Nota de Aula 01 - Teoria da Escolha c Incerteza

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Profs. Marcos Antonio C. da Silveira e Eduardo P.S. Fiuza
Bibliogra…a
� Varian, capítulo 12
� Literatura avançada: Mas-Collel, A.et al, "Microeconomic Theory", capítulo 6.
Nota de Aula 1: Teoria da Escolha com Incerteza
1 Teoria da Escolha
� Teoria da Escolha Convencional (Micro I):
–preferências sobre um conjunto de alternativas C
Exemplo 1 Cestas de bens C =
�
(c1; c2) tq c1 = qte. alimento; c2 = qte. vestuário
	
(4; 5) � (5; 4)
� Teoria da Escolha com Incerteza:
–preferências sobre loterias com resultados em C
Exemplo 2 Loterias cujos resultados são cestas de bens
Loteria 1 =
(
(4; 5) c / prob. 1/3
(5; 4) c / prob. 2/3
Loteria 2 =
(
(4; 5) c / prob. 2/3
(5; 4) c / prob. 1/3
João : Loteria 1 � Loteria 2
Lucas : Loteria 2 � Loteria 1
1
Exemplo 3 Carteiras de investimentos (Riqueza inicial W0=$500; Riqueza futura W1)
Ações : W1 =
(
$1000 c / prob. 1/2
0 c / prob. 1/2
Câmbio : W1 =
(
$400 c / prob. 2/3
$800 c / prob. 1/3
Poupança : W1 =
�
600 c / prob. 1
João: Câmbio � Ações � Poupança
Lucas: Ações � Câmbio � Poupança
Exemplo 4 Seguro contra acidentes (Riqueza inicial W0=$1000; Riqueza futura W1)
Sem seguro : W1 =
(
$1000 c / prob. 98% (sem acidente)
$100 c / prob. 2% (com acidente)
Com seguro : W1 =
(
$800 c / prob. 98% (sem acidente)
$800 c / prob. 2% (com acidente)
João: Com seguro � Sem seguro
Lucas: Sem seguro � Com seguro
2
2 Loterias
� Loterias são os objetos de escolha da Teoria da Escolha com Incerteza
De…nição 1 Loterias simples
� Seja um conjunto de alternativas C (ex.: cestas de bens, dinheiro, etc)
� Uma loteria L é um vetor
L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
tal que �s é a probabilidade de ocorrer o resultado cs 2 C (s = 1; 2; :::N), onde
1 � �s � 0XN
s=1
�s = 1
� Uma loteria é uma distribuição de probabilidade sobre as alternativas em C
� Representação grá…ca da loteria através de uma árvore
Exemplo 5 Considere as loterias L, M e N com resultados no conjunto de cestas
C =
�
(c1; c2) tq c1 = qte. laranjas; c2 = qte. bananas
	
L =
�
(1; 2) ; (2; 1) ; (0; 1) ;
1
3
;
1
3
;
1
3
�
M =
�
(4; 2) ; (2; 5) ;
1
4
;
3
4
�
N = ((1; 2) ; 1)
Exemplo 6 (Loterias monetárias) Considere as loterias P, Q e R, cujos resultados são
valores monetários em C � R (por exemplo: riqueza futura de um indivíduo, renda do
trabalho, valor de uma carteira de investimentos)
P =
�
$1000;�$500; $0; $2000; 1
2
; 0;
1
4
;
1
4
�
Q =
�
�$1000; $500; $0; $4000; 1
3
;
1
3
; 0;
1
3
�
R = ($2000; 1)
� Nos exemplos acima, as loterias N e R são "loterias degeneradas", ou seja, elas
são equivalentes ao próprio resultado que ocorre com probabilidade 1
3
 
 
 
 
1
2
 
L’ 
LOTERIA COMPOSTA 
(L4, L5; a4, a5) e C = {1,2,3} 
1
2
 
Loteria reduzida = ( 1
2
, 1
4
, 1
4
) 
L4 = (
1
2
, 1
2
,0) 
L5 = (
1
2
,0, 1
2
) 
1
3
 
1
3
 
L1 = (1,0,0) 
L2 = (
1
4
, 3
8
, 3
8
) 
 
L3 = (
1
4
, 3
8
, 3
8
) 
 
