Lista 4 de Matemática para Administração (MAC 119)

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Lista 4 de Matema´tica para Administrac¸a˜o (MAC 119)
Professor: Daniel Souza
Exerc´ıcio 1. Para cada umas das func¸o˜es abaixo determine o maior con-
junto onde a func¸a˜o esta´ bem definida, estude o crescimento de f , encontre,
se existirem, seus pontos cr´ıticos, os pontos de inflexa˜o e as ass´ıntotas ver-
ticais e horizontais ao gra´fico ao seu gra´fico. Feito isso, esboce seu gra´fico.
(a) f(x) = x+1x−2 (b) f(x) =
1
x−1 (c) f(x) =
x
(x+1)2
(d) f(x) = (x+ 3)3 (e) f(x) = 2x
x2+1
(f) f(x) = x2 + 7x+ 9
Exerc´ıcio 2. Mostre que a equac¸a˜o ex = sen x − 4x possui uma u´nica
soluc¸a˜o no intervalo [−1, 0].
(Sugesta˜o: considere a func¸a˜o f(x) = ex − sen x + 4x, use teorema do
valor intermedia´rio e estude o crescimento de f).
Exerc´ıcio 3. Um recipiente cil´ındrico, aberto em cima, deve ter a capaci-
dade de 375pi cm3. O custo do material usado para a base do recipiente e
de 0, 15 reais por cm2 e o custo do material usado na lateral e de 0, 05 por
cm2. Se na˜o ha´ perda de material, determine as dimenso˜es que minimizam
o custo do material para constru´ı-lo.
Exerc´ıcio 4. Um departamento de estradas de rodagem esta´ planejando
fazer uma a´rea de descanso para motoristas a` beira de uma rodovia movi-
mentada. O terreno deve ser retangular, com uma a´rea de 5.000 m2 e deve
ser cercado nos treˆs lados que na˜o da˜o para a rodovia. Qual o menor com-
primento da cerca necessa´ria para a obra?
Exerc´ıcio 5. Uma rede de a´gua pota´vel ligara´ uma central de abastecimento
situada a` margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional
situado na outra margem do rio, 2.000 m a oeste da central. O custo da obra
atrave´s do rio e´ de 640 reais por metro, enquanto que por terra custa 312
reais por metro. Qual e´ a forma mais econoˆmica de se instalar a rede de
a´gua pota´vel?
Exerc´ıcio 6. O custo total C para fazer x unidades de um certo artigo e´
dado por C(x) = 0, 005x3 + 0, 45x2 + 12, 75x reais. Todas as unidades feitas
sa˜o vendidas a 36, 75 reais por unidade. Determine o nu´mero de unidades
que devem ser feitas de modo a obter o lucro ma´ximo.
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Exerc´ıcio 7. Use as regras de L’Hospital para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→0
e5x − 1
3x
(b) lim
x→+∞
x2 + 4
8x
(c) lim
x→pi
2
1− sen x
1 + cos(2x)
(d) lim
x→+∞
ex + x2
ex − x (e) limx→1
x3 − 1
4x3 − x− 3 (f) limx→0+
(
1
x
− 1√
x
)
(g) lim
x→0
ex − e−x − x2
2x− sen x (h) limx→0
x− sen x
3x2
(i) lim
x→+∞
1− x− e−x
2x3