Lista_11

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Ca´lculo 1: Exerc´ıcios 11
1. Encontre o volume dos so´lidos de revoluc¸a˜o obtidos pela rotac¸a˜o da regia˜o
limitada pelas curvas dadas em torno da reta dada em pareˆnteses. Em
cada exerc´ıcio, esboce a regia˜o, o so´lido obtido e um disco ou arruela t´ıpico.
(a) y = 2− 12x , y = 0 , x = 1 , x = 2 , (eixo x)
(b) y = ex , y = 0, , x = 0 , x = 1 , (eixo x)
(c) x = 2
√
y , x = 0 , y = 9 , (eixo y)
(d) y = ln(x) , y = 1 , y = 2 , x = 0 , (eixo y)
(e) y2 = x , x = 2y , (eixo y)
(f) y = e−x , y = 1 , x = 2 , (y = 2)
(g) y = x2 , x = y2 , (x = −1)
2. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x cos(5x) dx,
(b)
∫
xex/2 dx,
(c)
∫
x2 cos(3x) dx,
(d)
∫ pi
0
t sen(3t) dt,
(e)
∫
y
e2y dy,
(f)
∫ 2
1
x4 ln(x)2 dx.
3. Calcule as seguintes integrais por primeiro fazer uma substituic¸a˜o e depois
usar integrac¸a˜o por partes.
(a)
∫
cos(
√
x) dx,
(b)
∫
t3e−t
2
dt,
(c)
∫
sen(ln(x)) dx.
4. (a) Use a fo´rmula de reduc¸a˜o das aulas para mostrar que∫
sen2(x) dx =
x
2
− sen(2x)
4
+ C.
(b) Use Parte (a) e a fo´rmula de reduc¸a˜o para calcular∫
sen4(x) dx.
1
5. (a) Mostre que temos a seguinte fo´rmula de reduc¸a˜o:∫
xnex dx = xnex − n
∫
xn−1ex dx.
(b) Use Parte (a) para calcular ∫
x4ex dx.
2