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Presidência da República Ministério da Educação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Diretoria de Educação a Distância Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio Matem@tica na Pr@tica Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio Módulo I Jogo dos Discos Paulo Antonio Silvani Caetano Roberto Ribeiro Paterlini Matem@tica na Pr@tica Produção Editorial - Central de Texto Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo Projeto gráfico: Helton Bastos Paginação: Ronaldo Guarim Taques Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini Índices para catálogo sistemático: 1. Professores de matemática : Formação : Educação 370.71 Caetano, Paulo Antonio Silvani Jogo dos discos : módulo I. -- Cuiabá, MT : Central de Texto, 2013. -- (Matem@tica na pr@tica. Curso de especialização em ensino de matemática para o ensino médio) Bibliografia. ISBN 978-85-88696-90-7 1. Matemática - Estudo e ensino 2. Matemática - Formação de professores 3. Prática de ensino I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título. III. Série. 13-07111 CDD-370.71 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar) Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ) Desenvolvimento Instrucional Coordenação: Cristine Costa Barreto Designers instrucionais: Juliana Silva Bezerra, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff Responsáveis por este fascículo Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini. Leitores: Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo. Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, Leticia Terreri, Maria Matos e Wagner Beff Revisão: Paulo Alves Apresentação O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio na modalidade a distância, que está inserido no Plano de Ações Ar- ticuladas do Ministério da Educação. Esse plano tem como um de seus objetivos promover uma importante atividade de formação continuada dirigida a você, professor do ensino básico, incentivando a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos para que você possa criar, organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus estudantes e colegas de trabalho. O primeiro módulo de nosso curso consiste em três atividades práticas sobre temas que trazem importantes significados para a Matemática do ensino básico. Em seguida, você terá a oportunidade de refletir sobre essas atividades para, depois, dedicar-se à aplicação de uma delas em sua sala de aula. Neste fascículo, apresentamos a atividade prática denominada “jogo dos discos”, que é um experimento muito atraente para os estudantes envolvendo o lançamento aleatório de discos em um quadriculado. O jogo dos discos aborda o tema probabilidade geométrica e constitui uma oportunidade para o estudante refletir sobre conceitos de probabilidade, obtenção de dados a partir de um experimento, ajuste de curvas e modelagem de dados através de uma função. Seja bem-vindo ao jogo dos discos! Equipe do Matem@tica na Pr@tica Março, 2013 Sumário Ciclo I - Experimentando o Jogo dos Discos 9 1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11 2. A probabilidade em nosso cotidiano 14 3. E o improviso virou Matemática 16 4. Estudo do jogo dos discos 17 5. Da cartolina para o chão da escola 30 Ciclo II - Explorando o Jogo dos Discos 33 1. Recapitulando 35 2. O que há de novo neste Ciclo? 37 3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39 4. Probabilidade geométrica 42 5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 46 6. Nem tudo são parábolas 52 7. Lucrando com o jogo dos discos 54 8. Abordando outras situações específicas no jogo dos discos 56 Conclusão 59 Resumo 59 Orientações sobre avaliação 60 Encerramento 60 Referências 61 Sv ile n M ile v / S XC Ciclo I Experimentando o Jogo dos Discos ▹ Como utilizar jogos para estudar probabilidade? ▹ Qual a influência das regras no favorecimento de um jogador? ▹ Como o modelo matemático do jogo ajuda a fazer previsões? 1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 1. Um dia de cão... É possível prever ou não? Abro os olhos AssustAdA e me dou contA de que perdi A horA. tenho menos de 10 minutos pArA sAir de cAsA. pulo dA cAmA, pensAndo nA reunião mArcAdA há semAnAs por meu chefe, que não vAi com A minhA cArA. se me AtrAsAr, perco meu emprego! olho pelA jAnelA e nuvens cinzAs no céu sugerem frio e chuvA. meiAs... preciso de minhAs meiAs de lã. morro de frio nAquelA sAlA de reuniões, sempre com o Ar-condicionAdo no máximo. meiAs nA gAvetA de meiAs, conforme esperAdo. visto A primeirA roupA que vejo, corro pArA A sAlA, pego minhA bolsA e penduro no pescoço o pen-drive (não posso esquecer A ApresentAção em slides que pAssei A mAdrugAdA prepArAndo pArA Abrir A reunião). busco, freneticAmente, meu guArdA-chuvA! onde deixei mesmo? nossA, pode estAr em quAlquer lugAr dA cAsA! por que deixo o guArdA- chuvA cAdA diA em um lugAr diferente? deixA prA lá, vou ArriscAr sAir Assim mesmo. tomArA que não chovA logo... Abro A portA de cAsA e tropeço no jornAl. mesmo AtrAsAdA, leio A mAnchete e fico chocAdA com A notíciA sobre um Avião que cAiu, no meio do Atlântico, com mAis de 200 pAssAgeiros A bordo. que trAgédiA! AindA AtordoAdA com o desAstre, olho o relógio e me dou contA de que tenho que correr pArA o ponto de ônibus e que, se o dAnAdo AtrAsAr mAis de cinco minutos, eu não chego no trAbAlho A tempo. com A chuvA começAndo A cAir, AgorA mesmo é que A condução não tem horA prA pAssAr... 1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 11 mirAculosAmente, o ônibus chegA. subo os degrAus voAndo e sento no último lugAr vAgo. no meio do cAminho, cedo meu lugAr pArA umA mulher grávidA, imAginAndo se o bebê que elA cArregA é menino ou meninA. vou pArA o corredor do ônibus. que confusão! chego no trAbAlho e A chuvA ApertA. percebo que perdi o pen-drive no empurrA-empurrA do ônibus e, com ele, A ApresentAção dA reunião, o emprego, o Aluguel, As fériAs, tudo... que diA de cão! ensopAdA, AtrAsAdA e desolAdA. subo As escAdAs ApressAdA e logo encontro um colegA, sAindo dA sAlA de reuniões, com umA expressão de incredulidAde no rosto. penso: fui demitidA! meu colegA olhA prA mim e diz, com A voz fAlhA: você não vAi AcreditAr... o chefe gAnhou sozinho nA loteriA... descobriu hoje, Assim que entrou nA sAlA... subiu nA mesA de reunião, dAnçou um tAngo com o ventilAdor de pé, e pediu demissão! foi direto pro Aeroporto, pegAr o próximo voo pArA o egito. disse que queriA conversAr com A esfinge, e que você seriA A novA chefe... 12 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I O significado dos termos previsível e aleatório tem a ver com a noção de incerteza. Quanto maior a chance de ocorrência de um evento, maior nossa certeza em relação a ele. É o caso de chover em um dia nublado, de o ônibus atrasar em dias de chuva, com tráfego intenso, ... Atividade 1 O que é e o que não pode ser Na história em quadrinhos, diversos acontecimentos dão-se ao longo de uma tumultuada manhã. Do ponto de vista da personagem, selecione um acontecimento que você considera ser previsível e um acontecimento que você consi- dera ser não previsível ou aleatório. Justifique sua resposta. ⺸ Acontecimento previsível Justificativa ⺺ Acontecimento não previsível ou aleatório Justificativa Resposta comentada Dentre os possíveis acontecimentos que a personagem poderiaprever, você pode ter identificado: ㍟ A perda do emprego devido à sua chegada atrasada na reunião, justificada pelo conhecimento das polí- ticas da empresa e da personalidade de seu chefe; ㍟ O dia ser chuvoso e frio, justificado pelas nuvens cinzentas; ㍟ Ter facilidade para encontrar as meias e dificuldade para encontrar o guarda-chuva, justificado por haver um lugar específico onde ela guarda suas meias. Dentre os acontecimentos aleatórios que a personagem não poderia prever, você pode ter identificado: ㍟ O sexo do bebê, pois as chances são iguais para menino ou menina; ㍟ A manchete do jornal sobre a queda do avião, por se tratar de um evento raro, não esperado. ㍟ O ônibus ter chegado rápido, por se tratar de um dia chuvoso e horário de tráfego intenso; ㍟ O chefe ter ganho sozinho na loteria, pois se trata de um acontecimento extremamente raro, de natureza imprevisível. ㍟ A promoção para o cargo de chefia, pois dependeu do fato de o chefe ter ganho sozinho na loteria. 