Nota de Aula 02 - Teorica da Escolha c Incerteza

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Profs. Marcos Antonio C. da Silveira e Eduardo Fiuza
Bibliogra…a
� Varian, capítulo 12
� Avançada: Mas-Collel, A. et al, Microeconomic Theory, cap. 6
Nota de Aula 2: Teoria da Escolha com Incerteza
1 Revisão
� Seja C � R um conjunto de valores monetários, onde w 2 C
� Seja $ um conjunto de loterias monetárias
L = (w1; w2; :::; ws; :::; wN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
onde �s > 0 é a probabilidade do resultado ws 2 C e
XN
s=1
�s = 1
� Suponha que a relação de preferência % sobre o conjunto de loterias $ satisfaz
os axiomas da continuidade e independência, além dos axiomas tradicionais
da completeza, transitividade e re‡exividade
� Então, pelo Teorema da Utilidade Esperada, a relação % pode ser representada
por uma função v.N-M
U : $ �! R
(forma da utilidade esperada), ou seja, existe uma função utilidade de Bernoulli
u : C �! R
tal que, para toda loteria
L = (w1; w2; :::; ws; :::; wN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N) 2 $
segue que
U(L) = �1u(w1) + �2u(w2) + :::+ �su(ws) + :::+ �Nu(wN) =
E[u(w)]z }| {
NX
s=1
�su (ws) (1)
� Caso particular: loteria (w1; 1) que paga resultado c com certeza (prob.1)
U((w1; 1)) = u(w1)
� Hipótese de não saciedade (geral na literatura): u(w) é estritamente crescente,
ou seja,
u0(w) > 0
1
Exemplo 1 Qual a utilidade v.N-M das loterias
L1 =
�
100; 20; 80;
1
4
;
1
4
;
1
2
�
L2 = (100; 1)
L3 =
�
200; 50;
2
3
;
1
3
�
supondo utilidade de Bernoulli
u (w) = ln (w)?
Segue da de…nição (1):
U (L1) =
1
4
ln (100) +
1
4
ln (20) +
1
2
ln (80) = 4; 09
U (L2) = ln(100) = 4; 61
U (L3) =
2
3
ln (200) +
1
3
ln (50) = 4; 84
Logo, pode-se a…rmar que:
L3 � L2 � L1
2
2 Aversão ao Risco
� Segue uma de…nição rigorosa das diferentes atitudes em relação ao risco:
De…nição 1 Atitudes em Relação ao Risco
� Seja uma loteria monetária qualquer
L = (w1; w2; :::; ws; :::; wN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
� Seja E[w] o valor esperado dos resultados da loteria L, ou seja,
E[w] = �1w1 + �2w2 + :::+ �NwN =
NX
s=1
�sws
� Seja a loteria que paga E[w] com probabilidade 1, ou seja,
(E[w]; 1)
� Então, diz-se que:
–o agente é avesso ao risco quando
L � (E[w]; 1) ()
U(L)z }| {
NX
s=1
�su (ws) <
U((E[w];1))z }| {
u (E (w))
–o agente é propenso ao risco quando
L � (E[w]; 1) ()
U(L)z }| {
NX
s=1
�su (ws) >
U((E[w];1))z }| {
u (E (w))
–o agente é indiferente (neutro) ao risco quando
L � (E[w]; 1) ()
U(L)z }| {
NX
s=1
�su (ws) =
U((E[w];1))z }| {
u (E (w))
3
Exemplo 2 Seja a loteria que paga $100 com prob. 1
2
e $50 com prob. 1
2
; ou seja,
L = (100; 50;
1
2
;
1
2
)
� Valor esperado E [w] da loteria L:
E [w] =
1
2
100 +
1
2
50 = 75
� Utilidade da loteria L:
U(L) =
1
2
u(100) +
1
2
u(50)
� Utilidade da loteria (75; 1) que paga E [w] = 75 com certeza:
U((75; 1)) = u (75)
� Caso 1: utilidade de Bernoulli
u(w) = ln (w) ; u00(w) < 0
implica aversão ao risco:
4; 26 =
U(L)z }| {
1
2
ln(100) +
1
2
ln(50) <
U((75;1))z }| {
ln (75) = 4; 32() L � (75; 1)
� Caso 2: utilidade de Bernoulli
u(w) = exp (w) ; u00(w) > 0
implica propensão ao risco:
U(L)z }| {
1
2
exp(100) +
1
2
exp(50) >
U((75;1))z }| {
ln (75) () L � (75; 1)
� Caso 3: utilidade de Bernoulli
u(w) = a+ b (w) ; b > 0; u00(w) = 0
implica indiferença ao risco:
U(L)z }| {
1
2
[a+ b (100)] +
1
2
[a+ b (50)] =
U((75;1))z }| {
[a+ b (75)]() L � (75; 1)
4
� No exemplo anterior, a atitude em relação ao risco está relacionada ao sinal
da derivada segunda da utilidade de Bernoulli Este resultado pode ser
generalizado?
� As três proposições abaixo estabelecem a relação entre...
–a atitude do agente em relação ao risco
–o sinal da derivada segunda da utilidade de bernoulli u(w)
Proposição 1 As duas a…rmações abaixo são equivalentes:
1. o agente é avesso ao risco, conforme a de…nição (1)
2. a utilidade de Bernoulli u(w) é estritamente côncava, ou seja, para todo w
u00(w) < 0
Prova. Ver …gura 1
Proposição 2 As duas a…rmações abaixo são equivalentes:
1. o agente é propenso ao risco, conforme a de…nição (1)
2. a função u(w) é estritamente convexa, ou seja, para todo w
u00(w) > 0
Prova. Ver …gura 2
Proposição 3 As duas a…rmações abaixo são equivalentes:
1. o agente é neutro ao risco, conforme a de…nição (1)
2. a função u(w) é linear, ou seja, para todo w
u00(w) = 0
Prova. Ver …gura 3
5
 
