Principios basicos de aritmetica

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Alfredo Caicedo Barrero
Graciela Wagner de Garćıa
Rosa Maŕıa Méndez Parra
Docentes Universidad del Quind́ıo
PRINCIPIOS BÁSICOS DE ARITMÉTICA
c©Derechos reservados
Reproducido y editado por Ediciones Elizcom
Primera edición, diciembre del 2010
200 ejemplares
ISBN: 978-958-99325-8-2
www.elizcom.com
ventas@elizcom.com
Cel: 3113340748
Armenia, Quind́ıo
Contenido
1 Naturaleza de la Aritmética 1
1.1 Operaciones Básicas de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Los Números Naturales 5
2.1 Las Nociones de Unidad y Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 La Serie Natural de los Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 La Adición en los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Sustracción en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Multiplicación en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 División en los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Potenciación en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 Radicación en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Logaritmación en los Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Los Números Enteros 35
3.1 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Máximo Común Divisor (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Mı́nimo Común Múltiplo (M.C.M.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Congruencia 59
4.1 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Ecuaciones Lineales de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Números Racionales Q 71
5.1 Valor Absoluto en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Operaciones Aritméticas en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Representación Decimal de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Reducción de Fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Comparación y Orden en los Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6 Notación Cient́ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
i
ii Principios Básicos de Aritmética
6 Razones y Proporciones 91
6.1 Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Magnitudes Proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Regla de Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Magnitudes Proporcionales a Varias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Regla de Tres Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7 Reparto Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.8 Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.9 Interés Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7 Coeficientes Binomiales 115
8 Sistemas de Numeración 121
8.1 Origen de la Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2 Sistema de Numeración Posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3 Sistema de Numeración en Base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.4 Números Octales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.5 Sistema Hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Sistema Métrico Decimal 133
9.1 Medidas y Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 Medidas Tradicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Sistema Inglés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Introducción
Es necesario hacer un recorrido formal y riguroso de la aritmética desde sus inicios, para
formar un docente bien fundamentado con bases sólidas desde el estudio de los números
naturales, hasta los números reales.
Esta propuesta pretende estudiar la matemática desde sus inicios para fortalecer al fu-
turo docente en el estudio de: los números naturales, su concepto, operaciones y leyes
formales, ampliación de los números naturales con los enteros, los racionales definiendo
nuevamente las operaciones fundamentales y reconociendo la permanencia de las leyes
formales, se trabajarán las leyes de las operaciones mediante demostraciones sencillas,
de igual manera se estudiarán los números primos, las relaciones de divisibilidad y de
proporcionalidad, congruencia entre números; se incorporarán los recursos que ofrecen
a la resolución de problemas aritméticos y a los métodos para hallar el mı́nimo común
múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD).
También se hace necesario profundizar en temas que le permitan un mayor conocimiento
sobre los diferentes conjuntos numéricos (números naturales, enteros, racionales e irra-
cionales), sus distintas formas de representación y las propiedades y relaciones que los
caracterizan, además establecer relaciones entre los conjuntos numéricos reconociendo
sus propiedades espećıficas.
Estos elementos le permiten hacer un análisis sobre los tipos de problemas de ı́ndole arit-
mético, para obtener la comprensión de los múltiples usos de las operaciones aritméticas
para solucionar situaciones cotidianas.
Con el presente material, se pretende que el docente haga un estudio sistematizado y
riguroso de los números y sus operaciones entre ellos además de iniciarse en los diversos
métodos de demostración usados en aritmética para validar operaciones, propiedades y
proposiciones.
iii
.
Caṕıtulo 1
Naturaleza de la Aritmética
¿Qué es la aritmética?
La aritmética es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de
los números y de las reglas que rigen las operaciones entre ellos
¿Qué es una operación aritmética?
Una operación es una combinación de ciertos números, siguiendo determi-
nadas reglas precisas, para obtener otro nuevo número como resultado
¿Qué son las reglas formales de la aritmética?
Son reglas que establecen las formas como se deben combinar los números
para que aśı quede definida una operación entre ellos
Cada operación que se defina entre números cumplirá ciertas leyes que son “las reglas de
juego” dentro de la operación. Estas son llamadas las leyes formales del cálculo.
El matemático Felix Klein en su magistral obra: “Matemática Elemental, desde un punto
de vista superior”, dice:
“Históricamente durante mucho tiempo, se ha sumado y multiplicado sin darse
cuenta de las leyes formales de estas operaciones. En los años 20 al 30 del siglo
XIX fueron puestas en evidencia, por primera vez, por matemáticos franceses
e ingleses, principalmente, las propiedades formales de aquellas operaciones.”
En vista de los conceptos anteriores se puede redefinir la aritmética en la siguiente forma:
“La aritmética es un conjunto de reglas que establecen cómo son las operaciones
que se pueden ejecutar entre números”
1.1 § Operaciones Básicas de la Aritmética §
En aritmética se han definido 5 operaciones básicas
1. Igualdad (=).
1
2 Principios Básicos de Aritmética
2. Suma (+).
3. Resta (−).
4. Multiplicación (×)
5. División (÷)
Por lo tanto se tendrán leyes formales para cada una de ellas.
También se ha definido una relación de ordenamiento entre pares de números y sim-
bolizada por el signo(<) y que significa “menor que”.
A continuación relacionamos las leyes formales o fundamentales de las operaciones ar-
itméticas y posteriormente durante el desarrollo del curso se hará un estudio más pro-
fundo de cada una de ellas.
