Nota de Aula 26 - Bens Públicos

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
MICROECONOMIA II
Prof. Eduardo P.S. Fiuza
Nota de Aula 26: Bens Públicos
Refs: Varian, e Varian, Microeconomic Analysis, cap.23;
Salanié, The Microeconomics of Market Failures, cap. 5.
� Capítulo anterior: para certos tipos de externali-
dades, não era difícil eliminar as ine…ciências.
–Externalidades de consumo: especi…car e execu-
tar direitos de propriedade;
–Externalidades de produção: solução de mercado
para ordenar direitos de propriedade;
–Propriedade comum: privatização, fusão, taxação,
regulação por C&C.
� Problema: N � 3 =) Como chegar a um acordo?
De…nition 1 Bem público é um bem fornecido na mesma
quantidade para todos os consumidores, que é não-rival
(CMg = 0 para o indivíduo marginal) e não-excludente.
Example 2 Defesa nacional
Example 3 Farol
Example 4 TV estatal (em geral aberta e sem codi…cação)
� Quando as duas condições não se veri…cam:
1. Excludente e não-rival (também chamados bens de
clube): TV codi…cada
2. Excludente e rival: bens de consumo comuns
3. Não-excludente e rival: vias e locais públicos sujeitos
a congestionamento;
1
1 Quando prover um bem público:
Example 5 compra de uma TV para dividir num quarto de
um alojamento estudantil
� Sejam w1 e w2 as riquezas iniciais de cada pessoa
� Sejam g1 e g2 as contribuições iniciais de cada pessoa
para o bem público
� Sejam x1 e x2 os gastos residuais em consumo privado
� Restrições orçamentárias:
x1+g1= w1
x2+g2= w2
� Custo da TV = c
� Compra-se a TV se: g1 + g2 � c
� De…na G = 1 se o bem público é fornecido (ex: a TV
é comprada)
� De…na G = 0 se o bem público não é fornecido
� Utilidades: u1 (x1; G) e u1 (x1; G). Os dois podem avaliar
diferentemente os benefícios da TV
� Revisão: Preço de reserva : ri (pessoa i) é tal que
ui (wi � ri; 1)= ui (wi; 0) (1)
isto é, o preço que deixa o agente indiferente entre
comprar a TV e não comprar. É também chamado de
máxima Disposição a Pagar (DaP).
Obs: o preço reserva depende de sua riqueza
� Pode haver situação(ões) e…ciente(s) de Pareto?
� Uma alocação possível é (w1; w2; 0) ) Bem público não
é fornecido
� E quando ele é fornecido?
2
� Existem várias alocações desse tipo, i.e., existem vários
pares x1; x2 tais que a alocação seja (x1; x2; 1)
x1= w1�g1
x2= w2�g2
g1+g2� c
� Mesmo que admitíssemos igualdade na inequação,
seriam 3 equações para quatro incógnitas (g1; g1; x1; x2)
� Quando é que os dois terem a TV seria pelo menos
tão bom quanto não tê-la?
� Resp: quando
u1 (w1; 0)� u1 (x1; 1) (2)
u2 (w2; 0)� u2 (x2; 1) (3)
� Ora, sabemos também que:
De…nição de preço de reservaz }| {
u1 (w1 � r1; 1) = u1 (w1; 0)�
Restrição orçamentáriaz }| {
u1 (x1; 1) = u1 (w1 � g1; 1) (4)
u2 (w2 � r2; 1) = u2 (w2; 0)| {z }
De…nição de preço de reserva
�u2 (x2; 1) = u2 (w2 � g2; 1)| {z }
Restrição orçamentária
(5)
� Portanto (2) e (3) podem ser reescritos como:
u1 (w1 � r1; 1)� u1 (w1 � g1; 1) (6)
u2 (w2 � r2; 1)� u2 (w2 � g2; 1) (7)
3
� Admitindo utilidade monotonicamente crescente (na
verdade, só precisamos que seja monotonicamente
não-decrescente), (6) e (7) implicam que:
w1�r1� w1�g1) r1� g1 (8)
w2�r2� w2�g2) r2� g2 (9)
� Ou seja, ambos os preços de reserva devem ser maiores
que o custo da contribuição individual para a compra
da TV, para que ambos contribuam.