L 
LOTERIA COMPOSTA 
(L1, L2, L3; a1, a2, a3) e C = {1,2,3} 
1
3
 
Loteria reduzida = ( 1
2
, 1
4
, 1
4
) 
De…nição 2 Loterias compostas
� Seja um conjunto de K loterias Lk =
�
pk1; :::; p
k
N
�
; k = 1; :::K e probabilidades �k � 0 comX
�k = 1
� A loteria composta
(L1; :::; LK ; �1; :::; �K)
é a alternativa de risco que resulta na loteria simples Lk com
probabilidade �k para k = 1; :::K:
� Para qualquer loteria composta (L1; :::; LK ; �1; :::; �K), podemos cal-
cular uma loteria reduzida correspondente como a loteria
simples L = (p1; :::; pN) que gera a mesma distribuição sobre os
resultados. O valor de cada pné obtido multiplicando-se a
probabilidade de que cada loteria Lk aconteça, �k, pela prob-
abilidade pkn que o resultado n apareça na loteria Lk, e depois
somando tudo sobre k. Assim, a probabilidade do resultado
n na loteria reduzida é:
� pn = �1 � p1n + :::�K � pKn
3 Utilidade Esperada
� Seja $ o conj. de todas as loterias cujos resultados são alternativas do conj. C
� Seja % uma relação de preferência sobre $ que satisfaz os axiomas da completeza,
transitividade e re‡exividade
–Completeza: L;M 2 $ =) L %M e/ou M % L
–Transitividade: L;M;N 2 $ tal que L %M e M % N =) L % N
–Re‡exividade: L = M =) L %M e M % L () L �M
� Como demonstrado em Micro I, esta relação % pode ser representada por uma
função utilidade
U : $! R
com a seguinte propriedade: dados L;M 2 $, segue que
M % L, U(M) � U(L)
� Cabe lembrar que
M � L, U(M) > U(L)
M � L, U(M) = U(L)
4
 
 
 
 
1
3
 
L’ 
LOTERIA COMPOSTA 
(L4, L5; α5, α6) e C = {1,2,3} 
1
3
 
Loteria reduzida = (
1
2
,
1
4
,
1
4
) 
L4 = (
1
2
,
1
2
,0) 
L5 = (
1
2
,0,
1
2
) 
1
3
 
1
3
 
L1 = (1,0,0) 
L2 = (
1
4
,
3
8
,
3
8
) 
L3 = (
1
4
,
3
8
,
3
8
) 
L 
LOTERIA COMPOSTA 
(L1, L2, L3; α1, α2, α3) e C = {1,2,3} 
1
3
 
