Nota de Aula 24 - Economia do Bem Estar

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
MICROECONOMIA II
Prof. Eduardo P.S. Fiuza
Nota de Aula 24: Economia do Bem-Estar (cont.)
1 Maximização do Bem-estar:
Tendo uma função de bem-estar, podemos examinar o problema de
maximização do bem-estar.
� Seja xji a quantidade do bem j alocado para o indivíduo i;
� Seja x =
n
xji
o
; i = 1; :::n; j = 1; :::k;
� Sejam X1; :::Xk as quantidades totais dos bens 1; :::k para dis-
tribuir entre os consumidores.
� O problema de maximização do bem-estar é:
maxW (u1 (x) ; :::un (x))
s:a:
nX
i=1
x1i = X
1
...
nX
i=1
xki = X
k
9>>>>>>>=>>>>>>>;
Restrições de factibilidade
� Ainda lembrando que assumimos que @W@ui > 0;8i;
� Podemos concluir que:
Proposition 1 Uma alocação de bem-estar máximo tem que ser uma
alocação e…ciente de Pareto.
Proof. Seja x uma alocação de bem-estar máximo. Suponha que
não seja Pareto-e…ciente. Então existe outra alocação x0 factível que
Pareto-domina x, isto é, todos têm utilidade pelo menos tão grande
e pelo menos um agente tem utilidade maior:
9 j tq uj (x0) > uj (x) e ui (x0) � ui (x) ;8i 6= j
1
Ora, se assumimos que @W@ui > 0, então W (x
0) > W (x), portanto x
não maximiza o bem-estar, =)(= :
Ver Figuras 24.1 e 24.2.
Para toda alocação Pareto-e…ciente (isto é, que pertence à FPU)
num CPU convexo, sempre podemos encontrar uma Função de
Bem-estar Social (FBES) de soma de utilidades ponderadas que tan-
gencie a FPU naquele ponto.
A FBES, portanto, dá uma maneira de escolher alocações P.E.
Todo máximo de Bem-estar Social é uma alocação P.E., e toda alo-
cação P.E. é um máximo de Bem-estar.
1.1 FBES individualistas:
Neste caso, ui (�) é de…nido apenas sobre a cesta i, eW =W (u1 (x1) ; :::un (xn)) :
FBES é função direta das utilidades individuais, mas é indireta-
mente função das cestas de consumo dos agentes.
+
FBES individualista
ou
FBES de Bergson-Samuelson
Se assumirmos isso, podemos retomar resultados do 1o e 2oTBES,
e concluir que:
Todos os máximos de BES são equilíbrios competitivos
Todos os equilíbrios competitivos são maxBES.
1.2 Alocações justas
FBES é uma forma muito geral de descrever BES. Mas embute nela
um monte de julgamentos morais.
Por outro lado, não é muito usada para determinar que tipos de
julgamentos éticos podem ser razoáveis.
Outra abordagem seria começar com julgamentos morais especí-
…cos e examinar suas implicações para distribuição econômicas )
ESTUDO DAS ALOCAÇÕES JUSTAS.
� Suponha que você tem uma quantidade de bens para dividir.
Qual seria a maneira mais justa?
De…nition 2 Uma alocação é igualitária quando cada um recbe a
mesma quantidade de bens.
2
� A alocação igualitária tem um problema: ela não será necessari-
amente P.E. Com gostos diferentes, os agentes podem desejar
fazer trocas.
� E depois dessas trocas? A alocação P.E. ainda é justa? Herda
algo da simetria do ponto inicial?
� Resposta: Não necessariamente. Suponha os agentes A, B e C,
onde:
–A e B têm os mesmos gostos; mas
–C tem gostos diferentes
� Havendo intercâmbio entre A e C, eles devem melhorar. Ora,
B …cando de fora, terá inveja.
� A foi mais feliz na realocação, o que destruiu a simetria.
Conclusion 3 Uma troca a partir da divisão igualitária não preser-
vará necessariamente a simetria existente.
