Prova de Cálculo Diferencial e Integral

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Prova de Cálculo Diferencial e Integral - 
III 
- Exercício do Conhecimento – 
 
Questão 1 
 
 
 
Nessas condições, a temperatura que aumenta no trajeto do inseto depois de 5 
segundos é: 
A - 
10,5 ºC 
B - 
5 ºC 
 
C - 
7,5ºC 
D - 
7ºC 
Resposta correta 
 
E - 
9 ºC 
 
Questão 2 
 
A - 
I e II, apenas 
Resposta correta 
 
B - 
I e III, apenas 
C - 
I, II e III 
D - 
II, apenas 
E - 
III, apenas 
 
Questão 3 
 
 
A partir dessas informações, avalie as seguintes asserções e a relação 
proposta entre elas. 
I – O limite de ƒ (x, y ) = x3 + 3x2y - 7 xy2 no ponto (-2, 3) existe. 
PORQUE 
II - ƒ (x, y ) é um polinômio e, portanto, é contínua em qualquer ponto. 
Acerca dessas asserções, assinale a opção correta: 
 
A - 
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição 
verdadeira. 
B - 
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, é uma 
proposição falsa. 
C - 
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
Resposta correta 
 
D - 
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
E - 
Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas. 
 
Questão 4 
 
Um dos objetivos das derivadas parciais é localizar os pontos de máximo e 
mínimo de uma função de duas variáveis. A partir dessa informação, avalie as 
seguintes asserções e a relação proposta entre elas. 
I – A função de duas variáveis R2 → R2 , definida por ƒ ( x, y ) = 12 -2x2 -3y2 + 
5x - 4 y, 
possui um ponto crítico que é um máximo local. 
PORQUE 
II – De acordo com o Teste da Derivada Segunda, a derivada segunda de ƒ 
( x, y ) é negativa e o determinante Hessiano é positivo. 
Acerca dessas asserções, assinale a opção correta: 
 
A - 
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição 
verdadeira. 
 
B - 
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, é uma 
proposição falsa. 
C - 
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
Resposta correta 
 
D - 
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
E - 
Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas. 
 
Questão 5 
 
Uma função ƒ de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado 
de números reais ( χ , γ ) de um conjunto D um único valor real, designado por 
ƒ( χ , γ ). O conjunto D é o domínio de ƒ e sua imagem é o conjunto de valores 
possíveis de ƒ, ou seja, {ƒ ( χ , γ ) / ( χ , γ ) ε D . Com base nas informações 
apresentadas, assinale a alternativa correta a respeito do domínio da 
função . 
 
A - 
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou acima 
da reta y = -x -2 , enquanto x = ± 2 significa que os pontos sobre as retas x = -2 
e x = +2 devem ser excluídos do domínio. 
Resposta correta 
 
B - 
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão acima da reta y = 
- x -2, enquanto x = ± 2 significa que os pontos sobre as retas x = -2 e x = 
+2 devem ser excluídos do domínio. 
C - 
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou abaixo 
da reta y = -x -2 e pelos pontos sobre as retas x = -2 e x = +2 devem ser 
excluídos do domínio. 
D - 
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou abaixo 
da reta y = -x -2, enquanto x = ±2 significa que os pontos sobre as retas x = -2 
e x = +2 devem ser excluídos do domínio. 
E - 
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou acima 
da reta y = -x -2 e pelos pontos sobre as retas x = -2 e x = +2. 
 
Questão 6 
 
 
 
A partir das informações apresentadas, o volume do sólido situado acima da 
região R e abaixo da função f é: 
A - 
141/16 
B - 
163/27 
C - 
23/4 
Resposta correta 
 
D - 
25/3 
E - 
31/5 
 
Questão 7 
 
A temperatura de uma chapa de metal é uma função que depende de seu 
comprimento e largura, ou seja, é uma função que possui duas variáveis. A 
temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal no plano xy é dada 
por T (x, y) = 4x3 + 3y2 + x , onde T é medido em graus Celsius (ºC) e x, y em 
metros. 
Nessas condições, a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 5) com 
relação a x e com relação a y, respectivamente, é: 
 
A - 
46 e 32 
B - 
48 e 30 
C - 
48 e 31 
D - 
49 e 30 
Resposta correta 
 
E - 
52 e 29 
 
Questão 8 
 
O gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis representa uma 
superfície. À medida que se realiza, sucessivamente, um zoom de um ponto 
nessa superfície, esta se torna, cada vez mais, semelhante a um plano 
tangente. Considere a função ƒ ( x, y ) = - 3xey + 4y 
A partir dessa função, avalie as informações a seguir. 
I. A equação do plano tangente à função ƒ ( x, y ) no ponto (-3, 0) é dada 
por: z = -3x + 13y 
II. O vetor gradiente da função ƒ ( x, y ) no ponto (-3, 0) é nulo. 
III. As derivadas parciais de ƒ ( x, y ) são funções contínuas em R2 . 
É correto o que se afirma em: 
 
A - 
I e II, apenas. 
B - 
I e III, apenas. 
Resposta correta 
C - 
I, II e III. 
D - 
II, apenas. 
E - 
III, apenas.