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CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS - DEMONSTRAÇÃO

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Nota: Todas as imagens foram retiradas do livro, Elementar Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana / 
Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. -- 9. ed. -- São Paulo : Atual, 2013. Disponível em: file:///C:/Users/kalle/Down-
loads/livro-09.pdf. 
Discente : Kallen Cristina Ribeiro Garcia 
Docente: Saulo Henrique 
Disciplina: Geometria Euclidiana 
 
Trabalho 01 
 
1) Demonstrar os casos de congruência de triângulos: ALA, LLL, LAA o e congruência de triângulos 
retângulos. 
O conceito abstrato de congruência entre triângulos é definido da seguinte maneira: Dois 
triângulos são denominados congruentes se tem ordenadamente congruentes os três lados e os três 
ângulos. Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes. 
 
Em dois triângulos congruentes, são congruentes entre si: 
a) os lados opostos ângulos congruentes; 
b) os ângulos opostos a lados congruentes; 
Casos de congruência 
 A definição de congruência de triângulos das 5 condições que devem ser satisfeitas para que 
dois triângulos sejam congruentes. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam con-
gruentes. Estas condições são denominadas casos ou critérios de congruência. O presente trabalho 
pretende apresentar apenas 3 dessas 5 definições, sendo: congruência de triângulos: ALA, LLL, LAA 
o e congruência de triângulos retângulos. 
1° Caso (ALA): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos e o lado 
adjacente a esses ângulos, então eles são congruentes. 
Os ângulos adjacentes ao lado BC são B e ˆ C; os adjacentes ao lado ˆ B'C' são Bˆ' e Cˆ'. 
 
file:///C:/Users/kalle/Downloads/livro-09.pdf
file:///C:/Users/kalle/Downloads/livro-09.pdf
Nota: Todas as imagens foram retiradas do livro, Elementar Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana / 
Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. -- 9. ed. -- São Paulo : Atual, 2013. Disponível em: file:///C:/Users/kalle/Down-
loads/livro-09.pdf. 
 
Hipótese: �̂� ≡ 𝐵′̂ (1); 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (2); 𝐶 ̂ ≡ �̂�′(3)) ⇒ ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ :Teste. 
Demonstração: 
Vamos provar que 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ pois com isso recairemos no 1° caso. 
Pelo postulado de transporte de segmentos, obtemos na semirreta 
𝐵′𝐴′
→ um ponto X tal que 
𝐵𝑋̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ . Portanto: 
{
𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅
�̂� ≡ �̂�′
𝐵𝐴 ̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐵′𝑋′̅̅ ̅̅ ̅̅
} 
𝐿𝐴𝐿
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝑋𝐵′𝐶′ ⇒ 𝐵𝐶 ̂ 𝐴 ≡ 𝐵′𝐶
′̂
𝑋. 
Da hipótese B𝐶 ̂A ≡ 𝐵′𝐶
′̂
𝐴′, com B𝐶 ̂A ≡ 𝐵′𝐶
′̂
𝑋 e com o postulado do transporte de ângulos, 
decorre que 
𝐵′𝐴′
↔ 𝑒 
𝐶′𝑋′
↔ = 
𝐶′𝐴′
↔ interceptam – se num único ponto X = A’. 
De X = A’, decorre que 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ . Então: 
𝐵𝐴̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐴′̅̅ ̅̅ ̅̅ , �̂� ≡ �̂� , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ ) 
𝐿𝐴𝐿
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso ALA. Observe: 
 
O esquema abaixo explica: 
 
NOTA: Com base no 1º caso (ALA), pode se provar a recíproca do teorema do triângulo 
isósceles: “Se um triângulo possui dois ângulos congruentes, então esse triângulo é isóscele.” Consi-
derando um triângulo isósceles ABC de base BC, basta observar os triângulos ABC e ACB e proceder 
de modo análogo ao do teorema direto. 
 