 
 
100 50 E[w]=75 
u(100) 
u(50) 
 
u(E[w])=u(75) 
 
E[u(w)]= ( ) ( )
1 1
50 100
2 2
u u+ 
u(w) 
w 
ECL 
FIGURA 1 
AVERSÃO AO RISCO 
Prêmio de Risco 
 
 
100 50 E[w]=75 
u(100) 
u(50) 
 
u(E[w])=u(75) 
 
E[u(w)]= ( ) ( )
1 1
50 100
2 2
u u+ 
u(w) 
w 
ECL 
FIGURA 2 
PROPENSÃO AO RISCO 
Prêmio de Risco (negativo) 
 
 
100 50 E[w]=75 = ECL 
u(100) 
u(50) 
E[u(w)])= ( ) ( )
1 1
50 100
2 2
u u+ =u(75) 
u(w) 
w 
FIGURA 3 
NEUTRALIDADE AO RISCO 
3 Equivalente-Certeza e Aversão ao Risco
De…nição 2 Equivalente-Certeza e Prêmio de Risco
� Seja L uma loteria monetária qualquer
L = (w1; w2; :::; ws; :::; wN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N)
� O equivalente-certeza da loteria L é o valor monetário EC tal que
L � (EC; 1) ()
U(L)z }| {
NX
s=1
�su (ws) =
U((EC;1))z }| {
u (EC) (2)
ou seja, o agente é indiferente entre...
–a loteria L e...
–a loteria (EC; 1) que oferece o valor monetário EC com certeza (probabili-
dade 1)
� O prêmio de risco S da loteria L é de…nido como
S = E[w]� EC
onde E[w] é o valor esperado dos resultados da loteria L, ou seja,
E[w] =
NX
s=1
�sws
6
Exemplo 3 Vamos calcular o equivalente-certeza EC e o prêmio de risco S da loteria
L = (100; 50;
1
2
;
1
2
)
que paga $100 com prob. 1
2
e $50 com prob. 1
2
: Considere as três diferentes atitudes
em relação ao risco:
1. Aversão ao risco com utilidade de Bernoulli
u(w) = ln (w)
Equivalente-certeza:
U(L)z }| {
1
2
u(100) +
1
2
u(50) =
U((EC;1))z }| {
u (EC) :
=) 1
2
ln(100) +
1
2
ln(50) = ln (EC)
=) 4; 26 = ln (EC)
=) exp(4; 26) = 70; 81 = EC
Prêmio de risco:
E [w] =
1
2
100 +
1
2
50 = 75
S = E[w]� EC = 75� 70; 81 = 4; 19
Qual a intuição deste resultado? O agente é indiferente entre....
� loteria "com risco" L com resultado esperado E [w] = $75
� loteria "sem risco" que paga EC = $70; 81 com certeza (prob. 1)
� Conclusão: agente precisa ser pago no mínimo $4; 19 "em termos de ganho
esperado" para suportar risco da loteria L
� Pergunta: pq é preciso pagar o agente para ele suportar risco?
� Resposta: sinal positivo do prêmio de risco S re‡ete aversão ao risco
7
2. Propensão ao risco com utilidade de Bernoulli
u(w) = exp (w)
Equivalente-certeza:
U(L)z }| {
1
2
u(100) +
1
2
u(50) =
U((EC;1))z }| {
u (EC) :
=) 1
2
exp(100) +
1
2
exp(50) = exp (EC)
=) EC = ln
�
1
2
exp(100) +
1
2
exp(50)
�
= 99; 31
Prêmio de risco:
E [w] =
1
2
100 +
1
2
50 = 75
S = E[w]� EC = 75� 99; 31 = �24; 31
Qual a intuição deste resultado? O agente é indiferente entre....
� loteria "com risco" L com resultado esperado E [w] = $75
� loteria "sem risco" que paga EC = $99; 31 com certeza (prob. 1)
� Conclusão: agente disposto a pagar no máximo $24; 31 "em termos de
ganho esperado" para suportar risco da loteria L
� Pergunta: pq agente está disposto a pagar para suportar risco?