� Se essas condições forem satisfeitas, haverá melhora
de Pareto.
–Necessidade: cada i paga menos ou igual a ri [ (8)
e (9)]
–Su…ciência: soma dos preços de reserva maior ou
igual ao custo:
r2+r2� g1+g2= c
� Mas poderia acontecer que um colega pagasse a mais
que o outro.
� Note como existem várias combinações de preço de
reserva que levam à compra da TV.
1.1 SUTILEZAS
1. Condição para a provisão do bem público depende
apenas da disposição a pagar (DaP) de cada agentee
do custo total;
2. E…ciência da provisão dependerá de (w1; w2)
Example 6 Se a riqueza estiver toda com o interessado,
ele compra
4
Example 7 Se a riqueza estiver toda com o indiferente
à TV, ele não compra
Remark 8 Ambos os casos são e…cientes de Pareto
� Quando a decisão de prover o bem público será in-
dependente da distribuição da renda ou riqueza?
� Resp: com preferências quase-lineares
u1 (x1; G)= x1+v1 (G) (10)
u2 (x2; G)= x2+v2 (G) (11)
� Suponha que v (0) = v2 (0) = 0 para simpli…car
u1 (w1 � r1; 1)
(10)z}|{
= w1�r1+v1 (1)
(1)z}|{
= u1 (w1; 0)
(10)z}|{
= w1 (12)
u2 (w2 � r2; 1)
(11)z}|{
= w2�r2+v2 (1)
(1)z}|{
= u2 (w2; 0)
(11)z}|{
= w2 (13)
� De (12) e (13) segue que:
r1= v1 (1) (14)
r2= v2 (1) (15)
� o que signi…ca que, como desejado, obtemos o preço
de reserva invariante à riqueza (pelo menos para uma
faixa)
5
2 Provisão privada de bem público
� Vimos as condições de necessidade e su…ciência. Mas,
para sabermos se a TV será ou não comprada, isso
vai depender da regra de decisão coletiva.
� Suponha que ri > c;8i. Então cada um dos indivíduos
vai esperar que o outro compre e depois vai usar o
bem, já que ele é público ) caroneiro. Cada indiví-
duo vai querer contribuir com o mínimo possível.
� Problema do Carona, ex: limpeza de casa, lavar a
louça, etc.
� Descrição do jogo:
–Suponha que cada um vai comprar ou não uma
TV e nenhum dos dois pode impedir o outro;
–Custo da TV: $150
–Riqueza de cada um: $500
–Utilidade da TV (valor): $100
B
C NC
A C �50;�50 �50; 100
NC 100;�50 0; 0
� Podemos resolver por EIEED?
� Mostrar o Eq. de Nash (NC,NC).
� Mas é claro que é fora do equilíbrio que se maximiza
a utilidade: um compra e o outro só assiste.
� E, de fato, pode haver uma melhora de Pareto:
� Side payment (pagamento por fora): suponha que o
jogador A compra e B contribui com $51; 00. Neste
caso, UA = 1, UB = 49 > 0
� Qualquer side payment SP tal que 50 < SP < 100 traz
melhora de Pareto
6
3 Diferentes níveis do bem público:
� Agora G mede a qualidade do bem público e tem
custo C (G).
