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SEL310;SEL612-Ondas eletromagnéticas. Gabarito da Prova Substitutiva.
dezembro de 2005
Atenção: O gabarito apresentado está baseado na versão 1 da prova. Para as outras versões
são apresentados apenas os resultados numéricos.
Questão 1
Uma lâmina dielétrica de espessura d = 0, 6 cm e constante dielétrica relativa 12, 9 está imersa
em ar. Uma onda plana de freqüência 5 GHz incide normalmente (ângulo de incidência 00) a
partir do ar sobre a lâmina. Determine a fração de potência incidente que é refletida pela interface
ar-dielétrico.
Solução
Prova P1
Para d = 0, 6 cm; εr = 12, 9; f = 5 GHz. Pelo método da linha de transmissão equivalente,
o problema se reduz à associação em cascata de três linhas de transmissão: uma linha infinita
(c1) de dielétrico εr1 = 1, 0 (ar); uma linha de comprimento d = 0, 6 cm e εr2 = 12, 9 (c2) e
uma linha infinita (c3) de dielétrico εr3 = 1, 0 (ar). A carga da linha c2 é a impedância vista
na entrada da linha c3 (Ze3). A carga da linha c1 é a impedância vista na entrada da linha
c2 (Ze2). O coeficiente de reflexão procurado é Γ = (Ze2 − Z01)/(Ze2 + Z01), na qual Z01 é a
impedância característica da linha c1. Como a incidência é normal, a impedância característica
das linhas c1 e c3 é Z03 = Z01 = η0 =
p
μ0/ε0 = 377 Ω. A impedância característica das
linha c2 é Z02 = η0/
√
εr2 = 377/
√
12, 9 = 105 Ω. A impedância vista na entrada da linha c2,
terminada em Z03 = 377 Ω é Ze2 = Z02. [Ze3 + jZ02tg (β2d)] / [Z02 + jZe3tg (β2d)]. Mas, β2d =
(2π/λ) d, na qual λ = λ0/
√
εr2 = c0/f
√
εr2 é o comprimento de onda na linha de dielétrico
εr2 = 12, 9. assim, β2d = 2
√
εr2πfd/c0. Substituindo os valores, β2d = 2, 26 rad. Com estes valores,
Ze2 = 105 [377 + j105tg (2, 26)] / [105 + j377tg (2, 26)] = 46, 4 + j75, 4 Ω ou Ze2 = 88, 56 58, 40.
O coeficiente de reflexão é Γ = (46, 4 + j75, 4− 377) / (46, 4 + j75, 4 + 377) = −0, 73 + j0, 31 ou
Γ = 0, 796 1570. A fração de reflexão de potência é |Γ|2 = 0, 792 = 0, 62 ou 62%.
Prova P2
Para d = 0, 6 cm; εr = 12, 9; f = 10 GHz. Substituindo os valores, β2d = 4, 51 rad. Com estes
valores, Ze2 = 30, 4−j19, 5 Ω ou Ze2 = 36, 16 −32, 70. O coeficiente de reflexão é Γ = −0, 85−j0, 09
ou Γ = 0, 856 − 174, 10. A fração de reflexão de potência é |Γ|2 = 0, 852 = 0, 73 ou 73%.
Prova P3
Para d = 0, 9 cm; εr = 12, 9; f = 5 GHz. Substituindo os valores, β2d = 3, 39 rad. Com
estes valores, Ze2 = 219, 3 − j173, 1 Ω ou Ze2 = 279, 46 − 38, 30. O coeficiente de reflexão é
Γ = −0, 16− j0, 33 ou Γ = 0, 386 −116, 10. A fração de reflexão de potência é |Γ|2 = 0, 382 = 0, 144
ou 14, 4%.
Prova P4
Para d = 0, 2 cm; εr = 12, 9; f = 5 GHz. Substituindo os valores, β2d = 0, 75 rad. Com
estes valores, Ze2 = 57, 5 − j95, 1 Ω ou Ze2 = 111, 16 − 58, 80. O coeficiente de reflexão é Γ =
−0, 66− j0, 36 ou Γ = 0, 756 − 151, 10. A fração de reflexão de potência é |Γ|2 = 0, 752 = 0, 56 ou
56%.
1
SEL310 e SEL612 GABARITO Prova Substituitva
Questão 2
Uma antena gera uma onda eletromagnética plana que se propaga para dentro do solo, composto
por terra úmida. A constante dielétrica relativa complexa da terra úmida na freqüência de operação
f = 100 MHz é eεr = εr − jσ/ (ε0ω) = 10 − j5. Sabendo que o campo elétrico na superfície do
solo é E = 200 V/m, determine, a uma profundidade c = 5 metros: (a) O fasor campo elétrico (no
formato A exp (jφ)) e (b) O fasor campo magnético (no formato A exp (jφ)).
