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EAE0203 - Microeconomia I
Prof. Ricardo Madeira
Monitores: Paula Kasmirski e Murilo Moraes
Exerc´ıcios extras
2. Mostre:
(a) Que o custo marginal (CMg) e´ igual ao custo varia´vel me´dio (CVMe´) quando q = 0, onde q e´
a produc¸a˜o.
Suponha a seguinte func¸a˜o custo
C(q, p) = CV (q, p) + CF (p)
em que p representa um vetor de prec¸os dos fatores de produc¸a˜o (por exemplo, pode-
r´ıamos ter os prec¸os w e r para trabalho e capital), CV (·) representa o custo varia´vel
(ou seja, e´ uma func¸a˜o que depende de q) e CF (·) representa a parte do custo fixo
(pode ou na˜o depender dos prec¸os; o importante e´ na˜o variar com produc¸a˜o - ou seja,
ser um custo fixo). Assim temos que
CMg(q, p) =
∂C(q, p)
∂q
=
∂CV (q, p)
∂q
e
CVMe(q, p) =
CV (q, p)
q
.
Vamos avaliar a segunda equac¸a˜o no ponto q = 0. Ora, temos que nesse ponto essa
equac¸a˜o e´ indeterminada. Considerando que CV (0, p) = 0, podemos aplicar a regra de
l’Hoˆpital na equac¸a˜o acima; isto e´,
lim
q→0
CVMe(q, p) = lim
q→0
CV (q, p)
q
= lim
q→0
∂CV (q, p)/∂q
∂q/∂q
= lim
q→0
∂CV (q, p)
∂q
= lim
q→0
CMg(q, p).
(b) Que o CMg e´ igual ao custo me´dio (CMe´) quando q = argmin CMe´ (argmin significa o argumento
que minimiza), se CMe´ for uma func¸a˜o globalmente convexa.
Novamente, vamos definir as func¸o˜es. A func¸a˜o de custo marginal, definida no item
anterior e´ dada por
CMg(q, p) =
∂C(q, p)
∂q
enquanto a func¸a˜o de custo me´dio e´ dada por
CMe(q, p) =
C(q, p)
q
.
Suponha o seguinte problema:
min
q
CMe(q, p)
ou
min
q
C(q, p)
q
1
tal que obtemos a seguinte condic¸a˜o de primeira ordem1:
(∂C(q∗, p)/∂q) q∗ − C(q∗, p)
q∗2
= 0⇒ CMg(q∗, p) = C(q
∗, p)
q∗
= CMe(q∗, p).
3. Para as tecnologias abaixo, derive as func¸o˜es custo, custo me´dio e custo marginal de curto prazo,
supondo que o insumo 2 esta´ fixo no n´ıvel x2. Tambe´m derive a func¸a˜o de oferta. Fac¸a um gra´fico
contendo as quatro func¸o˜es.
O problema de minimizac¸a˜o de custo para uma func¸a˜o gene´rica f(x1, x2), aos prec¸os
dos insumos p1 e p2 e para um dado n´ıvel q de produto, e´ dado por:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2
s.a. f(x1, x2) = q
Se considerarmos x2 fixo no n´ıvel x¯2, temos
min
x1
p1x1 + p2x¯2
s.a. f(x1, x¯2) = q
Ora, nesse caso x1 fica determinado completamente pela restric¸a˜o; isto e´
f(x1, x¯2) = q ⇒ x1 = f−1(q, x¯2)
em que f−1(, ·) corresponde a` inversa da func¸a˜o f(·, ·) em relac¸a˜o ao primeiro argu-
mento. Apesar da notac¸a˜o parecer complexa, podemos entender claramente a equac¸a˜o
anterior a partir de um exemplo. Suponha
f(x1, x2) = x1x2.
Enta˜o,
f(x1, x¯2) = x1x¯2 = q ⇒ x1 = q
x¯2
= f−1(q, x¯2)
em que f−1(, ·) “significa” divida a func¸a˜o pelo segundo argumento (i.e., divida por x2).
Assim, as func¸o˜es custo exigidas pelo enunciado sera˜o
Custo C(q, p1, p2, x¯2) = p1f
−1(q, x¯2) + p2x¯2
Custo Me´dio CMe(q, p1, p2, x¯2) =
C(q,p1,p2,x¯2)
q =
p1f
−1(q, x¯2) + p2x¯2
q
Custo Marginal CMg(q, p1, p2, x¯2) =
∂C(q,p1,p2,x¯2)
∂q = p1
∂f−1(q, x¯2)
∂q
Considerando o prec¸o do produto igual a` p, temos que o problema do produtor sera´
max
q
pq − C(q, p1, p2)
ou, no caso de curto prazo,
max
q
pq − C(q, p1, p2, x¯2).