� Restrição orçamentária total:
x1+x2+c (G)= w1+w2
� Alocação e…ciente de Pareto:
maxu1 (x1; G)
s:a: u2 (x2; G)=u2
x1+x2+c (G)= w1+w2
� O Lagrangiano deste problema é:
$ = u1 (x1; G)�� [u2 (x2; G)� u2]�� [x1 + x2 + c (G)� w1 � w2]
� Derivando com relação a x1 e x2:
@$
@x1
=
@u1 (x1; G)
@x1
�� = 0 )@u1 (x1; G)
@x1
= � (16)
@$
@x2
= �
@u2 (x2; G)
@x2
�� = 0 )@u2 (x2; G)
@x2
= ��
�
(17)
@$
@G
=
@u1 (x1; G)
@G
��@u2 (x2; G)
@G
��c0 (G)= 0 (18)
Solução interior: � > 0; � > 0:
Dividindo (18) por � :
1
�
@u1 (x1; G)
@G
��
�
@u2 (x2; G)
@G
�c0 (G)= 0 (19)
Agora substituindo (16) e (17) respectivamente em 1�
e ��� de (19):
@u1 (x1; G) =@G
@u1 (x1; G) =@x1
+
@u2 (x2; G) =@G
@u2 (x2; G) =@x2
�c0 (G)= 0 (20)
7
logo
kTMS1k+ kTMS2k= CMg (G)| {z }
Condição de Boven-Lindahl e Samuelson (BLS)
(Ver Figura 26.0). Exemplo: (1=4; 1=2; 1) é Pareto-ine…ciente.
� Suponha que kTMS1k+kTMS2k < CMg (G). Então pode-se
reduzir a quantidade (ou qualidade) do bem público
e remunerar os indivíduos e ainda sobrar.
� Suponha que kTMS1k+kTMS2k > CMg (G). Então pode-se
fazer com que cada um abra mão de uma unidade do
bem privado, compre o bem público e ainda sobrará.
Example 9 1. Preferências quase-lineares
2. Poluição revisitada
3.1 O problema do carona
� O mercado para bens públicos funcionará?
� Sejam:
–wi a dotação do agente i;
– xi o consumo privado do agente i;
– gi a quantidade do bem público;
– c (G) = G o custo do bem público, onde G = g1 + g2;
� Assim, podemos reescrever a utilidade como:
u1 (x1; G)= u1 (x1; g1 + g2)
3.2 Equilíbrio de Nash
� Ninguém tem incentivo a desviar-se;
� Indivíduo 1 prevê que o indivíduo 2 vai contribuir
com g2; então ele vai resolver o seguinte problema de
maximização:
8
maxu1 (w1 � g1; g1 + g2) (21)
s:a: g1� 0
� Derivando com relação a g1:
�@u1
@x1
+
@u1
@G
+� = 0 (22)
+
@u1
@G
�@u1
@x1
pois � � 0 (23)
ou:
TMS1=
@u1
@G
@u1
@x1
� 1 (24)
3.3 Solução de canto
� Ver grá…cos do Varian
3.4 Exemplo:
Seja ui (xi; G) = ai lnG + lnxi:O problema de maximização do
agente i é:
max ai ln (g1 + g2)+ lnxi
s:a: xi+gi= wi
gi� 0
� Lagrangiano:
$ = ai ln (g1 + g2)+ lnxi + � [wi � xi � gi] + �gi
� Derivandocom relação a gi e a xi:
ai
G
= �� � (25)
1
xi
= � (26)
9
� Como � � 0 e � � 0, e combinando (25) com (26),
obtemos:
ai
G
� 1
xi
(27)
� e, portanto:
TMSi=
ai
G
1
xi
=
aixi
G
� 1
� Fórmula BLS:
a1x1
G
+
a2x2
G
= c
G =
a1x1 + a2x2
c
(28)
� Seja gi (wi) a demanda do indivíduo i pelo bem público.
� Quando gi > 0, qual o seu valor, isto é, gi =?
� Pela restrição orçamentária do indivíduo i:
G
ai
+gi= wi
ou:
gi= wi�G
ai
= wi�g1 + g2
ai
� Para g1, SPG:
g1
�
1 +
1
a1
�
=
a1w1 � g2
a1
ou:
g1=
a1w1 � g2
a1 + 1
� Assim:
g1=max
�
a1w1 � g2
a1 + 1
; 0
�
(29)
g2=max
�
a2w2 � g1
a2 + 1
; 0
�
(30)
10
3.5 Funções de reação:
(29) e (30) são funções de reação (lembram-se de Teoria dos Jo-
gos?). É uma outra maneira útil de descrever o Equilíbrio de Nash
neste caso. Note que podemos reescrever (21) como:
maxu1 (x1; G) (31)
s:a:G+x1 = w1 + g2
G � g2
(eu apenas somei g2 a ambos os lados nas duas restrições).
