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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFORÇOS MECÂNICOS 
 
 F F F F F 
 
 TRAÇÃO COMPRESSÃO TORÇÃO 
 
 F 
 
 F F 
 
F 
CISALHAMENTO FLEXÃO FLAMBAGEM 
 
ENSAIO DE TRAÇÃO 
 O ensaio mais importante para a determinação da resistência dos materiais é o 
ensaio de tração. Consiste em submeter o material a um esforço que tende a alongá-lo até a 
ruptura. Os esforços ou cargas são medidos na própria máquina de ensaio. O corpo é 
deformado até o momento que se rompe, permitindo conhecer como os materiais reagem 
aos esforços de tração, quais os limites que suportam e a partir de que momento ocorre a 
ruptura. 
 Quando uma força é aplicada na direção do eixo longitudinal, dizemos que se trata 
de uma força axial. A aplicação de uma força axial num corpo preso produz uma 
deformação, ou seja, é capaz de provocar um aumento no seu comprimento com 
diminuição da área da seção transversal. Este aumento de comprimento recebe o nome de 
alongamento, ao passo que a redução da área da seção transversal é conhecida por 
estricção. Podem ocorrer dois tipos de deformação, quando um corpo é submetido a uma 
força axial de tração: a elástica e a plástica. A 
deformação elástica não é permanente, ou seja, 
uma vez cessados os esforços, o material volta à 
sua forma original. Já a deformação plástica é 
permanente, ou seja, uma vez cessados os 
esforços, o material recupera a deformação 
elástica, mas fica com uma deformação plástica 
residual, não voltando à sua forma original. 
 
 
fase elástica fase plástica 
 F F 
 
 
 
 
 elástica plástica 
 
 A força de tração atua sobre a área da seção transversal do material, ocasionando 
uma relação entre essa força aplicada e a área do material que está sendo exigida, 
denominada tensão. No ensaio de tração convencionou-se que a área da seção utilizada 
para os cálculos é a da seção inicial. 
 Quando um corpo de prova é 
submetido ao ensaio em questão, a máquina 
utilizada fornece um gráfico que mostra as 
relações entre a força aplicada e as 
deformações ocorridas durante o ensaio. Esse 
gráfico é conhecido por diagrama tensão-
deformação, e que nos permite avaliar as 
propriedades do material no decorrer do 
processo. 
Analisando o diagrama tensão-deformação passo a passo, podemos verificar quais 
propriedades que ele nos permite determinar. A primeira é o limite elástico. 
 
 O limite elástico recebe esse nome porque, 
se o ensaio for interrompido antes deste ponto 
e a força de tração retirada, o corpo volta à 
sua forma original, como faz um elástico. 
 
 
Na fase elástica, se dividirmos a tensão pela deformação, em qualquer ponto, 
obteremos sempre um valor constante. Esse valor é chamado módulo de elasticidade, e é a 
medida de rigidez do material, ou seja, quanto maior for o módulo, mais rígido será o 
material. 
σ 
(tensão) 
 σ 
 ε (deformação) 
ε 
 
 
escoamento 
limite de ruptura 
 Prosseguindo a aplicação da força, termina a 
fase elástica e tem início a fase plástica, onde já 
ocorre uma deformação permanente, mesmo que se 
retire a força de tração. No início desta fase ocorre um 
fenômeno chamado escoamento, que se caracteriza 
por uma deformação permanente do material sem que 
haja aumento de carga, mas com aumento da 
velocidade de deformação. 
 
Ele é obtido verificando-se a parada do ponteiro na escala da força durante o ensaio 
e o patamar formado no gráfico exibido pela máquina. Entretanto, vários metais não 
apresentam escoamento, e mesmo nas ligas em que ocorre, ele não pode ser observado, na 
maioria dos casos, porque acontece muito rápido e não é possível detectá-lo. 
 Durante o escoamento ocorre o encruamento, que é um endurecimento causado pela 
quebra dos grãos que compõem o material quando deformados a frio. O material resiste 
cada vez mais à tração, exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar. Nessa fase, a 
tensão começa a subir, até atingir um valor máximo, num ponto chamado de limite de 
resistência. 
Este valor de tensão é um dos utilizados para a 
especificação dos materiais nas normas, pois é um 
resultado preciso que se pode obter no ensaio de tração 
e é utilizado como base de cálculo de todas as outras 
tensões determinadas neste ensaio. 
 