Leyes fundamentales de la igualdad y la ordenación
I. Ley de la Tricotomı́a
Los números forman un conjunto ordenado, es decir, entre dos cualesquiera de ellos
a y b, por ejemplo, subsiste una y sola una de las tres relaciones
a < b, a = b, a > b
II. Ley Idéntica
Todo número es igual aśı mismo
a = a
III. Ley rećıproca
Si un número es igual a otro este es igual al primero
De a = b se deduce que b = a
IV. Ley transitiva
Si un número es igual a otro y este es igual a un tercero, el primero es igual al
tercero
De a = b y b = c se deduce que a = c
Si un número es menor o igual a otro y este es menor a un tercero, el primero es
menor al tercero
De a ≤ b y b < c se deduce que a < c
Si un número es menor a otro y este es menor o igual a un tercero, el primero es
menor al tercero
De a < b y b ≤ c se deduce que a < c
Leyes fundamentales de la adición
Para todo par de números a y b existe siempre un tercer número s, llamado suma de a y
b, que se designará por a+ b. Esta suma obedece a las siguientes leyes
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Operaciones Básicas de la Aritmética 3
I. Ley de uniformidad de la adición
De a = a′ y b = b′ se deduce que a+ b = a′ + b′
II. Ley conmutativa
Siempre se verifica que
a+ b = b+ a
III. Ley asociativa
Siempre se verifica que
(a+ b) + c = a+ (b+ c)
IV. Ley monotońıa
De a < b se deduce que a+ c < b+ c
De a > b se deduce que a+ c > b+ c
Estas leyes parecen triviales pero constituyen el fundamento de toda la ciencia de los
números.
Ley fundamental de la sustracción
Para cada par de números a y b existe siempre un tercer número c tal que se cumple la
relación a+ c = b.
En esta formulación se ve la precaución de considerar la adición como la operación pri-
maria y a la sustracción como la operación inversa de la adición.
Siempre puede encontrarse un número c (único) que sumado al número a nos dé el número
b. Demostremos que c es único:
Demostración. Supongamos que existen dos números c y c′ que sumados a a nos dan
b. Si esto es cierto entonces: a+ c = b y a+ c′ = b, entonces, por ley transitiva se obtiene
a + c = a + c′. Esta solo se cumple cuando c = c′. Si c > c′, entonces, por Ley de
Monotońıa se obtiene a+ c > a+ c′. Si c < c′, entonces, también por Ley de Monotońıa,
se obtiene a+ c < a+ c′. Queda como única opción que c = c′
Queda demostrado que un único número c cumple la ley fundamental de la sustracción y
lo llamaremos la diferencia c = b− a.
Existencia del Cero. Existe un número llamado el“cero” con la propiedad de per-
manecer neutral frente a la adición y por consiguiente frente a la sustracción, es decir que
al agregar el cero a a no se produce ninguna variación.
Busquemos el cero y veamos que es único
Demostración. Supongamos que para a existe un cero,
→ a+ 0 = a (1.1)
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
4 Principios Básicos de Aritmética
Supongamos que para a′ existe un cero,
→ a′ + 0′ = a′
→ a′ = a′ + 0′ (1.2)
sumando (1.1) y (1.2) se obtiene:
a+ 0 + a′ = a+ a′ + 0′
de donde
(a+ a′) + 0 = (a+ a′) + 0′
y aśı
0 = 0′
Entonces existe el cero y es único.
Leyes fundamentales de la multiplicación
Para cualquier par de números a y b siempre existe un tercer número p al que llamaremos
producto de a y b y designaremos por a × b ó ab. Esta multiplicación obedece a las
siguientes leyes:
I. Ley de uniformidad
Si a = a′ y b = b′ → ab = a′b′
II. Ley conmutativa
Siempre se cumple que
ab = ba
III. Ley asociativa
Siempre se verifica que
a(bc) = ab(c)
IV. Ley distributiva respecto a la suma
Siempre se verifica que
(a+ b)c = ac+ bc
V. Ley distributiva respecto a la resta
Siempre se verifica que
(a− b)c = ac− bc
VI. Ley de monotońıa
Si a < b y c > 0 → ac < bc
Si a > b y c > 0 → ac > bc
Ley fundamental de la división
Para todo par de números a y b existe siempre un tercer número c, tal que bc = a.
Con esta formulación se concluye que la división es la operación inversa de la multi-
plicación.
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Caṕıtulo 2
Los Números Naturales
2.1 § Las Nociones de Unidad y Conjunto §
Se dice que en las matemáticas las ideas más primarias son las ideas de unidad y de
conjunto y por lo tanto se les llama nociones y no necesitan ser definidas o que su definición
es evidente.
“Cualquier objeto es una unidad”
“Una agrupación de objetos es un conjunto”
Todo razonamiento que se haga en matemáticas sobre conjuntos no tiene nada que ver
con la naturaleza f̀ısica de sus elementos. Es completamente igual para las matemáticas
que un conjunto sea de piedras, árboles o animales.
Definición 2.1. Conjuntos Coordinables
Dos conjuntos cualesquiera A y B son coordinables, cuando a cada ele-
mento de A le corresponde un elemento de B y a cada elemento de B le
corresponde un elemento de A.
Para expresar que dos conjuntos A y B son coordinables, los separamos por el signo ⊼
(signo de coordinabilidad). Aśı, la expresión A ⊼B, se lee: “A coordinable con B”.
