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Nota de Aula 17 - Teoria Geral do Equilínrio em Concorrência Perfeita

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Prof. Marcos Antonio C. da Silveira
Nota de Aula 17:
Teoria do Equilíbrio Geral em
Concorrência Perfeita com Produção
Bibliografia: Varian (nona edição), cap. 32
1 Descrição da Economia: Modelo 2X2X2 de Economia com
Produção
• Dois indivíduos, indexados por i = A,B
• Dois bens, indexados por j = 1, 2
• Dois insumos (fatores de produção), indexados por h = K (capital) , L (trabalho)
• Ambos os indivíduos recebem uma dotação inicial de cada insumo:
— dotação inicial de K para A: KA ≥ 0
— dotação inicial de L para A: LA ≥ 0
— dotação inicial de K para B: KB ≥ 0
— dotação inicial de L para B: LB ≥ 0
— dotação inicial total de capital: KA +KB
— dotação inicial total de trabalho: LA + LB
• Oferta agregada de capital é perfeitamente inelástica em KA +KB
• Oferta agregada de trabalho é perfeitamente inelástica em LA + LB
1
• Economia com produção através de duas firmas:
— firma 1 produz apenas o bem 1 empregando capital e trabalho através da
função de produção
y1 = F 1
¡
L1,K1
¢
— firma 2 produz apenas o bem 2 empregando capital e trabalho através da
função de produção
y2 = F 2
¡
L2,K2
¢
onde:
— quantidade do bem 1 produzida pela firma 1: y1
— quantidade do bem 2 produzida pela firma 2: y2
— quantidade de K empregada pela firma 1: K1
— quantidade de L empregada pela firma 1: L1
— quantidade de K empregada pela firma 2: K2
— quantidade de L empregada pela firma 2: L2
• Indivíduos A e B são os proprietários (acionistas) das firmas 1 e 2:
— participação de A no lucro da firma 1: 1 ≥ α1A ≥ 0
— participação de B no lucro da firma 1: 1 ≥ α1B ≥ 0
— participação de A no lucro da firma 2: 1 ≥ α2A ≥ 0
— participação de B no lucro da firma 2: 1 ≥ α2B ≥ 0
• Por definição, segue que:
α1A + α
1
B = 1
α2A + α
2
B = 1
2
• Função utilidade de A :
uA = uA
¡
x1A, x
2
A
¢
— quantidade do bem 1 demandada por A: x1A
— quantidade do bem 2 demandada por A: x2A
• Função utilidade de B:
uB = uB
¡
x1B, x
2
B
¢
— quantidade do bem 1 demandada por B: x1B
— quantidade do bem 2 demandada por B: x1B
• Indivíduos A e B têm um papel tríplice nesta economia:
— consumidores dos bens 1 e 2
— proprietários das firmas 1 e 2
— ofertantes (provedores) dos insumos K e L para as firmas
• Parâmetros do modelo (variáveis exógenas):
— funções de utilidade: uA (x1A, x2A) , uB (x1B, x2B)
— funções de produção (restrição tecnológica): F 1 (L1, K1) , F 2 (L2, K2)
— dotações iniciais dos insumos para A e B: LA, KA, LB,KB
— participação de A e B nos lucros das firmas: α1A, α1B, α2A, α2B
3
2 Possibilidades de Produção
2.1 Propriedades das Funções de Produção
• Produto marginal do trabalho e do capital positivo:
PMgL1
¡
L1, K1
¢
=
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
> 0
PMgL2
¡
L2, K2
¢
=
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
> 0 (1)
PMgK1
¡
L1, K1
¢
=
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
> 0
PMgK2
¡
L2, K2
¢
=
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
> 0
• Produto marginal do trabalho e do capital decrescente:
∂2F 1 (L1,K1)
∂ (L1)2
< 0
∂2F 2 (L2,K2)
∂ (L2)2
< 0 (2)
∂2F 1 (L1,K1)
∂ (K1)2
< 0
∂2F 2 (L2,K2)
∂ (K2)2
< 0
4
2.2 Fronteira de Produção
• Seja um economia com produção tal que:
— LA + LB e KA +KB são as dotações totais iniciais de trabalho e capital
— F 1 (L1,K1) e F 2 (L2,K2) são as funções de produção dos bens 1 e 2
Definição 1 Um vetor de produção (y1, y2) especifica...