� Nesta formulação, o agente decide a quantidade total de bem
público sujeito a sua restrição orçamentária, e à restrição de
que a quantidade total que ele escolher deve ser maior ou igual
à quantia fornecida pelo outro agente. A restrição orçamentária
diz que o valor total de seu consumo deve igualar o valor de
sua "dotação" w1 + g2.
� O problema (31) é como qualquer problema de maximização
do consumidor, exceto pela restrição de desigualdade. Assim,
seja f (w) a demanda do agente pelo bem público como função
de sua renda, ignorando a restrição de desigualdade. Então a
quantidade de bem público que resolve (21) é dada por:
G = max ff1 (w1 + g2) ; g2g
� Subtraindo g2 de ambos os lados da equação, temos:
g1=max ff1 (w1 + g2)� g2; 0g
que é a função de reação do agente 1: a sua contribuição ótima
em função da contribuição do outro agente. Assim, o Eq.de Nash é
um conjunto de contribuições (g�1 ; g�2) tal que:
g�1 = max ff1 (w1 + g�2)� g�2 ; 0g
g�2 = max ff2 (w2 + g�1)� g�1 ; 0g
(32)
Example 10 No exemplo acima em que ui (xi; G) = ai lnG+lnxi, temos
que:
f1 (w1 + g2)�g2=
a1w1 � g2
a1 + 1
11
portanto
f1 (w1 + g2) =
a1 (w1 + g2)
a1 + 1
Example 11 No caso em que a utilidade é quase-linear, a partir de
(24) temos que:
@ui
@G
� 1; i = 1; 2
Example 12 � Mas note que, em geral, apenas uma das restrições
será ativa. Suponha que o agente 1 atribui um maior valor
marginal ao bem público que o agente 2, tal que u01 (G) > u02 (G)
para todo G. Então apenas o agente 1 contribuirá – o agente
2 sempre pegará carona. Ambos os agentes contribuirão ape-
nas quando tiverem os mesmos gostos (na margem) pelo bem
público.
� Outra maneira de ver isso é notar que, quando a utilidade é
quase-linear, a demanda pelo bem público será independente da
renda, de modo que fi (w) = gi. Então (32) toma a forma:
g�1 = max fg1 � g�2 ; 0g
g�2 = max fg2 � g�1 ; 0g
(33)
� Segue dessas equações que, se g1 > g2, então g�1 = g1 e g�2 = 0:
� Em particular, seja ui (xi; G) = bi ln (G) + xi. Então as CPO são:
b1
G � 1
b2
G � 1
(34)
� Assim, G� = max fb1; b2g. Se b1 > b2, o agente 1 faz toda a
contribuição e o agente 2 pega carona.
4 Comparação com bens privados
� Com bens privados, o consumo de uma pessoa não
afeta o de outra, nem a produção de uma …rma afeta
a de outra, nem o consumidor afeta a …rma, nem
vice-versa.
� Com bens públicos, as utilidades das pessoas estão
inexoravelmente ligadas.
12
� O primeiro teorema do bem-estar di…cilmente vale
(teria que checar condições especiais)
� Outras instituições sociais que não o mercado para
determinar a provisão de bens públicos:
–Comando e controle (C&C): um grupo determina
a quantidade de bens públicos;
–Votação
4.1 Votação
� Mesmo problema da votação do capítulo de bem-
estar; não-transitividade da regra da maioria.
� Mas, se impusermos algumas restrições sobre as prefer-
ências, poderemos impedir o paradoxo de surgir.
� Vamos representar as preferências por grá…cos de
utilidade líquida do gasto no bem público.
� É razoável admitir que essa utilidade inicialmente
suba com o aumento do gasto no bem público, mas,
depois de um certo ponto, o custo deles seja tanto
(por exemplo, por causa de custos convexos) que os
impostos requeridos para o seu …nanciamento subam
mais que os benefícios do bem.
� Ver Figura 26.1: quando cada indivíduo têm um único
máximo, as preferências sociais não sofrerão de in-
transitividade.
