Nota de Aula 19 - Equilíbrio Geral com Produção

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
MICROECONOMIA II
Prof. Eduardo P.S. Fiuza
Nota de Aula 19: Equilíbrio Geral com Produção
1 Equilíbrio walrasiano com produção
De…nition 1 Uma alocação A =
�
x1�A ; x
2�
A ; x
1�
B ; x
2�
B ; y
1�; y2�; L1�;K1�; L2�;K2�
�
constitui um equilíbrio walrasiano (ou competitivo, ou de mercado,
ou de tomadores de preço) se:
1.
yj� = argmax
yj ;Lj ;Kj
�
pjyj � wLj � rKj� s:a: yj = F j �Kj ; Lj� ; j = 1; 2 (1)
2. �
x1�i ; x
2�
i
�
= argmax
x1i ;x
2
i
ui
�
x1i ; x
2
i
�
s:a: p1x1i+p
2x2i =
X
j
aji �
�
pjyj � wLj � rKj�+wLi+rKi; i = A;B
(2)
3. Restrições de factibilidade:
(a) xjA+x
j
B=
jyj ; i = 1; 2;
(b) yj = F j
�
Kj ; Lj
�
(c) L1+L2=L= LA+LB
(d) K1+K2=K= KA+KB
Caracterizemos o equilíbrio:
1. Firmas:�
Kj ; Lj
�
= argmax
yj ;Lj ;Kj
�
pjF j
�
Kj ; Lj
�� wLj � rKj� ; j = 1; 2
CPO:
pj
@F j
@Kj
�r = 0
pj
@F j
@Lj
�w = 0
1
+
TMgST j
�
Lj ;Kj
�
=
@F j
@Kj
@F j
@Lj
=
r
w
2. Consumidores:
$ = ui
�
x1i ; x
2
i
���
24p1x1i + p2x2i �X
j
ajip
jyj �
X
j
ajip
jyj � w �
0@Li �X
j
ajiL
j
1A� r �
0@Ki �X
j
ajiK
j
1A35
CPO:
@ui
@x1i
��p1= 0
@ui
@x2i
��p2= 0
+
TMgSi
�
x2i ; x
1
i
�
=
@ui
@x1i
@ui
@x2i
=
p1
p2
2 Demanda agregada
De…nition 2 A função de demanda excedente do consumidor pelo
bem j é:
zji
�
p1; p2
�
= xji
�
p1; p2
�| {z }
Demanda Agregada
� !ji|{z}
Dotação
Como foi assumido !ji = 0;8i; j, a demanda excedente se con-
fundirá com a demanda total. Mesmo assim, manteremos a notação
zji para manter consistência e também porque, mais tarde, se quis-
ermos acrescentar !ji , …cará mais fácil.
De…nition 3 A função de demanda excedente agregada pelo bem j na
economia com produção é:
zj
�
p1; p2
�
=
X
i
xji
�
p1; p2
��X
i
!ji�yj
�
p1; p2; w; r
�
2
3 Lei de Walras
Proposition 4 (Lei de Walras) Se zj
�
p1; p2
�
é de…nida como acima,
então
X
j
pjzji
�
p1; p2
�
= 0;8 (p1; p2).
Proof. Expandimos zj
�
p1; p2
�
conforme sua de…nição:
X
j
pjzji
�
p1; p2
�
=
X
j
pj
 X
i
xji
�
p1; p2
��X
i
!ji�yj
�
pj ; w; r
�!
=
X
i
0@X
j
pjxji
�
p1; p2
�1A�X
i
0@X
j
pj!ji
1A�X
j
pjyjl
�
pj ; w; r
�
Ora, a restrição orçamentária do consumidor i é:
X
j
pjxji
�
p1; p2
�
=
X
j
pj!ji +
X
j
aji �
�
pjyj � wLj � rKj�+ wLi + rKi
Substituindo:
X
j
pjzji
�
p1; p2
�
=
X
i
0@X
j
pj!ji
1A+X
j
=1z }| { X
i
aji
!
� pjyj �
X
j
=1z }| { X
i
aji
!