• a produção total do bem 1 na economia, dada por y1
• a produção total do bem 2 na economia, dada por y2
• Atenção: como mostrado adiante, nem todo vetor de produção é factível
Definição 2 A fronteira de produção (ou das possibilidades de produção) é o conjunto
de todos os vetores (y1, y2), tais que:
• y1 é a produção máxima do bem 1 dado que a economia já produz y2 do bem 2
• y2 é a produção máxima do bem 2 dado que a economia já produz y1 do bem 1
• A posição e o formato da fronteira de produção dependem das...
— dotações totais dos insumos e
— das funções de produção das firmas
• Seja y2 = FT (y1) a função que determina a produção máxima do bem 2, dado que a
economia já produz y1 do bem 1. A fronteira de produção é o gráfico desta função,
ou seja, o conjunto de vetores (y1, y2) tais que y2 = FT (y1)
• A função FT (y1) é negativamente inclinada, ou seja,
∂FT (y1)
∂y1
< 0
Porque? Como os recursos e tecnologias são dados e limitados, quando a economia
já se encontra produzindo um vetor (y1, y2) na fronteira de produção, a única forma
de aumentar a produção de um bem é reduzindo a produção do outro bem
5
2.3 Conjunto de Produção
• Quando a economia produz um vetor (y1, y2) na fronteira de produção, é impossível
aumentar a produção de um bem sem reduzir a produção do outro bem. Neste
caso,
y2 = FT
¡
y1
¢
• Quando a economia produz um vetor (y1, y2) abaixo da fronteira de produção, os
recursos estão sendo subutilizados, pois é possível aumentar a produção de um
bem sem reduzir a produção do outro bem. Neste caso,
y2 < FT
¡
y1
¢
• Já um vetor (y1, y2) acima da fronteira de produção representa um nível de pro-
dução impossível de ser alcançado pela economia, dados os recursos e tecnologias
exixtentes. Neste caso,
y2 > FT
¡
y1
¢
Definição 3 Um vetor de produção (y1, y2) é factível quando
y2 ≤ FT
¡
y1
¢
Definição 4 O conjunto de produção (ou das possibilidades de produção) da economia é
o conjunto de todos os vetores (y1, y2) factíveis, ou seja, é o conjunto de todos os vetores
(y1, y2) tais que
y2 ≤ FT
¡
y1
¢
6
2.4 Função de Transformação
Definição 5 Uma função de tranformação da economia é qualquer função T (y1, y2) tal
que...
• T (y1, y2) ≤ 0 quando (y1, y2) é factível
• T (y1, y2) > 0 quando (y1, y2) não é factível
• T (y1, y2) = 0 se e somente se (y1, y2) encontra-se na fronteira de produção
Exemplo 1 Um exemplo de função de transformação da economia é a função
T
¡
y1, y2
¢
= γ
£
y2 − FT
¡
y1
¢¤
γ > 0
onde y2 = FT (y1) é a fronteira de produção. Porque?