 
 Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorre num ponto 
chamado limite de ruptura. A tensão no limite de ruptura é menor que a tensão no limite 
de resistência, devido à diminuição da área que ocorre no corpo de prova depois que se 
atinge a carga máxima. 
 Durante esse ensaio ocorre a redução percentual da área da seção transversal do 
corpo de prova na região onde vai se localizar a ruptura. Esse fenômeno é chamado 
estricção e determina a ductilidade do material, ou seja, quanto maior for a porcentagem de 
estricção, mais dúctil será o material. 
 σ 
 σ 
ε 
ε 
limite de resistência 
 
 
comprimento útil 
( 
cabeças 
ℓ
0 
unidades 
de controle 
corpo de 
prova 
registrador 
gráfico 
cabeçote 
móvel 
 garras de 
fixação 
 base fixa 
 O ensaio de tração é realizado na máquina universal que possui este nome porque se 
presta à realização de diversos tipos de ensaio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A máquina universal é hidráulica, movida pela pressão de óleo, e está ligada a um 
dinamômetro que mede a força aplicada ao corpo de prova. 
 
Normalmente utilizam-se corpos de prova de seção circular ou de seção retangular, 
dependendo da forma e tamanho do produto acabado do qual foram retirados, conforme a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO POR TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
A tração é um esforço que tende a alongar um corpo, ao passo que a compressão 
atua de maneira oposta, tendendo a diminuir o tamanho do objeto. Para o 
dimensionamento baseado nesses tipos de esforços, utilizam-se as fórmulas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
onde, F – carga aplicada 
S – área da seção transversal 
σ – tensão 
E – módulo de elasticidade do material 
 ε - deformação sofrida 
∆ℓ– variação de comprimento 
ℓ0 - comprimento inicial 
Z – estricção 
∆S – variação da área 
S0 - área inicial 
 
 
 Em se tratando de um projeto, faz-se necessária a adoção de um coeficiente de 
segurança, que é aplicado sobre o valor de uma tensão conhecida do material a ser 
utilizado, obtendo-se a tensão admissível, ou seja, aquela que realmente será a base para o 
dimensionamento de uma peça. O coeficiente de segurança pode ser obtido a partir da 
tabela a seguir ou ser adotado de acordo com a experiência do projetista. 
 
 σ adm - tensão admissível 
 σ rup - tensão de ruptura 
 N – coeficiente de segurança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 σ = F 
 S 
 
 E = σ 
 ε 
 
 ε = ∆ℓ 
 ℓ0 
 
 σ adm = σ rup 
 N 
 
 Z = ∆S 
 S0TABELA PARA CÁCULO DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
 
N = A . B . C . D 
FATOR ESPECIFICAÇÃO VALOR 
A 
Ferro fundido e aço carbono 2 
Forjada, temperada, aço níquel 1,2 
B 
Carga estática 1 
Carga dinâmica 2 
Carga alternada 3 
C 
Carga constante 1 
Carga gradual 2 
Pouco impacto 3 
Alto impacto 4 a 5 
D 
Materiais dúcteis 1,5 
Materiais frágeis 2 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determine qual o alongamento sofrido por um corpo de 50mm de comprimento que, 
submetido a uma força axial de tração, ficou com 50,25mm de comprimento. 
 
2) E se o corpo de prova possuísse 50mm de comprimento e ficasse com 50,75mm, após a 
aplicação de uma carga axial de tração, qual seria o percentual de alongamento? 
 
3) Calcule a tensão que deve ser suportada por um tirante de aço de 2cm
2
 de seção 
transversal, sabendo-se que o material está exposto a uma força de 2300kgf. 
 
4) Qual o limite de resistência à compressão de um material que tem 5cm
2
 de área de seção 
transversal e que se rompeu com uma carga de 28.000kgf? 
 
5) Um corpo de prova metálico de 10mm de diâmetro e 50mm de comprimento foi 
submetido a uma carga axial de tração de 3,5t , tendo seu comprimento aumentado para 
54,5mm e seu diâmetro reduzido para 8,2mm. Determine o alongamento e a estricção 
percentuais, bem como a tensão produzida sobre o referido corpo de prova. 
 
6) Um corpo de prova de aço com diâmetro d = 20mm e comprimento ℓ0 = 60mm será 
submetido a um ensaio de compressão. Se for aplicada uma força F de 1,57t, determine a 
tensão absorvida pelo corpo de prova e o seu comprimento final, sabendo-se que o módulo 
de elasticidade do aço é igual a 2,1 x 10
6
 kgf/cm
2
. 
 
7) Uma barra de latão de seção transversal circular, diâmetro de 20mm e comprimento de 
0,5m, pode se alongar em 0,08cm, quando submetida a uma carga axial de tração. 
Sabendo-se que o módulo de elasticidade do latão é de 9,5 x 10
5
 kgf/cm
2
, determine a 
carga máxima que pode ser suportada pela referida barra. 
 
8) Uma barra de aço, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração de 
25t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm
2
 e 
adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione a mesma. 
 
9) Uma barra de aço, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração de 
50t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm
2
 e 
adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione a mesma. 
 
