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Elementos de Cálculo Diferencial e Integral - W. Granville

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w. A. GRANVILLE
EX-PRESIDENTE DO COLEGIO GETTYSBURG (U.S.A.)
P. F. SMITH, W. R. LONGLEY
PROFESSORES DE MATEMATICA DA UNIV. YALE (U.S.A.)
[ l [ M[ NT0S O[ CAl CUl 0
Dlf[R[NCIAl [ INT[CRAl
TRADUZIDO DO INGLES
POR
J. ABDELHA Y
PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL
EDITORA CIENTIFICA
RIO DE JANEIRO
ORIGINAL EM LiNGUA INGLtSA
ELEMENTS OF THE DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS
REVISED EDITION
by Willian Anthony Granville, Ph. D., LL. D.
Formerly President of Gettysburg College
Percey F. Smith, Ph. D.
and William Raymond Longley, Ph. D.
Professors of Mathematics, Yale University
Ginn and Company
Boston, New York, Chicago, London, Atlanta,
Dallas, Columbus, San Francisco
COPYRIGHT BY GINN AND COMPANY OF BOSTON
Direitos exclusivos da tradu<tao em lingua portuguesa,
da Editora Cientifica, Spivak & Kersner Ltda., Rio de Janeiro, Brasil
SIR ISAAC NEWTON
PREFACIO
As altera~oes no texto desta edi~ao consistem em modifica~oes
nos detalhes de algumas das demonstra~5es e discuss5es e no acres-
cimo de um capitulo sobre as Fun~5es Hiperbolicas. Este capitulo
foi escrito, como os demais deste livro, com a preocupa~ao de faze-
10 claro e completo. Mim de ampliar 0 campo de aplica~5es das in-
tegrais duplas, foram introduzidas tambem as coordenadas cUm-
dricas.
Os problemas foram, em geral, completamente revistos e, sob
alguns aspectos, apresentam maior interesse e objetividade. Alguns
deills sao aplica~5es da matematica a Economia. Os finais de muitos
dos capitulos trazem novos problemas destinados a estudantes de
nivel mais avan~ado.
No texto figuram as respostas de muitos dos problemas. As
omitidas 0 foram propositadamente afim de dar ao estudante a
oportunidade de confiar-se em si proprio no controle dos resultados.
Os professores que desejarem as respostas omitidas poderao cornu-
nicar-se com as editores.
Os autores serao amplamente recompensados pelo seu trabalho
se esta edi~ao tiver a acolhida generosa e quase universal dispen-
sada ao livro do Granville, de~de que apareceu pela primeira vez.
PERCEY F. SMITH
WILLIAM R. LONGLEY
PREFAero DO TRADUTOR
Procuramos manter na tradu~o as qualidades que fizeram do
texto original um dos livros mais difundidos entre nossos estudantes
de matematica. Esperamos, por isto, que 0 nosso trabalho repre-
sente um auxilio a mais para 0 estudante brasileiro.
Rio de Janeiro, maio de 1961.
JOSE ABDELHAY.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNlTZ
INDICE
(das materias)
CALCULO DIFERENCIAL
CAPiTULO I. FORMULARIO 1
Formulas da 8lgebra e geometria elementares, 1. Formulas da tri·
gonometria plana, 2. Formulas da geometria analitica plana, 4. For·
mulas da geometria analitica do espa~o, 6. Alfabeto grego, 8.
CAPiTULO II. VARIAVEIS, FUNQOES E LIMITES 9
Variaveis e constantes, 9. Intervalo de uma variavel, 9. Varia~ao
continua, 10. Fun~oes, 10. Variaveis dependentes e independentes,
10. Nota~ao de fun~oes, H. Impossibilidade da divisao por zero,
H. Grafico de uma fun~ao; continuidade, 12. Limite de uma va·
riavel, 13. Limite de uma fun~ii.o, 14. Teoremas sobre limites, 14.
Fun~oes continuas e descontinuas, 15. Infinito, 16. Infinitesimo, 20.
Teoremas relativos a infinitesimos e .limites, 20.
CAPiTULO III. DERIVAQAO 23
Introdu~ii.o, 23. Acrescimos, 23. Compara~lio de.acrescimos, 24. Deri-
vada de uma fun~lio de uma variavel, 25. Simbolos para as deriva·
das, 26. Fun~oes derivaveis, 28. Regra geral de deriva~ao, 28. In-
terpreta~ao geometrica da derivada, 31.
CAPiTtJLO IV. REGRAS DE DERIVAQAO 34
Formulas de derivagao, 34. Derivada de uma constante, 35. Derivada
de uma variavel em rela~ao a si propria, 35. Deriva~lio de uma soma,
36. Derivada do produto de uma constante por uma fun~ao, 37. De·
riva~ii.o do produto de duas fun~oes, 37. Derivada do produto de n
fun~oes, sendo n fixo, 38. Deriva~o de uma fun~ao com expoente
constante, 39. Deriva~o de um quociente, 39. Deriva~lio de uma
fun~o de fun~o, 45. Derivagao da fun~ao inversa, 46. Fun~oes
implicitas, 48. Derivac;lio das fungoes implicitas, 48.
