(Resumo individualizado) Transformada Unidirecional de Laplace

Transformada Unidirecional de Laplace 1
Transformada Unidirecional de 
Laplace
É dita unidirecional pois só é válida para 
O uso da Transformada de Laplace simplifica as equações diferenciais ordinárias 
presentes. Sendo assim, após transformarmos elemento por elemento do domínio 
do tempo para o domínio da frequência , podemos resolver o novo circuito 
(equivalente) utilizando métodos já aprendidos (tensões de nó, correntes de malha, 
transformação de fonte, superposição, ... ), e ao final, fazer a transformação inversa 
.
Tabela das Transformadas de Laplace
t > 0
L[f(t)] = F(s) = f(t)e dt∫0−
∞ −st
(t→ s)
(s→ t)
Transformada Unidirecional de Laplace 2
Método dos resíduos em frações parciais
Polos reais distintos
Seja 
Então podemos reescrever como
 sendo 
Desde que 
Ex: 
Polos reais repetidos
Seja 
Então podemos reescrever como
 sendo 
Ex: 
Polos conjugados complexos
Seja 
Então podemos reescrever como 
Ex: Segunda ordem cujos polos são:
 para 
G(s) = =
D(s)
N(s)
(s+ s )...(s+ s )1 n
N(s)
G(s)
G(s) = +
s+ s1
k1
...
s+ sn
kn
k =i (s+ s )G(s)∣i s=−si
grau(N(s)) < grau(D(s))
G(s) = =
s(s− 2)(s+ 3)
s+ 1
− ⋅
6
1
+
s
1
⋅
10
3
−
s− 2
1
⋅
15
2
s+ 3
1
G(s) = =
D(s)
N(s)
(s+ s )(s+ s )1 2 r
N(s)
G(s)
G(s) = +
s+ s1
k1
+
s+ s2
k21
+
(s+ s )2 2
k22
... +
(s+ s )2 r
k2r
k =2j ((s+(r − j)!
1
dsr−j
dr−j
s ) G(s))2 r
G(s) = =
s(s+ 1)2
2s+ 3
+
s
3
+
s+ 1
−3
(s+ 1)2
−1
G(s) = =
D(s)
N(s)
(s+ (α+ jw))(s+ (α− jw))
N(s)
G(s) G(s) = +
s+ (α+ jw)
k1
s+ (α− jw)
k2
G(s) =
s + 2ζω s+ ω2 n n2
ωn
2
s =1,2 −ζω ±n jωn 1 − ζ2 0 < ζ < 1
Transformada Unidirecional de Laplace 3
e definem-se e tal que de 
tal forma que e 
Portanto, podemos reescrever como:
Particularmente, aplicando-se a transformada de Laplace inversa, 
obtêm-se:
Propriedades da Transformada de Laplace
Diferenciação no Tempo
Integração no Tempo
Indutor
α = ζωn ω = ωn 1 − ζ2 s =1,2 α± jω
k =1 2jω
ωn
2
k =2 −2jω
ωn
2
G(s)
G(s) = +
s+ (α+ jw)
(ω /2jω)n2
s+ (α− jw)
(−ω /2jω)n2
g(t) = ⋅
2jω
ωn
2
e (e −−αt jωt e ) =−jωt ⋅
1 − ζ2
ωn
e ⋅−ζω tn
sin(ω t)n 1 − ζ2
L[f (t)] = sF(s) − f(0 )′ −
L[ f(x)dx] = F(s) + f (0 )∫−∞
t
s
1
s
1
−1 −
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 , ou seja 
 cujo equivalente em série é:
Rearranjando, obtemos equivalendo ao seguinte 
esquema paralelo:
Sendo assim, vemos que para condições iniciais nulas , as fontes 
independentes de tensão e corrente se colapsam, e o indutor torna-se apenas 
uma impedância de módulo 
Capacitor
L[v(t) = L ] →
dt
di(t)
V (s) = L[sI(s) − i(0 )]− V (s) = sLI(s) −
Li(0 )−
I(s) = V (s) +
sL
1
s
i(0 )−
i(0 ) =− 0
Z(s) = sL
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 , ou seja 
 cujo equivalente em série é:
Rearranjando obtemos equivalendo ao seguinte 
esquema paralelo:
L[i(t) = C ] →
dt
dv(t)
I(s) = C[sV (s) − v(0 )]− I(s) =
1/sC
V (s) − v(0 )/s−
V (s) = [I(s) + Cv(0 )]−
sC
1
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Novamente, para condições iniciais nulas , temos que o sistema é 
simplificado como apenas uma impedância 
Exemplo 1 - Transformação dos elementos de circuito
v(0 ) =− 0
Z(s) =
Cs
1
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Nesse caso, ao fechar a chave em , a fonte de tensão é inserida no 
circuito como um degrau, por isso, sua transformada é dada por . 
Teorema do valor final
Caso se deseje conhecer o valor de dada variável de circuitos quando e 
temos a informação sobre tal variável apenas no domínio da frequência 
complexa, podemos utilizar:
 ou de forma análoga e encontrar tal valor.
Teorema do valor inicial
Em contraposição, temos que, para encontrar o valor de uma dada variável de 
circuito, quando , utilizamos:
 ou 
Dica
Para encontrar a Tensão de Thévenin entre dois terminais, eliminamos o(s) 
elemento(s) entre os terminais, e determinamos (open circuit) . Em 
casos onde o circuito contém apenas fontes independentes, podemos eliminá-
las ao calcular a impedância de Thévenin. No entanto, quando houver fontes 
dependentes, além do método de adicionar uma fonte auxiliar e encontrar a 
impedância através da razão entre a tensão e a corrente fornecidas pela fonte, 
pode-se encontrar o valor da corrente de curto circuito e então utilizar a 
seguinte relação: 
Função de transferência
A função de transferência de um circuito é a razão entre a resposta de 
saída e a excitação de entrada , supondo que todas condições 
iniciais sejam zero.
A transformada inversa de Laplace da função de transferência de um 
determinado circuito é a resposta do sistema ao impulso unitário. Uma vez que 
se , de tal forma que , logo , então 
t = 0
s
Vo
t→∞
sI(s)
x→0
lim sV (s)
x→0
lim
t→ 0
sI(s)
x→∞
lim sV (s)
x→∞
lim
Voc = VTh
Isc
Z =Th
Isc
VTh
H(s)
Y (s) X(s)
H(s) =
X(s)
Y (s)
x(t) = δ(t) X(s) = 1 Y (s) = H(s)
L [H(s)] =−1 h(t) = y(t)