Utilidade aula 1 e 2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
Utilidade
Capítulo 4
Aulas 1 e 2
*
Recordando..... as preferências podem ser:
 Completas: dadas duas cestas quaisquer x e y sempre é possível dizer se: x y; ou y x ou x ~ y.
 Reflexivas: qualquer cesta x é pelo menos tão preferida quanto ela mesma; i.e. x x.
 Transitivas: Se x y, e y z, então, x z. 
*
Uma relação de preferência que é completa, reflexiva e transitiva (e contínua) pode ser representada por uma função de utilidade contínua.
Continuidade significa que pequenas mudanças na cesta de consumo provocam pequenas mudanças no nível de preferência.
Funções de utilidade:
*
Funções de utilidade:
Mas o que é uma função de utilidade?
B C A
 
Imagine 3 combinações diferentes dos bens 1 e 2, que chamaremos A, B e C. O consumidor, quando se depara com essas três cestas de bens revela que:
p
p
Se existe uma função de utilidade capaz de representar as preferências desse consumidor, então, o que ela vai estar fazendo? Ela vai atribuir um número a cada cesta de tal forma que, as cestas mais preferidas irão receber um número maior. O número em si não importa; apenas a ordenação importa.
*
Funções de utilidade:
A=(x1,x2)=(3,2)
 
u
 
u (3,7)=2.3+(2)2=10
 
2x1+(x2)2
 
B=(x1,x2)=(7,2)=u(7,2)=2.7+(2)2=18
 
C=(x1,x2)=(5,1)=u(5,1)=2.5+(1)2=11
 
u(B)> u(C)> u(A) 
 
A função utilidade é uma regra, um procedimento, que atribui um número a cada cesta de bens; cestas + preferidas recebem maior valor.
 
*
A função de utilidade para alimento (A) e vestuário (V) é dada por: U(A,V) = A + 2V
A ~ B 		 
A ~ B C
Função utilidade:
p
*
Existência de uma função utilidade:
Dada uma ordenação de cestas de bens qualquer, será que é sempre possível encontrarmos uma função de utilidade capaz de representar essas preferências?
NÃO.
Nem todas as preferências podem ser representadas por uma função de utilidade. Por exemplo: 
 A B C B u(A) > u(B) > u(C) > u(B)
 
Esse é um caso de preferências não transitivas. Não vai existir uma função de utilidade capaz de representar tais preferências. 
p
p
p
*
Funções de utilidade:
Uma função de utilidade U(x) representa uma relação de preferências se, e somente se: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”).
p
p
A utilidade é um conceito ordinal. 
Por exemplo, se u(x) = 6 e u(y) = 2, então, x y. 
Mas isso não quer dizer que x seja 3 vezes mais preferida do que y.
p
*
Mas, uma vez que só a ordenação importa, não existe uma única forma de atribuir utilidade às cestas de bens. De fato, se houver uma forma de representar as preferências, então, existem infinitas. Como?
Funções de utilidade:
Através do que chamamos transformação monotônica. Uma transformação monotônica é uma forma de transformar um conjunto de números num outro conjunto de números, preservando a ordenação.
*
Transformação monotônica:
Se u1 > u2 f(u1) > f(u2) 
Onde u1 é o nível de utilidade 1 e u2 é o nível de utilidade 2; f é uma função estritamente crescente.
Cuidado: uma transformação monotônica gera uma função diferente, mas que representa as mesmas preferências.
Se u é uma função de utilidade que representa certo tipo de preferência, então, v = f(u) é também uma função de utilidade (diferente de u) mas que representa as mesmas preferências.
*
Uma curva de indiferença contém cestas de bens igualmente preferidas.
Igualmente preferidas => mesmo nível de utilidade.
Em conseqüência, todas as cestas de bens em uma mesma curva de indiferença geram o mesmo nível de utilidade.
Curvas de indiferença e função utilidade:
*
As cestas (4,1) e (2,2) estão na curva de indiferença com nível de utilidade U=4.
Mas a cesta (2,3) está na curva de indiferença com nível de utilidade U=6.
Logo, temos que:
Curvas de indiferença e função utilidade:
x2
x1
U º 4
U º 6
(2,3) (2,2) ~ (4,1)
p
*
Outra forma de visualizar a mesma informação é plotando o nível de utilidade sobre o eixo vertical.
Curvas de indiferença e função utilidade:
Utilidade
U(2,3) = 6
U(2,2) = 4 U(4,1) = 4
x2
x1
*
Curvas de indiferença mais afastadas da origem contêm cestas mais preferidas e, portanto, têm níveis de utilidade mais elevados.
Curvas de indiferença e função utilidade:
Utilidade
U(2,3) = 6
U(2,2) = 4 U(4,1) = 4
x2
x1
*
Comparando mais cestas de bens podemos ter uma idéia melhor do mapa de indiferença e, portanto, uma melhor descrição das preferências do consumidor. Um mapa de indiferença é equivalente a função de utilidade.
Curvas de indiferença e função utilidade:
*
Vimos no capitulo anterior alguns exemplos de preferências e suas curvas de indiferença. Podemos representar essas preferências por uma função de utilidade?
Se temos a função de utilidade, u(x1, x2), para desenhar as curvas de indiferenças basta plotar no gráfico os pontos (x1, x2) para os quais u(x1, x2) = k (constante).
Curvas de indiferença e função utilidade:
*
Tudo que importa para o consumidor é a quantidade total dos bens. u(x1, x2) = ax1+ bx2. Onde a e b são números positivos que medem o valor que os bens 1 e 2 tem para o consumidor. De fato, a/b será a inclinação da curva de indiferença. 
u(x1, x2) = k => ax1+ bx2 = k => 
x2 = k/b – (a/b).x1 
Substitutos perfeitos:
x2
-a/b
A
B
x1
x2
x1
*
Substitutos perfeitos:
5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
V(x1,x2) = x1 + x2.
*
 onde a>0 e b>0; 
A curva de indiferença é aquela onde as diferentes combinações dos bens 1 e 2 gera para o consumidor a mesma utilidade. 
u(x1, x2) = k => x1.x2 = k => 
x2 = k/x1
Se x1  0 => x2   
Se x1   => x2  0 
 Exemplo:
Coob-Doublas:
x2
x1
*
Todas as curvas são hipérboles, assintóticas, que nunca tocam os eixos.
Coob-Doublas:
*
Alimento
(unidades por semana)
10
15
5
5
10
15
0
Vestuário
(unidades por
 semana)
U1 = 25
U2 = 50 (Preferida a U1)
U3 = 100 (Preferida a U2)
Cobb- Douglas:
*
No caso da Cobb-Douglas temos duas transformações monotônicas muito úteis:
Cobb- Douglas:
Se definirmos:
Por quê?
Se
Portanto, sempre podemos fazer o somatório dos expoentes somar 1.
*
x2
x1
45o
Mín {x1,x2} = 8
3
5
8
3
5
8
Mín {x1,x2} = 5
Mín {x1,x2} = 3
W(x1,x2) = mín {x1,x2}. Como seriam as curvas de indiferença de esta função?
Complementares perfeitos:
Todos são ângulos retos com vértices num raio que parte da origem.
*
x2
x1
Cada curva é uma cópia verticalmente 
deslocada da outra. Exemplos:
Quase-lineares:
U(x1,x2) = f(x1)+x2
U(x1,x2) = x1-1 + x2
U(x1,x2) = 2x11/2 + x2
f(x1)=x1 => voltamos a ter substitutos perfeitos (é um caso particular da função quase-linear.
*
Utilidade Marginal:
Marginal significa “incremento”.
A utilidade marginal de um bem é a variação na utilidade total quando a quantidade do bem 1 varia marginalmente (e os demais são mantidos constantes).
 