• um vetor de produção (y1, y2) é factível e encontra-se na fronteira de produção se
e somente se
y2 = FT
¡
y1
¢
⇐⇒ T
¡
y1, y2
¢
= 0
• um vetor de produção é factível, mas encontra-se abaixo da fronteira de produção,
se e somente se
y2 < FT
¡
y1
¢
⇐⇒ T
¡
y1, y2
¢
< 0
• um vetor de produção não é factível se e somente se
y2 > FT
¡
y1
¢
⇐⇒ T
¡
y1, y2
¢
> 0
7
2.5 "Curva de Pareto" na Produção: Derivação da Fronteira de Produção
• "Caixa de Edgeworth" para produção
— comprimento da caixa: oferta agregada de trabalho
— altura da caixa: oferta agregada de capital
— mapa de curvas de isoquantas para cada firma
• Uma alocação de fatores de produção é um vetor (L1,K1, L2, K2) que determina
quanto cada firma planeja empregar de cada fator de produção
• Cada alocação de fatores (L1,K1, L2,K2) gera o vetor de produção (y1, y2) tal que
y1 = F 1
¡
L1,K1
¢
y2 = F 2
¡
L2,K2
¢
• Por definição, uma alocação de fatores (L1,K1, L2,K2) é factível se e somente se
L1 + L2 ≤ LA + LB
K1 +K2 ≤ KA +KB
• Um ponto na caixa representa uma e apenas uma alocação factível tal que:
L1 + L2 = LA + LB
K1 +K2 = KA +KB
• Por definição, uma alocação factível (L1, K1, L2,K2) é tecnicamente eficiente se e
somente se não existe uma outra alocação factível
³
L˜1, K˜1, L˜2, K˜2
´
que permita
aumentar a produção de um bem sem reduzir a produção do outro bem
— Mais rigorosamente, uma alocação factível (L1, K1, L2,K2) é eficiente se e so-
mente se não existe uma outra alocação factível
³
L˜1, K˜1, L˜2, K˜2
´
tal que
F 1
³
L˜1, K˜1
´
≥ F 1
¡
L1, K1
¢
F 2
³
L˜2, K˜2
´
≥ F 2
¡
L2, K2
¢
com a desigualdade estrita para pelo menos um dos bens
• Por definição, a curva de uso eficiente dos fatores ("curva de Pareto" na produção)
é o conjunto de todas as alocações de fatores tecnicamente eficientes
8
• Com funções de produção satisfazendo propriedades (1) e (2), uma alocação fac-
tível (L1,K1, L2,K2) tecnicamente eficiente satisfaz as condições
L1 + L2 = LA + LB
K1 +K2 = KA +KB
Logo, esta alocação pode ser representada por um único ponto na caixa
• Suponha funções de produção bem comportadas, satisfazendo propriedades (1) e
(2). Seja uma alocação factível(L1, K1, L2,K2) com
L1 + L2 = LA + LB
K1 +K2 = KA +KB
Suponha que este ponto encontra-se estritamente no interior da caixa. Então, a
alocação (L1, K1, L2,K2) é tecnicamente eficiente se e somente se a curva de iso-
quanta da firma 1 passando por (L1,K1) tangencia a curva de isoquanta da firma
2 passando por (L2, K2) , ou seja,
TMST 1(L1,K1)z }| {
∂F 1 (L1, K1)
∂L1
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
=
TMST 2(L2,K2)z }| {
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
Á
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
(3)
Matematicamente, isto significa igualdade entre as taxas marginais de substituição
técnica entre as firmas.
• Qual a relação entre a fronteira de produção e a curva de uso eficiente dos fatores?
— Seja (L1,K1, L2, K2) uma alocação tecnicamente eficiente. Então, por definição,
o vetor de produção (y1, y2) tal que
y1 = F 1
¡
L1,K1
¢
y2 = F 2
¡
L2,K2
¢
encontra-se na fronteira de produção
— Seja um vetor de produção (y1, y2) na fronteira de produção. Então, por
definição, existe uma alocação eficiente (L1,K1, L2,K2) tal que
y1 = F 1
¡
L1,K1
¢
y2 = F 2
¡
L2,K2
¢
— Conclusão: a fronteira de produção pode ser derivada a partir da curva de
uso eficiente dos fatores
9
• E os vetores de produção (y1, y2) factíveis, porém abaixo da fronteira? Estão asso-
ciados a alocações de fatores factíveis (L1,K1, L2, K2)....
— ∗ com L1 + L2 < LA + LB ou K1 + K2 < KA + KB (não representadas por um
ponto da caixa) ou ...