CAP!TULO V. VARIAS APLICAQOES DAS DERIVADAS 51
Direglio de uma curva, 51. Equa~oes da tangente e normal; subtan·
gente e subnormal, 53. Maximo e minima de uma fun~ao, introdugao,
57. Fun~oes crescentes e decrescentes, 61. Maximo e minimo de uma
fun~ao, defini~oes, 62. Primeiro metodo para 0 exame de uma fungao
no que concerne a maximos e minimos, 64. Maximo e minimo quando
f'(x) e infinita, 66. Aplicagoes dos maximos e minimos, 69. Deri-
vada como velocidade de varia~ao, 77. Velocidade num movimento
I'etilineo, 79.
CAPiTULO VI. DERIVAQAO SUCESSIVA E APLICAQOES 89
Definigao de derivadas sucessivas, 89. Derivagao sucessiva das fun-
goes implicitas, 90. Concavidade de uma curva, 92. Segundo metodo
para 0 exame de maximos e minimos, 92. Pontos de inflexao, 96. Tra-
~ado de curvas, 98. Aceleragao num movimento retilineo, 101.
IX
x INDICE
CAPiTULO VII. DERIVAQKO DAS FUNQOES TRANSCENDENTEs.
APLICAQ5ES ',' . 105
Formulas de deriv~o, segunda lista, 105. 0 nUmero e; logaritmos
naturais, 106. Fun~oes exponencial e logaritmica, 108. Deriva({8.o
de um logaritmo, 109. Deriva~ao dll. f!!n~o expollencia1, 110. Deri-
va<;ao da fun({8.o exponencial geral, 111. Deriva<;ao logaritmica,
112. A fun({8.o senz, 117. Deriva~ao de senv, 119. As outras fun-
~oes trigonometricas, 120. Derivada de cos v, 121. Fun<;iies trigono-
metricas inversas, 126. Deriva<;ao de arc sen v, 127. Deriva~ao de
arc cos v, 128. Deriv~ao de arc tg 11, 129. Deriv~o de arc-ctg v,
130. Deriva<;ao de arc sec v e arc cossec v, 130. Derivada de arc
vers v, 132.
CAPiTULO VIII. APLICAQoES A EQUAQOES PARAMETRICAS,
EQUAQoES POLARES E RA1ZES 138
Equa~oes parametricas de uma curva; coeficiente angular, 138.
Equa~oes parametricas. Derivada segunaa, 143.Movimento curvilineo,
velocidade, 144. Movimento curvilineo. Acelera<;oes componentes, 145.
Coordenadas polares. Angulo entre 0 mo vetor e a tangente, 149.
Comprimentos da subtangente polar e subnormal polar, 152. Rai-
zes reais das equa~oes. Metodos gr8.ficos, 155. Segundo metodos de
localiza~ao das raizes reais, 157. Metodo de Newton, 158.
CAPiTULO IX. DIFERENCIAIS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . 165
Introdu~ao, 165. Defini~oes, 165. Aproxima~ao dos acrescimos por
diferenciais, 167. Erros pequenos, 167. Formulas para achar as dife-
renciais das fun~oes, 170. Diferencial do arco em coordenadas retan-
gulares, 173. Diferencial do arco em coordenadas polares, 175. Ve-
locidade como rapidez de varia({8.o do arco, 178. Diferenciais como
infinitesimos, 178. Ordem de infinitesimos, diferenciais de ordem su-
perior, 180.
CAPiTULO X. CURVATURA. RAW E ClRCULO DE CURVATURA .. 182
Curvatura, 182. Curvatura de um circulo, 183. Formulas para. a cur-
vatura, coordenadas retangulares, 183. Formulas para a curvatura,
coordenadas polares, 186. Raio de curvatura, 187. Circulo de !lurva-
tura, 188. Centro de curvatura, 193. Evolntas, 194. Propriedades
aa evoluta, 198. Involutas, sua constru<;ao mecanica, 201. Trans-
forma({8.o de derivadas, 203.
CAPiTULO XI. TEOREMA DO VALaR MEDIO E SUAS APLICAQOES 208
Teorema de Rolle, 208. Circulo osculador, 209. Ponto limite da inter-
cessao de normais consecutivas, 211. Teorema do valor medio (Leis
da media), 212. Formas indeterminadas, 215. Forma indeterminada
~, 216. Forma indeterminada:::'-, 210. Forma indeterminadao 00
0.00 , 220. Forma indeterminada 00 - 00, 221. Formas indetermi-
nadas 0·, 1 "", 00°, '223. Teorema geral do valor medio, 225. Ma-
ximos e minimos pelo metodo analitico, 226.
CALCULO INTEGRAL
CAPiTULO XII. INTEGRAQKO; INTEGRAlS IMEDIATAS 229
Integra.<{8.o, 230. Constante de integra<;io; integral indefinida, 231.
Integrais imediatas, 234. Formulas de integra.({8.o imediata, 235. Di-
ferenciais trlgonometricas, 262. Integra.~ao de expressOes contendo
V a2 -u2 ou Vu' ± a2 por substitui({8.o trigonometrica, 271. Inte-
"a<;[o por partes, 274. Comentarios, 280.
I NDI CE XI
CAPITULO XIII. CONSTANTE DE INTEGRAQAO 282
Dete~3.o da constante de integra~ao, 282. Significado geome-
trico da const'ante de integra~o,