� Resposta: sinal negativo do prêmio de risco S re‡ete propensão ao risco
8
3. Indiferença ao risco com utilidade de Bernoulli
u(w) = w
Equivalente-certeza:
U(L)z }| {
1
2
u(100) +
1
2
u(50) =
U((EC;1))z }| {
u (EC) :
=) 1
2
(100) +
1
2
(50) = EC
=) 75 = EC
Prêmio de risco:
E [w] =
1
2
100 +
1
2
50 = 75
S = E[w]� EC = 75� 75 = 0
Qual a intuição deste resultado? O agente é indiferente entre....
� loteria "com risco" L com resultado esperado E [w] = $75
� loteria "sem risco" que paga EC = $75 com certeza (prob. 1)
� Conclusão: agente indiferente em relação a duas loterias com mesmo
valor esperado, mas com riscos diferentes
� Pq? Sinal nulo do prêmio de risco S re‡ete indiferença ao risco
9
� No exemplo anterior, a atitude em relação ao risco está relacionada com o
sinal do prêmio de risco.Este resultado pode ser generalizado?
� As três proposições abaixo estabelecem a relação entre...
–a atitude do agente em relação ao risco
–o sinal da derivada segunda da utilidade de bernoulli u(w)
–o sinal do prêmio de risco S
Proposição 4 As três a…rmações abaixo são equivalentes:
1. o agente é avesso ao risco, conforme a de…nição (1)
2. a utilidade de Bernoulli u(w) é estritamente côncava, ou seja, para todo w
u00(w) < 0
3. para toda loteria não degenerada L, segue que
EC < E[w]() S = E[w]� EC > 0
Prova. (1) () (3): Seja uma loteria qualquer L. Como, pela hipótese de não
saciedade, u(w) é estritamente crescente, segue que
EC < E[w]() u (EC) < u (E[w]) (3)
Segue da de…nição de equivalente-certeza que
u (EC) =
U(L)z }| {
E[u(w)] (4)
Combinando os resultados (3) e (4), segue que
EC < E[w]() u (EC) < u (E[w])()
U(L)z }| {
E[u(w)] < u (E[w])
Exemplo 4 Utilidades de Bernoulli com aversão ao risco:
utilidade potência : u(w) = w
1�
1� 
 ; 
 > 0
=) u0(w) = w�
 > 0
=) u00(w) = �
w�
�1 < 0
utilidade logarítmica : 
 �! 1 =) u(w) = ln(w)
10
Proposição 5 As três a…rmações abaixo são equivalentes:
1. o agente é propenso ao risco, conforme a de…nição (1)
2. a função u(w) é estritamente convexa, ou seja, para todo w
u00(w) > 0
3. para toda loteria não degenerada L, segue que
EC > E[w]() S = E[w]� EC < 0
Prova. Mesmo raciocínio da prova da proposição (4). Veri…que como exercício.
Exemplo 5 Utilidades de Bernoulli com propensão ao risco:
u(w) = exp (�
w) ; 
 < 0
=) u0(w) = �
 exp (�
w) > 0
=) u00(w) = 
2 exp (�
w) > 0
Proposição 6 Seja u(w) a função utilidade de Bernoulli de um indivíduo. As três
a…rmações abaixo são equivalentes:
1. o agente é neutro ao risco, conforme a de…nição (1)
2. a função u(w) é linear, ou seja, para todo w
u00(w) = 0
3. para toda loteria não degenerada L, segue que
EC = E[w]() S = E[w]� EC = 0
Prova. Mesmo raciocínio da prova da proposição (4). Veri…que como exercício
Exemplo 6 Utilidades de Bernoulli com indiferença ao risco:
utilidade linear : u(w) = �+ �w; � > 0