1.3 Inveja e equidade
De…nition 4 Uma alocação é dita equitativa quando nenhum agentes
prefere a cesta de bens de outro agente à sua própria.
Example 5 Alocação igualitária.
De…nition 6 Se o agente i preferir a cesta de bens do agente j, dize-
mos que i inveja j.
De…nition 7 Se uma alocação for equitativa e Pareto-E…ciente, dize-
mos que ela é justa.
� Veja Figura 24.3.
� Para saber se uma alocação qualquer é equitativa ou não , basta
observar a alocação que resulta se os dois agentes trocam as ces-
tas. Se elas …cam "abaixo" das respectivas curvas de indifer-
ença (isto é, entre as curvas de indiferença), então a alocação
ORIGINAL é equitativa.
� Note na Figura 24.3 que a alocação original é também P.E.
� Então é P.E. + equitativa = Justa.
� Isso aconteceu por acaso ou sempre existe uma alocação justa?
� Resposta: Em geral existe.
3
� Suponha que a alocação original é igualitária. Agora use o
mercado competitivo para fazer as trocas em direção a uma
alocação P.E. por meio da concorrência ) equilíbrio competi-
tivo. Isso nos moverá a uma nova alocação onde cada agente
está escolhendo a melhor cesta que ele/a pode pagar aos preços
de equilíbrio (p1; p2) e sabemos pelo capítulo de trocas que tal
alocação deverá ser P.E.
� Mas essa alocação de equilíbrio é equitativa?
� Resposta: Sim (ATENÇÃO: ERRODETRADUÇÃONOVAR-
IAN!). Suponha, por absurdo, que não, isto é, que A inveje B:
�
x1A; x
2
A
� �A �x1B ; x2B�
� Mas, então, B tem que custar mais que A:
p1!
1
A+ p2!
2
A< p1x
1
B+ p2x
2
B
Ora, A e B receberam a mesma cesta, logo isso é )( :
Então é impossível que A inveje B. Portanto a alocação é quan-
titativa.
Conclusion 8 Um equilíbrio competitivo a partir de uma divisão igual-
itária é sempre uma alocação justa. O mecanismo de mercado preser-
vará certos tipos de equidade: se a alocação original for dividida
igualmente, a alocação …nal será justa.
2 Pareto-e…ciência e maximização de bem-estar
� Vamos considerar uma função de bem-estar individualista. Seja
a curva de possibilidades de produção descrita por T
�
X1; X2
�
,
onde X1 e X2 são as quantidades totais produzidas e consumidas
dos bens 1 e 2 . O problema de maximização pode ser escrito
como:
max
x1A;x
2
A;x
1
B ;x
2
B
W
�
uA
�
x1A; x
2
A
�
; uB
�
x1B ; x
2
B
��
s:a:T
�
X1; X2
�
= 0
� O Lagrangiano deste problema é:
4
$ =W
�
uA
�
x1A; x
2
A
�
; uB
�
x1B ; x
2
B
���� �T �X1; X2�� 0�
� Derivando com relação a cada uma das variáveis de escolha:
@$
@x1A
=
@W
@uA
@uA
@x1A
��@T
�
X1; X2
�
@X1
= 0 (1)
@$
@x2A
=
@W
@uA
@uA
@x2A
��@T
�
X1; X2
�
@X2
= 0 (2)
@$
@x1B
=
@W
@uB
@uB
@x1B
��@T
�
X1; X2
�
@X1
= 0 (3)
@$
@x2B
=
@W
@uB
@uB
@x2B
��@T
�
X1; X2
�
@X2
= 0 (4)
Rearrumando e dividindo (1) por (2) e (3) por (4), obtemos:
@uA=@x
1
A
@uA=@x2A
=
@T=@X1
@T=@X2
@uB=@x
1
B
@uB=@x2B
=
@T=@X1
@T=@X2
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TMSA;2:;1= TMSB:2;1= TMT 1;2
5