Example 13 Preferências quase-lineares: ui (G)�si � c �G )
Vota a favor quem tem u0i (G) > si � c, onde si é a fração
do indivíduo i no gasto no bem público. Seja Gi o
valor de G que maximiza a utilidade do indivíduo i.
� Ver Figura 26.2. Neste caso, não se garante transi-
tividade.
� Qual é, no primeiro caso, o gasto decidido por votação?
� Resp: o gasto desejado pelo eleitor mediano (Equi-
líbrio de Bowen):
13
u0m (Gv)= sm�c
onde m refere-se ao eleitor mediano, e Gv é o nível de
gasto de equilíbrio
� ATENÇÃO: Não é o gasto médio, como consta em
algumas edições do Varian!
� Note na Figura 26.3 que diferentes distribuições de
preferências dão a mesma mediana, apesar de haver
umamaior concentração das preferências na distribuição
f1 que em f2 .
� Mas, se a distribuição é diferente, a soma das TMS
é diferente, a soma das TMS é diferente. Então só
para determinadas distribuições o ponto de escolha
por votação coincidirá com o e…ciente de Pareto, que
é dado por:
nX
i=1
u0i (G)= c
=1z }| {
nX
i=1
si
nX
i=1
u0i (G)
n| {z }
DaP média
=
c
n
= s � c| {z }
Custo médio
Assim, o equilíbrio (de Bowen) só é Pareto-e…ciente se
a DaP média coincidir com a DaP mediana.
� Além disso, votações podem ser manipuladas.
4.2 Exemplo de manipulação de agenda
� O Congresso Americano vota emenda antes da Lei;
� Seja um projeto de lei instituindo ajuda federal para
escolas e uma emenda de ajuda só para escolas sem
segregação;
� Seja R=republicanos; DS=democratas do Sul; DN=democratas
do Norte; NL=nenhuma lei aprovada; LE= lei emen-
dada; LO = Lei Original;
14
� Sejam as preferências dos três grupos as seguintes:
R DN DS
NL LE LO
LE LO NL
LO NL LE
� 1a votação: LE vs. LO ) Vence LE
� 2a votação: LE vs. NL ) Vence NL!
5 Revelação da demanda
� As pessoas tendem a querer subdeclarar sua DaP
pelo bem público, porque querem pegar carona na
contribuição do outro;
� Haverá algum procedimento que proporcione incen-
tivos corretos para que se diga a verdade sobre o
valor de um bem público?
� Sim, mas requer uma restrição especial nas preferên-
cias: quase-linearidade.
� Nesse caso, o nível ótimo do bem público é sempre o
mesmo, e só resta decidir se ele será ofertado ou não.
Example 14 Iluminação de uma rua por um grupo de
moradores. Cada pessoa i atribui um valor vi: O custo
é $100,00.
Example 15 E…ciência:
nX
i=1
vi � 100:
5.1 Esquemas possíveis e seus problemas
1. Perguntar a cada i qual seu vi, esclarecendo que, se a
iluminação for instalada, a parcela do custo que lhe
caberá será proporcional ao valor declarado.
� PROBLEMA: As pessoas terão incentivo a sub-
declarar vi para pegar carona. Risco da obra não
ser executada.
15
� RAZÃO: vi a ser pago = f (vi declarado) :
2. Decide-se que todo mundo vai pagar uma quantia
pré-determinada ci. Cada pessoa anuncia sua avali-
ação e veremos se a soma dos valores excede o custo.
� Seja o valor líquido ni = vi � ci
� Se
X
ni > 0, faz-se a obra;
� PROBLEMA: As pessoas têm incentivo a exagerar
seus knik, seja ele positivo ou negativo, para in-
‡uenciar o resultado da votação.
Conclusion 16 Os esquemas (1) e (2) não impõem custo ao
desvio da verdade.
� Mas o exagero não é importante se não afetar a de-
cisão social.
� Temos que nos importar com as pessoas e seus val-
ores que desequilibram
X
ni para mais ou para menos.
Chamemos a essas pessoas de agentes pivôs.
� Pode ser que não haja nenhum pivô, ou que todos
sejam.
� Se garantirmos que os pivôs têm os incentivos a falar
a verdade, todos terão.