=) u0(w) = � > 0
=) u00(w) = 0
11
4 Medidas de Aversão ao Risco
� Suponha dois agentes avessos ao risco. Qual deles é mais avesso ao risco?
Para responder esta pergunta, é preciso uma medida matemática do grau de
aversão ao risco dos agentes
� Pelas proposições (1)-(3), a atitude em relação ao risco é determinada pela
curvatura (sinal da derivada segunda) da utilidade de Bernoulli u (w)
–Logo, o valor de u00(w) é candidato natural à medida do grau de aversão
ao risco
� No entanto, esta medida é inadequada porque não é invariante a uma trans-
formação linear estritamente crescente da utilidade de Bernoulli u(w), ou seja,
v(w) = a+ bu(w); b > 0
=) v0(w) = bu0(w)
=) v00(w) = bu00(w)
� Para contornar este problema, as de…nições abaixo sugerem as seguintes me-
didas do grau de aversão ao risco:
De…nição 3 Coe…ciente de aversão absoluta ao risco (CAAR) de Arrow-Pratt:
rA (w) = �u
00(w)
u0(w)
(5)
De…nição 4 Coe…ciente de aversão relativa ao risco (CARR) de Arrow-Pratt:
rR (w) = �u
00(w)w
u0(w)
� Suponha hipótese de não saciedade: u0(w) > 0
–aversão ao risco:
u00(w) < 0 =) rA (w) > 0; rR (w) > 0
–propensão ao risco:
u00(w) > 0 =) rA (w) < 0; rR (w) < 0
– indiferença ao risco:
u00(w) = 0 =) rA (w) = 0; rR (w) = 0
12
� Para toda função u(w), segue que:
rA (w) = �u
00(w)
u0(w)
rR (w) = �u
00(w)w
u0(w)
rR (w) = wrA (w)
� Coe…cientes de Arrow-Pratt invariantes a uma transformação linear estrita-
mente crescente da utilidade de Bernoulli:
v(w) = a+ bu(w); b > 0 =)
rA (w) = �v
00(w)
v0(w)
= �bu
00(w)
bu0(w)
= �u
00(w)
u0(w)
= rA (w)
rR (w) = �v
00(w)w
v0(w)
= �bu
00(w)w
bu0(w)
= �u
00(w)w
u0(w)
= rR (w)
� Coe…cientes de Arrow-Pratt são medidas locais de aversão ao risco:
–CAAR rA (w) e CARR rR (w) podem ser constantes, crescentes ou decres-
centes com w :
@rA (w)
@w
Q 0; @rR (w)
@w
Q 0
13
4.1 Coe…ciente de Aversão Relativa ao Risco de Arrow Pratt (CARR)
� Proposição abaixo estabelece intuição do CARR de Arrow-Pratt:
Proposição 7 Suponha um choque multiplicativo na riqueza corrente w de um agente,
de forma que sua riqueza futura wf é dada por
wf =
�
w (1 + ") ; com probabilidade 1
2
w (1� ") ; com probabilidade 1
2
;
A esperança e a variância de wf são dadas por
E [wf ] =
1
2
w (1 + ") +
1
2
w (1� ") = w
V AR [wf ] =
1
2
(w (1 + ")� E [wf ])2 + 1
2
(w (1� ")� E [wf ])2 = w2"2
Então, pode-se provar que
S
w
=
w � EC
w
' rR (w) "2 (6)
� Dados …nanceiros p/ economia norte-americana consistentes c/ hipótese de
rR (w) constante c/ riqueza, ou seja,
@rR (w)
@w
= 0
Exemplo 7 CARR de Arrow Pratt:
utilidade linear : u(w) = �+ �w; � > 0 =) rR(w) = 0
utilidade quadrática : u(w) = �+ �w + 
w2 =) rR(w) = � 2
w
� + 2
w
utilidade exponencial : u(w) = � exp (�
w) ; 
 > 0 =) rR(w) = 
w
utilidade potência : u(w) = w
1�
1� 
 ; 
 > 0 =) rR(w) = 
14