1. Um dia de cão... É possível prever ou não? 13 Figura 1: Como avaliar uma incerteza? Na atividade anterior, refletimos sobre o termo aleatório, relacionado com eventos ocorridos em uma conturbada manhã. Esperamos que você tenha entendido melhor o que é um evento aleatório. A chance de ocorrência de um evento aleatório é medida através de uma probabilida- de. Um dos objetivos desta atividade é compreender ainda melhor este conceito e buscar novas maneiras de apresentá-lo em sala de aula. 2. A probabilidade em nosso cotidiano A probabilidade aparece em nosso dia a dia de um jeito que nem nos damos conta. Por exemplo, hoje em dia muitas pessoas pagam um plano de saúde e o valor da mensalidade envolve cálculos de probabilidades. A empresa que oferece o plano de saúde recebe men- salidades de diferentes usuários, desde crianças recém-nascidas até pessoas idosas. Com os recursos recolhidos mensalmente, a empresa tem de pagar as despesas de consultas, operações e procedimentos diversos solicitados por eles. Figura 2: Alguns procedimentos cobertos por planos de saúde Além disso, precisa sustentar sua estrutura operacional, como funcionários, prédios, veículos, impostos, etc. Os donos da empresa também querem que, no final do mês, sobre um lucro para eles mesmos. Saiba Mais O que é evento aleatório? É um acontecimento com resultado imprevisível. Por exemplo, se lançamos para cima uma moeda qualquer e a deixamos cair em um piso duro, não temos como prever qual a posição em que ela vai ficar, após cessar seu movimento. É quase certo que ela fique sobre uma de suas faces, mas não temos como prever qual. Fo to s: R ic ar do M ig ue l C ar rió n Ca rr ac ed o Fo to s: F er na nd o A ud ib er t – Ju lie E lli ot t- A bs hi re – Je in ny S ol is S . / SX C Ev a Sc hu st er / S XC 14 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I Como calcular a mensalidade a ser cobrada dos clientes de modo que esse recurso seja suficiente para a empresa pagar suas despesas? Como a empresa pode prever quan- tos clientes vão ter um determinado problema de saúde, quantas consultas vão solicitar, exames clínicos, operações, etc? Ao fazer esses cálculos, a empresa usa a teoria das probabilidades para estimar a ocorrência de problemas e necessidades de saúde na população. Calculando essas proba- bilidades, e conhecendo o perfil de seus clientes, a empresa pode saber qual a provável despesa que terá em um determinado mês. Por exemplo, não faz sentido esperar que um homem faça uma operação de ligadura de trompas, nem que uma mulher tenha câncer de próstata. Também é pouco provável que uma criança utilize os serviços relacionados a doenças do coração e que moradores de cidades pacatas tenham problemas de estresse. Como você já deve ter percebido, a probabilidade está presente em nossas vidas e possui importância na sociedade atual, justificando a escolha deste tema como abertura do primeiro módulo do curso Matem@tica na Pr@tica. Antes de prosseguirmos, reflita sobre a seguinte pergunta: quais são os recursos e métodos que você mais utiliza para ensinar probabilidade em sala de aula? Figura 3: O valor da mensalidade de um plano de saúde é determinado pela probabilidade de utilização de seus serviços, variando de acordo com a localidade, idade, sexo, etc. de seus clientes. Figura 4: Estes objetos sempre marcam presença nas aulas de probabilidade Diria que há uma grande chance de você ter respondido que usa dados, dominó ou cartas. Estes instrumentos são muito importantes e bastante úteis. Mas será que podemos ir mais além? Que tal construir um jogo diferente que envolva os conceitos de probabili- dade, polígonos regulares, funções quadráticas e gráficos? A seguir, apresentamos um jogo que vai proporcionar a você, professor, uma oportu- nidade de mobilizar os estudantes de sua sala de aula em uma atividade em grupo muito interessante. A aprendizagem da probabilidade é fundamental para a compreensão de fenômenos naturais e do cotidiano. O documento Matriz de Referência para o Enem-2009 indica que, ao término do Ensino Médio, o aluno deve ter desenvolvido a seguinte competência: “Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais, e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de proba- bilidade para interpretar informações de variáveis, apresentadas em uma distribuição estatística”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem que o desenvolvimento da temática probabilidade seja abordado através de situações de aprendizagem que orientem os estudantes a coletar, organizar e analisar informações. No Caderno do SAEB 2009 encontramos o dado de que apenas 24% dos estudantes conseguem compreender o cálculo da probabilidade de um evento. Tal fato indica que os professores precisam trabalhar mais forte- mente essa habilidade, principalmente para atender às demandas da matriz de referência para o Enem-2009. Janela Pedagógica Documentos de referência e probabilidade Fo to s: A m r S af ey – J ea n Sc he ije n – J ei nn y So lis S. / S XC – R ic ar do M ig ue l C ar rió n Ca rr ac ed o V an ge lis T ho m ai di s / S XC 2. A probabilidade em nosso cotidiano 15 3. E o improviso virou Matemática Na França, no século XVIII, era moda ladrilhar pisos de castelos e jardins. As crianças não perderam tempo e logo fizeram desses ladrilhos um grande tabuleiro. Inventaram o jogo dos discos, lançando moedas aleatoriamente no piso e apostando na parada da moeda no interior de um ladrilho. Mas que fatores contribuíam para uma criança ganhar a aposta e ver sua moeda intei- ramente dentro de um ladrilho, num lançamento aleatório, sem tocar nenhuma de suas bordas? As crianças mais espertas logo perceberam que o diâmetro da moeda e o tamanho dos ladrilhos influenciavam, e muito, na probabilidade de ganho deste jogo. Figura 5: O Jogo dos Discos – ganha quem lançar o disco no interior de um ladrilho, sem tocar nenhuma de suas bordas. As crianças gostam de jogos que envolvam lançamentos de objetos em pisos quadri- culados. O jogo dos discos pode ser praticado por nossas crianças e, ainda por cima, ajudar nossos estudantes a aprender Matemática. Não acredita? Então, leia o texto a seguir, onde é feita uma proposta de atividade com esse jogo para o ensino da Matemática. Formandos antenados! Na festa anual, promovida por sua escola, os estudantes do terceiro ano do Ensino Médio resolveram montar uma barraca para arrecadar fundos para a realização da tão sonhada festa de formatura. Alguns estudantes queriam montar uma barraca de doces, outros queriam vender refrigerantes e salgados, mas a maior parte da turma pensou em bolar um jogo de apostas. Só faltava saber qual seria o jogo, que deveria ser simples e interessante. Depois de muitadiscussão e nenhuma definição, a turma resolveu pedir ajuda ao professor de Matemática. O professor, lembrando-se do Conde de Buffon, levou a turma para o pátio da escola e mostrou o piso quadriculado, com ladrilhos quadrados de 30 cm de lado. Neste momento, o professor fez a seguinte sugestão: Que tal construir discos com um certo diâme- tro para serem comprados pelos convidados e jo- gados “aleatoriamente” no piso? Se o disco, depois Fo to s: M ar ce lo d os S an to s – M ic ha el a M as la rs ka – V al be r C or te z / S XC Saiba Mais Probabilidade e Geometria, um casamento perfeito A imagem é do naturalista e matemático Georges Louis Leclerc, o Conde de Buffon (1707–1788). Ele discutiu a probabilidade de ganho no jogo dos discos, num livro em 1777, juntamente com o famoso problema da agulha. Diz a História que este livro é o primeiro tratado conhecido sobre Probabilidade Geométrica. D or a Pe te / S XC <h tt p: //e vo lu ci on is m o. ni ng .c om /p ho to /2 39 33 47 :P ho to :3 2/ pr ev ?c on te xt =u se r> 16 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I de parar, ficar inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar ou interceptar as linhas de separação do ladrilhamento, o convidado receberá um prêmio. Posições favoráveis ao jogador Posições favoráveis aos formandos Figura 6: Regra básica para o jogo dos discos Os alunos adoraram a ideia e, na mesma hora, começaram a pensar qual seria o melhor diâmetro para os discos. Claro que quanto maior melhor, pensaram... O professor completou: Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos, pois os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm chance de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual seria o diâmetro ideal? Vamos resolver este problema em sala de aula? Então, você gostou da sugestão do professor? Ele foi bem esperto, não acha? Conseguiu motivar os estudantes para suas aulas e ainda propôs o ensino de probabilidade de forma lúdica, agradável e significativa. Você também pode propor esse jogo para os seus estudantes. Mas para que essa ati- vidade dê certo, você precisa dominar todo o processo de construção do conhecimento proporcionado por ele. Como? Estudando e experimentando. E vamos começar agora! 4. Estudo do jogo dos discos Nosso primeiro objetivo é determinar qual é a influência do diâmetro do disco e do tamanho dos lados dos ladrilhos na probabilidade de o jogador ganhar com lançamentos aleatórios no jogo dos discos. Para estudar os conceitos matemáticos envolvidos, vamos fazer vários experimentos considerando discos de diâmetros variados. Faremos muitos lançamentos aleatórios e anotaremos tudo, para comparar as jogadas vencedoras com o total delas. Podemos sair por aí e procurar pisos ladrilhados para fazer os lançamentos. Mas fica mais prático se adotarmos algumas simplificações, principalmente se quisermos executar os lançamentos em sala de aula. Nossa sugestão é construir um quadriculado, com qua- drados de 3 cm de lado, desenhados em papel cartolina de 42 cm 42 cm. O lado de 3 cm combina bem com moedas pequenas e botões de camisa. 4. Estudo do jogo dos discos 17 Uma vez construído o quadriculado, vamos inicialmente lançar moedas de 10 centavos como discos. O inconveniente das moedas é que, embora existam muitos tipos, elas não têm grande variação no diâmetro. Por isto, mais adiante, será preciso lançar também bo- tões de camisa com diâmetros variados, para explorar diversas possibilidades em nossos lançamentos. Mas, por ora, vamos colocar a cartolina quadriculada em uma mesa e lançar, aleato- riamente, moedas de 10 centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2 cm de diâmetro. Você pode lançar mais de uma moeda ao mesmo tempo. Veja na Figura 7 um exemplo de lançamento de cinco moedas de 10 centavos em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Como vimos nas regras do jogo, um lançamento (também denominado evento) é favorável se a moeda cair inteiramente dentro de um quadrado, e não favorável se tocar ou interceptar alguma linha do quadriculado. Como você pode ver na figura a seguir, os eventos C e D são favoráveis, e os eventos A, B e E são não favoráveis. A B C D E Figura 7: Quadriculado com cinco lançamentos, sendo dois favoráveis e três não favoráveis Fo to s: P au lo V as qu es d e M ira nd a Fo to s: A fo ns o Li m a / S XC Fo to s: A fo ns o Li m a / S XC 3 Após realizar os passos anteriores, está pronto o quadriculado formado por quadrados de 3 cm de lado. ⺺ Com o auxílio da régua e um esquadro (ou utilizando um par de esquadros), comece a construir o quadriculado, traçando segmentos de reta verticais e horizontais, partindo dos pontos marcados na folha. Material cartolina já recortada em 42 cm x 42 cm; régua; par de esquadros; fita adesiva e lápis Antes de tudo fixar a folha na mesa com uma fita adesiva, para evitar que ela se mova e prejudique a construção ⺸ Marque, com o auxílio da régua, pontos distantes 3 cm um do outro, ao longo de duas bordas da folha (uma horizontal e outra vertical). 