[RESOLVIDO]Guidorizzi _Um_curso_de_Cálculo_Vol.1_Seção 1.2 _Questão_1

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Sumário
1 Sobre o documento
2 Introdução
3 Exercícios Resolvidos da Seção 1.2
1 Sobre o documento
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2 Introdução
Buscando introduzir uma abordagem mais formal para os números reais, na seção
1.2 do livro Um curso de cálculo Volume 1 , o autor aborda propriedades de núme-
ros reais partindo de uma leve introdução dos números racionais. Não é realizada a
construção destes número. Sendo assim, a visão do autor é axiomática, o que não
interfere em nada para o uso destes nos estudos de Cálculo Diferencial e Integral.
Antes de ver as respostas tente resolver as questões e só solicite quando não conse-
guir. Ou, quando houver dúvida, confira o resultado. Para as resoluções das outras
seções acesse: Lista de Cálculo
https://www.youtube.com/channel/UCaA6BkBJyvYuFKfd3JYTmUA/featured#vídeo.Professor Cícero Hitzschky
https://www.instagram.com/cicero.hitzschky/?hl=pt-br#link.@cicero.hitzschky
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5580657/mod_resource/content/2/Um%20Curso%20de%20C%C3%A1lculo%20Vol%2001.pdf#link.livro
https://www.escavador.com/sobre/1441779/hamilton-luiz-guidorizzi#autor.autor
3 Exercícios Resolvidos da Seção 1.2
1. Resolva as inequações.
(a) 3x+ 3 < x+ 6.
Solução: Usaremos os axiomas abordados para resolver. Na inequação,
podemos somar (-3) em ambos os lados (Propriedade do item a após o
exemplo 3). Assim,
(3x+ 3) + (−3) < (x+ 6) + (−3)
Daí, usando a associatividade (axioma A1 no livro), temos:
3x+ [3 + (−3)] < x+ [6 + (−3)] ⇒ 3x+ 0 < x+ 3 ⇒ 3x < x+ 3
Agora, somemos (-x) em ambos os lados:
(−x) + 3x < (−x) + (x+ 3) ⇒ (−x) + 3x < [(−x) + x] + 3
Pelo elemento neutro (A3 no livro), temos
(−x) + 3x < [(−x) + x] + 3 ⇒ (−x) + 3x < 0 + 3 ⇒ (−x) + 3x < 3
Usando a propriedade distributiva (D no livro)
(−x) + 3x < 3 ⇒ (−1 + 3)x < 3 ⇒ 2x < 3
Agora, podemos multiplicar por 1
2
em ambos os lados:
2x < 3 ⇒ 1
2
· 2x < 1
2
· 3 ⇒ 2
2
· x < 3
2
⇒ 1 · x < 3
2
⇒ x < 3
2
Assim, todo x real que seja menor que 3
2
satisfaz a inequação. Pondo em
linguagem de conjuntos: {
x ∈ R ;x < 3
2
}
(b) x− 3 > 3x+ 1.
Solução: Analogamente ao item anterior,
x− 3 > 3x+ 1 ⇒ (x− 3) + 3 > (3x+ 1) + 3
⇒ x+ (−3 + 3) > 3x+ (1 + 3)
⇒ x+ 0 > 3x+ 4
⇒ x > 3x+ 4
Daí,
x > 3x+ 4 ⇒ x− 3x > (−3x) + (3x+ 4)
⇒ x− 3x > [(−3x) + 3x] + 4
⇒ x− 3x > 0 + 4
⇒ x− 3x > 4
⇒ x(1− 3) > 4
⇒ x(−2) > 4
⇒ x(−2) · 1
−2
> 4 · 1
−2
⇒ x · −2
−2
>
4
−2
⇒ x · 1 > −2
⇒ x > −2
logo, todo x ∈ R que seja maior que -2 satisfaz a inequação. Portanto,
{x ∈ R ;x > −2}
(c) 2x− 1 ≥ 5x+ 3.
Solução: O processo é totalmente análogo. Assim, vamos omitir alguns
passos.
2x− 1 ≥ 5x+ 3 ⇒ −1 + (−3) ≥ 5x− 2x
⇒ −4 ≥ 3x
⇒ −4
3
≥ x
Logo, {
x ∈ R ; −4
3
≥ x
}
(d) x+ 3 ≤ 6x− 2.
Solução: Seguindo o mesmo raciocínio
x+ 3 ≤ 6x− 2 ⇒ 3 + 2 ≤ 6x− x
⇒ 5 ≤ 5x
⇒ 5
5
≤ x
⇒ 1 ≤ x
Logo,
{x ∈ R ; 1 ≤ x}
(e) 1− 3x > 0.
Solução: Ora,
1− 3x > 0 ⇒ 1 > 3x ⇒ 1
3
> x
Logo, {
x ∈ R ; 1
3
> x
}
(f) 2x+ 1 ≥ 3x.
Solução: ora,
2x+ 1 ≥ 3x ⇒ 1 ≥ 3x− 2x ⇒ 1 ≥ x
Logo,
{x ∈ R ; 1 ≥ x}
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