 
10) Uma barra de aço níquel, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de 
tração estática de 60t, aplicada gradualmente. Sabendo-se que a tensão de ruptura do 
material é de aproximadamente 4000 kgf/cm
2
, dimensione a mesma. 
 
 
11) Uma barra de ferro fundido, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de 
tração estática de 48t, aplicada de forma constante. Sabendo-se que a tensão de ruptura do 
material é de aproximadamente 4200 kgf/cm
2
, dimensione a mesma. 
 
 
12) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal circular, são articuladas nas 
extremidades e suportam uma carga de 40t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a 
tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm
2
 e adotando-se um 
coeficiente de segurança igual a 2, dimensione as barras. 
 
 A 53º 53º C sen 53º = 0,80 cos 53º = 0,60 
 
 
 
 B 
 
 40t 
 
13) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal quadrada, são articuladas nas 
extremidades e suportam uma carga de 60t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a 
tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm
2
 e adotando-se um 
coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione as barras. 
 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 
 A 37º 37º C sen 37º = 0,60 cos 37º = 0,80 
 
 
 B 
 
 60t 
 
14) Duas barras articuladas, AB de seção circular e BC de seção quadrada, suportam na 
articulação B uma carga de 41t, conforme a figura. A tensão de ruptura do aço utilizado é 
de 4200 kgf/cm
2
 e são adotados os coeficientes de segurança 2,8 e 4,2, respectivamente, 
para a barra tracionada e para a comprimida. Determine o diâmetro da seção transversal da 
barra AB e o lado do quadrado da barra BC. 
 A sen 35º = 0,57 cos 35º = 0,82 
 
 35º 
 
 41t 
 
 
 C B 
 
 
 
15) O pilar de concreto é reforçado com 
quatro barras de aço, cada uma com diâmetro 
de 8mm, suporta uma carga axial de 50t. 
Determine a tensão média do concreto e do 
aço, sabendo-se que o módulo de elasticidade 
do aço é de 2,1 x 10
6
 kgf/cm
2 
e o do concreto 
igual a 2,1 x 10
5
 kgf/cm
2
. 
 
 
DIMENSIONAMENTO POR CISALHAMENTO 
 
 O esforço conhecido por cisalhamento ocorre quando duas forças de mesma direção 
e sentidos opostos atuam praticamente na mesma seção, tendendo a provocar o corte do 
corpo. Um exemplo bem típico do esforço de cisalhamento pode ser representado pela 
tesoura, na qual suas lâminas promovem forças de mesma direção e sentidos opostos, 
ocasionando o corte do material. Ao analisarmos uma peça ou um conjunto, devemos 
verificar onde ocorre a possibilidade de cisalhamento e visualizarmos a área a ser 
cisalhada. Desta forma, é possível realizar o dimensionamento, utilizando-se a fórmula a 
seguir, além do cálculo da área sujeita ao cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, conforme a figura abaixo. Sabendo-
se que o rebite possui diâmetro igual a 0,8cm e deverá suportar uma carga de 3t, determine 
a tensão de cisalhamento no mesmo. 
 
 
 
 
 REBITE BARRAS 
 
 τ = F 
 S 
F – carga aplicada 
S – área da seção cisalhada 
τ – tensão de cisalhamento 
 
 
 
2) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial 
de tração de 9,6 toneladas, por intermédio de rebites. Sabendo-se que ele utilizará um total 
de 6 rebites na execução do serviço, e que os mesmos possuem 1,6cm de diâmetro, 
determine a tensão de cisalhamento a qual estão submetidos os rebites. 
 
 
 
 
 REBITE BARRAS 
 
3) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial 
de tração de 8 toneladas, por intermédio de rebites. Sabendo-se que ele só dispõe de rebites 
de 2cm de diâmetro, cujo material dos mesmos resiste a uma tensão de cisalhamento da 
ordem de 400 kgf/cm
2
, determine o número mínimo de rebites que deverá utilizar, a fim de 
que seja suportado o referido esforço. 
 
 
 
 
 REBITE BARRAS 
 
 
 
 
4) O desenho abaixo representa uma união de garfo e braço, através de um pino, muito 
comum em tratores. Sabendo-se que o conjunto será submetido a uma força de 11 
toneladas e que a tensão admissível ao cisalhamento do material do pino é de 3100 
kgf/cm
2
, determine o diâmetro do pino. 
 pino garfo 
 
 
 11t 
 
 braço 
 
 
5) Uma chapa de 25mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se 
uma carga de 31,4t. Sabendo-seque a tensão de cisalhamento do material da chapa é de 
400kgf/cm
2
, determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado. 
 
 PUNÇÃO 
 
 
CHAPA 
 
 
 
 
 
 
6) Uma chapa de 20mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se 
uma carga de 15,7t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de 
500kgf/cm
2
, determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado. 
 