∗ com L1 +L2 = LA+LB e K1 +K2 = KA+KB (representadas por um ponto da
caixa), mas com isoquantas se cortando (não tangentes)
• E os vetores de produção (y1, y2) não factíveis, ou seja, acima da fronteira de
produção? Estão associados a alocações de fatores não factíveis
10
Derivação da condição marginal de eficiência de Pareto na produção: Resultado (3)
• Uma alocação ¡L1,K1,L2,K2¢ é tecnicamente eficiente se e somente se resolve o
seguinte problema:
max
(L1,K1,L2,K2)
F 2
¡
L2, K2
¢
(4)
sujeito a
F 1
¡
L1,K1
¢
= F 1
¡
L1,K1
¢
(5)
L1 + L2 = LA + LB (6)
K1 +K2 = KA +KB (7)
• Construa o Lagrangiano do problema de max. (4) s.a.(5) a (7):
$
¡
L1, K1, L2,K2, λ, µ1, µ2
¢
= F 2
¡
L2, K2
¢
− λ
£
F 1
¡
L1,K1
¢
− F 1
¡
L1, K1
¢¤
−µ1
£
L1 + L2 − LA − LB
¤
− µ2
£
K1 +K2 −KA −KB
¤
onde λ, µ1, µ2 são os multiplicadores de Lagrange.
• O vetor ¡L1,K1,L2,K2¢ que resolve este problema de max. satisfaz as condições
marginais de primeira ordem:
∂$
∂L1
= λ
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂L1
− µ1 = 0 (8)
∂$
∂K1
= λ
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂K1
− µ2 = 0 (9)
∂$
∂L2
=
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂L2
− µ1 = 0 (10)
∂$
∂K2
=
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂K2
− µ2 = 0 (11)
Eqs.(8) e (9) =⇒
TMST 1
¡
L1,K1
¢
=
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂L1
,
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂K1
=
µ1
µ2
(12)
Eqs.(10) e (11) =⇒
TMST 2
¡
L2,K2
¢
=
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂L2
,
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂K2
=
µ1
µ2
(13)
11
Eqs.(12) e (13) =⇒
TMST 1
¡
L1,K1
¢
= TMST 2
¡
L2,K2
¢
, (14)
onde TMST i é a taxa marginal de substituição técnica da firma j (j = 1, 2).
• Sob as condições (1) e (2), a condição (14) também é suficiente para que ¡L1,K1,L2,K2¢
seja a solução do problema de maximização acima
12
2.6 Taxa Marginal de Transformação (TMT)
Definição 6 A taxa marginal de transformação num ponto qualquer (y1, y2) da fronteira
de produção, denotada por TMT (y1, y2) , é a quantidade mínima do bem 2 que a economia
precisa renunciar para ser capaz de produzir uma quantidade marginal do bem 1
• A taxamarginal de transformação é definida apenas para pontos (y1, y2) da fronteira
de produção, os quais são caracterizados pela condição
y2 = FT
¡
y1
¢
Proposição 1 Seja T (y1, y2) uma função de transformação qualquer. Então a taxa marginal
de transformação num ponto qualquer (y1, y2) na fronteira de produção é dada por
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
(15)
Prova. Por definição, para (y1, y2) na fronteira de produção, segue que
T
¡
y1, y2
¢
= 0 (16)
Diferenciando totalmente ambos os lados da equação (16) acima, segue que
∂T (y1, y2)
∂y1
∂y1 +
∂T (y1, y2)
∂y2
∂y2 = 0
Manipulando a expressão acima, segue que
−∂T (y
1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
=
∂y2
∂y1
O resultado acima estabelece que, dado um aumento de y1 igual a ∂y1, é necessária uma
redução de y2 igual a
∂y2 = −∂T (y
1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
para que a economia permaneça na fronteira de produção. Logo, pela definição de taxa
marginal de transformação, segue que
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
13