Loteria reduzida = (
1
2
,
1
4
,
1
4
) 
� Relembrando Micro I, qualquer transformação monotônica estritamente crescente
da função U : $ �! R também representa a relação % sobre $;ou seja, se a função
F : R �! R é estritamente crescente, então a função composta
V = F [U(L)]
também representa a relação % sobre $
–Consequência: existe um número in…nito de funções utilidade representando
a relação % sobre $.
� Algumas funções utilidade U : $ �! R têm a forma da utilidade esperada, quando
então são denominadas funções utilidade von Neumann-Morgenstern (v.N-M)
� Mas o que signi…ca "forma da utilidade esperada"?
5
De…nição 3 Forma da Utilidade Esperada
� Seja $ o conj. de todas as loterias cujos resultados são alternativas do conj. C
� Seja % uma relação de preferência sobre $ representada pela função util. U : $! R
� A funcão U : $ ! R tem a forma da utlidade esperada (utilidade v.N-M) quando
existe uma função
u : C ! R;
denominada utilidade de Bernoulli, tal que para toda loteria
L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
pode-se a…rmar que
U(L) = �1u(c1) + �2u(c2) + :::+ �su(cs) + :::+ �Nu(cN) =
E[u(c)]z }| {
NX
s=1
�su (cs) (1)
� Pelo resultado (1), a utilidade de uma loteria L é a utilidade (de Bernoulli) es-
perada de seus possíveis resultados
O que é a utilidade de Bernoulli?
� Qual a utilidade de v.N-M da loteria degenerada
(c1; 1)
cujo resultado "c1" ocorre com certeza (prob. 1)?
U((c1; 1)) = u (c1)
� Conclusão: a utilidade de Bernoulli u : C ! R representa a relação de preferência
sobre as alternativas em C. Por quê?
c � c0 () (c; 1) � (c0; 1)() U((c; 1)) � U((c0; 1))() u (c) > u (c0)
Isto explica por que a utilidade de Bernoulli é uma "função utilidade"
6
Exemplo 7 Sejam as loterias monetárias
L =
�
$100; $50; $80;
1
2
;
1
2
; 0
�
M =
�
$20; $100; $60;
1
4
;
1
2
;
1
4
�
:
Seja a relação de preferência % sobre o conjunto de todas as loterias monetárias
Suponha que % seja representada por uma função utilidade v.N-M U(L) com utilidade
de Bernoulli
u (c) = ln (c)
Qual a loteria escolhida?
U (L) =
1
2
ln (100) +
1
2
ln (50) + 0 ln (80) = 4; 2586
U (M) =
1
4
ln (20) +
1
2
ln (100) +
1
4
ln (60) = 4; 0751
Sabe -se que
L �M () U (L) > U (M)
Logo, o indivíduo escolhe a loteria L
7
Multiplicidade de Representações
� Seja U : $ ! R uma utilidade v.N-M representando a relação de preferência %
sobre $
� Segue da teoria de Micro I que qualquer transformação monotônica estritamente
crescente de U também representa a relação de preferência %
� Por exemplo: as funções de utilidade
V (L) = lnU (L) (2)
W (L) = a+ bU (L) (3)
b > 0
também representam a relação de preferência % sobre $:
� Pergunta: as funções V (L) e W (L) também são funções utilidade v.N-M? As
proposições abaixo respondem a esta pergunta
8
� Quando uma transformação monotônica estritamente crescente de U têm a forma
da utilidade esperada?
Proposição 1 Transformação A…m da Função Utilidade v.N-M
� Seja U : $ ! R uma utilidade v.N-M que representa % sobre $;
ou seja, existe uma utilidade de Bernoulli u : C ! R tq p/ toda loteria
L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N);
U(L) =
NX
s=1
�su(cs) (4)
� Seja a função V : $! R de…nida como
V (L) = �+ �U (L) (5)
onde � e � são números reais quaisquer e � > 0
� Então, pode-se provar que V : $ ! R tb é uma utilidade v.N-M que representa %
sobre $, ou seja, existe uma utilidade de Bernoulli v : C ! R tq p/ toda loteria
L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N);
V (L) =
NX
s=1
�sv (cs)
Além disso, é possível provar que
v(c) = �+ �u (c)
Prova. A utilidade V : $ ! R representa % sobre $ pois é uma transformação
estritamente crescente de U : $! R:
Resta provar que é uma utilidade v.N-M
Para tanto, seja uma loteria qq L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
Substituindo (4) em (5):
V (L) = �+ �U (L) = �+ �
NX
s=1
�su (cs)
= �
NX
s=1
�s + �
NX
s=1
�su (cs) =
NX
s=1
�s�+ �s�u (cs)
=
NX
s=1
�s [�+ �u (cs)] (6)
De…nindo v(c) = �+ �u (c), segue de (6) que
V (L) =
NX
s=1
�sv (cs) (7)
Logo, V : $! R é uma utilidade v.N-M com utilidade de Bernoulli v : C ! R
9
� A recíproca da proposição anterior tb é verdadeira, conforme proposição adiante:
Proposição 2 Transformação A…m da Função Utilidade v-N.M
� Sejam U : $ ! R e V : $ ! R duas utilidades v.N-M que representam % sobre $,