� Então, se o pivô inviabilizar a obra, os outros agentes
que a quisessem deveriam ser indenizados, e vice-
versa.
� Então seja o seguinte mecanismo;
1. Cada agentedeclara um lance bi, que pode ser
seu valor verdadeiro ou não;
2. O bem público é fornecido se
X
bi � 0 e não é
fornecido se
X
bi < 0:
3. Cada agente recebe uma transferência "por fora "
igual a
X
j 6=i
bj se o bem público é fornecido, e paga
uma transferência "por fora " igual a
X
j 6=i
nj se o
bem público não é fornecido.
16
–Então os payo¤s são:
8>><>>:
ni +
X
j 6=i
bj se bi +
X
j 6=i
bj � 0
0 se bi +
X
j 6=i
bj < 0
Proposition 17 Sejam n agentes, cada um com um valor
verdadeiro vi e um lance bi:Então é ótimo para cada
agente reportar bi = ni, independente dos lances dos
demais agentes. Em outras palavras, contar a ver-
dade é uma estratégia dominante.
Proof. Suponha que ni+
X
j 6=i
bj > 0. Então o agente i pode
garantir que o bem público será fornecido reportando
bi = ni: Suponha, por outro lado, que bi +
X
j 6=i
bj < 0.
Então cada agente i pode garantir que o bem público
não seja fornecido simplesmente dando o lance bi = ni
Conclusion 18 Indivíduos enxergam o custo social de
suas decisões, não mais o individual (t Imposto Pigou-
viano)
� PROBLEMA: Transferências podem ser muito altas.
� SOLUÇÃO: Ideal seria obter mecanismo pelo qual
as transferências somassem zero.
� Em geral, isso não é possível.
� Podemos bolar um mecanismo pelo qual as trans-
ferências são sempre negativas (imposto de Groves-
Clarke), mas que somam zero.
� O insight básico é que podemos acrescentar um dólar
extra ao sidepayment que dependa apenas do que os
outros agentes fazem, sem afetar nenhum dos incen-
tivos de i:
� Por causa desse imposto, a alocação de bens privados
e públicos não será P.E.
� Mas, pelo menos, garantiremos que o bem público
será fornecido sss for e…ciente fazê-lo.
17
5.2 Mecanismo de Groves-Clarke
� Payo¤ao indivíduo i =
8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:
ni se
X
bi � 0 e
X
j 6=i
bj � 0
ni +
X
j 6=i
bj se
X
bi � 0 e
X
j 6=i
bj < 0
�
X
j 6=i
bj se
X
bi < 0 e
X
j 6=i
bj � 0
0 se
X
bi < 0 e
X
j 6=i
bj < 0
� O agente i só é taxado se ele muda a decisão social.
� O importante é que o imposto suma da economia,
para que ele não in‡uencie a decisão de mais ninguém,
e que ele seja pago pelas pessoas pivôs, para que
eles se defrontem com os incentivos apropriados para
dizer a verdade.
5.2.1 Limitações (problemas) do Imposto de Groves-
Clarke
1. Só funciona com preferências quase-lineares.
� Não podemos ter a quantia a ser paga pelas pes-
soas in‡uenciando sua demanda pelo bem público;
� É importante que haja um nível ótimo para o
bem público;
2. Não gera um resultado P.E.: o nível de gasto é ótimo,
mas poderia haver maior consumo privado.
� Como o dinheiro do imposto tem que sumir do
sistema, o consumo de bens privados têm que
baixar;
� Se a probabilidade (no grupo) de alguém ser pivô
é su…cientemente pequena, a arrecadação do im-
posto também será bem pequena, tornando pe-
quena a distância do P.E.
3. Equidade versus E…ciência
� Algumas pessoas poderão …car pior com o fornec-
imento do bem público, embora a quantidade e…-
ciente do bem público seja oferecida.
18
� Vale lembrar que existe um esquema de paga-
mento para o qual cada um estará melhor tendo
o bem que não tendo;
� Mas isso não signi…ca que para um esquema ar-
bitrário toda pessoa melhore.
� A melhora com imposto é potencial.
� EXEMPLO DO VARIAN
19