1note que usamos aqui a regra do quociente; isto e´,
∂f(a)/g(a)
∂a
=
f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)
g(a)2
2
Desse problema iremos obter a segunda condic¸a˜o de primeira ordem:
p− ∂C(q, p1, p2)
∂q
= 0⇒ p = CMg(q, p1, p2).
Ou seja, igualando o prec¸o ao custo marginal devemos obter uma equac¸a˜o q(p, p1, p2)
que representara´ a curva de oferta.
(a) f(x1, x2) = Ax
a
1x
b
2
Nesse caso temos
Axa1x¯
b
2 = q ⇒ x1 =
(
q
Ax¯b2
) 1
a
e
Custo C(q, p1, p2, x¯2) = p1
(
q
Ax¯b2
) 1
a
+ p2x¯2
Custo Me´dio CMe(q, p1, p2, x¯2) =
p1
(
q
Ax¯b2
) 1
a
+ p2x¯2
q
Custo Marginal CMg(q, p1, p2, x¯2) = p1
∂
(
q
Ax¯b2
) 1
a
∂q
=
p1
a
q
1−a
a(
Ax¯b2
) 1
a
A curva de oferta pode ser obtida por
p =
p1
a
q
1−a
a(
Ax¯b2
) 1
a
⇒ q =
p a (Ax¯b2) 1a
p1
 a1−a
(b) f(x1, x2) = x1 + x2
Para essa func¸a˜o de produc¸a˜o obtemos (considerando x¯2 ≤ q; caso contra´rio temos
x1 = 0)
x1 + x¯2 = q ⇒ x1 = q − x¯2
e
Custo C(q, p1, p2, x¯2) = p1 (q − x¯2) + p2x¯2 = p1q + (p1 − p2)x¯2
Custo Me´dio CMe(q, p1, p2, x¯2) = p1 +
(p1 − p2)x¯2
q
Custo Marginal CMg(q, p1, p2, x¯2) = p1
Da igualdade que define a curva de oferta (prec¸o igual ao custo marginal) temos
p = p1.
Isso significa que se o prec¸o ganho com cada unidade for inferior ao custo de cada
unidade, enta˜o a firma na˜o usara´ nenhuma unidade de x1 e a oferta sera´ apenas aquela
garantida pelo insumo fixo, x¯2. Caso contra´rio a firma estara´ disposta a produzir uma
quantidade infinita de produto:
q(p, p1, p2) =
 x¯2 , se p < p1q ∈ [0,+∞) , se p = p1
+∞ , se p > p1
3
(c) f(x1, x2) = min{x1, x2}
Nesse caso vamos considerar que x¯2 ≥ q (isso porque se x¯2 < q ⇒ f(x1, x¯2) = min{x1, x¯2} ≤
x¯2 < q ⇒ f(x1, x2) < q, i.e., a restric¸a˜o nunca sera´ atendida). A partir dessa hipo´tese,
temos que
min{x1, x¯2} = q ⇒ x1 = q
e
Custo C(q, p1, p2, x¯2) = p1q + p2x¯2
Custo Me´dio CMe(q, p1, p2, x¯2) = p1 +
p2x¯2
q
Custo Marginal CMg(q, p1, p2, x¯2) = p1
Novamente, devido ao custo marginal temos uma curva de oferta parecida com a do
item anterior; pore´m, como temos a func¸a˜o mı´nimo na˜o comprar nenhuma unidade de
x1 implica em produc¸a˜o nula. Mesmo incorrendo em um custo fixo, a firma desejara´
na˜o produzir nada caso o custo de cada unidade do insumo x1 supere a receita gerada
por essa unidade:
q(p, p1, p2) =
 0 , se p < p1q ∈ [0,+∞) , se p = p1
+∞ , se p > p1
4. Refac¸a o exerc´ıcio anterior, mas desta vez para o longo prazo (ou seja, agora os dois insumos podem
variar).
Nesse caso, temos a primeira versa˜o do problema de minimizac¸a˜o.
(a) Para o primeiro item devemos resolver o seguinte problema:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2
s.a. Axa1x
b
2 = q
cujo Lagrangeano associado sera´:
L = p1x1 + p2x2 + λ
(
q −Axa1xb2
)
com as seguintes condic¸o˜es de primeira ordem:
∂L
∂x1
= p1 − aλAxa−11 xb2 = 0⇒ p1 = aλAxa−11 xb2
∂L
∂x2
= p2 − bλAxa1xb−12 = 0⇒ p2 = bλAxa1xb−12 .
Dividindo a primeira pela segunda obtemos
a
b
x2
x1
=
p1
p2
⇒ x2 = x1 b
a
p1
p2
.
Substituindo na restric¸a˜o de produc¸a˜o obtemos
Axa1
(
x1
b
a
p1
p2
)b
= q ⇒ x∗1 =
[
q
A
(
a
b
p2
p1
)b] 1a+b
4
e
x∗2 =
[
q
A
(
b
a
p1
p2
)a] 1a+b
.
