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MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Lista Exercicios 7 – Aproximação Normal – G A B A R I T O 
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Exercício 1 
Vinte por cento dos domicílios de uma cidade possuem TV a cabo. Calcule a probabilidade (exata) de 
que, em uma amostra de 200 domicílios selecionados ao acaso nessa cidade, haja: 
 
(a) (0,5) entre 34 e 45 (inclusive os extremos) domicílios com TV a cabo; 
 
Seja X: número de domicílios com TV a cabo, dentre os 200 selecionados. Então, 
 
Temos a distribuição de probabilidade: 
 
Binomial com n = 200 e p = 0,2 
 
 x P( X = x ) x P( X = x ) x P( X = x ) 
 0 0,0000000 
 1 0,0000000 
 2 0,0000000 
 3 0,0000000 
 4 0,0000000 
 5 0,0000000 
 6 0,0000000 
 7 0,0000000 
 8 0,0000000 
 9 0,0000000 
10 0,0000000 
11 0,0000000 
12 0,0000000 
13 0,0000001 
14 0,0000002 
15 0,0000006 
16 0,0000016 
17 0,0000044 
18 0,0000112 
19 0,0000269 
20 0,0000609 
21 0,0001305 
22 0,0002654 
23 0,0005136 
24 0,0009469 
25 0,0016665 
26 0,0028042 
27 0,0045178 
28 0,0069784 
29 0,0103474 
30 0,0147450 
31 0,0202149 
32 0,0266900 
33 0,0339691 
34 0,0417120 
35 0,0494585 
36 0,0566712 
37 0,0627978 
38 0,0673424 
39 0,0699325 
40 0,0703696 
41 0,0686533 
42 0,0649754 
43 0,0596867 
44 0,0532433 
45 0,0461442 
 
Assim, a probabilidade do número de domicílios com TV a cabo estar entre 34 e 45 domicílios 
inclusive é 
 
 
 
(b) (0,5) no máximo 30 domicílios com TV a cabo. 
 
 
 
 
(c) (1,0) Repita os itens (a) e (b) usando a aproximação pela normal e compare os resultados. 
 
Sendo , então 
 e 
 
Logo, a distribuição de X é aproximadamente igual à distribuição de probabilidade de Y, em que 
. Assim, utilizando a tabela da distribuição normal, temos: 
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c1): 
 
 
 
 
C2): 
 
 
 
Exercício 2 
Produtores de abacaxi desenvolveram uma metodologia para tentar classificar abacaxis de uma de-
terminada variedade como saborosos ou não, sem ter que cortar a fruta. Após vários testes, verifi-
cou-se que essa metodologia classifica corretamente 80% dos abacaxis não saborosos e, classifica 10% 
dos abacaxis saborosos como não saborosos. Sabendo-se que em determinado mês 4% dos abacaxis 
produzidos em uma determinada região não são saborosos, escolhendo-se aleatoriamente um abacaxi 
dessa região, 
 
(a) (1,0) qual é a probabilidade do abacaxi ser classificado, pela metodologia empregada, como não 
saboroso? 
 
Sejam os eventos, 
 S: o abacaxi escolhido é saboroso 
 NS: o abacaxi escolhido não é saboroso 
 TS: o abacaxi é classificado, pelo teste, como saboroso 
 TNS: o abacaxi é classificado, pelo teste, como não saboroso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por tanto, 
 
Assim, selecionando-se um abacaxi ao acaso, a probabilidade de ser classificado como não 
saboroso é 0,128. 
 
(b) (0,5) Sabendo-se que o abacaxi foi classificado como não saboroso, qual é a probabilidade dele 
ser de fato saboroso quando cortado? 
 
 
0,96 
0,04 
TS 
TN 
TS 
TNS 
0,9 
0,1 
0,2 
0,8 
0,04 x 0,8 = 0,032 NSTNS 
0,04 x 0,2 = 0,008 NSTS 
0,96 x 0,1 = 0,096 STNS 
0,96 x 0,9 = 0,864 STS 
Probabilidade Resultados 
S 
NS 
 
 
TNS 
 
 
 
 
0, 
0, 
 
Probabilidade Resultados 
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(c) (0,5) Sorteando-se 20 abacaxis dentre os que foram classificados como não saborosos pela me-
todologia, qual é a probabilidade de no máximo 11 serem saborosos? 
 