Solução
Prova P1 e Prova P3
Para f = 100 MHz; eεr = 10 − j5; E = 200 V/m; c = 5 metros. O fasor campo elétrico é
Ef = E exp (−jkz), o fasor campo magnético éHf = (E/Z) exp (−jkz), nas quais Z é a impedância
intrínseca do meio e k = β− jα, pois a terra úmida é dissipativa. A impedância intrínseca do meio
é Z = 377/
√eεr = 377/√10− j5 = 109, 7 + j25, 9 Ω, ou Z = 112, 86 0.232 rad. A constante de
propagação é k = (2πf/c)
√eεr = ¡2π × 100× 106/3× 108¢ /√10− j5 = 6, 82− j1, 61 ou α = 1, 61
m−1 e β = 6, 82 m−1. Para c, kc = (6, 82− j1, 61) × 5 = 34, 08 − j8, 05. Portanto, Ef (z = 5
m) = 200 exp (−8, 05) exp (−j34, 08) e Ef (z = 5 m) = 64 × 10−3 6 − 152, 60 V/m. O fasor campo
magnético é Hf (z = 5 m) = Ef (z = 5 m)/Z = [200 exp (−8, 05) exp (−j34, 08)] / (109, 7 + j25, 9).
Portanto, Hf (z = 5 m) = 5, 69× 10−4 6 − 1660 A/m.
Prova P2 e Prova P4
Para f = 100 MHz; eεr = 10 − j0, 5; E = 30 V/m; c = 5 metros. A impedância intrínseca do
meio é Z = 377/
√eεr = 377/√10− j5 = 109, 7 + j25, 9 Ω, ou Z = 112, 86 0.232 rad. A constante
de propagação é k = (2πf/c)
√eεr = ¡2π × 100× 106/3× 108¢ /√10− j0, 5 = 6, 63 − j0, 17 ou
α = 0, 17 m−1 e β = 6, 63 m−1. Para c, kc = (6, 63− j0, 17) × 5 = 33, 13 − j0, 83. Portanto,
Ef (z = 5 m) = 30 exp (−0, 83) exp (−j33, 13) e Ef (z = 5 m) = 13, 16 − 98, 20 V/m. O fasor campo
magnético é Hf (z = 5 m) = Ef (z = 5 m)/Z = [30 exp (−0, 83) exp (−j33, 13)] / (109, 7 + j25, 9).
Portanto, Hf (z = 5 m) = 0, 116 − 99, 60 A/m.
Questão 3
Uma onda eletromagnética se propaga em um guia metálico de seção retangular preenchido com
ar e com dimensões a = 5 cm e b = 2 cm. A freqüência de operação é f = 4, 8 GHz e o modo
de propagação é o fundamental (TE10). Na extremidade do guia há uma placa condutora com
impedância ZL = 500− j400 Ω. Determine o coeficiente de reflexão (módulo e fase) na freqüência
de operação.
Solução
Prova P1 e P3
Para a = 5 cm; b = 2 cm; f = 4, 8 GHz e ZL = 500 − j400 Ω. A freqüência de corte no
guia é fcTE = c/2a = 3 × 1010/(2 × 5) = 3, 0 × 109 Hz. O comprimento da onda guiada é
λ = c/f = 3 × 1010/4, 8 × 109 = 6, 25 cm. A impedância de onda do modo TE10 é ZTE =
η0/
q
1− (fcTE/f)2 = 377/
q
1− (3, 0/4, 8)2 = 483 Ω. Utilizando a carta de Smith, alocar a
impedância de carga normalizada zL = ZL/483 = (500− j400) /483 = 1, 04− j0, 83. Em seguida,
determinar o módulo e o ângulo. Algebricamente, ΓL = (500− j400− 483) / (500− j400 + 483) =
0, 16− j0, 34 ou ΓL = 0, 386 − 65, 40.
2
SEL310 e SEL612 GABARITO Prova Substituitva
Prova P2 e P4
Para a = 5 cm; b = 2 cm; f = 5, 8 GHz e ZL = 600 − j750 Ω. A freqüência de corte no guia é
fcTE = c/2a = 3 × 1010/(2 × 5) = 3, 0 × 109 Hz. O comprimento da onda guiada é λ = c/f =
3×1010/5, 8×109 = 5, 17 cm. A impedância de onda do modo TE10 é ZTE = η0/
q
1− (fcTE/f)2 =
377/
q
1− (3, 0/5, 8)2 = 440, 5 Ω. Utilizando a carta de Smith, alocar a impedância de carga
normalizada zL = ZL/440, 5 = (600− j750) /440, 5 = 1, 14 − j0, 91. Em seguida, determinar o
módulo e o ângulo. Algebricamente, ΓL = (600− j750− 440, 5) / (600− j750 + 440, 5) = 0, 44 −
j0, 40 ou ΓL = 0, 606 − 42, 20.
3
SEL310 e SEL612 GABARITO Prova Substituitva