Ejemplo Sea A el conjunto de personas que hay en una sala, y sea B el conjunto
de sombreros que hay en la sombrerera. Al marcharse cada persona toma
su sombrero, del siguiente modo:
A = { Pedro, Jaime, Carlos, Juan }
l l l l
B = { Café, Verde, Negro, Azul }
En este caso se dice que entre los conjuntos A y B existe una correspon-
dencia biuńıvoca es decir, uńıvoca (uno a uno) en dos sentidos.
5
6 Principios Básicos de Aritmética
Ejemplo Si cada alumno de la clase lleva un lápiz, y sólo uno, puede afirmarse
que los conjuntos de alumnos y de lápices son coordinables pues a cada
alumno corresponde un lápiz y, rećıprocamente a cada lápiz corresponde
su dueño
Ejemplo Las butacas de un teatro, que no está lleno, no son coordinables con
los espectadores, pues a cada espectador corresponde su butaca, pero la
rećıproca no es cierta, al no estar completa la sala, habŕıa butacas sin
espectador correspondiente. Estos conjuntos se podŕıan esquematizar
aśı:
Espectadores = { △, △, △, }
l l l
Butacas = { ∗, ∗, ∗, ∗, ∗ }
Definición 2.2. Cardinal de un Conjunto
El número de elementos de un conjunto finito A se llama el cardinal del
conjunto y se simboliza con #A o #(A)
Cuando se establece el cardinal de un conjunto se está estableciendo una correspondencia
biuńıvoca entre los elementos del conjunto y los números naturales.
Definición 2.3. Conjuntos Equipotentes
Dos conjuntos son equipotentes cuando tienen el mismo cardinal
Definición 2.4. Natural de un Conjunto
El número natural de un conjunto es lo que tienen en común todos los
conjuntos que son coordinables con él
Cuando contamos para conocer la cantidad de elementos en un conjunto, nosotros uti-
lizamos los números naturales como números cardinales. Por lo tanto, el acto de contar
implica el deseo de conocer la cantidad de objetos de un conjunto. El deseo de tener con-
trol sobre el número de elementos en un conjunto puede haber sido la principal motivación
de los seres humanos para contar.
¿Qué tan viejo es el acto de contar?
¿Otras especies no humanas también cuentan?
Uno podŕıa sentirse tentado a decir que contar no puede ser anterior al lenguaje, ya que
usualmente utilizamos números para contar, pero se sabe que algunas sociedades prim-
itivas utilizaron una especie de conteo con varas u objetos en el que estos se asignan
f́ısicamente a los objetos que se van a contar. La persona que cuenta con ese método no
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
La Serie Natural de los Números 7
concluye su operación con una palabra adecuada para el número de objetos sino más bien
con un grupo de objetos que representa la cantidad de elementos en el conjunto.
Un nativo Wedda de la isla de Sri Lanka podŕıa contar un montónde cocos asignándole
una concha de almeja a cada uno. Cuando termina, él no puede decir cuántos cocos tiene
porque en su lenguaje no existe una palabra para designar dicho número, pero si puede
señalar su pila de conchas y decir “aśı de tantos”. Si le roban un coco, cuando el realice
nuevamente la correspondencia de cocos y conchas, descubrirá que tiene una concha que
no puede asignarse a un coco, el sabe de inmediato que hay un coco faltante.
Un postulado es una verdad tan simple que se pide que sea admitida sin demostración.
El postulado fundamental de la aritmética dice:
Postulado Fundamental de la Aritmética
El número de elementos de un conjunto no depende del orden de colocación
Ejemplo El número de sillas de un salón no cambiará aunque se coloquen todos
en fila, en un rincón ó unas sobre otras.
2.2 § Serie Natural de los Números §
Si partimos de un elemento cualquiera, que representamos por x, le agregamos otro, y
aśı sucesivamente, obtenemos una sucesión de conjuntos, llamado la sucesión natural de
conjuntos.
{∗}, {∗, ∗}, {∗, ∗, ∗}, {∗, ∗, ∗, ∗}, . . .
Como cada uno de estos conjuntos tiene un cardinal entonces, a esta sucesión natural
de conjuntos le corresponde la sucesión de números que representan sus cardinales y que
representamos por 1, 2, 3, 4, . . . y que recibe el nombre de sucesión natural de los números.
Si al conjunto vaćıo {} le asignamos el cardinal 0 entonces la serie natural de los números
es 0, 1, 2, 3, 4, . . .. Si estos números se agrupan y se consideran como un conjunto entonces
se obtiene el conjunto de los números naturales que se simboliza como
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Propiedad Fundamental
La sucesión natural de conjuntos no tiene fin, pues se puede seguir agregando elementos
al conjunto, uno a uno, en forma infinita, por lo tanto, la serie natural de los números
que están en correspondencia con ella, tampoco tendrá fin
“La seria natural de los números es infinita”
Representación Geométrica de N
La serie natural de los números puede representarse mediante la sucesión natural de seg-
mentos iguales. al número 1 corresponde el segmento unidad, al número 2 corresponde el
segmento de 2 unidades, y aśı sucesivamente
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
8 Principios Básicos de Aritmética
Postulados o Axiomas de Peano
En 1895 George Peano estableció una forma axiomática para construir los números na-
turales mediante los siguientes axiomas:
1. El 1 es un número.
2. El sucesor de cualquier número es otro número.
3. No hay dos números que tengan el mismo sucesor.
4. El 1 no es sucesor de algún número.
5. Si el número 1 tiene cierta propiedad y el sucesor de cada número tiene la misma
propiedad, entonces todo número tiene dicha propiedad.