Definamos: 
X: número de abacaxis saborosos dentre os 20 abacaxis classificados como não saborosos. 
Então, 
 
Distribuição acumulada: Binomial com n = 20 e p = 0,75 
 
 x P( X <= x ) x P( X <= x ) 
 
 0 0,00000 
 1 0,00000 
 2 0,00000 
 3 0,00000 
 4 0,00000 
 5 0,00000 
 6 0,00003 
 7 0,00018 
 8 0,00094 
 9 0,00394 
10 0,01386 
11 0,04093 
12 0,10181 
13 0,21422 
14 0,38283 
15 0,58516 
16 0,77484 
17 0,90874 
18 0,97569 
19 0,99683 
20 1,00000 
 
Assim, 
 
 
(d) (1,0) Por medida preventiva para não ter prejuízo, o produtor decide fazer uma inspeção de uma 
amostra de 150 abacaxis classificados como não saborosos pela metodologia. Qual é a probabili-
dade aproximada de no máximo 30 desses abacaxis de fato serem não saborosos? 
 
A probabilidade de escolher ao acaso um abacaxi, dentre os 150 abacaxis classificados como não sa-
borosos, e ele de fato não ser saboroso é 1-0,75=0,25 
Definamos 
X: número de abacaxis não saborosos dentre os 150 abacaxis classificados como não saborosos 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 
Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol encontrada na urina. 
A quantidade de fenol na urina de moradores de certa região segue, aproximadamente, uma 
distribuição normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L. Considere as seguintes definições em 
termos da variável quantidade de fenol na urina: 
 
(i) Define-se como “valor de referência” a quantidade de fenol que é superada por 90% da 
população; 
 
(ii) Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em sua urina for inferior 3 mg/L ou 
for superior a 9 mg/L. 
 
(a) (1,0) Sorteado um morador ao acaso, qual é a probabilidade de ser “atípico”? 
 
 
Definamos 
X: quantidade de fenol na urina de moradores de certa região. 
 
Então, 
 
 
Então a probabilidade de ser “atípico” é 0,1336 
 
Também podemos determinar da seguinte forma: 
 
 
 
e 
 
 
Então a probabilidade de ser “atípico” é igual a 1- 0,8664 = 0,1336. 
 
(b) (0,5) Qual é o “valor de referência” da população? 
 
Seja a o “valor de referência”, então 
 
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pela tabela da normal , então, a = 3,44. 
 
(c) (1,0) Sabendo que uma pessoa é atípica, qual é a probabilidade de ter quantidade de fenol 
superior a 9,92 mg/L? 
 
 
E, assim, temos que 
 
 
Então, 
 
 
(d) (0,25) Sorteadas 4 pessoas ao acaso dessa região, qual é a probabilidade se ter no máximo uma 
“atípica”? 
 
Definamos 
Y: número de pessoas consideradas atípicas, dentre as 4 pessoas sorteadas. 
 
Então, 
 
 Temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, 
 
 
(e) (0,25) Se 80 pessoas são sorteadas ao acaso dessa região, qual é a probabilidade aproximada de 
ocorrer não mais do que de 14 “atípicas”? 
 
Sendo, neste caso, 
 
 
 
 
Logo, a distribuição de X é aproximadamente igual à distribuição de probabilidade de Y, em que 
. 
Binomial com n = 4 e p = 0,1336 
 
x P( X = x ) 
0 0,563474 
1 0,347554 
2 0,080390 
3 0,008264 
4 0,000319 
 
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Assim, utilizando a tabela da distribuição normal, temos: 
 
 
Exercício 4 
Sabe-se que cerca de 10% da população brasileira adulta é analfabeta. Uma amostra aleatória de 270 
brasileiros adultos será investigada quanto ao nível de escolaridade, qual é a probabilidade 
aproximada de ocorrerem: 
 
(a) (0,5) Pelo menos 20, mas não mais do que 30 indivíduos analfabetos; 
 
Seja Y: no. de pessoas analfabetas, dentre 270 brasileiros adultos selecionados. 
 
Então, 
, com E e . 
 
Logo, a distribuição de X é aproximadamente igual à distribuição de probabilidade de Y, em que 
Y . Assim, utilizando a tabela da distribuição normal, temos: 
 
 
 
(b) (0,5) No máximo 45 analfabetos; 
 
 
(c) (0,5) No mínimo 17 analfabetos. 
 
 
(d) (0,5) determine o valor k tal que, P(9 < X < k) = 0,15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1503 
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a é tal que A(a) = 1 - 0,1503 = 0,8497 e z = -a 
Pela tabela da distribuição normal, obtemos que a = 1,04, então