Aula 01_Geometria Plana_Introdução e Triângulos - CG-2 (1)

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DISCIPLINA: Matemática PROFESSOR: Longo
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EsSA 
Matemática – Aula 01 
Professor Longo 
 
Geometria Plana 
 
(1) Noções Primitivas 
 
 A Geometria Plana inicia-se necessariamente a 
partir de três noções importantes, adotadas sem definição e 
por essa razão, chamadas de noções primitivas geométricas: 
ponto, reta e plano. 
 
 
 
(2) Outras definições geométricas importantes. 
 
● Semirreta 
 
 
● Segmento de Reta 
 
 
● Ponto Médio 
→ é o ponto médio do segmento AB divide o segmento em 
duas partes iguais. 
 
2
AB
MBAM == 
 
(3) Ângulo 
→ é a medida da inclinação relativa de duas retas que partem 
do mesmo ponto. 
 
 
 
ângulo AÔB 
● Grau → º 
 
→ As unidades para medir ângulos são chamadas graus e o 
instrumento usado para medi-los é o transferidor. 
 
 
● Classificação dos ângulos. 
 
Ângulo Reto → mede 90º 
 
 
 
Ângulo Agudo → mede menos de 90º 
 
 
 
Ângulo Obtuso → mede mais de 90º 
 
 
 
• Observações: 
 
Retas paralelas 
→ dizemos que duas retas são paralelas quando a distância 
entre as retas não se altera. 
 
 
 
Retas concorrentes 
→ são assim chamadas as retas que se encontram em um 
ponto. 
 
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Retas perpendiculares 
→ duas retas são chamadas perpendiculares quando são 
concorrentes e o ângulo formado entre elas é 90º. 
 
 
Mediatriz 
→ é a reta que divide o segmento de reta ao meio perpendicu-
larmente. 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice 
→ são aqueles cujos lados de um são semirretas opostas dos 
lados do outro. 
 
 
→ dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou 
seja, são congruentes. 
→ α e γ são opostos pelo vértice 
→ β e θ são opostos pelo vértice 
 
Ângulos Complementares 
→ dois ângulos são complementares quando a soma de 
suas medidas é 90º. 
 
Ângulos Suplementares 
→ dois ângulos são suplementares quando a soma de suas 
medidas é 180º. 
 
 
Ângulos Replementares 
→ dois ângulos são replementares quando a soma de suas 
medidas é 360º. 
 
 
 
Bissetriz 
→ é uma semirreta de origem no vértice do ângulo que o divi-
de o ângulo ao meio. 
 
 
 
 
Exemplos: Determine o valor de x nos casos: 
 
 
 
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(4) Paralelas Cortadas por uma Transversal 
 
→ duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transver-
sal t, determinam oito ângulos. 
 
 
 
 
� Ângulos Congruentes 
 
● opostos pelo vértice: a e c , b e d , α e γ , β e θ 
● alternos internos: c e α , d e β 
● alternos externos: a e γ , b e θ 
● correspondentes: a e α , b e β , c e γ , d e θ 
 
 
� Ângulos Suplementares 
 
● colaterais internos: c e β , d e α 
● colaterais externos: a e θ , b e γ 
● adjacentes: a e b , α e β , c e d , γ e θ, γ e β, ... 
 
Exemplos: 
 
1) Na figura, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x. 
 
 
 
2) Na figura, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x. 
 
 
 
3) Sendo r//s na figura, o valor de y+x é: 
 
 
 
 
4) Determine o valor de x e y, sendo r // s. 
 
 
 
 
 
5) Calcule o valor de x, sendo r // s. 
 
 
 
 
 
 
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(5) Triângulos 
 
→ a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 180º. 
 
 
 
 
● Teorema do ângulo externo 
 
→ em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma 
dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
 
 
 
● Condição de Existência 
→ em qualquer triângulo, a medida de cada lado é menor que 
a soma das medidas dos outros dois e maior que o módulo da 
diferença. 
 
 
 
 
 
● Classificação dos Triângulos 
 
▪ Quanto aos ângulos 
 
Triângulo Acutângulo → possui os três ângulos agudos. 
 
 
 
Triângulo Obtusângulo → possui um ângulo obtuso. 
 
 
 
Triângulo Retângulo → possui um ângulo reto. 
 
 
 
▪ Quantos aos lados 
 
Triângulo Escaleno → possui os três lados diferentes. 
 
 
 
Triângulo Isósceles → possui dois lados iguais. 
 
 
 
 
Triângulo Equilátero → possui os três lados iguais. 
 
