P1_2010.1gabarito

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Departamento de Economia - Puc-Rio
Teoria Microeconômica II-Eco1214
P1 - 2010/1
QUESTÃO 1 (2,5): Escolha sob incerteza: João é um produtor de trigo que possui 10 hectares
de terra no interior paulista. Seu lucro anual por hectare é $100,00 num ano chuvoso e $20,00 num ano
seco. A probabilidlidade de um ano chuvoso e de um ano seco é igual a 50%. João recebe como herança
mais 10 hectares de terra e precisa decidir o que fazer com elas. João tem três opções: 1) expandir sua
plantação de trigo; 2) plantar videiras para produzir vinho; 3) alugar a terra pelo valor anual de R$60,00
por hectare. A plantação de videira rende um lucro anual por hectare de $100,00 num ano seco e $20,00
num ano chuvoso. Vamos supor, por enquanto, que as duas últimas opções valem apenas para a terra
que João recebeu como herança, dado que ele está comprometido com a produção de trigo nas terras
que já possuía antes da herança. A utilidade de Bernoulli de João é dada por
u(w) = lnw:
onde w é a renda de João. João contrata um agrônomo para ajudá-lo na sua decisão. O agrônomo
conclui que as três opções são igualmente boas, uma vez que o valor esperado (esperança) da renda total
de João é a mesma com qualquer uma delas. Responda as seguintes perguntas:
a) Vc concorda com a opinião do agrônomo? Se concorda, justi…que. Caso contrário, diga qual é a
melhor opção para João, esclarecendo exatamente onde está o erro na conclusão do agrônomo.
Resposta:
opção 1: plantar trigo
E [w] =
1
2
2000 +
1
2
400 = 1200
E [lnw] =
1
2
ln 2000 +
1
2
ln 400 =
1
2
7; 60 +
1
2
6; 00 = 6; 80
opção 2: aluguel
E [w] =
1
2
1600 +
1
2
800 = 1200
E [lnw] =
1
2
ln 1600 +
1
2
ln 800 =
1
2
7; 38 +
1
2
6; 68 = 7; 03
opção 3: plantar videira
E [w] =
1
2
1200 +
1
2
1200 = 1200
E [lnw] =
1
2
ln 1200 +
1
2
ln 1200 = 7; 09
Plantar videira na terra nova é a melhor opção para João. Consultor está errado. Porque? Embora a
esperança da renda total seja a mesma nas três opções, a variância da renda total é menor na opção
3. Isto ocorre porque o lucro da plantação de videira na terra nova covaria negativamente com o lucro
da plantação de trigo na terra antiga. Em outras palavras, plantar videira na terra nova funciona como
hedge para a plantação de trigo na terra antiga. Como João é avesso ao risco, ele prefere a opção 3.
b) Suponha agora que João pode escolher o que fazer com seus 20 hectares de terra entre duas opções:
1) plantar trigo; 2) alugar para outro fazendeiro. Determine o equivalente-certeza da opção de plantar
trigo nos 20 hectares e o valor mínimo do aluguel anual por hectare que faz João preferir a opção de
aluguel. Justi…que sua resposta.
Resposta:
1
opção 1: plantar trigo nos 20 hectares
E [lnw] =
1
2
ln 2000 +
1
2
ln 400 =
1
2
7; 60 +
1
2
6; 00 = 6; 80
Equivalente-certeza desta opção:
lnEC = 6; 80
EC = exp (6; 80) = 897; 8
Pela de…nição de equivalente-certeza, opção 2 de aluguel é melhor que opção de plantar trigo quando
valor total do aluguel (pelos 20 hectares) é maior que 897; 8: Logo, o valor do aluguel por hectare precisa
ser maior que 897;8
20
= 44; 9
c) João tem agora apenas uma opção para fazer com seus 20 hectares de terra: plantar trigo. Só que
agora um corretor oferece para João a possibilidade de contratar um seguro contra a seca. O prêmio de
seguro é R$0,50, ou seja, se João contrata um seguro de valor K, então ele recebe K-0,5K da seguradora
num ano seco e paga 0,5K para a seguradora num ano chuvoso. Qual a quantidade ótima de seguro
contratada por João? Justi…que.