Refiriéndonos a los naturales estos Axiomas se pueden escribir en la siguiente forma:
A1. Uno (1) es un número natural o más estrictamente, el sistema de los números
naturales contiente un elemento especial llamado uno y denotado por 1.
A2. A un número natural n le corresponde otro número n∗ llamado el sucesor inmediato
de n.
A3. Dados dos números naturales n y m, si n∗ = m∗ entonces n = m.
A4. No existe ningún número natural cuyo sucesor inmediato sea el 1; es decir, que 1 es
el primer número natural.
A5. Si un conjunto S de números naturales satisface las siguientes condiciones:
(a) El 1 pertenece a S .
(b) Si n ∈ S, entonces n∗ ∈ S.
Entonces S contiene a todos los números naturales.
Este Axioma (A5) se conoce con el nombre de “Axioma de inducción” y juega papel
primordial en las demostraciones por “Inducción Matemática”.
El número inmediatamente posterior a 1 es decir 1∗, se denota por 2, el número in-
mediatamente posterior a 2 es 2∗, se denota por 3 etc, aśı sucesivamente se obtiene el
sistema de los números naturales que se designan por la letra N.
Nota:
Es absurda la discusión acerca de la inclusión o no del número cero en el
sistema de los número naturales. Los números naturales que comienzan
en uno han sido utilizados por los hombres desde hace más de 5000 años,
en cambio el descubrimiento del cero como número es muy reciente,
introducido por los indúes. Peano axiomatizó la intuición humana que
aún los caverńıcolas teńıan para contar: uno es el primero, uno y uno es
dos, dos y uno es tres, tres y uno es cuatro, . . .: aśı se forman todos los
números
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Producto Cartesiano 9
2.3 § Producto Cartesiano §
Definición 2.5. Producto Cartesiano
Si X e Y son dos conjuntos entonces el producto cartesiano de X por Y
es el conjunto de todos los pares ordenados con el primer componente
perteneciente a X y el segundo componente perteneciente a Y.
Simbólicamente:
X × Y = {(x, y)|x ∈ X y y ∈ Y }
Ejemplo Si X = {a, b, c} y Y = {3, 7}, entonces
X × Y = {(a, 3), (a, 7), (b, 3), (b, 7), (c, 3), (c, 7)}
Y ×X = {(3, a), (7, a), (3, b), (7, b), (3, c), (7, c)}
Ejemplo Si M = {m,n, s}, entonces
M ×M = {(m,m), (m,n), (m, s), (n,m), (n, n), (n, s), (s,m), (s, n), (s, s)}
Representación Gráfica
Sea A = {a, b, c}, B = {1, 2}
A×B B ×A
Obsérvse que el producto cartesiano no es conmutativo A×B 6= B ×A.
Definición 2.6. Cardinal del producto Cartesiano
El cardinal de un producto cartesiano es igual al número de parejas que
conforman el producto
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
10 Principios Básicos de Aritmética
Ejemplo Sea A = {5, 6}, B = {a, b, c}
A×B = {(5, a), (5, b), (5, c), (6, a), (6, b), (6, c)} −→ #A×B = 6
B ×A = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (a, 6), (b, 6), (c, 6)} −→ #B ×A = 6
Obsérvese que el orden de los conjuntos en el producto no afecta el
cardinal.
2.4 § La Adición en los Números Naturales §
Definición 2.7. Suma
Dados dos naturales a y b, si A y B son dos conjuntos tales que : #A = a,
#B = b y A ∩ B = ∅, se llama suma de a y b al número natural s tal
que
s = #(A ∪B) = #A+#B
s = a+ b si A ∩B = ∅
Lo anterior indica que a la pareja (a, b) se le asocia un único valor que es s; (a, b) → s
Ejemplo Sea A = {a, b} y B = {c, d, e}; sabemos que
A ∪B = {a, b, c, d, e} y que #(A) = 2, #(B) = 3
De donde
#(A ∪B) = 5
Luego 5 está dado por el par ordenado (2, 3), es decir:
(2, 3) +−−−−−−−→5
Cuando A y B son el conjunto N se tiene:
N× N +−−−−→ N
(a, b) +−−−−→ s = a+ b
Por ejemplo
N× N +−−−−→ N
(1, 2) +−−−−→ 3
(5, 7) +−−−−→ 12
...
...
(20, 10) +−−−−→ 30
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
La Adición en los Números Naturales 11
En conclusión podemos decir que
“La operación adición entre números naturales es una aplicación de N× N en
N que a cada par ordenado (a, b) ∈ N × N llamados sumandos, le asocia un
único s ∈ N llamado suma”
La adición entre números naturales es una función de N x N −−−→ N, mediante la cual
se hace corresponder un par ordenado (a, b) ∈ N x N llamados sumandos, con un tercero
s ∈ N llamado suma.
Propiedades de la adición en N
I. Propiedad clausurativa
si (a, b) ∈ N× N→ a+ b ∈ N
La adición de números naturales es una operación que a cada par de números
naturales asocia necesariamente otro número natural. También se dice que el
conjunto N es cerrado con respecto a la operación adición
II. Propiedad conmutativa
si (a, b) ∈ N× N,→ a+ b = b+ a.