 PUNÇÃO 
 
 
CHAPA 
 
 
 
 
7) Considere o pino de 1,6 cm de diâmetro submetido a uma força axial de tração de 3 
toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 5mm, determine a tensão de 
cisalhamento a qual se encontra submetida. 
 
 pino 
 
 
 3t 
 5mm 
 
 
8) O pino metálico de seção transversal circular encontra-se submetido a uma força axial 
de tração de 4,71 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 6mm e a 
tensão de cisalhamento do material do mesmo é de 500 kgf/cm
2
, dimensione-o. 
 
 pino 
 
 
 4,71t 
 6mm 
 
 
 
 
 
 llll 
 
 
 
 Mt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 llll 
 
 
 
 Mt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6,0cm 
2cm 
 
 2
,2
cm
 
 eixo 
polia 
chaveta 9) A figura ao lado mostra uma polia 
solidarizada a um eixo por 
intermédio de uma chaveta de 
dimensões 2,0cm x 2,2cm x 4,0cm. 
Sabendo-se que o momento de 
torção aplicado à polia é de 
12.000kgf x cm e que o diâmetro do 
eixo é de 6cm, determine a tensão de 
cisalhamento a qual se encontra 
submetida a chaveta. 
5cm 
ℓ 
 
 2
,2
cm
 
 eixo 
polia 
chaveta 
10) A figura ao lado mostra uma 
polia solidarizada a um eixo por 
intermédio de uma chaveta de 
dimensões ℓ x 2,2cm x 5,0cm, cujo 
material suporta uma tensão 
máxima de cisalhamento de 
700 kgf/cm
2
. Sabendo-se que o 
momento de torção aplicado à polia 
é de 14000kgf x cm e que o 
diâmetro do eixo é de 5cm, 
determine a largura “ℓ” da chaveta 
utilizada. 
 
11) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir 
extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis 
parafusos de 1,5cm de diâmetro. Sabendo-se que o momento torsor a ser transmitido é de 
20400 kgf x cm, determine a tensão de cisalhamento à qual os parafusos se encontram 
submetidos. 
 parafuso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 cm 
 
 
 
12) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir 
extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis 
parafusos, cujo material apresenta uma tensão de cisalhamento de 616 kgf/cm
2
. Sabendo-
se que o momento torsor a ser transmitido é de 18480 kgf x cm, determine o diâmetro dos 
parafusos. 
 parafuso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 cm 
 
 DIMENSIONAMENTO POR TORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 eixos maciços eixos vazados 
 
T – torque ou momento torsor aplicado 
d – diâmetro do eixo 
de – diâmetro externo do eixo 
di – diâmetro interno do eixo 
τ – tensão de cisalhamento 
 
 
Exercícios: 
 
1) Uma barra de aço, cujo material suporta uma tensão cisalhante de 600 kgf/cm
2
, está 
submetida a um torque de 2 t.m. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu 
diâmetro. 
 
2) A árvore deve executar com segurança o trabalho proposto no esquema abaixo. O 
material a ser utilizado apresenta tensão de cisalhamento da ordem de 480 kgf/cm
2
, para a 
qual deverá ser adotado um coeficiente de segurança igual a 1,2. Sabendo-se que a mesma 
é maciça, determine o seu diâmetro. 
 
 
 
 
 τ = 16T 
 π x d3 
 
 τ = 16T x de 
 π x (de
4 
– di
4
) 
 
3) Um eixo de aço apresenta tensão de cisalhamento admissível igual a 840 kgf/cm
2
. 
Supondo que o diâmetro do eixo seja de 37,5mm, determinar o torque máximo T que pode 
ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 25mm de 
diâmetro ao longo do eixo? 
 
4) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às 
engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. 
Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
 
Ângulo de torção 
 
 
 
 
 
 
 
1) Uma barra cilíndrica maciça de 1m de comprimento e diâmetro igual a 10cm está 
submetida a um torque de 1 t.m. Sabendo-se que o material da barra apresenta um módulo 
de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 10
5
 kgf/cm
2
, determine o ângulo de torção 
sofrido. 
 
2) Uma barra cilíndrica de diâmetro igual a 9,5cm encontra-se submetida a um torque de 
1,3 t.m, sofrendo um ângulo de torção de 0,86º. Sabendo-se que o material da barra 
apresenta um módulo de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 10
5
 kgf/cm
2
, 
determine o comprimento máximo com o qual a barra pode ser confeccionada. 
 
 θ = 32T x ℓ 
 π x d4 x G 
θ – ângulo de torção 
T – torque ou momento torsor aplicado 
d – diâmetro do eixo 
ℓ - comprimento do eixo 
G – módulo de elasticidade de cisalhamento