2° Caso (LLL) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então eles são 
file:///C:/Users/kalle/Downloads/livro-09.pdf
file:///C:/Users/kalle/Downloads/livro-09.pdf
Nota: Todas as imagens foram retiradas do livro, Elementar Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana / 
Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. -- 9. ed. -- São Paulo : Atual, 2013. Disponível em: file:///C:/Users/kalle/Down-
loads/livro-09.pdf. 
congruentes. 
Hipótese: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ (1); 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (2); 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (3)) ⇒ ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ :Teste 
Demonstração: 
Pelo postulado do transporte de ângulos e do transporte de 
segmentos, obtemos um ponto X tal que: 𝑋𝐴′̂𝐵′ ≡ 𝐶�̂�𝐵 (4) onde 
𝐴′𝑋̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (5) estando X no semiplano oposto ai de C’ em relação 
à reta 𝐴′𝐵′ ⃡ . De 𝐴′𝑋̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (5) e 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (2), vem: 𝐴′𝑋̅̅ ̅̅ ̅ ≡
 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (6), seja D o ponto de interseção de 𝐶′𝑋′ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ com a reta 𝐴′𝐵′ ⃡ . 
 Portanto: 
(1), (4), (5) 
𝐿𝐴𝐿
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝑋′(7) → 𝑋𝐵′̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ 
3
⇒ 𝑋𝐵′̅̅ ̅̅ ̅ ≡
𝐶′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ (8) 
(6) → ∆𝐴′𝐶′𝑋 é 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐶′𝑋̅̅ ̅̅ ̅ → 𝐴′𝐶 ′̂𝑋 ≡ 𝐴′�̂�𝐶′ (9) 
(8) → ∆𝐵′𝐶′𝑋 é 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐶′𝑋̅̅ ̅̅ ̅ → 𝐵′𝐶 ′̂𝑋 ≡ 𝐵′�̂�𝐶′ (10) 
Por soma ou diferente de (9) e (10), D seja interna ou não ao segmento 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ temos que : 
𝐴′𝐶 ′̂𝐵 ≡ 𝐴′�̂�𝐵′(11) 
(6), (11), (8) → ∆𝐴′𝐵′𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝑋
7
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ 
Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso LLL. 
 
O esquema abaixo aplica a semelhança: 
 
3° Caso (LAAo) Quando dois triângulos possuem um lado, um ângulo adjacente e um ân-
gulo oposto a esse lado congruentes, então esses dois triângulos são congruentes. Novamente a or-
dem deve ser respeitada. Por exemplo, se o segundo ângulo observado não for oposto ao lado obser-
vado, então não existem garantias de que os dois triângulos sejam congruentes. 
file:///C:/Users/kalle/Downloads/livro-09.pdf
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Nota: Todas as imagens foram retiradas do livro, Elementar Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana / 
Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. -- 9. ed. -- São Paulo : Atual, 2013. Disponível em: file:///C:/Users/kalle/Down-
loads/livro-09.pdf. 
 
Fonte: https://www.preparaenem.com/matematica/casos-congruencia-triangulos.htm 
 
Observe a ordem de congruências nos triângulos acima: 
 
AB = ED = 3, ângulo A = ângulo E = 90 e ângulo C = ângulo F = 56,31 
 
Portanto, esses dois triângulos se enquadram no caso LAAo. Demonstrando, temos: 
 