Como a y b son naturales porque representan la cantidad de elementos de A y
B, entonces cambiando el orden de los sumandos se obtiene la misma suma
III. Propiedad de la uniformidad de la adición
si a = b→ a+ c = b+ c
Si a dos miembros de una igualdad se les suma un mismo número c ∈ N se
obtiene otra igualdad.
IV. Propiedad o ley de la monotońıa
Sean a, b, c ∈ N
si a > b→ a+ c > b+ c
si a < b→ a+ c < b+ c
Si a dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número c ∈ N se
obtiene otra desigualdad del mismo sentido
a > b a < b
c > d c < d
a+ c > b+ d a+ c < b+ d
Si se suman miembro por miembro dos o más desigualdades del mismo sentido,
se obtiene otra desigualdad del mismo sentido a las dadas
G. Wagnerde G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
12 Principios Básicos de Aritmética
¿Qué se puede afirmar si las desigualdades no son del mismo sentido?
Póngase ejemplos numéricos y concluya
V. El conjunto extendido de los números naturales
Si el conjunto N se une con el cero, se obtiene una extensión de los naturales
que se simboliza con No
No = N ∪ {0}
No también es llamado el conjunto de los números cardinales
VI. Propiedad modulativa
En N no hay elemento neutro o elemento identidad para la adición, porque no
existe un número natural c tal que ∀a ∈ N se verifique que
a+ c = c+ a = a
Si se considera el conjunto de No el módulo o elemento identidad para la adición
es el cero porque
a+ 0 = 0 + a = a ∀a ∈ No
VII. Propiedad asociativa
Si a, b, c, pertenecen al conjunto de los N, entonces
a+ b+ c = (a+ b) + c = a+ (b+ c)
Asociando sumandos de modos distintos se obtiene la misma suma
2.5 § Sustracción en los Números Naturales §
La operación que permite calcular la diferencia de dos números se llama sustracción. La
sustracción de números naturales es la operación inversa a la adición. Siempre existe un
número natural d ∈ N de tal manera que d + b = a con a, b ∈ N, si a > b. Esto significa
que d sumado con b produce a.
Definición 2.8. Diferencia
Si a > b existe un único número d tal que a = b + d, entonces la
diferencia entre a y b es p = a− b. En otras palabras:
Dados dos naturales a y b tales que
a = #A y b = #B
B ⊂ A y A−B 6= ∅
entonces se llama diferencia de a y b al número d tal que
d = a− b = #(A−B)
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Sustracción en los Naturales 13
Ejemplo Sea A = {a, b, c, d, e} y B = {a, b, c}. Sabemos que
A−B = {d, e}, #(A) = 5 #(B) = 3
De donde
#(A−B) = 2
En general,
si (a, b) ∈ N× N, y a > b −→ (a, b) −−−−−−−−→c
Dados el par (7, 4) existe d ∈ N tal que d+ 4 = 7?
Es claro que si existe d ∈ N, el cual es igual a 3. El número 3 es entonces la dife-
rencia entre 7 y 4 y se escribe 3 = 7− 4.
La expresión d + b = a y a − b = d son equivalentes y sus términos son: d es la di-
ferencia, a es el minuendo y b es el sustraendo.
La sustracción no es una operación binaria en el conjunto de los naturales, dado que
no es posible encontrar para todo par (a, b) de naturales, un d ∈ N tal que: b + d = a o
lo que es lo mismo d = a− b.
Propiedades de la sustracción en N
La sustracción en el conjunto de los N, no es clausurativa, no es conmu-
tativa, ni asociativa
I. Propiedad de la uniformidad
La sustracción cumple la ley de uniformidad porque restando miembro a miem-
bro dos igualdades (si la resta es posible), se obtiene otra igualdad.
∀a, b, c, d ∈ N
a = b
c = d
a− c = b− d
II. Ley de la Monotońıa
La ley de la monotońıa de la sustracción presenta 3 formas
1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les resta un mismo número
(siendo posible la resta) se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
si a > b→ a− c > b− c
si a < b→ a− c < b− c
2. Si a los dos miembros de una igualdad se les resta (si es posible) respec-
tivamente los miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigualdad
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
14 Principios Básicos de Aritmética
pero de sentido contrario a la dada
a = b
c > d
a− c < b− d
a = b
c < d
a− c > b− d
3. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, se
obtiene una desigualdad de sentido igual a la primera (en caso de que se
pueda efectuar la resta)
a < b
c > d
a− c < b− d
a > b
c < d
a− c > b− d
Ejemplo 7 = 7 7 = 7
3 > 2 2 < 3
7− 3 < 7− 2 7− 2 > 7− 3
Ejemplo 17 > 9 7 < 10
4 < 8 3 > 5
17− 4 > 9− 8 7− 3 < 10− 5
Nota:
Si las dos desigualdades son del mismo sentido nada puede concluirse
La siguiente afirmación es una consecuencia de la propiedad uniforme de la adición:
“Si el minuendo se aumenta en una cantidad, la diferencia queda aumentada
en dicha cantidad”
Demostración.
