 2 
/1 
Comumente são usadas funções polinomiais para descrever o custo que 
uma indústria tem para produzir determinado bem de consumo, e o valor 
derivado dessa função C(x), em x = a, é chamado de custo marginal para 
produzir um número ‘a’ de produtos, que representa a taxa em que o custo 
varia de acordo com o número de itens produzidos. 
 
Considerando a função custo C(x)=0,001x³+8x, em reais, o que foi exposto 
acima e seus conhecimentos sobre a derivadas e taxas de variação, analise 
as afirmativas a seguir, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
 
I. ( ) O custo marginal tem, para a função custo, o mesmo significado que a 
aceleração de um corpo tem para a função velocidade do mesmo. 
 
II. ( ) O custo marginal para x = 2000 é igual a R$ 1208/item. 
 
III. ( ) O custo marginal para x = 2000 pode ser obtido pela aproximação 
C(2001) – C(2000). 
 
IV. ( ) A derivada de C(x) não pode assumir valores negativos. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
 V, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
 V, V, V, F. 
3. 
 V, F, F, V. 
4. 
 F, V, V, F. 
5. 
 F, V, F, V. 
3. Pergunta 3 
/1 
O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve 
como ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, 
analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de 
custos de produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta 
tangente nesses pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de 
objetos em queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em 
sua derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 II, III e IV. 
2. 
 I, III e IV. 
3. 
 II e III. 
4. 
 I e IV. 
5. 
 I, II e III. 
Resposta correta 
4. Pergunta 4 
/1 
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de 
raio unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por 
exemplo, é a razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos 
dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas 
derivadas é fundamental para o desenvolvimento dos estudos de Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada 
de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
 
II. ( ) A função f(x)=sen é uma função trigonométrica composta, que pode 
ser derivada pela regra da cadeia. 
 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosx e g(x)=senx são iguais a, 
respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 V, V, F, V. 
2. 
 V, F, V, V. 
3. 
 F, F, V, F. 
4. 
 V, V, F, F. 
Resposta correta 
5. 
 F, F, V, F. 
5. Pergunta 5 
/1 
Em ciências exatas e áreas correlatas utilizamos constantemente as funções 
para modelar situações nas quais é possível prever o comportamento de 
uma variável em função de outras. Sendo assim, é comum uma função ser 
expressa como a multiplicação de duas ou mais funções, de forma que é 
interessante, então, dominar a técnica da regra da derivada do produto de 
duas funções. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da 
derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário 
utilizar a regra da derivada do produto de duas funções. 
 
II. ( ) Sendo f(x)= e g(x)=x, a derivada de h(x)=f(x)g(x) é h’(x)=(
)(1+x). 
 
III. ( ) Sendo i(x)=sen(x) e j(x)=cos(x), a derivada de k(x)=i(x)j(x) no ponto 
(0,0) é k’(0)=0. 
 
IV. ( ) f(x)g(x) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 V, F, F, V. 
2. 
F, V, F, V. 
Resposta correta 
3. 
 F, V, V, F. 
4. 
 V, F, V, F. 
5. 
 F, F, F, V. 
6. Pergunta 6 
/1 
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e 
podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e 
aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco 
cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma 
derivada particular, que seguem as suas propriedades específicas. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das 
trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)= , tem se que 
II. ≠arcsenx. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
 
IV. Dada f(x)= tem-se que 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 II, III e IV. 
2. 
 I e IV. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
 II e III. 
4. 
 I e III. 
5. 
 I e II. 
7. Pergunta 7 
/1 
A diferenciabilidade de uma função depende de alguns fatores. Dizer isso 
significa que não podemos tomar toda e qualquer função como 
diferenciável em um ponto, pois, para isso, é necessário analisar seu 
comportamento geral na região de interesse. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções 
diferenciáveis, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. No ponto onde x=0, a derivada da função f(x)=1/x² não pode ser 
calculada. 
 
Porque: 
 
II. A função f(x) não é definida onde x=0, pois a reta tangente a f(x) nesse 
ponto é vertical. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
2. 
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
4. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
5. 
 A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
Resposta correta 
8. Pergunta 8 
/1 
O estudodas funções polinomiais é muito importante devido a uma série de 
aplicações que possui na vida real, como em funções que modelam custos 
de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus 
conhecimentos sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
 
II. Dada uma função , sua derivada é . 
 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da 
função vezes a derivada da constante. 
 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I e IV. 
Resposta correta 
3. 
 II e IV. 
4. 
 I, II e III. 
5. Incorreta: 
 I, e IV. 
9. Pergunta 9 
/1 
O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, 
sendo inclusive feitas substituições de variáveis por variáveis 
trigonométricas em cálculos de integrais muito complexas. Dessa forma, 
conhecer as regras de derivação para funções trigonométricas é essencial 
no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada 
de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com suas 
respectivas derivadas. 
 
s(1)(1).png 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 1, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
2. 
1, 3, 2, 4. 
3. 
 3, 1, 2, 4. 
4. 
 3, 1, 4, 2. 
5. 
 1, 2, 4, 3. 
10. Pergunta 10 
/1 
O estudo de formas geométricas e seus gráficos, como parábolas, hipérboles 
e elipses, é muito importante para a disciplina de Cálculo, já que diversos 
fenômenos naturais são descritos por equações dessas formas. Considere, 
então, a parábola f(x)=x²+8 e a hipérbole g(x)=3/x. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado 
da taxa de variação de uma função, é correto afirmar que: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a 
de g(x) também. 
2. 
para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a 
de g(x). 
3. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a 
de g(x) sempre será negativa. 
 
Resposta correta 
4. 
nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0. 
5. 
para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a 
de g(x) sempre será negativa.