Corolário 1 Pela proposição anterior, a TMT (y1, y2) num ponto qualquer (y1, y2) da fron-
teira de produção é igual à inclinação da fronteira de produção neste ponto, ou seja,
TMT
¡
y1, y2
¢
= −∂FT (y
1)
∂y1
Prova. Uma função de transformação qualquer T (y1, y2) assume a forma
T
¡
y1, y2
¢
= γ
£
y2 − FT
¡
y1
¢¤
(17)
com γ > 0. Derivando parcialmente a função (17) acima com respeito a y1 e y2, segue
que
∂T (y1, y2)
∂y1
= −γ∂FT (y
1)
∂y1
∂T (y1, y2)
∂y2
= γ
Substituindo as derivadas acima no resultado (15), segue que
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
= −∂FT (y
1)
∂y1
14
Proposição 2 Seja um ponto qualquer (y1, y2) na fronteira de produção, o qual é gerado
pela alocação eficiente (L1,K1,L2,K2). Então, pode-se afirmar que
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
=
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
Prova. Como (y1, y2) encontra-se na fronteira de produção, então
T
¡
y1, y2
¢
= 0 (18)
Além disso, como (L1,K1,L2,K2) é a alocação que gera (y1, y2), segue que
y1 = F 1
¡
L1,K1
¢
(19)
y2 = F 2
¡
L2,K2
¢
(20)
Substituindo (19) e (20) na expressão (18) acima:
T


y1z }| {
F 1
¡
L1,K1
¢
,
y2z }| {
F 2
¡
L2,K2
¢ = 0 (21)
Como (L1,K1,L2,K2) é eficiente, então
L1 + L2 = LA + LB (22)
K1 +K2 = KA +KB (23)
Isolando L1 e K1 nas eqs. (22) e (23) acima e substituindo na eq. (21), segue que
T


y1z }| {
F 1


L1z }| {
LA + LB − L2,
K1z }| {
KA +KB −K2

,
y2z }| {
F 2
¡
L2,K2
¢


= 0 (24)
Diferenciando totalmente ambos os lados da equação (24) acima com respeito a L2,
segue que
−∂T (y
1, y2)
∂y1
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
+
∂T (y1, y2)
∂y2
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
= 0
Rearranjando a expressão acima, segue que
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
=
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
(25)
15
Diferenciando totalmente ambos os lados da equação (21) acima com respeito a K2,
segue que
−∂T (y
1, y2)
∂y1
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
+
∂T (y1, y2)
∂y2
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
= 0
Rearranjando a expressão acima, segue que
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
=
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
(26)
Combinando o resultado (15) com os resultados (25) e (26), segue que
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
=
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
=
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
16
• Como a TMT (y1, y2) varia com um deslocamento da economia ao longo da fronteira
de produção? A proposição abaixo responde esta pergunta:
Proposição 3 Seja TMT (y1, y2) a taxa marginal de transformação num ponto qualquer
(y1, y2) da fronteira de produção, dada por
TMT
¡
y1, y2
¢
= TMT
¡
y1, FT
¡
y1
¢¢
(27)
desde que y2 = FT (y1) . Então, a derivada total de TMT (y1, FT (y1)) com respeito a y1 é
dada por
dTMT (y1, FT (y1))
dy1
= −∂
2FT (y1)
∂ (y1)2
Prova. Segue diretamente do corolário (1)
• A proposição acima estabelece que:
— a TMT aumenta com um aumento de y1 (e redução de y2) se a fronteira de
produção é côncava
∗ Pela prop. (2), isto ocorre pq aumenta a razão entre a PrMg dos fatores
da firma 2 e a PrMg dos fatores da firma 1
— a TMT diminui com um aumento de y1 (e redução de y2) se a fronteira de
produção é convexa