Assim, a func¸a˜o custo sera´:
C(q, p1, p2) = p1x
∗
1 + p2x
∗
2
= p1
[
q
A
(
a
b
p2
p1
)b] 1a+b
+ p2
[
q
A
(
b
a
p1
p2
)a] 1a+b
=
( q
A
) 1
a+b
p
a
a+b
1 p
a
a+b
2
[(a
b
) b
a+b
+
(
b
a
) a
a+b
]
=
( q
A
) 1
a+b
(p1
a
) a
a+b
(p2
b
) a
a+b
[a+ b] .
O custo me´dio por sua vez sera´
CMe(q, p1, p2) = q
1−a−b
a+b
(
1
A
) 1
a+b (p1
a
) a
a+b
(p2
b
) a
a+b
[a+ b]
e o custo marginal
CMg(q, p1, p2) =
(
1
a+ b
)
q
1−a−b
a+b
(
1
A
) 1
a+b (p1
a
) a
a+b
(p2
b
) a
a+b
[a+ b]
= q
1−a−b
a+b
(
1
A
) 1
a+b (p1
a
) a
a+b
(p2
b
) a
a+b
Igualando o custo marginal ao prec¸o obtemos
p = q
1−a−b
a+b
(
1
A
) 1
a+b (p1
a
) a
a+b
(p2
b
) a
a+b
e, portanto,
q(p, p1, p2) =
[
pA
1
a+b
(
a
p1
) a
a+b
(
b
p2
) a
a+b
] a+b
1−a−b
(b) Para o segundo item devemos resolver o seguinte problema:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2
s.a. x1 + x2 = q
cujo Lagrangeano associado sera´:
L = p1x1 + p2x2 + λ (q − x1 − x2)
com as seguintes condic¸o˜es de primeira ordem:
∂L
∂x1
= p1 − λ = 0⇒ p1 = λ
∂L
∂x2
= p2 − λ = 0⇒ p2 = λ.
Dividindo a primeira pela segunda obtemos
p1 = p2.
5
Ou seja, temos a restric¸a˜o comum a todos os casos em que os insumos sa˜o substitutos:
produtor escolhera´ o insumo com o prec¸o mais baixo (ou, no caso de igualdade entre
os prec¸os sera´ indiferente entre os insumos). Assim,
x∗1 =
 0, se p1 > p2x1 ∈ [0, q], se p1 = p2
q, se p1 < p2
e
x∗2 =
 0, se p2 > p1x2 ∈ [0, q], se p2 = p1
q, se p2 < p1
A func¸a˜o custo2 sera´
C(q, p1, p2) =
{
p1q, se p1 ≤ p2
p2q, se p1 ≥ p2
a de custo me´dio
CMe(q, p1, p2) =
{
p1, se p1 ≤ p2
p2, se p1 ≥ p2
e a de custo marginal
CMg(q, p1, p2) =
{
p1, se p1 ≤ p2
p2, se p1 ≥ p2
De maneira gene´rica, definindo pmin = min{p1,p2}, temos
C(q, p1, p2) = pminq,
CMe(q, p1, p2) = pmin
e
CMg(q, p1, p2) = pmin.
Igualando o custo marginal a` receita marginal (p = pmin), obtemos uma resposta ana´-
loga ao item c da questa˜o anterior:
q(p, p1, p2) =
 0 , se p < pminq ∈ [0,+∞) , se p = pmin
+∞ , se p > pmin
(c) Por fim, para o u´ltimo item temos o seguinte problema:
min
x1,x2
p1x1 + p2x2
s.a. min{x1, x2} = q.
Analisando a restric¸a˜o
min{x1, x2} = q
vemos que a maneira de minimizar o custo produzindo q e´ usando a mesma quantidade
de x1 e x2. E´ o´bvio que essa quantidade e´ x1 = x2 = q; alterar a quantidade dos
fatores para valores diferentes implicaria ou em custo desnecessa´rio ou na˜o estar´ıamos
atendendo a` restric¸a˜o. Portanto, temos
C(q, p1, p2) = (p1 + p2) q,
CMe(q, p1, p2) = p1 + p2
2Basta tomar as demandas anteriores e substituir em C(q, p1, p2) = p1x∗1 + p2x
∗
2; no caso em que p1 = p2
temos C(q, p1, p2) = p1
(
x∗1 + x
∗
2
)
= p2
(
x∗1 + x
∗
2
)
6
e
CMg(q, p1, p2) = p1 + p2.
Analogamente ao item anterior, temos a seguinte curva de oferta:
q(p, p1, p2) =
 0 , se p < p1 + p2q ∈ [0,+∞) , se p = p1 + p2
+∞ , se p > p1 + p2
7