Sea m− s = d Definición de sustracción (1)
Queremos demostrar que (m+ h)− s = d+ h (2)
De (1) tenemos m = s+ d Transposición de términos (3)
Sumando h a (3) tenemos m+ h = s+ d+ h Propiedad uniforme de la adición (4)
(m+ h) = s+ (d+ h) Propiedad asociativa de la suma
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Multiplicación en los Naturales 15
Demostrar:
Si el minuendo se disminuye en una cantidad, la diferencia queda
disminuida en dicha cantidad.
Si (m− n) = 8, cuánto valdrá (m− 5)− n?
Qué le pasa a la diferencia cuando el sustraendo aumenta o dis-
minuye en una cantidad?
Transposición de Términos de una Desigualdad
Si un número se desea cambiar o transponer de un miembro a otro de una desigualdad,
basta transponerlo sumando si está restando ó restando si está sumando
si x+ a < b→ x < b− a
si x− a < b→ x < b+ a
Ejemplo Resolvamos la desigualdad x− 7 > 4
x− 7 > 4 −→ x > 7 + 4 −→ x > 11
Resolvamos x+ 12 < 28
x+ 12 < 28 −→ x < 28− 12 −→ x < 16
2.6 § Multiplicación en los Números Naturales §
Definición 2.9. Producto
Dados dos números naturales a, b si A y B son dos conjuntos
tales que #(A) = a y #(B) = b, se llama producto de los números a
y b al número natural p tal que p = #(A×B) y se denota p = a∗b = a ·b.
Podemos afirmar que la multiplicación es una suma abreviada o
simplificada, es decir,
a× b = a+ a+ . . .+ a
︸ ︷︷ ︸
b veces
= p
Esta definición indica que el producto de dos números naturales es igual al cardinal del
producto cartesiano de los conjuntos A y B que a su vez tienen como cardinal a a y b
respectivamente.
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
16 Principios Básicos de Aritmética
Consideremos los conjuntos
A = {a, b, c} y B = {d, e}
Sabemos que
A×B = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)} −→ #(A×B) = 6
Luego, 6 está dado por el par ordenado (3, 2); es decir
(3, 2) ×−−−−−−−→ 6
3 ∗ 2 = 6
A cada par ordenado (a, b) le corresponde un tercer número llamado producto (p)
La operación de multiplicación entre números naturales es una aplicación de N×N en N,
tal que a cada par ordenado (a, b) ∈ N× N le asocia p ∈ N donde a = #(A), b = #(B),
p = #(A×B)
y A y B son subconjuntos no vaćıos de N.
En esta operación de multiplicación, a, b se llaman factores y p se denomina producto.
Propiedades de la multiplicación en N
Para cualquier par de números a y b siempre existe un tercer número p al que llamare-
mos producto de a y b y designaremos por a ∗ b ó ab. Esta multiplicación obedece a las
siguientes leyes:
I. Propiedad clausurativa
Si a, b ∈ N −→ p = a · b ∈ N
El producto de dos números naturales siempre será otro número natural
II. Propiedad Conmutativa
Sean A y B dos conjuntos no vaćıos cuyos cardinales son #A = a y #B = b.
Además sabemos que A × B y B × A son dos conjuntos de parejas los cuales
son equipotentes, por lo tanto tienen el mismo cardinal, es decir,
#(A×B) = #(B ×A) por lo tanto #A ·#B = #B ·#A
a · b = b · a
En la multiplicación de números naturales el orden de los factores no altera el
producto
III. Propiedad Asociativa
∀a, b, c ∈ N se cumple que (a · b) · c = a · (b · c)
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Multiplicación en los Naturales 17
Demostración. Sean A,B,C conjuntos no vaćıos. Entre los conjuntos (A ×
B)×C y A× (B×C) se puede establecer una biyección por lo tanto se cumple
que
#[(A×B)× C] = #[A× (B × C)]
Si #A = a, #B = b y #C = c, entonces
#[(A×B)× C] =#(A×B) ·#C
=(#A ·#B) ·#C = (a · b) · c
#[A× (B × C)] =#A ·#(B × C)
=#A · (#B ·#C) = a · (b · c)
IV. Existencia del Elemento Identidad (Modulativa)
El natural 1 es el elemento identidad o módulo para la multiplicación en N
porque: ∀a ∈ N, 1 · a = a · 1 = a
Demostración. Sean A y B conjuntos no vaćıos tales que #A = 1 y #B = b.
Además sabemos que #(A × B) = #(B × A) = #B por lo tanto #A · #B =
#(A×B) = #(B ×A) = #B ·#A = #B = b, entonces 1 · b = b · 1 = 1
V. Propiedad Distributiva
La multiplicación en N es distributiva respecto a la adición, es decir:
∀a, b ∈ N, a · (b+ c) = a · b+ a · c
Demostración.