18 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I Antes de iniciarmos os lançamentos, é importante fazermos algumas reflexões. Faça a atividade a seguir e pense nas questões propostas. Fo to s: R ic ar do M ig ue l C ar rió n Ca rr ac ed o – h tt p: //w w w .b cb .g ov .b r/ ?R EC O LH EM O ED A Fo to s: M oh am ed A ly – J ul io C ez ar – Z su zs an na K ili an – S an ja G je ne ro / S XC 1ª F am íli a de M oe da s do R ea l Valor Facial (R$) Diâmetro (mm) Peso (g) Espessura (mm) Bordo Material 0,01 20,00 2,96 1,20 Liso Aço inoxidável 0,05 21,00 3,27 1,20 Liso Aço inoxidável 0,10 22,00 3,59 1,20 Liso Aço inoxidável 0,25 23,50 4,78 1,40 Liso Aço inoxidável 0,50 23,00 3,92 1,20 Liso Aço inoxidável 1,00 24,00 4,27 1,20 Liso Aço inoxidável 2ª F am íli a de M oe da s do R ea l 0,01 17,00 2,43 1,65 Liso Aço revestido de cobre 0,05 22,00 4,10 1,65 Liso Aço revestido de cobre 0,10 20,00 4,80 2,23 Serrilhado Aço revestido de bronze 0,25 25,00 7,55 2,25 Serrilhado Aço revestido de bronze 0,50 (1998 a 2001) 23,00 9,25 2,85 Legenda* Cuproníquel 0,50 (2002 em diante) 23,00 6,80 2,85 Legenda* Aço inoxidável 1,00 (1998 a 2001) 27,00 7,84 1,95 Serrilha intermitente Cuproníquel (núcleo) e Alpaca (anel) 1,00 (2002 em diante) 27,00 7,00 1,95 Serrilha intermitente Aço inoxidável (núcleo) e Aço revestido de bronze (anel) * ORDEM E PROGRESSO BRASIL Fonte: Banco Central do Brasil Multimídia Em 1998, o Banco Central lançou a 2ª família de moedas do Real. Em vez do aço inoxidável, que reveste a 1ª família, as moedas da 2ª família são feitas de aço carbono, revestidas de cobre ou latão, com exceção da mo- eda de 50 centavos, que é feita com uma liga de cobre-níquel. A 2ª família de moedas tem cores, formatos e tamanhos diferentes das moedas da família anterior. Veja, nas tabelas ao lado, as carac- terísticas técnicas que diferenciam essas duas famílias de moedas. Para obter mais informações, você pode acessar o site: <http//www.bcb.gov.br/?MOEDAREAL> Atividade 2 Algumas questões para pensar ⺸ Como proceder com os lançamentos para que sejam aleatórios? ⺺ Um jogador, ao lançar uma moeda, chega bem perto e mira no centro de um quadrado. Seu lançamento é aleatório? 3 O que acontece se fizermos 1.000 lançamentos com uma moeda cujo diâ- metro é maior do que o lado do quadrado do quadriculado? ⺾ Um estudante, ao desenhar um quadriculado, usou um pincel de ponta grossa, que faz linhas de 3 mm. O que muda? ⻀ Um estudante foi solicitado pelo professor a fazer 200 lançamentos de uma determinada moeda. Teve a seguinte ideia para acelerar a contagem: arrumou dez moedas iguaise lançava as dez simultaneamente. Assim, fez apenas 20 lançamentos, mas contou 200. Isso pode? ⻂ Se for válido o lançamento de várias moedas de uma vez, para acelerar a contagem, o que fazer se, em um determinado lançamento, duas moedas ficarem so- brepostas? 4. Estudo do jogo dos discos 19 A B C D E As questões que você acabou de responder têm a ver com aspectos comumente levan- tados por alunos envolvidos no estudo de probabilidade, e é sempre bom refletir sobre elas antes de iniciar o desenvolvimento deste conteúdo. Além destes aspectos, há ainda alguns pontos que desejamos relembrar com você, antes de iniciarmos nosso experimento propriamente dito. Vamos lá? Você sabe que, para estimar uma probabilidade, devemos contar os casos favoráveis e dividir esse número por todos os casos possíveis. No caso do jogo dos discos, para se estimar a probabilidade de ganho com um deter- minado disco, devemos realizar um grande número de lançamentos com este disco, contar quantas vezes o disco parou inteiramente dentro de um quadrado (lançamento favorável) e dividir esse número de lançamentos favoráveis pelo número total de lançamentos reali- zados. O resultado dessa divisão é uma estimativa aproximada da probabilidade de ganho com o disco em questão. Por exemplo, a figura ilustra um lançamento aleatório de 5 moedas idênticas de 10 cen- tavos num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Nesta situação, podemos estimar a probabilidade de ganho com a moeda de 10 centavos, calculando a razão entre os lançamentos favoráveis (C e D) e o total de lançamentos (A, B, C, D e E). Na situação da figura acima, a probabilidade aproxima- da de ganho com a moeda de 10 centavos é: 2 0,4% 5 lançamentos favoráveis p total de lançamentos = = = ou 40% A probabilidade de ganho com um disco depende do seu diâmetro. Indicando o diâmetro por d (em cm), a probabilidade de ganho p será uma função de d, e, assim, escrevemos ( )p d . Fo to s: A fo ns o Li m a / S XC Resposta comentada Sentiu alguma dificuldade para responder às questões anteriores? Então preste atenção nas explicações a seguir. Perceba que, se a moeda for lançada horizontalmente e a certa distância do tabuleiro, pode-se praticamente assegurar que o lançamento é aleatório. A distância não precisa ser muito grande. Deve-se evitar “mirar” em um quadrado, ou “deixar cair” verticalmente a moeda. É preferível que não se- jam colocados obstáculos nos lados do quadriculado e nem colocar o quadriculado junto a paredes. Observe também que, ao lançar uma moeda ou um disco com diâmetro maior do que o lado dos quadrados do quadriculado, ele sempre tocará algum lado de um quadrado. Neste caso, o jogador nunca ganha. É importante que a espessura das linhas do quadriculado seja a mais fina possível, caso contrário o tamanho dessa espessura pode influenciar na probabilidade de ganho do jogador. No Ciclo 2, esta questão será tratada com maior profundidade. Para acelerar a contagem, você pode lançar várias moe- das ou discos idênticos de uma só vez, desde que haja um razoável espalhamento. Se dois discos caírem sobrepostos, pode-se retirar o de cima e fazer novo lançamento apenas com ele. 20 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I Considerando que a moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, na situação da Figura 7 temos ( )2 40%p ≈ . Mas será que essa informação corresponde à realidade? Em breve, você irá descobrir. Para prosseguir com nosso experimento, precisamos obter estimativas de ( )p d para outros valores de d. Deste modo, você pode fazer outros lançamentos com moedas de 25 centavos da segunda família de moedas do real, que possuem 2,5 cm de diâmetro, com botões idênticos de camisa, com cerca de 1,1 cm de diâmetro, e com botões idênticos de roupinhas de bebê, com cerca de 0,8 cm de diâmetro. Agora sim! Na atividade a seguir, você vai fazer o experimento por completo. Faça a atividade com cuidado e atenção. Não se esqueça que tudo deve ser registrado. A atividade experimental de lançamentos de moedas e botões em uma cartolina quadriculada, com quadrados de 3 cm de lado, também foi realizada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica. Atividade 3 Costurando conhecimento Com o quadriculado sugerido anteriormente (com qua- drados de 3 cm de lado, desenhado em papel cartolina de 42 cm x 42 cm), faça 200 lançamentos com cada um dos quatro tipos de discos indicados (moedas de 25 centavos, moedas de 10 centavos, botões idênticos de camisa e botões idênticos de roupinhas de bebê). Com isso, você irá estabelecer a relação existente entre o diâmetro do disco e a probabilidade de o jogador ganhar, lançando aleatoriamente esse disco em quadrados de 3 cm de lado. Lembre-se de que, ao lançarmos 200 vezes um disco de diâmetro d, a probabilidade estimada ( )p d de ganho com o disco é: ( ) 200 número de lançamentos favoráveis p d ≈ Deste modo, siga as instruções passo a passo: 1º passo Realize um lançamento com dez moedas de 10 centavos simultaneamente (discos de 2,0 cm de diâmetro). Repita esse procedimento 20 vezes. Sugerimos, para esse início do experimento, organizar os dados na tabela a seguir. Após registrar os dados obtidos, calcule a probabilidade de ganho com essa moeda. Tabela 1: Dados obtidos no lançamento das moedas de 10 centavos L Q F L Q F 1 10 11 10 2 10 12 10 3 10 13 10 4 10 14 10 5 10 15 10 6 10 16 10 7 10 17 10 8 10 18 10 9 10 19 10 10 10 20 10 T 100 T 100 L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas W ag ne r M ei ra B eff Fo to s: D an ie l W ild m an – J oh n N et tle sh ip – S la vo m ir U lic ny – T ro y N ew el l – F au st o G ili be rt i – P am R ot h / S XC – P au lo V as qu es d e M ira nd a – W ag ne r M ei ra B eff – R ic ar do M ig ue l C ar rió n Ca rr ac ed o 4. Estudo do jogo dos discos 21 2º passo Prossiga a experiência, fazendo lançamentos simultâneos com dez moedas de 25 centavos (discos de 2,5 cm de diâmetros). Continue registrando os dados obtidos na tabela a seguir e não se esqueça de calcular a probabilidade de ganho com essa moeda. Tabela 2: Dados obtidos no lançamento das moedas de 25 centavos L Q F L Q F 1 10 11 10 2 10 12 10 3 10 13 10 4 10 14 10 5 10 15 10 6 10 16 10 7 10 17 10 8 10 18 10 9 10 19 10 10 10 20 10 T 100 T 100 L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas 3º passo Faça agora lançamentos simultâneos, utilizando dez botões de camisa idênticos (discos com cerca de 1,1 cm de diâmetro). Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de ganho com esse botão. Tabela 3: Dados obtidos no lançamento dos botões de camisa L Q F L Q F 1 10 11 10 2 10 12 10 3 10 13 10 4 10 14 10 5 10 15 10 6 10 16 10 7 10 17 10 8 10 18 10 9 10 19 10 10 10 20 10 T 100 T 100 L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas 22 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I 4º passo Finalmente, faça lançamentos simultâneos, utili- zando dez botões de roupinha de bebê idênticos (discos com cerca de 0,8 cm de diâmetro). Preencha a tabela de dados e calcule a probabilidade de ganho com esse botão. Tabela 4: Dados obtidos no lançamento dos botões de roupinhas de bebê L Q F L Q F 1 10 11 10 2 10 12 10 3 10 13 10 4 10 14 10 5 10 15 10 6 10 16 10 7 10 17 10 8 10 18 10 9 10 19 10 10 10 20 10 T 100 T 100 L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas Imaginamos que você, professor, realizou todos os passos indicados anteriormente. Sugerimos, então, organizar os dados em outra tabela,como a que está a seguir: Tabela 5: Organizando os dados obtidos com lançamentos experimentais de discos com diâmetros variados Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm Tipo de disco Diâmetro (cm) Quant. de lançamentos Eventos favoráveis Probabilidade de ganho Agora, responda: ⺸ Qual foi a probabilidade encontrada no lançamento de 200 moedas de 10 centavos? Compare este valor com o valor encontrado no exemplo da Figura 7. Os dois resultados estão muito diferentes? Por que isso aconteceu? ⺺ Como você pode decidir se 200 lançamentos são su- ficientes para obter uma precisão de uma casa decimal no valor de ( )p d ? Não seriam necessários mais lançamentos? Será que 100 lançamentos não seriam suficientes? 4. Estudo do jogo dos discos 23 3 Imagine que você está realizando esse experimento em sala de aula. Um dos seus es- tudantes, ao lançar os discos no tabuleiro, con- jecturou que essa probabilidade seria a razão entre a área da superfície do disco pela área do quadrado. Com os conhecimentos obtidos até o momento, como será possível ver se o estudante fez uma boa conjectura? ⺾ Que dificuldades podemos encontrar para medir o diâmetro de uma moeda ou de botões, usando uma régua? Verifique qual a melhor forma de obter essa medida. Você pode fazer uma estimativa para o erro em seu método de medição? ⻀ Você deve ter observado que o texto dá a entender que, ao lançar discos em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, é melhor escolher discos com diâmetros espalhados no intervalo [0,3]. Por que isso? ⻂ Considerando que a probabilidade é um quociente, qual o menor valor que ela pode atingir e qual o maior valor? Resposta comentada Agora, vamos responder às questões propostas: 1▹ O valor encontrado com o lançamento de 200 moe- das provavelmente foi diferente daquele encontrado na situação da Figura 7, com apenas 5 moedas. Difi- cilmente, com 5 lançamentos, você obtém uma boa Uma conjectura é uma ideia baseada em suposições, com fundamento não ve- rificado, ou seja, não foi provada como verdadeira. 24 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I estimativa da probabilidade em questão. 2▹ Como não conhecemos o valor exato da probabilida- de, não temos como precisar quantas casas decimais exatas encontramos com 200 lançamentos. Quanto mais lançamentos fizermos com discos de um de- terminado diâmetro d, maiores serão as chances de obtermos uma estimativa melhor de ( )p d . Esta experiência, com grupos de estudantes que realiza- ram essa atividade, sugere que 200 lançamentos é uma quantidade adequada. Você, professor, também pode investigar isto. 3▹ Os experimentos não confirmam essa conjectura. Por exemplo, no caso da moeda de 10 centavos, com raio 1r = cm e quadrados de lado 3=� cm, pela conjec- tura do estudante teríamos ( ) 2 2 2 0,349 9 r p π π = = ≈ � , mas nos experimentos obtivemos (2) 0,135p ≈ . 4▹ Uma boa forma de medir diâmetros de discos é usar um paquímetro. Se usarmos uma régua numerada com centímetros, a precisão obtida será de 1 mm, isto se a régua foi bem fabricada. Uma forma de melhorar essa precisão é enfileirar dez discos, colocando-os bem alinhados, medir o total dos diâmetros e dividir por 10. Isto dá uma precisão de 0,1 mm. 5▹ Geralmente, o conhecimento dos va- lores assumidos por uma função em pontos bem espalhados em seu domínio fornece uma boa ideia da função. 6▹ Revendo a definição de probabilidade dada nesse texto, vemos que ela é um quociente em que o nume- rador é sempre menor que ou igual ao denominador. Portanto, o maior valor possível da probabilidade é 1. A probabilidade pode ser zero se não houver eventos favoráveis, pois nesse caso o numerador é zero. Os dados obtidos pela equipe estão organizados nas tabelas a seguir. Tabela 6: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica com moedas de 10 centavos L Q F L Q F 1 10 4 11 10 3 2 10 1 12 10 1 3 10 2 13 10 2 4 10 1 14 10 0 5 10 1 15 10 1 6 10 1 16 10 2 7 10 0 17 10 2 8 10 0 18 10 0 9 10 3 19 10 2 10 10 1 20 10 0 T 100 14 T 100 13 L = número do lançamento F = quantidade de lançamentos favoráveis Q = quantidade de moedas lançadas T = totalização das colunas Paquímetro é um instrumento de pre- cisão para medição de espessuras, diâ- metros e pequenas distâncias. 4. Estudo do jogo dos discos 25 Note que a equipe do Matem@tica na Pr@tica fez 200 lançamentos com moedas de 10 centavos, dos quais 14 13 27+ = foram favoráveis, obtendo uma estimativa para a pro- babilidade de ganho com esta moeda de: 27 0,135 13,5% 200 número de eventos favoráveis número total de eventos = = = Considerando que uma moeda de 10 centavos tem 2 cm de diâmetro, a equipe do Matem@tica na Pr@tica obteve (2) 0,135p ≈ O experimento prosseguiu com moedas de 25 centavos, que têm 2,5 cm de diâmetro, com botões de camisa de 1,1 cm de diâmetro e com botões de roupinha de bebê de 0,8 cm de diâmetro. Foram feitos 200 lançamentos para cada tipo de disco, e os resultados obtidos estão dispostos na tabela a seguir. Tabela 7: Dados obtidos pelo Matem@tica na Pr@tica. Lado do quadrado do quadriculado = 3 cm Tipo de disco Diâmetro (cm) Quant. de lançamentos Eventos favoráveis Probabilidade de ganho Botãozinho 0,8 200 117 0,585 58,5%= Botão 1,1 200 78 0,39 39%= Moeda R$ 0,10 2,0 200 27 0,135 13,5%= Moeda R$ 0,25 2,5 200 10 0,05 5%= Em resumo, para um quadriculado com quadrados de lado de 3 cm, a equipe do Ma- tem@tica na Pr@tica obteve as seguintes estimativas: (0,8) 0,585p ≈ (1,1) 0,39p ≈ (2) 0,135p ≈ (2,5) 0,05p ≈ Retomando nosso estudo... Agora que você já percebeu que existe uma relação entre o diâmetro do disco e a pro- babilidade de ganho com este disco, podemos caminhar na direção da questão levantada pelo professor de Matemática para os formandos da escola: “Vocês só precisam tomar cuidado na hora de determinar o diâmetro desses discos, pois os convidados da festa somente irão se interessar pelo jogo se acharem que têm chance de ganhar o prêmio. Agora me digam: qual será o diâmetro ideal? Vamos resolver este problema em sala de aula?” 26 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I LUCAS Destacar Nesta direção, vamos considerar inicialmente um jogo justo, em que a probabilidade de ganho é de 50%, num quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Qual deve ser o diâmetro do disco ? Já sabemos que devem ser considerados apenas diâmetros entre 0 cm e 3 cm, corres- pondentes a probabilidades de ganho entre 0% e 100%. Já que 50% é ponto médio entre 0% e 100%, a primeira ideia para o cálculo desse diâmetro é considerar o ponto médio de 0 cm e 3 cm, não acha professor? Sendo assim, o diâmetro do disco que ofereceria uma probabilidade de ganho de 50% seria de 1,5 cm. Será que esta consideração está correta? Os experimentos feitos até agora são suficientes para decidir isto? Examinando a Tabela 7, é fácil perceber que não. Os valores tabelados indicam que o diâmetro procurado deve ser algo entre 0,8 cm e 1,1 cm. Para obter uma informação mais precisa, você pode fazer lançamentos com discos de diâmetros intermediários, por exemplo 0,9 cm e 1,0 cm. Recursos computacionais podem ajudar nesse refinamento. Existe outra forma de obter essa informação. Que tal fazer um gráfico? É isso mesmo, podemos plotar os pontos ( ; ( ))d p d que já temos em um gráfico. Supondo que o gráfico da função ( )p d seja uma curva contínua, podemos desenhar uma curva que melhor se ajuste aos pontos plotados. Vamos fazer? Atividade 4 Visualizando probabilidades Utilize os eixos a seguir para plotar os dados que você obteve na Tabela 5. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 p(d) d Resposta comentada Seguem abaixo os dados plotados pela equipe do Ma- tem@tica na Pr@tica, conforme Tabela 7. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 p(d) d Observe que o eixo horizontal deste gráfico refere-se ao diâmetro ddos discos. Como nosso quadriculado é feito de quadrados de 3 cm de lado, indicamos a abscissa de 0 a 3. O eixo vertical deste gráfico refere-se à probabilidade ( )p d , A da m C ie si el sk i / SX C Plotar significa dese- nhar, especialmente um gráfico, basean- do-se em informa- ções fornecidas. 