Hipótese: 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (1); �̂� ≡ �̂� (2); �̂� ≡ �̂� (3)) ⇒ ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ :Teste 
Existe três possibilidades para 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ : 
1°) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ 2°)𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ 3°)𝐴𝐵̅̅ ̅̅ > 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ 
Se a 1° se verifica, temos: 
(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ , �̂� ≡ �̂�, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′)
𝐿𝐴𝐿
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 Se a 2° se verificasse, tomando um 
ponto D na semirreta 
𝐵𝐴
→ tal que 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ (postulado do transporte de segmentos, teríamos: 
(𝐷𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ , �̂� ≡ �̂�, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ (𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ )
𝐿𝐴𝐿
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ → �̂� ≡ �̂�
3
⇒ �̂� ≡ �̂�, o que é ab-
surdo, de acordo com o teorema do ângulo externo no ∆𝐴𝐷𝐶. Logo, a 2° motivo, com a diferença de 
que D estaria entre A e B. Como só pode ocorrer a 1° a possibilidade, temos: ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
Caso especial de congruência de triângulos retângulos: 
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então 
esses triângulos são congruentes. Observe: 
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https://www.preparaenem.com/matematica/casos-congruencia-triangulos.htm
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Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. -- 9. ed. -- São Paulo : Atual, 2013. Disponível em: file:///C:/Users/kalle/Down-
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Hipótese: �̂� ≡ �̂� (𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠)(1); 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ (2); 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ (3)) ⇒ ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≡
 𝐴′𝐵′𝐶′ :Teste 
Demonstrando: Tomemos o ponto D na semirreta oposta à semirreta 𝐴′𝐶′ , tal que 𝐴′𝐷 ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
(postulado do transporte de segmentos). 
(𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , �̂� ≡ �̂�, 𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐷)̅̅ ̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
𝐿𝐴𝐿
⇒ ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ → 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐷̅̅ ̅̅ ̅(4)𝑒 �̂� ≡ �̂� 
(4) E (3) → 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐷̅̅ ̅̅ ̅ → ∆ 𝐵′𝐶′𝐷é 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐶′𝐷̅̅ ̅̅ ̅ → 𝐶 ′̂ ≡ �̂�(6) 
(5) E (6) → �̂� ≡ 𝐶′̂ 
Considerando agora os triângulos ABC e A’B`C`, temos: 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅ , �̂� ≡ 𝐶 ′̂, �̂� ≡ �̂�)
𝐿𝐴𝐴𝑜
⇒ ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
2 – Demonstre as desigualdades: 
a) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; 
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são con-
gruentes e o maior deles está oposto ao maior lado. 
Hipótese: 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ → 𝐵�̂� 𝐶 > 𝐴�̂� 𝐶 :Teste ou a > b → Â > �̂�, observe: 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
 Consideramos D em 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ tal que 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ . : 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ →
𝐷 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑎𝑜 𝐶�̂� 𝐵 → 𝐶�̂� 𝐵 > 𝐶�̂� 𝐷 ( 𝐼) 
 ∆𝐶𝐴𝐷 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ → 𝐶�̂� 𝐷 ≡ 𝐶�̂� 𝐴 (𝐼𝐼) 
Portanto I e II 𝐶�̂� 𝐷 > 𝐶�̂� 𝐴 (1) 
𝐶�̂� 𝐴 é ángulo externo no ∆𝐴𝐵𝐷 → 𝐴�̂� 𝐷 ≡ 𝐴�̂� 𝐶 (2) 
De (1) e (2), vem: 𝐶�̂� 𝐵 > 𝐴�̂� 𝐶 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 �̂� > �̂� . 
 
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b) (desigualdade triangular) Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois. 
Hipótese: A, B e C não colineares → 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ :Teste 
Ou a, b e c lados de um triângulo → a < b + c. 
Demonstração: 
Considerando um ponto D na semirreta oposta à semirreta 𝐴𝐶 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ (1) 
𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅̅ + 𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ 
(1)
⇒ 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅̅ + 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ (2) 
(1) → ∆𝐴𝐵𝐶 isósceles de base 𝐵𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ → 𝐴�̂� 𝐵 ≡ 𝐴�̂� 𝐷 (I) 
 A é interno ao ângulo 𝐶�̂� 𝐷 → 𝐴�̂� 𝐷 (II) 
Portanto I e II → 𝐶�̂� 𝐷 → 𝐴�̂� 𝐵 ≡ 𝐶�̂� 𝐵 (3) 
No triangulo BCD com (3) e o teorema anterior, vem: 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ e com (2) 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , ou ainda: 
𝑎 < 𝑏 + 𝑐 
1ª) A desigualdade triangular também pode ser enunciada como segue: 
Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois. 
2ª) Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, devemos ter as três 
condições abaixo: 
a < b + c 
b < a + c 
c < a + b 
 
Referencias: 
Congruência de Triângulos. Disponível em: /kalle/OneDrive/Área%20de%20Trabalho/Facul-
dade%20-%20Kallen/Geometria%20Euclidiana/Congruência%20de%20Triângulos%20-.pdf 
Acesso em: 20 maio 2021. 
Casos de Congruência de Triângulos. Disponível em: https://www.preparaenem.com/matema-
tica/casos-congruencia-triangulos.htm. Acesso em: 31 maio 2021. 
 
file:///C:/Users/kalle/Downloads/livro-09.pdf
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