a · (b+ c) =(b+ c) + (b+ c) + . . .+ (b+ c)
︸ ︷︷ ︸
a veces
Por definición
= b+ c+ b+ c+ . . .+ b+ c
︸ ︷︷ ︸
a veces
Suprimiendo paréntesis
= b+ b+ . . .+ b
︸ ︷︷ ︸
a veces
+ c+ c+ . . .+ c
︸ ︷︷ ︸
a veces
Prop. conmutativa suma
= (b+ b+ . . .+ b
︸ ︷︷ ︸
a veces
) + (c+ c+ . . .+ c
︸ ︷︷ ︸
a veces
) Prop. asociativa suma
= a · b+ a · c Def. de Multiplicación
La Multiplicación en N es distributiva respecto a la sustracción, es decir:
∀a, b ∈ N, a · (b− c) = a · b− a · c
VI. Extensión de la multiplicación al conjunto No
La multiplicación en No es una aplicación de No×No en No tal que a cada pareja
(a, b) ∈ No × No se le asocia un elemento p ∈ No representado por p = a · b en
donde
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
18 Principios Básicos de Aritmética
1. (a, 0) ×−−−−−−−→0, (0, a) ×−−−−−−−→0, (0, 0) ×−−−−−−−→0, ∀a ∈ No
2. (a, b) ×−−−−−−−→p = a · b si (a, b) ∈ No× No
Esta definición indica que para extender la multiplicación del conjunto N al
conjunto No solo hace falta determinar los productos 0 · a, a · 0, 0 · 0
Para determinar estos productos consideremos dos conjuntos A y B tales que
#A = a y #B = 0 es decir B = ∅. Ahora
#(A×B) = #A×#B, y como B = ∅
A×B = A× ∅ = ∅
por lo tanto
#(A×B) = #(A× ∅) = #(∅ ×A) = #∅
entonces
#A ·#B = #A ·#∅ = #∅ ·#A = #∅
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ No
como ∀a ∈ No, a · 0 = 0, en el caso particular de que a = 0 se tiene que 0 · 0 = 0
VII. Ley de Uniformidad
Si m = n −→ m · a = n · a ∀a ∈ No
Si multiplicamos los dos miembros de una igualdad por un mismo número na-
tural, obtenemos otra igualdad
(a = b) · (c = d) −→ a · c = b · d
Si multiplicamos miembro por miembro varias igualdades obtenemos otra igual-
dad
VIII. Ley de Monotońıa
si a < b −→ a · c < b · c
si a > b −→ a · c > b · c
Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número
natural, se obtiene una desigualdad del mismo sentido
a < b
c < d
a · c < b · d
a > b
c > d
a · c > b · d
Si se multiplican miembro por miembro dos o más desigualdades del mismo
sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
División en los Números Naturales 19
2.7 § División en los Números Naturales §
Dados dos números naturales cualesquiera a y b, ¿Existe otro número natural c tal que
multiplicado por a se obtenga como producto el número b?
Si tal número c existe, entonces la operación que permite calcular dicho c se denom-
ina división exacta y se indica con b÷ a = c
Al número c ∈ N se le llama cociente exacto entre a y b. El número b ∈ N se llama
dividendo. El número a ∈ N se llama divisor.
Definición 2.10. Cociente Exacto
Dados dos números naturales a y b decimos que c ∈ N es el cociente
exacto entre b y a si b = ac, es decir b÷ a = c
Propiedades de la División Exacta en N
La división exacta no es clausurativa o cerrada porque no siempre ocurre
que la división entre dos naturales de como resultado otro número natu-
ral; no es conmutativa ni asociativa; no existe elemento identidad para
la división exacta. No existe un número natural e tal que ∀a ∈ N se
verifique que
a÷ e = e÷ a = a
Pero si se puede afirmar que existe un elemento neutro para la división
en N que es el 1 porque
∀a ∈ N, a÷ 1 = a
I. Distributiva respecto a la adición
∀a, b, c ∈ N, (a+ b)÷ c = (a÷ c) + (b÷ c)
II. Distributiva respecto a la sustracción
∀a, b, c ∈ N, (a− b)÷ c = (a÷ c)− (b÷ c)
III. Ley de uniformidad
Si a = b y c = d −→ a÷ c = b÷ d si a÷ c ∈ N y b÷ d ∈ N
IV. Ley de Monotońıa
1. Si a, b, c ∈ N y a < b −→ a
c
<
b
c
2. Si a, b, c ∈ N y a > b −→ a
c
>
b
c
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
20 Principios Básicos de Aritmética
Definición 2.11. División Inexacta
La división inexacta entre dos enteros es aquella que produce un cociente
entero más un residuo
Dados D, d ∈ N tales que no existe cociente exacto en la división
D ÷ d entonces
D = d · c+ r, con r ∈ N, r < d y c ∈ N0
Donde D es el dividendo, d el divisor, c cociente y r el residuo
La siguiente afirmación es consecuencia directa de las propiedades uniforme y distributiva
de la mutltiplicación respecto de la suma:
“Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo número, el cociente
no vaŕıa pero el residuo queda multiplicado por dicho número”
Demostración.
D = d · c+ r Por definición de división
D · h = (d · c+ r) · h Prop. uniformidad de la multiplicación
D · h = d · c · h+ r · h Prop. distributiva de la multiplicación
D · h = d · h · c+ r · h Prop. conmutativa de la multiplicación
(D · h) = (d · h) · c+ r · h Prop. asociativa de la multiplicación
Número de cifras del cociente entero
El cociente de una división de número naturales tiene tantas cifras enteras como ceros se
deben agregar al divisor para que sea mayor que el dividendo.