4. Estudo do jogo dos discos 27 O próximo passo é desenhar a curva contínua que melhor se ajusta a esses pontos. Depois de traçar a curva, e isso nós vamos deixar por sua conta, você vai observar que ela não é uma reta, parecendo ser parte de uma parábola com vértice em (3;0). A partir daí, fica fácil descobrir o diâmetro ideal dos discos para que o jogo seja justo. que pode assumir valores de 0 a 1 (ou de 0 a 100%, se for expresso em porcentagem). O gráfico mostra-nos os pontos obtidos nos experimen- tos (ver Tabela 7). Percebeu que existem dois pontos no grá- fico que não foram obtidos no experimento? A explicação é simples. Observe que, se um disco tiver 3 cm de diâmetro, a probabilidade de ganho do jogador é 0. Por isto. acrescenta- mos o ponto (3,0). Acrescentamos ainda o ponto (0,1), admi- tindo que se o disco tem diâmetro 0, então a probabilidade de ganho é total (é igual a 1). Portanto, no gráfico mostrado anteriormente foram marcados os pontos: (0;1) (0,8;0,58) (1,1;0,39) (2;0,135) (2,5;0,05) (3;0) Atividade 5 Utilize os eixos a seguir para fazer um esboço da curva ( )p d que melhor se ajusta aos valores obtidos pela equipe do Matem@tica na Pr@tica. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 p(d) d Agora, responda: ⺸ Qual deve ser o diâmetro aproximado do disco, para uma probabilidade de acerto de 0,5 ou 50%? ⺺ Você se lembra de que as funções 2( )p d ad bd c= + + são as que possuem gráfico na forma de uma parábola? Vamos supor que o gráfico seja, de fato, uma parábola, com vértice no ponto (3;0). Nestas circunstâncias, encontre os valores dos coeficientes a, b e c. Resposta comentada A curva ajustada pela equipe do Matem@tica na Pr@tica é apresentada a seguir: 28 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 p(d) d 7▹ Usando o gráfico, podemos resolver o problema, pensando de forma inversa, isto é, qual deve ser a abscissa que corresponde a uma ordenada de 0,5. Observe que podemos traçar uma linha horizontal com ordenada 0,5 (essa é a probabilidade de ganho que desejamos). Ela toca o gráfico em um ponto A. Deste ponto, traçamos uma linha vertical, que inter- cepta o eixo das abscissas no ponto 0,9. Veja: A 0.50 1 1.5 2 2.5 3 p(d) d 1 0.8 0.6 0.4 0.5 0.2 -0.2 0 A 0.5 0.9 0 1 1.5 2 2.5 3 p(d) d 1 0.8 0.6 0.4 0.5 0.2 -0.2 0 Portanto, será preciso um disco com 0,9 cm de diâmetro para obter uma probabilidade de 50%. Lembre-se de que esta é uma solução aproximada. 8▹ Precisamos, agora, descobrir os coeficientes da fun- ção 2( )p d ad bd c= + + . Assumindo que (0;3) é o vértice da parábola, segue que 3d = é uma raiz dupla e a expressão de ( )p d se simplifica na forma 2 2( ) ( 3) 6 9p d a d a d a d a= − = − + . Como o gráfico passa pelo ponto (0;1), segue que 9 1a = e, conse- quentemente, 1 9 a = , 2 3 b = − e 1c = . será que esse jogo pode servir de trAnsição entre o estudo de funções lineAres e funções quAdráticAs? 4. Estudo do jogo dos discos 29 5. Da cartolina para o chão da escola Professor, vamos agora variar nosso experimento? Os lançamentos no jogo dos discos também podem ser realizados no chão da escola, em pisos ladrilhados com quadrados. Um piso muito comum em áreas públicas são aqueles feitos com quadrados de 30 cm de lado. Para a experiência com esses pisos, podem ser construídos discos de vários diâmetros. Uma forma cômoda é comprar anéis de vedação de canos de esgoto, disponíveis em lojas de material de construção em vários diâmetros. Figura 8: CDs ou argolas também são boas opções de discos para tabuleiros de grandes dimensões Figura 9: Os anéis de vedação de canos de esgoto são ótimos discos para o nosso jogo Saiba Mais Suponha que o jogo dos discos aconteça em um quadriculado com os quadrados de 3 cm de lado, deslocados como na Figura à direita. Você acha que essa disposição acarreta resultados diferentes dos anteriores? Como se pode verificar isso? Uma forma de verificar é fazer experimentos com esse novo quadriculado e comparar os resultados com o quadriculado anterior. Naturalmente, os quadrados de ambos os quadriculados devem ter o mesmo lado. Mas, vamos pensar... Imagine que a posição do disco, depois de lançado, depende apenas de seu centro. Isso é bem razoável, pois é bastante provável que o disco caia “deitado”. Assim, quando o disco é lançado, podemos imaginar que seu centro “escolhe” um quadrado onde cair (se o quadriculado for suficientemente grande, ele tem de escolher um quadrado). Então não importa se o quadrado escolhido estiver deslocado em relação ao que está abaixo ou acima. No Ciclo 2, vamos aplicar uma certa teoria e isto vai ficar mais claro. Pa ul o V as qu es d e M ira nd a Fo to s: M ig ue l U ga ld e – H az el M oo re / S XC 30 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo I Conclusão Você gostou da escolha do jogo dos discos como uma das atividades deste curso? Entendemos que o jogo dos discos é uma atividade prática que aproxima os conteúdos acadêmicos do “chão da escola”. Trata-se de uma atividade simples e motivadora para os estudantes, facilmente aplicável pelo professor em sala de aula. Existem muitos problemas envolvendo probabilidade geométrica. O jogo dos discos, que acabamos de experimentar, é apenas um exemplo. Você pode pesquisar outros pro- blemas interessantes, relacionados ao tema, criar algumas atividades e aplicá-las com os seus alunos. No decorrer deste módulo, você também poderá fazer uma interação do jogo dos discos com o desafio dos polígonos regulares. Com isso, terminamos a primeira parte de nossa apresentação do jogo dos discos. Esperamos que você tenha gostado da nossa proposta. Até a próxima! Resumo Durante este Ciclo: ▹ Experimentamos o jogo dos discos, que consiste em lançar aleatoriamente discos em um quadriculado e observar se o disco fica inteiramente dentro de um dos qua- drados do quadriculado; ▹ Vimos que, neste jogo, a probabilidade do disco ficar inteiramente dentro de um quadrado depende do lado do quadrado e do diâmetro do disco; ▹ Construímos um gráfico com os pontos obtidos no experimento e chegamos a um traço que indica ser um pedaço de parábola. ▹ Por fim, através do gráfico que representa a probabilidade em função do diâmetro do disco, vimos que é possível determinar a chance de o jogador realizar uma jogada favorável. Informações para o próximo ciclo Professor, no Ciclo 2 retomaremos o estudo do jogo dos discos. Ali faremos uma abor- dagem mais teórica e obteremos uma expressão exata para a função p(d). Figura 10: Imagine só como ficaria interessante o jogo dos discos em um ladrilhamento hexagonal. Pa ul o V as qu es d e M ira nd a 5. Da cartolina para o chão da escola 31 Sv ile n M ile v / S XC Ciclo II Explorando o Jogo dos Discos Bem-vindo, professor, ao Ciclo 2 do jogo dos discos. No Ciclo 1 você experimentou o jogo dos discos e percebeu como ele pode ajudá-lo a pensar sobre probabilidade e a trabalhar com este conceito na sua sala de aula. Neste Ciclo vamos desenvolver uma abordagem mais teórica para o jogo dos discos, explorando questões ligadas à probabilidade geométrica. Para começar, reflita sobre as seguintes questões: ▹ Como podemos construir uma análise matemática mais elaborada para o jogo dos discos? ▹ Como podemos obter uma expressão algébrica para a probabilidade envolvida no jogo dos discos a partir da geometria de seus elementos? ▹ De que forma a articulação entre uma abordagem experimental e uma abordagem teórica pode enriquecer suasaulas de probabilidade? O QUE VOCÊ ACHOU DO CICLO 1 DO JOGO DOS DISCOS? EU ADOREI ESSA PROPOSTA DE ENSINAR MATEMÁTICA ATRAVÉS DE EXPERIEMENTOS. OI, MEU NOME É JOSÉ E EU TAMBÉM ESTOU FAZENDO MATEM@TICA NA PR@TICA. ACHO QUE VOU APROVEITAR ESSA IDEIA E CRIAR UM PROJETO SOBRE O DESAFIO DO JOGO DOS DISCOS LÁ NA ESCOLA lEMBRA QUE CONSTRUÍMOS UM QUADRICULADO COM 3 CM DE LADO? DEPOIS FIZEMOS VÁRIOS LANÇAMENTOS COM MOEDAS E BOTÕES DE DIVERSOS DIÂMETROS? COM ESSE GRÁFICO CONSEGUIMOS DETERMINAR O DIÂMETRO APROXIMADO DO DISCO PARA UMA PROBABILIDADE DE 50%. DETERMINAMOS A PROBABILIDADE APROXIMADA DAS MOEDAS E BOTÕES FICAREM DENTRO DE UM QUADRADO EM LANÇAMENTOS ALEATÓRIOS NO QUADRICULADO. MAS, QUE TAL RELEMBRARMOS RAPIDAMENTE O QUE FIZEMOS NO CICLO 1? DEPOIS, COM OS DADOS OBTIDOS, CONSTRUÍMOS O GRÁFICO DA PROBABILIDADE EM FUNÇÃO DO DIÂMETRO DO DISCO. MAS... E AGORA? O QUE SERÁ QUE NOS ESPERA PARA O CICLO 2? ESSA ATIVIDADE FOI BEM LEGAL! 