∗ Pela prop. (2), isto ocorre pq diminui a razão entre a PrMg dos fatores
da firma 2 e a PrMg dos fatores da firma 1
— a TMT permanece constante com um aumento de y1 (e redução de y1) se a
fronteira de produção é linear
∗ Pela prop. (2), isto ocorre pq fica constante a razão entre a PrMg dos
fatores da firma 2 e a PrMg dos fatores da firma 1
17
3 Caso Particular: Possibilidades de Produção numa Econo-
mia com Apenas um Fator
3.1 Descrição da Economia
• Dois indivíduos: A, B
• Dois bens,indexados por j = 1, 2
• Apenas um insumo: L (trabalho)
• Ambos os indivíduos recebem uma dotação inicial do insumo:
— dotação inicial de L para A: LA ≥ 0
— dotação inicial de L para B: LB ≥ 0
— Oferta agregada de trabalho é perfeitamente inelástica em LA + LB
• Economia com produção através de duas firmas:
— firma 1 produz apenas o bem 1 empregando trabalho através da função de
produção
y1 = F 1
¡
L1
¢
= α
√
L1; α > 0 (28)
— firma 2 produz apenas o bem 2 empregando trabalho através da função de
produção
y2 = F 2
¡
L2
¢
= β
√
L2; β > 0 (29)
onde:
— quantidade do bem 1 produzida pela firma 1: y1
— quantidade do bem 2 produzida pela firma 2: y2
— quantidade de L empregada pela firma 1: L1
— quantidade de L empregada pela firma 2: L2
18
3.2 Possibilidades de Produção
3.2.1 Propriedades das Funções de Produção
• Produto marginal do trabalho positivo:
PMgL1
¡
L1
¢
=
∂F 1 (L1)
∂L1
=
α
2
¡
L1
¢− 1
2 > 0
PMgL2
¡
L2
¢
=
∂F 2 (L2)
∂L2
=
β
2
¡
L2
¢− 1
2 > 0
• Produto marginal do trabalho decrescente:
∂2F 1 (L1)
∂ (L1)2
= −α
4
¡
L1
¢− 3
2 < 0 (30)
∂2F 2 (L2)
∂ (L2)2
= −β
4
¡
L2
¢− 3
2 < 0 (31)
3.2.2 Fronteira de Produção
• Alocações de trabalho (L1,L2) entre as firmas são factíveis e tecnicamente eficientes
quando
L1 + L2 = LA + LB (32)
• Derivação da fronteira de produção:
— Seja (y1, y2) um ponto na fronteira de produção
— Então, este existe uma única alocação (L1,L2) tecnicamente eficiente tq
y1 = α
√
L1 =⇒ L1 =
µ
y1
α
¶2
(33)
y2 = β
√
L2 =⇒ L2 =
µ
y2
β
¶2
(34)
— Substituindo (33)-(34) em (32):
L1 + L2 = LA + LB
=⇒
µ
y1
α
¶2
+
µ
y2
β
¶2
= LA + LB
=⇒ y2 = β
s
LA + LB −
µ
y1
α
¶2
=⇒ y2 = FT
¡
y1
¢
= β
s
LA + LB −
µ
y1
α
¶2
(35)
19
3.2.3 Função de Transformação
• Exemplo de função de transformação:
T
¡
y1, y2
¢
= γ
£
y2 − FT
¡
y1
¢¤
= γ

y2 − β
s
LA + LB −
µ
y1
α
¶2
 (36)
γ > 0
3.2.4 Taxa Marginal de Transformação
• Derivando parcialmente a função (36) acima com respeito a y1 e y2, segue que
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂T (y1, y2)
∂y1
Á
∂T (y1, y2)
∂y2
=
β
α2
"
LA + LB −
µ
y1
α
¶2#− 12
y1 > 0
• Derivando a função (35) com respeito a y1, segue que
∂FT (y1)
∂y1
= − β
α2
"
LA + LB −
µ
y1
α
¶2#− 12
y1 (37)
confirmando assim o corolário (1), segundo o qual
TMT
¡
y1, y2
¢
= −∂FT (y
1)
∂y1
(38)
• Além disso, pode-se verificar que
TMT
¡
y1, y2
¢
=
∂F 2 (L2)
∂L2
Á
∂F 1 (L1)
∂L1
tal que
L1 =
µ
y1
α
¶2
L2 =
µ
y2
β
¶2
confirmando assim a proposição (2)
20
• Derivando a função (37) acima com respeito a y1 :
∂2FT (y1)
∂ (y1)2
= − β
α4
"
LA + LB −
µ
y1
α
¶2#− 32 ¡
y1
¢2 − β
α2
"
LA + LB −
µ
y1
α
¶2#−12
< 0
Logo, segue do resultado (38) que
dTMT (y1, y2)
dy1
= −∂
2FT (y1)
∂ (y1)2
> 0
Este resultado ocorre devido às hipóteses (30) e (31) de PrMg decrescente do
trabalho
21

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