*
Utilidade Marginal:
Supõe que o consumidor consome a cesta (x1,x2). Como varia seu nível de utilidade se ele tiver uma unidade adicional do bem 1?
 
Essa é a utilidade marginal com respeito ao bem 1. A UMg depende da função de utilidade do consumidor.
*
Utilidade Marginal:
Supõe que U(x1,x2) = x11/2 x22 . Como obter a UMg1 e UMg2?
 
*
Taxa Marginal de Substituição (TMgS):
Mede a inclinação da curva de indiferença. Suponhamos uma variação no consumo do bem 1 e 2, mantendo a utilidade do consumidor constante.
 
x2
A
B
x1
x1
x2
*
Taxa Marginal de Substituição (TMgS):
A equação geral para uma curva de indiferença é: U(x1,x2)  k, onde k é uma constante. 
Diferenciando a identidade acima, temos que:
 
Reorganizando a equação acima temos:
É a TMgS
*
Taxa Marginal de Substituição (TMgS):
 
Que é exatamente a inclinação da curva de indiferença.
*
Exemplo 1:
 
As UMg são iguais. Nem sempre acontece.
Logo:
A TMgS é constante ao longo da C.I.
Portanto, estes são bens substitutos perfeitos.
*
Exemplo 2:
 
Logo, as duas funções de utilidade (u e v), apesar de diferentes, representam as mesmas preferências. A taxa a qual o consumidor está disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2 é a mesma.
Isso significa que u é uma transformação monotônica de v (v pode ser obtida a partir de u, e vice-versa). 
*
 
Se multiplicarmos a utilidade por 2 => UMg também fica multiplicada por 2; mas isso não altera a TMgS entre os bens.
Leiam os exemplos: utilidade e transporte urbano.
Exemplo 3:
*
Exemplo 4:
 
v é uma transformação monotônica de u e, portanto, representam as mesmas preferências. As TMgS têm que ser iguais.
*
 TMgS(1,8) = - 8/1 = -8 TMgS(6,6) = - 6/6 = -1.
x1
x2
8
6
1
6
U = 8
U = 36
U(x1,x2) = x1x2
Cobb-Douglas:
*
U(x1,x2) = f(x1)+x2
Função quase-linear:
A TMgS = - f (x1) não depende de x2. Conseqüentemente, a inclinação das curvas de indiferença é constante para um dado x1.
*
x2
x1
TMgS é constante ao longo da linha para a qual x1 é constante. 
TMgS = - f’(x1’)
TMgS = -f’(x1”)
x1’
x1”
Função quase-linear:
*
O princípio da utilidade marginal decrescente afirma que, à medida que se consome mais de uma mercadoria, cada quantidade adicional que for consumida propiciará adições cada vez menores de utilidade.
Princípio da utilidade marginal decrescente:
104
54
42
109