1. Recapitulando 1. Recapitulando 35 Figura 1: A imagem do lançamento de CDs em um piso quadriculado mostra dois exemplos: jogadas favoráveis (indicadas por setas), onde os discos estão inteiramente dentro do quadrado, sem encostar nas bordas, e jogadas não favoráveis, onde os CDs estão sobrepostos à borda do ladrilhamento A história em quadrinhos nos ajudou a lembrar brevemente a experimentação do jogo dos discos realizada no primeiro Ciclo. Vamos pensar agora em algumas questões específicas que foram trabalhadas? Estas questões nos ajudarão a refletir sobre os conceitos que iremos desenvolver neste Ciclo 2. No Ciclo 1 vimos a história de uma turma de formandos do terceiro ano do Ensino Médio que precisava arrecadar fundos para a realização da sua festa de formatura e pediu ajuda ao professor de Matemática da escola... Você lembra qual foi a sugestão do professor para a turma de formandos? Ele sugeriu aos estudantes o uso do jogo dos discos para arrecadar fundos na festa da escola. Nesse jogo, os participantes comprariam lançamentos de discos e receberiam prêmios pelos lançamentos favoráveis. Mas você lembra o que é um lançamento favorável? No jogo dos discos, um lançamento é considerado favorável quando o disco, lançado aleatoriamente em um plano quadriculado, para inteiramente dentro de um quadrado sem tocar ou ficar sobreposto às linhas do quadriculado. Assim, na história dos formandos, se o participante fizesse um lançamento favorável, ele lucraria. Se, ao contrário, não conseguisse fazer este tipo de lançamento, os formandos lucrariam. Com esse lucro, os estudantes ganhariam dinheiro para a festa de formatura. O professor, ao propor o uso do jogo dos discos aos formandos, levou a turma para o pátio e mostrou que o chão era todo ladrilhado com quadrados de 30 cm de lado. Desse modo, a turma só precisaria construir os discos. Mas qual o diâmetro ideal para esses discos? Esse era o problema que os estudantes teriam que resolver. No Ciclo 1 propusemos que você resolvesse essa mesma questão dos estudantes formandos... M ig ue l U ga ld e / S XC – E qu ip e do M at em @ tic a na P r@ tic a 36 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II ... e para resolver você fez vários experimentos lançando discos de diâmetros varia- dos em um plano quadriculado. Ao comparar esses lançamentos, foi possível entender, experimentalmente, como o diâmetro do disco influencia na probabilidade de ele cair inteiramente dentro de um dos quadrados do quadriculado. No Ciclo 1 percebemos ainda que a probabilidade de o disco cair dentro de um dos quadrados de um quadriculado depende não só do diâmetro do disco, mas também do lado do quadrado. Todo esse conhecimento adquirido no Ciclo 1 será de grande importância na nova abor- dagem que iremos construir neste Ciclo 2. Por isso começamos com esta recapitulação! Aqui, neste segundo Ciclo, vamos dar um tratamento algébrico ao jogo dos discos, resgatando sempre os experimentos realizados anteriormente. Agora que nossa memória foi atiçada, vamos pensar sobre a nova abordagem que iremos desenvolver no Ciclo 2? 2. O que há de novo neste Ciclo? Neste Ciclo iremos determinar precisamente a probabilidade de um lançamento ser favorável no jogo dos discos, utilizando o conceito de Probabilidade Geométrica. No Ciclo 1 você obteve, através de experimentos, estimativas para a probabilidade de lançamento favorável no jogo dos discos em função do diâmetro. Neste Ciclo iremos fazer uma abordagem teórica para obter uma fórmula algébrica exata para essa função ( ( ))p d . Você deve estar se perguntando: por que fazer uma abordagem teórica se já resolve- mos o problema experimentalmente? A abordagem teórica irá fornecer uma expressão exata para a função probabilidade, e não estimada, como no método experimental. Além disso, a teoria pode evitar a necessi- dade da construção do experimento. Não é o nosso caso, mas um experimento pode ser muito custoso. Lembramos que a expressão exata pode conter parâmetros (como o lado variável do quadrado do quadriculado), permitindo, assim, estabelecer a probabilidade do jogo dos discos em qualquer quadriculado. Mas como faremos isso? Já que temos um problema para resolver, iremos adotar a seguinte estratégia de reso- lução, que você também pode adotar com seus estudantes. ETAPA ⺸ Para resolução do problema W ag ne r M ei ra B eff D en iz O ng ar / S XC 2. O que há de novo neste Ciclo? 37 Estratégia para resolução de problemas Identificar o problema e formular o que desejamos saber. Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. Verificar se existem teorias que podem ser aplicadas. Validar a interpretação recorrendo a informações conhecidas. Aplicar a teoria e interpretar o problema através de linguagem adequada (funções, fórmulas, gráficos, tabelas, etc.) Utilizar o modelo construído para explicar, fazer previsões, etc. p(d) P 0 0 1 10 20 30 d 0 L 02 04 06 08 1 D en iz O ng ar / S XC O ve T øp fe r / SX C M ig ue l U ga ld e / S XC H ar ris on K ee ly / S XC G ui lle rm o A lv ar ez / S XC 38 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II Essa foi a estratégia que escolhemos para resolver o desafio de expressar algebrica- mente a probabilidade do jogo dos discos. Esperamos que você se identifique com ela! Ao longo desse desafio, você encontrará as imagens acima nas margens de algumas páginas. Essas imagens indicarão as etapas da resolução do problema pela qual você estará passando. A primeira imagem, que representa a etapa de identificação e formulação do problema, já apareceu... Volte algumas páginas e a encontre. Ela está mostrando exata- mente qual o problema que iremos resolver! Então, vamos começar a pensar sobre este problema? 3. Posicionamento dos discos no quadriculado Você deve estar lembrado de que no Ciclo 1 realizamos todos os experimentos em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado que nós mesmos construímos. No entanto, na sugestão do professor de Matemática para a turma de formandos, o quadriculado era o próprio piso da escola, formado por quadrados de 30 cm de lado. Fo to s: P au lo V as qu es M ira nd a 3. Posicionamento dos discos no quadriculado 39 Como podemos passar do caso estudado no Ciclo 1, com o quadriculado formado por quadrados de 3 cm de lado, para um caso mais geral, sem especificar o valor do lado dos quadrados do quadriculado? Isto é, como podemos generalizar a probabilidade do jogo dos discos? A generalização em Matemática é fundamental quando pretendemos validar os dados obtidos a partir de um determinado experimento. Este é um aspecto muito importante da Matemática que merece ser trabalhado com os alunos da Educação Básica, você não acha? Neste Ciclo buscaremos essa generalização. Ou seja, mais uma novidade desta aborda- gem!Esperamos que você consiga aproveitá-la em sua sala de aula. Mas vamos por partes... Inicialmente, vamos supor que a brincadeira ocorrerá em um plano quadriculado com quadrados, todos de mesmo lado L. Figura 2: Ao generalizar nosso estudo, L pode ter qualquer valor Figura 3: Impossível fazer uma cesta com uma bola maior do que o aro L L Vamos refletir sobre a relação entre o tamanho do lado do quadrado L e o diâmetro do disco lançado d? Para entendermos a probabilidade de lançamentos favoráveis em um quadriculado qualquer, precisamos pensar no diâmetro do disco que será lançado. A probabilidade p de um lançamento aleatório ser favorável é uma função do diâmetro d do disco que está sendo lançado e depende também do tamanho L dos quadrados do quadriculado. Indica- remos esta função probabilidade por ( )p d . O tamanho L , neste caso, funciona como um parâmetro da função ( )p d . Uma informação obtida com os experimentos do Ciclo 1 diz respeito aos discos com diâmetros maiores ou iguais ao lado dos quadrados do quadriculado. Discos com essa característica nunca proporcionarão jogadas favoráveis em lançamentos aleatórios, pois sempre tocarão as linhas do quadriculado. Na lógica matemática, esse fato é representado pela seguinte sentença: se d L≥ , então ( ) 0p d = Fica claro, então, que os valores interessantes para o diâmetro d estão no intervalo 0 d L≤ < . Lembre-se de que, quando d L= , a jogada nunca é favorável, e, portanto, ( ) 0p L = . Então, professor, qual é a condição geométrica para que um disco de diâmetro d esteja contido num quadrado de lado L? Para responder a essa pergunta vamos considerar somente a geometria do problema, sem nos preocuparmos se o lançamento é ou não favorável. M aa rt en U ile nb ro ek / S XC M ic ha el F ae s / S XC 40 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II Figura 4: Exemplos de discos de diâmetro d confinados em um quadrado de lado L. d/2 L Imagine a figura de um disco que foi lançado e está parando sobre um dos quadrados do quadriculado. Pense no disco confinado nesse quadrado, em todas as posições possí- veis, tocando ou não as bordas do quadrado. Observando a Figura 4, você consegue visualizar que a localização do centro de um disco confinado no quadrado determina a posição desse disco no quadrado? Em nossa abordagem teórica, podemos considerar que lançar um disco em um quadri- culado é o mesmo que lançar um ponto (que é o centro do disco) em qualquer um dos quadrados do quadriculado. Ainda observando a Figura 4, e considerando um grande número desses discos lança- dos no interior do quadrado do quadriculado, você consegue observar que seus centros geram tanto a borda quanto o interior de um outro quadrado menor? Você saberia deduzir o lado do quadrado menor formado em função do lado L do quadrado do quadriculado e do diâmetro d do disco? ETAPA ⺺ Para resolução do problema G ui lle rm o A lv ar ez / S XC 3. Posicionamento dos discos no quadriculado 41 Atividade 1 Que quadrado menor é esse? Observe a figura ao lado e deduza o tamanho do lado do quadrado menor formado pelos centros dos discos de diâmetro d confinados no quadrado de lado L. L d/2 Resposta comentada A figura mostra o quadrado gerado pelos centros dos discos de diâmetro d confinados em um quadrado de lado L do quadriculado. Certamente o lado desse novo quadrado é menor do que L . L d/2 L-d d—2 d—2 Note que a distância entre o lado do quadrado menor e o lado paralelo mais próximo do quadrado maior tem a mesma medida do raio do disco, que é 2 d , e, portanto, o lado do quadrado menor é 2 2 d d L L d− − = − . Você já conseguiu vislumbrar como a geometria dos quadrados da atividade anterior pode nos ajudar a resolver o problema de probabilidade do jogo dos discos? Vamos juntos pensar sobre isso... 4. Probabilidade geométrica Para discutirmos a relação entre geometria e probabilidade, vamos usar o conceito de probabilidade geométrica. Você o conhece? Para entender esse conceito, vejamos o caso de um meteorito que cai na Terra e atinge a superfície S do planeta em um ponto aleatório. Fotos: Henry Hingst – Lars Sundstrom / SXC 42 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II A B Como sabemos que aproximadamente 3 / 4 da superfície terrestre é formada pelos