 
 
 
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Ceviana 
→ é qualquer segmento de reta que une um vértice ao seu 
lado oposto ou o prolongamento deste. 
 
AD é uma Ceviana. 
 
● Altura 
 
→ é o segmento que une um vértice com um ponto do suporte 
do lado oposto, sendo este segmento perpendicular ao supor-
te. 
 
 
O ponto de encontro das alturas chama-se ortocentro. 
 
Observação: 
 
O triângulo formado pelos pontos I, J, K chama-se triângulo 
órtico. 
 
● Mediana 
 
→ é o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado 
oposto. 
 
O ponto de encontro das medianas chama-se baricentro. 
Observações: 
 
1) Do vértice ao baricentro é o dobro da medida do baricenro 
ao lado oposto. 
 
2) A medida do vértice ao baricentro vale 2/3 da mediana. 
 
3) A medida do baricentro ao pé da mediana vale 1/3 da me-
diana. 
 
● Bissetriz Interna 
 
→ é o segmento que une o vértice a um ponto do lado oposto, 
dividindo o ângulo interno em duas partes congruentes. 
 
O ponto de encontro das bissetrizes chama-se incentro. 
 
Observação: 
 
O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo. 
 
● Mediatriz 
 
 
→ é a reta que divide o segmento em duas partes congruen-
tes, sendo perpendicular ao segmento. 
 
 
 
O ponto de encontro das mediatrizes dos lados dos triângulos 
chama-se circuncentro. 
 
 
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Observações: 
 
1) A mediatriz geralmente não é Ceviana. 
 
2) O circuncentro representa o centro da circunferência ao 
triângulo. 
 
● Exincentro 
→ é o ponto de encontro de duas bissetrizes externas com a 
bissetriz interna do terceiro ângulo. A partir dele, pode-se 
traçar uma circunferência que tangencia um dos lados e o 
prolongamento dos outros dois. 
 
 
 
 
Observações: 
 
1) Altura, mediana, bissetriz interna e mediatriz. 
 
2) Em um triângulo isósceles a altura, a mediana, a bissetriz 
interna e a mediatriz, todas relativas a base coincidem. 
 
3) Em um triângulo equilátero a altura, a mediana, a bissetriz 
interna e a mediatriz, relativas a quaisquer lados coincidem. 
 
 
● Síntese de Clairaut 
→ classifica um triângulo em retângulo, acutângulo ou obtu-
sângulo, conforme o quadrado da medida do maior lado seja 
respectivamente igual a, menor do que ou maior do que a 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. 
 
Considere um triângulo qualquer de lados “a ", "b " e "c ", 
sendo "a " o maior lado. 
 
Se 
222 cba +< , o triângulo é dito acutângulo 
Se 
222 cba += , o triângulo é dito retângulo 
Se 
222 cba +> , o triângulo é dito obtusângulo 
 
 
Exemplos: 
 
1) No triângulo ABC, calcule a(s) incógnita(s): 
 
 
 
 
2) Encontre as medidas dos três ângulos do triângulo da figu-
ra. 
 
 
 
3) Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base BC. Calcule 
o valor de x. 
 
 
4) Calcule x e y indicados na figura abaixo. 
 
 
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5) Quanto aos ângulos α e β da figura podemos afirmar 
que: 
 
 
a) β=α3 b) β=α 2 
c) β=α2 d) β=α 
 
6) Na figura abaixo, BC//ED, med(EÂB) = 80° e med(CBA) = 
35°. Assim, a medida de DÊA é: 
 
 
a) 100° b) 110° 
c) 115° d) 120° 
 
7) Na figura, N e P são os pontos médios dos ladosAC e BC, 
respectivamente. Sabendo que G é o baricentro do triângulo 
ABC, AP = 6 cm e GN = 1,5 cm, obter, em centímetros as 
medidas de AG, GP, BG, e BN. 
 
 
8) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A e M é o ponto 
médio do lado BC. Então a medida de α, em graus, é: 
 
a) 80º 
b) 90º 
c) 100º 
d) 110º 
e) 120º 
 
 
Exercícios: 
 
01. Na figura temos cinco ângulos adjacentes e consecutivos, 
o maior deles mede: 
 
a) 100º b) 122º 
c) 140º d) 144º 
 
02. O quíntuplo de um ângulo menos o complemento do ângu-
lo vale 12º. Qual o ângulo? 
a) 17º b) 16º 
c) 18º d) 20º 
 
03. A soma de dois ângulos vale 125º, um deles é a metade 
do suplemento do outro. O complemento do menor deles vale: 
a) 35º b) 30º 
c) 40º d) 25º 
 
