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EAE0203 - Microeconomia I
Prof. Ricardo Madeira
Monitores: Paula Kasmirski e Murilo Moraes
Exerc´ıcios extras - Resoluc¸a˜o 1, 5 e 6
1. Considere uma firma com a seguinte func¸a˜o de produc¸a˜o: f(x1, x2) = min(2x1, x1 + x2).
(a) Mostre que essa func¸a˜o e´ homogeˆnea de grau um. Qual a implicac¸a˜o desse fato para a estrutura da
func¸a˜o custo? E para os retornos de escala da tecnologia?
Para ver que a func¸a˜o de produc¸a˜o dada e´ homogeˆnea de grau 1, avalie-a no ponto (λx1, λx2), onde λ e´
uma constante positiva:
f(λx1, λx2) = min(2(λx1), (λx1) + (λx2)) = min(λ2x1, λ(x1 + x2)) = λmin(2x1, x1 + x2)
Implicac¸o˜es da homogeneidade de grau 1: a func¸a˜o custo sere´ linear no produto e a tecnologia tera´
retornos constantes de escala.
(b) Derive a func¸a˜o custo da firma. Quais as demandas por fatores condicionadas?
No o´timo, 2x1 = x1 + x2 ⇒ x1 = x2. Desta forma, a restric¸a˜o do problema de minimizac¸a˜o de custo fica
2x1 = y ⇒ x1 = y/2. Usando esses fatos, a func¸a˜o custo e´:
c(w1, w2, y) = (w1 + w2)y/2
Pelo Lema de Shepard, as demandas por fatores condicionadas sa˜o:
∂c(w1, w2, y)
∂w1
= x1(w1, w2, y) = y/2
∂c(w1, w2, y)
∂w2
= x2(w1, w2, y) = y/2
(c) Suponha p = 2, 5, w1 = 3, w2 = 1. Se introduzirmos a restric¸a˜o x2 ≤ K, qual sera´ o n´ıvel de produc¸a˜o
de uma firma maximizadora de lucros?
Com os dados do problema, a func¸a˜o lucro e´:
pi = 2, 5 min(2x1, x1 + x2)− 3x1 − x2
No o´timo,
pi∗ = 2, 5.2.x1 − 4.x1 = x1
Para maximizar o lucro, a restric¸a˜o x2 ≤ K devera´ valer na igualdade e enta˜o teremos x1 = x2 = K e o
n´ıvel de produc¸a˜o o´timo sera´ 2K.
5. Considere um mercado perfeitamente competitivo descrito pelas seguintes equac¸o˜es:
Oferta: P = 2 +Qo
Demanda: P = 50−Qd
Para resolver esse exerc´ıcio, fazer um gra´fico com as curvas de oferta e demanda facilita.
(a) Encontre o prec¸o e quantidade de equil´ıbrio.
No equil´ıbrio, as curvas se cruzam e a quantidade de equil´ıbrio e´ dada por:
2 +Qo = 50−Qd ⇒ Q∗ = 24
E o prec¸o de equil´ıbrio sera´:
P ∗ = 2 + 24 = 26
(b) Suponha que o governo fixe um prec¸o P g = 40, e que para sustentar esse prec¸o, adquira todo o
excedente de produc¸a˜o. Isto posto, responda:
(i) Quanto o governo tera´ de adquirir de produc¸a˜o?
1
Ao prec¸o P g = 40, Qo = 38 e Qd = 10. Assim vemos que ha´ um excesso de oferta de 28 unidades do
produto e e´ essa quantidade que o governo devera´ adquirir.
(ii) Qual sera´ a variac¸a˜o do excedente do consumidor?
Antes da mudanc¸a de prec¸o, o excedente do consumidor era dado por:
EC1 = 24(50− 26)/2 = 288
E apo´s a mudanc¸a de prec¸o:
EC2 = 10(50− 40)/2 = 50
Assim, a variac¸a˜o do EC e´ 50− 288 = −238.
(iii) Qual sera´ a variac¸a˜o do excedente do produtor?
EP1 = 24(26)/2 = 312 EP2 = 38(40)/2 = 760
∆EP = EP2 − EP1 = 448
(iv) Qual o custo de intervenc¸a˜o para o governo?
O custo de intervenc¸a˜o sera´ dado por 40(28) = 1120, ou seja, o P g = 40 vezes o excedente de produc¸a˜o
comprado.
(v) O que acontece com o bem estar da sociedade como um todo?
∆BE = ∆EC + ∆EP + ∆G = −238 + 760− 1120 = −598
Onde ∆BE representa a variac¸a˜o do bem estar social.
6. Suponha que existam 100 firmas ideˆnticas numa indu´stria perfeitamente competitiva. Cada firma
tem uma func¸a˜o custo de curto prazo da forma:
C(q) =
q3
300
+ 0, 2q2 + 4q + 10
(a) Calcule a curva de oferta de curto prazo da firma com q como func¸a˜o do prec¸o de mercado p.
A curva de oferta e´ dada pela parte crescente da curva de custo marginal.
CMg =
∂C(q)
∂q
=
q2
100
+ 0, 4q + 4
Voceˆ deve checar que essa func¸a˜o e´ crescente para q > −20. Desta forma, como a produc¸a˜o e´ sempre
na˜o negativa, a curva de oferta coincide com a custa de CMg. Por fim, falta invertemos a func¸a˜o para
expressarmos q como func¸a˜o de p.
p = (q/10 + 2)2 ⇒ q/10 + 2 = (p)0,5 ⇒ q = 10√p− 20
(b) Sob a hipo´tese de que na˜o existem efeitos de interac¸a˜o entre os custos das firmas na indu´stria, calcule
a curva de oferta de curto prazo da indu´stria.
Oferta da indu´stria:
∑100
i=1 qi = 100q = 1000
√
p− 2000, pois as firmas sa˜o ideˆnticas.
(c) Suponha que a demanda de mercado e´ dada por Q = −200p + 8000. Qual e´ o equil´ıbrio de curto
prazo desse mercado?
O equil´ıbrio de mercado e´ dado por:
−200p+ 8000 = 1000√p− 2000⇒ 5√p+ p = 50
Chutando alguns valores para p, descobrimos que p = 25 e Q = 3000. Cada firma produzira´ q =
3000/100 = 30, tera´ um custo total de C(30) = 400, um custo me´dio de 13,3 e um lucro de 351.
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