oceanos, podemos estimar que a probabilidade deste meteorito cair em terra firme é: 1 14 4 Ssuperfície terrestre formada por terra firme superfície total da Terra S ≈ = Com esta ideia chegamos ao conceito de probabilidade geométrica. Como você pode ver na figura ao lado, se tivermos uma região B do plano contida em uma região A, e se for escolhido ao acaso um ponto de A, a probabilidade de que esse ponto pertença a B é: área de B p área de A = Este conceito de probabilidade geométrica se aplica mesmo quando a área de região B for nula, como no caso de pontos, segmentos, arcos, etc. Assim, considerando o caso do meteorito, a probabilidade dele cair em terra firme de- pende apenas da área da superfície do planeta coberta por terra e da área total do planeta. O conceito de Probabilidade Geométrica é pouco trabalhado no Ensino Médio. Na escola, frequentemente o ensino de probabilidade se restringe apenas à contagem de casos favoráveis e casos possíveis. Porém, o trabalho com Probabilidade Geométrica pode ser muito interessante para que os alunos associem estudos de probabilidade e conheci- mentos geométricos. ETAPA 3 Para resolução do problema Considerando este conceito, você consegue deduzir qual seria a Probabilidade Geométrica de um lançamento favorável? Aplicando o conceito de probabilidade geométrica ao jogo dos discos para 0 d L≤ < , a região A corresponde a um dos quadrados de lado L do quadriculado, e a região B corres- ponde ao interior do quadrado de lado L d− , ou seja, à região dos lançamentos favoráveis. Quando 0d = , o disco é um ponto qualquer do interior do quadrado de lado L , que nesse caso corresponde à região B. Observando que a área de um quadrado é igual à área de seu interior, vemos que a probabilidade de um lançamento ser favorável é: O ve T øp fe r / SX C M aa rt en U ile nb ro ek / S XC 4. Probabilidade geométrica 43 Atividade 2 Descobrindo a expressão polinomial da função p (d) Você acabou de descobrir que os centros dos discos de diâmetro d, no interior de um quadrado de lado L, onde d L< , geram outro quadrado de lado L d− . Utilizando essa informação e o conceito de probabilida- de geométrica, obtemos: 2 2 ( ) ( ) área do quadrado de lado L d L d p d área do quadrado de lado L L − − = = Agora desenvolva ao máximo essa fórmula e tente des- cobrir a expressão polinomial da função ( )p d . Resposta comentada Desenvolvendo ( )p d , temos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 2 1 1 L d L L d d L L d d d d L L L L L L L − − + = = − + = − + daí, 2 2 1 2 p(d)= d - d +1 L L Portanto, ( )p d é uma função quadrática da forma 2( )p d ad bd c= + + , com 2 1 a L = , 2 b L = − e 1c = . ETAPA ⺾ Para resolução do problema ( ) área do quadrado de lado L d p d área do quadrado de lado L − = Nessa fórmula, L é um parâmetro que corresponde ao lado do quadrado do quadricu- lado, e d é uma variável que corresponde ao diâmetro do disco lançado, como explicamos. Quer ver mais claramente que tipo de função é ( )p d ? M ig ue l U ga ld e / S XC A da m C ie si el sk i / SX C 44 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II Figura 5: Gráfico de ( )p d . 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 d p L Com essa atividade, pudemos perceber que ( )p d é uma função quadrática. Esse tipo de função é trabalhado com frequência no Ensino Médio. O jogo dos discos é uma ferramen- ta interessante para você desenvolver esse tipo de função com seus estudantes de forma contextualizada e significativa. No jogo dos discos, temos uma funçãoquadrática na variável d: 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 ( )p d d d L d L L L = − + = − com (0) 1p = e ( ) 0p L = . Note que d L= é uma raiz dupla dessa função. Assim, o gráfico de ( )p d é parte de uma parábola com concavidade voltada para cima e tangente ao eixo horizontal na abscissa d L= . Já vimos o formato dessa curva no Ciclo 1, quando você construiu um gráfico como este a partir do lançamento de discos com diâmetros variados, lembra? Repetimos na figura anterior sua forma geral. A forma exata depende de atribuirmos a L um valor determinado. Agora que você conhece a expressão polinomial da função ( )p d , que nesse caso é uma função quadrática, vamos resgatar os dados experimentais obtidos no Ciclo 1 para discos de vários diâmetros e comparar com os valores assumidos pela função ( )p d para esses mesmos diâmetros. 4. Probabilidade geométrica 45 Atividade 3 Valores exatos para a probabilidade Vamos retomar o Ciclo 1, onde fizemos experi- mentos com um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado ( 3)L = . Nossos primeiros lançamen- tos foram feitos com uma moeda de dez centavos, com diâmetro de 2 cm ( 2)d = . Expresse a função ( )p d nesse caso e calcule o valor exato da probabilidade de uma jogada favorável para 2d = . Resposta comentada Utilizando a expressão polinomial que deduzimos ante- riormente e considerando 3L = , obtemos: 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 1 1 9 3 p d d d d d L L = − + = − + Calculando o valor assumido por ( )p d quando 2d = , obtemos: 1 2 1 (2) 4 2 1 0,111 9 3 9 p = ⋅ − ⋅ + = ≈ Portanto, para um disco com diâmetro de 2 cm e um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado, a probabili- dade de uma jogada favorável é exatamente 1 9 (a cada 9 lançamentos, temos a probabilidade de 1 ser favorável), ou, aproximadamente, 0,11. Em porcentagem, a probabilidade é de aproximadamente 11%. A da m C ie si el sk i - A fo ns o Li m a / S XC Agora que já encontramos a probabilidade exata de uma jogada favorável a partir de uma abordagem teórica, vamos entender como ela se diferencia da probabilidade expe- rimental obtida no Ciclo 1. 5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica A atividade anterior nos lembra o que fizemos no Ciclo 1, quando calculamos expe- rimentalmente a probabilidade de um lançamento favorável de uma moeda de 2 cm de diâmetro lançada em um quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. 46 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II Figura 6: Alguns lançamentos de moedas no quadriculado desenvolvido no Ciclo 1. Você lembra que a probabilidade experimental é: ( ) quantidade de lançamentos favoráveis p d quantidade total de lançamentos = Lá fizemos 200 lançamentos com a moeda e obtivemos 27 lançamentos favoráveis, resultando numa probabilidade estimada de 27 (2) 0,135 200 p ≈ = Neste Ciclo, através da probabilidade teórica ou geométrica, obtivemos, por meio da função quadrática, o valor exato: (2) 1/ 9 0,111p = ≈ Comparando os dois valores obtidos, podemos observar que existe um erro a ser considerado. Este erro pode ser calculado pela diferença positiva entre o valor exato e o experimental, ou seja: experimental exato( ) ( )E p d p d= − Nesse caso: 1 135 0,0238 9 E = − ≈ Fo to s: A fo ns o Li m a / S XC Ilk er / S XC 5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 47 Atividade 4 Calculando erros A Preencha as duas primeiras colunas da Tabela (i) com os dados que você obteve no Ciclo 1 ao lançar moedas e botões no quadriculado com quadrados de 3 cm de lado. Em segui- da, assumindo 3L = na expressão exata de ( )p d , preencha a próxima coluna com os valores exatos da probabilidade. Compare os resultados e preencha a coluna dos erros. Tabela (i): Comparando a probabilidade experimental com a probabilidade exata e estimando o erro Tipo de disco Diâmetro cm Pr ob ab ili da de ex pe ri m en ta l Pr ob ab ili da de ex at a Erro Botão de roupinha de bebê Botão camisa Moeda R$ 0,10 Moeda R$ 0,25 Fo to s: T er ri- A nn H an lo n – D av id S iq ue ira / S XC Ou seja, temos um erro menor do que 3%. Professor, por que existe essa diferença? O método experimental resulta em um valor aproximado para a probabilidade, pois leva em conta uma quantidade finita de possibilidades, que é dada pelo número de lan- çamentos que fizemos. Já o conceito de probabilidade geométrica considera como pos- sibilidades um conjunto infinito de pontos, que é medido pela sua área, servindo como referência para o valor exato da probabilidade em questão. Agora você já é capaz de comparar a probabilidade exata de uma jogada favorável com a probabilidade experimental encontrada usando como referência a expressão polino- mial de ( )p d . Com isto, você pode validar ou não a abordagem teórica, utilizando os resultados já conhecidos e analisando o erro existente entre essas duas abordagens. A atividade a seguir é bem simples e pode ser usada em sua sala de aula com seus alunos. Nela, você pode calcular a probabilidade exata para lançamentos de discos de di- ferentes diâmetros em um quadriculado com 3 cm de lado ( 3)L = . E ainda pode comparar com os resultados obtidos no Ciclo 1, analisando o erro entre a probabilidade experimental e a probabilidade exata. ETAPA ⻀ Para resolução do problema p(d) P 0 0 1 10 20 30 d 0 L 02 04 06 08 1 48 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II B Em uma escola, o desafio do jogo dos discos foi apli- cado em seu piso, formado por peças quadradas de 30 cm de lado. Os estudantes lançaram discos de borracha de vários diâmetros e obtiveram as probabilidades dis- postas na tabela (ii). Sua tarefa é completar essa tabela, comparando a probabilidade exata com a experimental e calculando o erro. Tabela (ii): Analisando as probabilidades obtidas em uma sala de aula Diâmetro (cm) Probabilidade experimental Probabilidade exata Erro 4 0,755 75,5%= 6 0,685 68,5%= 8 0,62 62%= 10 0,5 50%= 12 0,38 38%= 14 0,32 32%= Resposta comentada A Para completar a tabela (i), vamos em primeiro lugar descobrir qual é o valor da probabilidade exata para cada um dos discos, certo? Para isso, lembre-se de que: 2 2 1 2 ( ) 1p d d d L L = − + . Como o lado do quadriculado é igual a 3 cm ( 3)L = , a expressão da probabilidade exata é: 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 1 1 (3) (3) 9 3 p d d d d d= − + = − + Imaginando um botão de roupinha de bebê de 0,8 cm de diâmetro, o valor exato é determinado da seguinte forma: 2 21 2 1 2( ) 1 (0,8) (0,8) 1 0,53777... 