ou seja, existem utilidades de Bernoulli u : C ! R e v : C ! R tais que p/ toda
loteria L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N);
U(L) =
NX
s=1
�su (cs)
V (L) =
NX
s=1
�sv (cs)
� Então, existem números reais � e � > 0 tais que
V (L) = �+ �U (L)
para toda loteria L 2 $
� Além disso, segue deste resultado que
v(c) = �+ �u (c)
para todo resultado c 2 C
� Pela proposição acima, W (L) em (3) é uma utilidade v.N-M, enquanto V (L) em
(2) não é utilidade v.N-M
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4 Teorema da Utilidade Esperada: Axioma da Independência
� Seja % uma relação de preferência sobre $:
� Quais as condições necessárias e su…cientes para que esta relação seja representada
por uma função utilidade U : $ �! R com a forma da utilidade esperada (função
utilidade v.N-M)
4.1 Axioma da Independência
� Axiomas comportamentais de completeza, transitividade e re‡exividade são su…-
cientes para garantir a existência de uma função utilidade U : $ �! R que repre-
senta a relação de preferência % sobre $ (mais precisamente, um número in…nito
de funções utilidade!!!!)
� Pergunta: são estes axiomas também su…cientes para garantir a representação
através de uma função v.N-M)? Não
� Então, que outros axiomas a relação % sobre $ precisa satisfazer para que possa
ser representada por uma função utilidade v.N-M?
–Axiomas da continuidade (apresentado em Micro I)
–Axioma da independência
� Infomalmente, o Axioma da Independência estabelece que o "rank" entre duas
loterias não é alterado quando uma terceira loteria é "misturada" com cada uma
destas loterias na mesma proporção
� O axioma da independência é o mais importante conceito na teoria da escolha
com incerteza.
� Este axioma só tem sentido econômico no caso da teoria da escolha com incerteza.
� Este axioma é motivado pelo fato de que os resultados possíveis das loterias são
mutuamente exclusivos
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Exemplo 8 Axioma da independência
� Teoria da escolha sem incerteza (Micro 1):
–Seja (x1; x2; x3) uma cesta de consumo qualquer onde x1, x2 e x3 são litros de
chá, café e leite respectivamente
–João tem a seguinte relação de preferência:
1l cház }| {
(1; 0; 0) �
1l caféz }| {
(0; 1; 0)
1l chá+1l leitez }| {
(1; 0; 1) �
1l cafe+1l leitez }| {
(0; 1; 1)
� Teoria da escolha com incerteza:
–Sejam as loterias
L =
1l chá c/certezaz }| {
(1l ch�a; 1l caf�e; 1l leite; 1; 0; 0)
M =
1l café c/certezaz }| {
(1l ch�a; 1l caf�e; 1l leite; 0; 1; 0)
N =
1l leite c/certezaz }| {
(1l ch�a; 1l caf�e; 1l leite; 0; 0; 1)
–Como João prefere chá a café, segue que
L �M:
–Agora, considere as "misturas" das loterias L e M com a loteria N:
P =
1
2
L+
1
2
N =
�
1l ch�a; 1l caf�e; 1l leite;
1
2
; 0;
1
2
�
Q =
1
2
M +
1
2
N =
�
1l ch�a; 1l caf�e; 1l leite;0;
1
2
;
1
2
�
–Como beber chá e leite são eventos mutuamente exclusivos na loteria P e beber
café e leite são eventos mutuamente exclusivos na loteria Q, é razoável a…rmar
que:
P � Q
– Intuição: o rank entre L e M não foi alterado quando a loteria N foi misturada
com cada uma desta loterias na mesma prorporção
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4.2 Teorema da Utilidade Esperada
� Chegamos então ao mais importante teorema da teoria da escolha sob incerteza:
Proposição 3 Teorema da Utilidade Esperada
� Seja % uma relação de preferência sobre $ completa, transitiva e re‡exiva.
� Esta relação pode ser representada por uma função utilidade com a forma da
utilidade esperada (utilidade v.N-M) se e somente se satisfaz os axiomas da con-
tinuidade e da independência
� Qual a intuição da proposição acima?
–Seja uma loteria qualquer
L = (c1; c2; :::; cs; :::; cN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
–A utilidade v.N-M da loteria L é dada por
U(L) = �1u(c1) + �2u(c2) + :::+ �su(cs) + :::+ �Nu(cN)
–Qual a taxa marginal de substituição entre dois resultados quaisquer, digamos
c1 e c2?
TMgS =
@U(L)
@c1
@U(L)
@c2
=
�1
@u(c1)
@c1
�2
@u(c2)
@c2
–Resultado interessante: TMgS entre c1 e c2 depende apenas de c1 e c2 e das
probabilidades �1 e �2
–Axioma da independência =) c1 e c2 eventos mutualmente exclusivos =)
TMgS entre c1 e c2 deve depender apenas de c1 e c2
–Representação na forma da utilidade esperada satisfaz esta condição
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