AOL 04 cálculo diferencial respondido

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Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
Observe a figura a seguir: 
 
modelo-capa-youtube-editavel-psd(2).png 
Uma calha deve ser feita a partir de uma folha metálica retangular de 30 cm 
de largura, dobrando-se as bordas da folha. O número de centímetros 
dobrados de cada lado é x. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas 
de otimização, para que a calha tenha a capacidade máxima, pode-se 
afirmar que é necessário dobrar: 
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1. 
 4 cm de cada lado da folha. 
2. 
10 cm de cada lado da folha. 
3. 
7,5 cm de cada lado da folha. 
Resposta correta 
4. 
 12 cm de cada lado da folha. 
5. 
 5 cm de cada lado da folha. 
2. Pergunta 2 
/1 
Na análise do comportamento geral de uma função, são desenvolvidas 
algumas etapas que permitem a determinação de algumas propriedades 
dessa função. Em conjunto com a representação gráfica, essa análise pode 
auxiliar a resolução de problemas de diversas naturezas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a análise 
geral do comportamento de uma função, analise as etapas a seguir e 
associe-as com suas respectivas características. 
1) Determinar os pontos críticos. 
2) Determinar os pontos de interseção com o eixo x. 
3) Analisar os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. 
4) Esboçar a curva da função. 
( ) Representar graficamente a função a partir das propriedades 
determinadas. 
( ) Determinar as raízes da função. 
( ) Determinar os pontos em que a primeira derivada da função é igual a 
zero. 
( ) Analisar o sinal da primeira derivada da função. 
Agora, assinale a alternativa que a apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 1, 2, 4, 3. 
2. 
 2, 3, 1, 4. 
3. 
4, 2, 1, 3. 
Resposta correta 
4. 
 4, 3, 1, 2. 
5. 
 4, 2, 3, 1. 
3. Pergunta 3 
/1 
Considerando que o teste da primeira derivada determinou os pontos 
críticos de uma função 
 
1(3).png 
, foi realizado o teste da segunda para determinar se os pontos críticos são 
pontos onde existe um mínimo ou um máximo relativo. 
 
Considerando uma possível conclusão para o teste da segunda derivada, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: 
 
I. O ponto crítico x = c é um ponto onde há um mínimo relativo da função. 
 
Porque: 
II. A segunda derivada de f(x) em x = c 
 
3(2).png 
 em 
 
4(1).png 
 é maior que zero. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta correta 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
4. Pergunta 4 
/1 
Segundo o Teorema de Rolle, se um função 
 
1(4).png 
 é contínua em um intervalo a,b, derivável em um intervalo (a,b), e 
 
2(5).png 
 então existe um ponto 
 
5(2).png 
 em que 
 
6(2).png 
 
Considerando as hipóteses do Teorema de Rolle e a função 
 
3(3).png 
 , 
 
4(2).png 
, analise as asserções a seguir sobre essa função e a relação proposta entre 
elas: 
 
I. As hipóteses do Teorema de Rolle não são válidas para essa função. 
Porque: 
II. A derivada da função no intervalo (0,1) não é igual a zero. 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
2. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta correta 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
5. Pergunta 5 
/1 
Uma função polinomial do segundo grau é contínua no seu domínio a,b e 
derivável em (a,b), o que faz com que seja possível usar o Teorema do Valor 
Médio. 
Considerando essas informações e dada a função 
 
0(1).png 
 de domínio 1,5, pode-se afirmar que o valor 
 
2(2).png 
 que atende ao Teorema do Valor Médio é: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2. 
2. 
0. 
3. 
1. 
4. 
3. 
Resposta correta 
5. 
4. 
6. Pergunta 6 
/1 
Observe o gráfico a seguir: 
 
1(1).png 
Considerando todo o domínio de uma função, podemos definir o seu 
máximo absoluto, geometricamente, como o ponto mais alto do gráfico, 
enquanto o máximo relativo é o ponto mais alto do gráfico em um intervalo 
contido no domínio da função. O mínimo relativo e o mínimo absoluto são 
definidos de maneira análoga. 
Considerando essas informações e dada a função 
 
01.png 
sabendo que o domínio da função é 
 
02.png 
 , pode-se afirmar que: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o mínimo absoluto dessa função ocorre em x = -27 
2. 
o máximo absoluto da função ocorre em x = 4. 
3. Incorreta: 
em = 1 existe um ponto mínimo relativo ao considerarmos 
o intervalo 0 < x < 4. 
4. 
no ponto = 0 existe um mínimo relativo, se considerarmos o 
intervalo -1 < x < 1 . 
Resposta correta 
5. 
a função apresenta três valores mínimos relativos no seu 
domínio. 
7. Pergunta 7 
/1 
Para descobrir o lucro obtido pela comercialização de um produto, basta 
encontrar a diferença entre a receita de vendas e o custo de produção desse 
produto. Em uma fábrica de lâmpadas, a receita e o custo em função da 
quantidade de lâmpadas são definidos pelas 
funções e Considerando essas informações e o conteúdo 
estudado sobre problemas de otimização, pode-se afirmar que o número de 
lâmpadas que maximiza o lucro da empresa é: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 150 lâmpadas. 
2. 
50 lâmpadas. 
3. 
 500 lâmpadas. 
4. 
 300 lâmpadas. 
Resposta correta 
5. 
 600 lâmpadas. 
8. Pergunta 8 
/1 
Quando nós tossimos, o raio da nossa traqueia diminui, alterando a 
velocidade do ar que percorre a traqueia. A velocidade do ar pode ser então 
dada em função do raio normal da traqueia e do raio, quando ela está 
contraída , com sendo uma constante positiva. 
Considerando essas informações e as etapas para a resolução de problemas 
de otimização, analise as afirmativas a seguir: 
I. É possível encontrar a velocidade do ar que maximiza o raio da 
traqueia. 
II. O raio da traqueia não pode assumir valores negativos. 
III. Para encontrar um ponto crítico da função , é preciso determinar a 
derivada 
IV. O teste da segunda derivada irá determinar os valores de , que são 
pontos de máximo relativo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I e IV. 
2. 
 I, III e IV. 
3. 
 II e III. 
4. 
 II, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
 III e IV. 
9. Pergunta 9 
/1 
Existem pontos ao longo do domínio de uma função, que pode ser dividido 
em diversos intervalos, nos quais, em cada intervalo, a função pode atingir 
valores máximos ou mínimos. 
Considerando as propriedades dos máximos e mínimos estudadas nesta 
unidade, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) 
e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) Se a função tem um mínimo relativo em um ponto, nesse ponto 
também há um mínimo absoluto da função. 
II. ( ) O ponto onde a derivada da função é igual à 0 é um ponto crítico dessa 
função. 
III. ( ) O gráfico de uma função é um dos principais recursos para a 
verificação de seus máximos e mínimos. 
IV. ( ) Os valores máximo e mínimo absolutos também são chamados de 
extremos da função. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, V, F. 
2. 
F, V, F, V. 
Resposta correta 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
F, F, F, V. 
10. Pergunta 10 
/1 
Os problemas de maximização podem ocorrer em diferentes contextos,desde a aplicação na área da Economia, com a maximização de receita 
financeira, ou até mesmo na área de Engenharia, na determinação de 
dimensões máximas suportadas em um projeto. 
Apresentamos, de maneira geral, um caso em que se pretende inscrever um 
retângulo em um semicírculo de raio conforme figura a seguir: 
 
s(4).png 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas 
de otimização, pode-se afirmar que a área máxima do retângulo inscrito 
nesse semicírculo é: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
Resposta correta 
4. 
 
5.