� �wLj + rKj�+X
i
(wLi + rKi)�
�
X
i
0@X
j
pj!ji
1A�X
j
pjyjl
�
pj ; w; r
�
=
X
i
(wLi + rKi)�
X
j
�
wLj + rKj
�
= w
0@X
i
Li �
X
j
Lj
1A+ r
0@X
i
Ki �
X
j
Kj
1A = 0
esta última igualdade devida às restrições de factibilidade. QED.
De…nition 5 Uma alocação (X;Y; L;K) é factível se a quantidade uti-
lizada agregada é compatível com a oferta agregada.
X
i
xji
�
p1; p2
��X
i
!ji � yj
�
p1; p2; w; r
�
= 0;8j (3)
X
i
Li �
X
j
Lj = 0 (4)
X
i
Ki �
X
j
Kj = 0 (5)
3
4
De…nition 6 Uma alocação (X;Y; L;K) é Pareto-e…ciente se não ex-
iste outra alocação factível (X;Y; L;K) tal que:
�
x10A; x
20
A
� �
A
�
x1A; x
2
A
�
�
x10B ; x
20
B
� �
B
�
x1B ; x
2
B
�
sem perda de generalidade. Assim, a de…nição implica que, pelo
menos, um indivíduo esteja melhor sem que ninguém esteja pior.
Proposition 7 Um equilíbrio existe numa economia se os seguintes
pressupostos são satisfeitos:
1. Cada consumidor tem preferências contínuas, monotônicas e
convexas;
2. O conjunto de produção é fechado (i.e., contém seu fecho) e
convexo;
3. A função de produção não permite que insumos virem produ-
tos e vice-versa (e, portanto, o conjunto factível de alocações é
limitado).
Proposition 8 Primeiro Teorema do Bem-Estar . Se (X;Y; p; L;K) é
um equilíbrio walrasiano, então (X;Y; L;K) é Pareto-e…ciente.
Proof. Suponha que não é P.E. Então, seja (x0; y0) uma alocação
dominante (i.e., uma alocação que traz uma melhora no sentido de
Pareto. Como os consumidores estão maximizando utilidade, deve-
mos obter:
X
j
pjxj0i
�
p1; p2
�
>
X
j
pj!ji+
X
j
aji �
�
pjyj � wLj � rKj�+wLi+rKi; i = A;B
Somando os consumidores, obtemos:
X
j
pj
X
i
xj0i
�
p1; p2
�
>
X
i
0@X
j
pj!ji
1A+X
j
=1z }| { X
i
aji
!
�pjyj�
X
j
=1z }| { X
i
aji
!
��wLj + rKj�+X
i
(wLi + rKi)
4
Ora, para ser factível, são necessários (3) e (4) e (5). Substi-
tuindo:
X
i
0@X
j
pj!ji
1A+X
j
=1z }| { X
i
aji
!
� pjyj0 >
X
j
 X
i
pj!ji
!
+
X
j
=1z }| { X
i
aji
!
� pjyj
Cancelando o primeiro termo de cada lado, …camos com:X
j
pjyj0 >
X
j
pjyj
Ora, mas isso signi…ca que as …rmas estão obtendo mais lucro,
portanto a alocação original não maximizava lucro, portanto não era
Paretiana.
)(
Proposition 9 (Segundo Teorema do Bem-estar). Suponha que (X�; Y �; L�;K�)
é uma alocação P.E. em que cada consumidor detém quantias posi-
tivas de cada bem, e que as preferências são convexas, contínuas e
fortemente monotônicas. Suponha que os conjuntos de possibilidade
de produção �j ; j = 1; 2 são convexos. Então existe um vetor preço�
p1; p2
�
>> 0 tal que:
1. Se
�
x10i ; x
20
i
� � �x1�i ; x2�i �, então p10x10i + p20x20i � p1�x1�i + p2�x2�i ; i = 1; 2
2. Se y0j 2 �j, então pjyj � wLj � rKj � pjyj0 � wLj0 � rKj0 para todo
y0j 2 �j ; j = 1; 2
–então é equilíbrio, pois satisfaz (1) e(2).
5