Resposta:
Suponha que João contrata seguro de valor K. Então, João tem wg = 2000� 0; 5K quando chove e
wb = 400 +K � 0; 5K quando faz seca.
Objetivo de João: contratar K� que maxima utilidade esperada
E [lnw] =
1
2
ln
0@ wgz }| {2000� 0; 5K
1A+ 1
2
ln
0@ wbz }| {400 +K � 0; 5K
1A
Condição marginal de primeira ordem:
1
2
�0; 5
2000� 0; 5K +
1
2
0; 5
400 +K � 0; 5K = 0
=) 2000� 0; 5K = 400 +K � 0; 5K
=) 2000 = 400 +K
=) K = 1600
Justi…cativa: seguro atuarialmente justo (ou seja, prêmio=probabilidade de ocorrer estado da natureza
ruim) =)
wg = wb = 1200
Atenção: os seguintes resultados podem ser úteis:
ln 2000 = 7; 60; ln 1600 = 7; 38; ln 1200 = 7; 09;
ln 800 = 6; 68; ln 400 = 6; 00; exp (6; 80) = 897; 8
2
...
3
QUESTÃO 2 (2,5) Jogos: Considere a seguinte situação envolvendo a …rma X e seu empregado:
- o trabalhador pode se esforçar ou não e, com isso, gerar mais ou menos receita para a …rma. Se o
trabalhador se esforça a receita da …rma é R1, caso contrário a receita da …rma é R2 (R1 > R2):
- a …rma pode vigiar o trabalhador ou não, porém se ela decide vigiar incorre em um custo c. Se o
trabalhador não estava se esforçando e a …rma estava vigiando ela pune o trabalhador com uma multa
de valor m: A multa é incorporada à receita da …rma.
- o trabalhador ganha um salário w independentemente de seu esforço. Se o trabalhador se esforça
ele incorre em um custo e1, caso contrário ele incorre em um custo e2 (e1 > e2):
a) Caracterize a situação acima como um jogo simultâneo entre a …rma X e seu empregado, ou seja,
obtenha a matriz de ganhos que o representa, indicando as possíveis estratégias de cada jogador e os
ganhos associados a cada combinação de estratégias.
Resposta:
V NV
E w � e1;R1 � c� w w � e1;R1 � w
NE w � e2 �m;R2 � c+m� w w � e2;R2 � w
b) Quais as estratégias que jamais farão parte de um equilíbrio de Nash em estratégia puras, inde-
pendente dos parâmetros do jogo? Estas estratégias são sempre estritamente dominadas, independente
dos parâmetros do jogo? Justi…que.
Resposta: Estratégia E jamais fará parte de um Equilíbrio de Nash. Pq? (E,V) não é equilíbrio
pq …rma se desvia para NV. Também (E,NV) não é equilíbrio pq trabalhador se desvia para NE.
A estratégia E somente será estritamente dominada pela estratégia NE quando
e1 > e2 +m
As combinações de estratégias (NE,V) e (NE,NV) serão ou não equilíbrio dependendo dos parâmetros.
Em particular, se por acaso m = e2 � e1 = c, ambos serão equilíbrios!
c) Que condições garantem que um equilíbrio de Nash seja o trabalhador não se esforçar e a …rma X
vigiar? Se possível, sob que condição adicional este equilíbrio de Nash possui uma estratégia fracamente
dominada? Justi…que.
Resposta: NE e V formam um Equilíbrio de Nash quando
e1 � e2 +m
c � m
Além disso, V é fracamente dominada quando c = m.
d) Suponha que c > m. Obtenha todos os equilíbrio de Nash em estratégias puras e mistas. Justi-
…que.