04. (EEAR-2003) Na figura, r // s e t ⊥ u. O valor de a – b é 
 
a) 100° b) 90° 
c) 80° d) 70° 
05. Se sr// , calcule α . 
 
a) 80º b) 90º c) 100º 
d) 110º e) 120º 
 
06. Na figura AB é paralelo a CD . Sendo 
º=BDC 150ˆ e º=CBA 25ˆ , o valor de DBC ˆ é: 
 
a) 5º b) 7º c) 10º 
d) 12º e) 15º 
 
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07. Considere o triângulo ABC da figura, a medida do ângulo 
“x” é: 
 
a) 30 b) 40 c) 50 
d) 60 e) 45º 
 
08. Na figura AB=BC=CD, encontre a medida do ângulo x. 
 
a) 70º b) 75º c) 80º 
d) 85º e) 90º 
 
09. Na figura abaixo, o triângulo ABC possui os segmentos de 
reta AB igual a AC e CD igual CB, encontre a medida do ângu-
lo x. 
 
a) 36º b) 40º c) 38º 
d) 42º e) 50º 
 
10. Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Encontre 
os ângulos a, b, c e d e marque a alternativa correspondente a 
2b-c+a-d. 
 
 
a) 20 b) 30 c) -20 
d) -30 e) 0 
 
 
11. Na figura, AB = AC e BC = CM. O valor de x é: 
 
a) 50° b) 45° 
c) 42° d) 38° 
 
12. Na figura, BC = CA = AD = DE. O ângulo CÂD mede: 
 
 
a) 10º b) 20º c) 30º 
d) 40º e) 60º 
 
13. Considere o triângulo ABC da figura adiante. 
 
 
 
Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz exter-
na do ângulo C um ângulo de 50°, determine a medida do 
ângulo interno A. 
a) 80º b) 90º 
c) 100° d) 60º 
 
14. (EEAR/2003) Na figura, AC=AB , M é o ponto de 
encontro das bissetrizes dos ângulos do triângulo ABC e o 
ângulo CMB ˆ é o triplo do ângulo Â, então a medida de  é: 
 
A 
B 
C 
M 
 
 
a) 15º b) 18º 
c) 24º d) 36o 
 
15. Em um triângulo ABC, o ângulo externo de vértice A mede 
116º. Se a diferença entre as medidas dos ângulos internos B 
e C é 30º, então o maior ângulo interno do triângulo mede: 
a) 75º 
b) 73º 
c) 70º 
d) 68º 
e) 65º 
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16. (EEAR/2005) Na figura, ACB ˆ , DAC ˆ e BDA ˆ medem, 
respectivamente 60º, 30º e 110º. A medida de CBD ˆ é: 
 
a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º 
 
17. Na figura abaixo, AC=AB e DA=CD=BC . A 
medida do ângulo α é: 
 
a) 20º b) 35º c) 36º 
d) 40º e) 54º 
 
18. (EEAR/2004) Na figura, BC//ED, med(EÂB) = 80° e 
med(CBA) = 35°. Assim, a medida de DÊA é: 
 
a) 100°. b) 110°. 
c) 115°. d) 120°. 
 
19. Dado o triângulo ABC da figura, sabe-se que a medida “a” 
do lado que une os vértices B e C é um número inteiro e o 
ângulo  é obtuso. O conjunto solução dos possíveis valores 
de “a” é: 
 
a) { }8 
b) { }7,6,5 
c) { }7 
d) { }8,7,6,5 
 
 
20. Na figura, considere r//s. Com relação ao número que 
expressa a medida do ângulo x , pode-se afirmar que é um: 
 
a) número ímpar. 
b) divisor de 30. 
c) múltiplo de 5. 
d) múltiplo comum de 4 e 6. 
e) número primo maior que 18. 
 
21. Na figura abaixo, BOA ˆ e COB ˆ são dois ângulos adja-
centes. Os segmentos de reta 
____
OX e 
____
OY são as bissetrizes 
desses ângulos. Sabendo-se que º65ˆ =YOA e 
º70ˆ =COX , o valor de YOX ˆ é: 
 
a) 45º b) 50º c) 55º 
d) 60º e) 65º 
 
22. Na figura abaixo o ângulo x é: 
 
a) retângulo 
b) acutângulo 
c) obtusângulo 
d) raso 
 
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais volta ao 
seu tamanho original.” 
 (Albert Einstein) 
 
Gabarito: 
01. d 02. a 03. a 04. b 05. c 06. a 
07. b 08. b 09. a 10. c 11. d 12. b 
13. c 14. d 15. b 16. b 17. c 18. c 
19. c 20. c 21. a 22. a