9 3 9 3 p d d d= − + = − + = Para esse mesmo botão, a equipe do Matem@tica na Pr@tica obteve nos experimentos do Ciclo 1 uma probabilidade de 0,585. Repare que o valor que você obteve pode ter sido um pouco diferente! Agora já podemos comparar as duas probabilidades para o botão de 0,8 cm, calculando o valor do erro. Neste caso, o erro aproximado é: experimental exato( ) ( ) 0,585 0,538 0,047 0,05E p d p d= − ≈ − = ≈ Novamente, repare que a sua probabilidade experi- mental pode ter sido diferente e, então, seu erro será Ad am C ie si el sk i / SX C D am io n M or ga n / S XC 5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 49versus também um pouco diferente, já que ele depende da probabilidade experimental! Seguindo esse mesmo raciocínio, preenchemos a tabela (i) com os valores encontrados pela equipe do Matem@tica na Pr@tica da seguinte forma: Tipo de disco Diâmetro cm Probabilidade experimental Probabilidade exata Erro Botão de roupinha de bebê 0,8 0,585 0,538 0,05 Botão de camisa 1,1 0,39 0,401 0,01 Moeda de R$ 0,10 2,0 0,135 0,111 0,02 Moeda de R$ 0,25 2,5 0,05 0,027 0,02 B O raciocínio desta resposta é bem parecido com o anterior. O que muda em relação ao item (a) é que o piso da escola é formado por quadrados de 30 cm de lado. Logo, se 30L = , a expressão exata da probabilidadeé diferente da que foi encontrada no item (a), pois: 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 1 1 (30) (30) 900 15 p d d d d d= − + = − + Considerando um disco de 4 cm de diâmetro, o valor exato da probabilidade pode ser calculado de forma análoga ao anterior: ( ) 21 1 1694 (4) (4) 1 0,75111... 900 15 225 p = − + = = Para esse disco obtivemos em nossos experimentos uma probabilidade de 0,755. Sendo assim, podemos comparar as probabilidades calculando o valor do erro: 0,755 0,751 0,004E ≈ − = Seguindo esse mesmo raciocínio, você deve ter pre- enchido a tabela (ii) da seguinte forma: Diâmetro (cm) Probabilidade experimental Probabilidade exata Erro 4 0,755 75,5%= 0,751 0,004 6 0,685 68,5%= 0,640 0,045 8 0,62 62%= 0,540 0,082 10 0,5 50%= 0,450 0,050 12 0,38 38%= 0,360 0,020 14 0,32 32%= 0,284 0,036 Agora que já aprendemos a calcular a probabilidade de um lançamento favorável ( )p d a partir do diâmetro do disco e do lado do quadrado, podemos retomar a questão trazida pelo professor de Matemática aos formandos da escola lá do Ciclo 1. Você lembra que, na situação-problema de uso do jogo dos discos como forma de ar- recadar fundos para a festa de formatura, o objetivo era determinar o diâmetro do disco em função de uma probabilidade adequada? Probabilidade esta que proporcionasse um certo lucro para a turma sem desestimular os jogadores. Ao retomar esta questão estaremos avançando em nossos estudos. Vamos utilizar todo o conhecimento desenvolvido até agora neste Ciclo 2 para darmos uma abordagem teórica a esta situação-problema trazida pelo professor. Vamos pensar sobre o conceito de Proba- bilidade Geométrica e sobre a fórmula que desenvolvemos para encontrar a probabilidade exata de lançamentos no jogo dos discos... ... e vamos relacionar este conhecimento à situação-problema levantada pelo professor de Matemática. 50 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II Parece muita coisa de uma vez? Então, vamos devagar... Vejamos o problema inverso, que consiste em encontrar o diâmetro d a partir de uma dada probabilidade p. Note que a situação-problema levantada pelo professor da turma de formandos inverte o que vínhamos fazendo, pois até agora sempre calculamos p a partir de d. Para resolvermos uma situação-problema como esta, temos que olhar a expressão obtida para ( )p d : 2 2 1 2( ) 1p d d d L L = − + Isolando d nessa expressão, podemos encontrar o diâmetro do disco a partir de uma dada probabilidade p. Esta conta fica mais fácil se partimos da definição de probabilidade geométrica dada pelo quociente de áreas: 2 2 ( )L d p L − = Manipulando esta equação temos 2 2( )p L L d= − . Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados, vamos encontrar L p L d= − . Finalmente, isolando o diâmetro d obtemos: ( )1d L p= ⋅ − Esta é a fórmula do diâmetro do disco em função da probabilidade requerida, tendo como parâmetro o lado L do quadriculado. Por exemplo, fixado 3L = , se quisermos uma probabilidade de 50%, isto é, 0,5p = , o diâmetro precisa ser: ( )3 1 0,5 0,88d = − ≈ Note que esse valor teórico e exato é muito próximo do valor experimental 0,9d ≈ obtido para esta mesma situação, no Ciclo 1. Usando este procedimento, você pode descobrir a medida ideal do diâmetro do disco para a probabilidade de acerto que desejar. Essa probabilidade pode ser 20%, 25%, 60%, 80%... Enfim, é você quem decide a probabilidade de ganho do jogador. Considerando a situação-problema da turma de formandos do Ciclo 1, por exemplo, essa probabilidade deve ser alguma que proporcione lucro para os formandos e, ao mesmo tempo, encoraje os jogadores a participar do jogo dos discos! Com as informações e expressões encontradas até aqui, os formandos já poderiam decidir o valor do diâmetro dos discos que utilizarão no jogo do pátio da escola. ETAPA ⻂ Para resolução do problema H ar ris on K ee ly / S XC 5. Probabilidade experimental versus probabilidade teórica 51 Com o auxílio do conceito de Probabilidade Geométrica, podemos abordar outras situações em que se queira realizar o jogo dos discos, variando inclusive o lado dos qua- drados do quadriculado. Veremos isso na próxima seção. 6. Nem tudo são parábolas Imagine a seguinte situação: Em uma escola, os estudantes resolveram aplicar o jogo dos discos usando CDs comuns de 12 cm de diâmetro. Decidiram, depois de muita discussão, que o jogo deve ter uma Atividade 5 Um estudante esperto... Imagine que, em uma aula de Matemática, na qual o professor já vinha usando o jogo dos discos para explicar o conceito de probabilidade, um estudante perguntou qual seria o diâmetro do disco correspondente a uma probabilida- de de 40% para um lançamento favorável, em um piso com quadrados de 30 centímetros de lado. Antes mesmo que o professor pudesse falar, outro estu- dante respondeu de bate-pronto, sem fazer contas: esse diâ- metro está entre 10 cm e 12 cm. Se você fosse esse professor, como verificaria se essa resposta está correta? Considere, em sua resposta, que na aula passada os alunos construíram e copiaram em seu caderno a tabela a seguir, após jogarem discos de diferentes diâmetros no piso da sala. Diâmetro (cm) Probabilidade experimental 4 0,755 75,5%= 6 0,685 68,5%= 8 0,62 62%= 10 0,5 50%= 12 0,38 38%= 14 0,32 32%= Resposta comentada Provavelmente, o estudante que respondeu de bate- -pronto concluiu examinando rapidamente, em seu caderno, a tabela feita na aula passada. E viu que o diâmetro estaria entre os valores de 10 e 12 cm, correspondentes respectiva- mente às probabilidades de 50% e 38%. Espertinho, não? Como sabemos que os quadrados do piso da sala de aula têm lados iguais a 30 cm, então o diâmetro d que resulta em uma probabil idade de 40% é determinado por: ( )1d L p= − . Substituindo os valores da probabilidade e do lado, temos: ( )30 1 0,4 11,03d = − ≈ . Esta é uma outra forma de verificar que a resposta que o estudante deu está correta. Pa m R ot h / S XC 52 Módulo I – Jogo dos discos ▷ Ciclo II probabilidade de 40% para um lançamento favorável ao jogador. Depois disso, alguns estudantes se dispuseram a desenhar um quadriculado para esse jogo. Professor, qual deveria ser o valor do lado dos quadrados desse quadriculado? Para responder isso, precisamos calcular a função que fornece a probabilidade de uma jogada favorável tendo como variável o lado do quadrado do quadriculado. A função que estamos procurando é obtida substituindo o valor 12d = dos diâmetros dos CDs na definição de probabilidade geométrica dada pelo quociente de áreas: 2 2 ( )L d p L − = Com isso, temos: 2 2 2 2 2 ( 12) 24 144 1 1 ( ) 1 24 144 L L L p L L L L L − − + = = = − ⋅ + ⋅ Note que essa função é bem definida para qualquer 0L ≠ . Porém, não interessa o caso em que o lado dos quadrados do quadriculado é menor do que o diâmetro dos CDs, certo? Logo, não faz sentido para o problema valores 12L ≤ . Diferentemente de ( )p d , a expressão ( )p L não é polinomial, e sim o quociente de duas funções quadráticas. Você observou que, quanto maior for L, mais próximo de 1 estará p? O gráfico a seguir, da função ( )p L , nos mostra esse fato. Note que esse gráfico não é parte de uma parábola. Qual será a medida do lado dos Quadrados desse Quadriculado para resultar em uma probabilidade de ganho de 40% favorável ao jogador? 6. Nem tudo são parábolas 53 Figura 7: Gráfico da probabilidade de uma jogada favorável em função do lado dos quadrados do quadriculado. 0 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 p L A fo ns o Li m a / S XC Para calcular o lado dos quadrados do quadriculado que resulta em uma probabilidade de 40% favorável ao jogador, basta resolver a equação ( ) 20,4 5 p L = = , ou seja, 2 2 1 1 1 24 144 5 L L = − ⋅ + ⋅ Multiplicando esta equação por 25L e cancelando os denominadores, obtemos a se- guinte equação de segundo grau: 2 22 5 120 720L L L= − + . Ou,
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