Resposta: Neste caso, NE e NV formam um Equilíbrio de Nash em estratégias puras. Além
disso, NV domina estritamente V. Logo, qualquer Equilíbrio de Nash precisa atribuir probabilidade 1
à estratégia NV. Mas neste caso, é ótimo para o trabalhador escolher NE. Logo, NE e NV é o único
Equilíbrio de Nash em estratégias puras e mistas. De fato, como vimos em aula, se um EN é obtido por
4
EIEED, ele será o único EN do jogo.
...
5
QUESTÃO 3 (2,0): Miscelânea de Organização Industrial
1) Suponha que um monopolista discriminador de preços de 3a ordem enfrente dois mercados (1 e 2,
completamente separados) com as seguintes curvas de demanda:
P1 (Q1) = 18�Q1
P2 (Q2) = 30� 5Q2
Sua função custo é C (Q1 +Q2) =
(Q1+Q2)
2
2
. Quanto ele produz e cobra no mercado 1? E no mercado
2? Explique em uma linha a intuição deste resultado.
Resposta: Monopolista escolhe Q�1 e Q
�
2 que maximiza função lucro
� (Q1; Q2) = (18�Q1)Q1 + (30� 5Q2)Q2 � (Q1 +Q2)
2
2
Condições marginais:
@� (Q�1; Q
�
2)
@Q1
= �3Q�1 + 18�Q�2 = 0
@� (Q�1; Q
�
2)
@Q2
= �Q�1 + 30� 11Q�2 = 0
Resolvendo o sistema acima:
Q�1 =
21
4
; Q�2 =
9
4
2) Suponha agora que não seja mais possível separar os dois mercados acima, qual o preço e a
quantidade de equilíbrio de monopólio.
Resposta: Demandas dos sub-mercados:
P1 (Q1) = 18�Q1 =) Q1 = 18� P1
P2 (Q2) = 30� 5Q2 =) Q2 = 6� P2
5
Não é mais possível separar mercados implica P1 = P2 = P: Somando as demandas acima:
Q = Q1 +Q2 = 24� 6P
5
Invertendo a demanda acima:
P = 20� 5
6
Q
Monopolista produz Q� que maximiza �
20� 5
6Q
�
Q� Q
2
2
Condição marginal:
�5
6
Q� + 20� 5
6
Q� �Q� = 0
Q� = 7; 5
3) Suponha um monopolista com a demanda inversa
p = 100� q
6
com custo igual a 10 por unidade de produção. Calcule a perda de peso morto do monopólio. Represente
gra…camente a diferença entre os excedentes do consumidor e do produtor no equilíbrio competitivo e
no equilíbrio do monopólio.
Resposta: Eq na concorrência perfeita
p = 100� q = 10
=) q = 90
Eq no monopólio: …rma maximiza
� = (100� q) q � 10q
Condição marginal:
�q + 100� q � 10 = 0
=) q = 45
=) p = 55
Perda de peso morto:
PPM =
Z 90
45
[(100� q)� 10] dq = 45 � 45
2
Excedentes expressos gra…camente
7
...
8
QUESTÃO 4 (3,0): Oligopólio As siderúrgicas Steel ABC e Steel XYZ formam um duopólio
homogêneo operando no mercado doméstico de um país. A demanda (inversa) deste mercado é dada
pela função
p = 9� q
tal que
q = q1 + q2
onde q1 e q2 são as produções das …rmas Steel ABC e Steel XYZ respectivamente. Responda as perguntas
abaixo:
a) Suponha que as …rmas decidem preço simultaneamente, onde p1 e p2 são os preços cobrados pelas
…rmas Steel ABC e Steel XYZ respectivamente. Suponha também que os custos totais das …rmas sejam
dados pelas funções
C1 (q1) = c1q1
C2 (q2) = c2q2
Seja pM o preço que a …rma 2 cobraria caso fosse uma …rma monopolista e suponha que c1 > pM > c2.
Qual o preço e as quantidades produzidas no equilíbrio de Nash?
Resposta:
p2 = p
M
q2 = 9� pM
c1 > p
M =) …rma 1 fora do mercado
b) Suponha agora que os custos totais das …rmas sejam dados pelas funções
C1 (q1) = q1
C2 (q2) = q2
No caso em que as …rmas decidem produção simultaneamente, calcule o preço e a produção de cada
…rma no equilíbrio de Nash.
Resposta: …rma 1 escolhe q1 que maximiza
�1 (q1; q2) = (9� q1 � q2) q1 � q1
Condição marginal:
�q1 + 9� q1 � q2 � 1 = 0 =) q1 = 8� q2
2
…rma 2 escolhe q2 que maximiza
�2 (q1; q2) = (9� q1 � q2) q2 � q2
e por simetria com …rma 1, podemos dizer que
q2 =
8� q1
2
Por simetria das …rma, sabe-se que no EN temos q1 = q2: Então basta resolver a equação
q2 =
8� q2
2
=) q2 = 8
3
Equilíbro de Nash:
q1 = q2 =
8
3
9
c) Suponha as funções de custo do ítem anterior (b). No caso em que as …rmas decidem produção
sequencialmente, calcule o preço e a produção de cada …rma no equilíbrio de Nash. Suponha que a …rma
2 é a líder e a …rma 1 é a seguidora.
Resposta: Função de reação da seguidora (calculada no ítem anterior):
q2 =
8� q1
2
Firma 1 líder produz q1 que maximiza
�1 (q1; q2) = (9� q1 � q2) q1 � q1
sujeito à
q2 =
8� q1
2
Substituindo restrição na função lucro, …rma 1 maximiza�
9� q1 � 8� q1
2
�
q1 � q1
Cond. marginal: derivando com respeito a q1 e igualando a zero: q1 = 4: Substituindo este valor na
função de reação da …rma 2, q2 = 2
d) Suponha novamente as funções de custo do ítem (b). Suponha também que as …rmas formam
um cartel cujo objetivo é maximizar o lucro conjunto das …rmas. Calcule o preço e a produção de cada
…rma na solução ótima do cartel.
Resposta: Custos marginais constantes e iguais =) monopolista indiferente quanto à distribuição
da produção entre as …rmas. Por exemplo, seria ótimo produzir tudo numa única …rma. Logo, produção
total ótimas maximiza
� = (9� q) q � q
Condição marginal:
�q + 9� q � 1 = 0 =) q = 4
A distribuição desta produção entre as …rmas é indeterminada, ou seja, qualquer q1; q2 tais que q1+q2 = 4
10
e) Em relação ao ítem anterior (d), as …rmas têm incentivo para desrespeitar o cartel? Discuta
a relação entre os resultados dos itens (b) e (d) à luz do "dilema dos prisioneiros". Suponha que a
produção total do cartel é repartida igualmente entre as …rmas.
Resposta: Seja qd1 produção ótima da …rma 1 dado que …rma 2 respeita cartel (produção total
repartida igualmente). Então, qd1 maximiza
�1 (q1; 2) = (9� q1 � 2) q1 � q1
Cond. Marg.:
�qq1 + 9� qq1 � 2� 1 = 0 =) qq1 = 3 > 2
Solução de cartel é ótima de Pareto, mas não é Equilíbrio de Nash. Ao contrário, solução de Cournot é
Equilíbrio de Nash, mas não é ótimo de Pareto.
f) Suponha o modelo de Cournot repetido in…nitamente. Qual a taxa de juros máxima que sustenta
a solução de cartel como um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos? Suponha que a produção total
do cartel é repartida igualmente entre as …rmas.
Resposta: Taxa de juros máxima que sustenta cartel:
r � �
M
1 � �N1
�D1 � �M1
onde �M1 é lucro no cartel (item d), �
N
1 é lucro no Cournot (item b) e �
D
1 é lucro no desvio do cartel
(item e). Substituindo:
11
�M1 = 5 � 2� 2 = 8
�N1 =
�
11
3
� 1� 8
3
= 64
9
�D1 = (9� 3� 2) � 3� 3 = 9
r � 8
9
...
12
...
13