Ejemplo 5714 14
r c −→ El cociente c tiene 3 cifras porque 14 000
︸︷︷︸
3
> 5718
En Efecto,
5714 14
0118 408 ←− 3 cifras
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Potenciación en los Naturales 21
2.8 § Potenciación en los Números Naturales §
Definición 2.12. Potencia de un Número
Se llama potencia de un número natural a al producto que se obtiene al
multiplicar el número a por si mismo cualquier número de veces
La potenciación es una multiplicación abreviada, es decir, un pro-
ducto de factores iguales
Sea a, n ∈ N. Si multiplicamos el número a por si mismo n veces obtenemos el producto
a · a · a · . . . a
︸ ︷︷ ︸
n veces
y lo simbolizamos con an
En general, si (a, n) ∈ N×N y n ≥ 2, entonces
(a, n) ∧−−−−−−−→a
n
Podemos afirmar entonces que la potenciación es una operación que hace corresponder a
cada par ordenado de números naturales (a, n) su potencia an, donde n ≥ 2
Si a, n ∈ N −→ an es la enésima potencia de a Llamamos base al número a que
se repite. Llamamos exponente al número n que indica cuántas veces se repite el número
a
Ejemplo 24 = 2× 2× 2× 2
a1 = a
Propiedades de la potenciación en N y No
Si a, b,m, n ∈ N, entonces
I. Propiedad clausurativa
p = ab ∈ N
El resultado de elevar un número natural a una potencia es otro número natural
II. Propiedad modulativa
a1 = a, 1 es el módulo de la potenciación
Todo número elevado a 1 es igual al mismo número natural
III. Propiedad uniforme
Si a = b −→ an = bn
Elevando los dos miembros de una igualdad a una misma potencia se obtiene
otra igualdad
IV. Leyes de monotońıa
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
22 Principios Básicos de Aritmética
1. Respecto de la base: Elevando los dos miembros de una desigualdad a una
misma potencia, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
a < b −→ an < bn
2. Respecto del exponente : de dos potencias de la misma base es mayor la
de mayor exponente
Si n < m −→ an < am
Nota:
· Si las bases y los exponentes son distintos, nada puede asegurarse de
como son entre śı las potencias
· La potenciación no es conmutativa
· La potenciación no es distributiva respecto de la suma o de la diferencia
Reglas del cálculo con potencias
Si a, b,m, n ∈ N, entonces
• Casos de exponente cero
Si n = 0 −→ a0 = 1 (pero 00 no definido)
• Potencia de un producto
(a · b)n = an · bn
(20)3 = (2× 10)3 = 23 × 103 = 8× 1000 = 8000
• Potencia de un cociente
Si
a
b
∈ N −→
(a
b
)n
=
an
bn
(
2
5
)3
=
23
53
=
8
125
• Producto de potencias de la misma base
an · am = am+n
23 × 24 = 23+4 = 27 = 128
• Cociente de potencias de la misma base
Si (n−m) ∈ N −→ an ÷ am = a
n
am
= an−m
25
23
= 25−3 = 22 = 4
23
25
=
1
25−3
=
1
22
=
1
4
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Radicación en los Naturales 23
• Potencia de una potencia
(am)n = amn
(23)4 = 23×4 = 212 = 4096
•
a−n
b−m
=
bm
an
y
(
a
b
)
−m
=
(
b
a
)m
2.9 § Radicación en los Números Naturales §
Definición 2.13. Radicación
El proceso de radicación es inverso al proceso de la potenciación y se
define de la siguiente forma
Si an = b −→ a = n
√
b
Donde b recibe el nombre de radicando, n es el ı́ndiceradical,
√
es el
śımbolo radical y a es la ráız enésima
Propiedades de la radicación
I. Propiedad fundamental
n
√
an = a
II. Ráız de un producto
n
√
a× b = n√a× n
√
b
2
√
25× 4 = 2
√
25× 2
√
4 = 5× 2 = 10
III. Ráız de un cociente
n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
2
√
25
4
=
2
√
25
2
√
4
=
5
2
= 2.5
IV. Ráız de una Ráız
n
√
m
√
a = mn
√
a
3
√
2
√
64 =
3·2
√
64 =
6
√
64 = 2
· La radicación no es conmutativa
n
√
a 6= a√n
· No es distributiva respecto de la suma o la resta
n
√
a± b 6= n√a± n
√
b
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
24 Principios Básicos de Aritmética
En las dos últimas operaciones que hemos analizado, vimos que la potenciación es una
operación directa, es decir, dada una base a y un exponente n, para hallar la potencia
respectiva an basta con multiplicar a por ella misma n veces (an = a× a · · · × a
︸ ︷︷ ︸
n veces
= b).
Por ejemplo
54 = 5× 5× 5× 5 = 625
Ahora bien, si en la expresión an = b conocemos el exponente n y la potencia b, para
hallar la base a, debemos aplicar la operación radicación que es inversa a la potenciación
(a = n
√
b). Por ejemplo
a4 = 625 −→ a = 4
√
625 = 5 pues 54 = 625
Es decir, la radicación es la operación inversa a la potenciación con la cual podemos hallar
la “base”. Pero si en la expresión an = b conocemos la base a y la potencia b y lo que
debemos hallar es el exponente, la radicación no sirve en tal caso y debemos recurrir a
otra operación inversa de la potenciación conocida como la logaritmación (en realidad
podŕıa llamarse exponenciación pues nos permite hallar el exponente) y que definiremos
en seguida.
2.10 § Logaritmación en los Naturales §
Si bien el estudio completo de los logaritmos se reserva para el Álgebra, la introducción
del concepto de logaritmo y de sus primeras propiedades pueden darse en los comienzos
del estudio de las matemáticas, con el fin de que el alumno fije bien el esquema completo
de las operaciones fundamentales, directas e inversas, entre números.
Se explicará el concepto de logaritmo mediante un ejemplo
Ejemplo En la igualdad 24 = 16 aparecen tres números. Como ya sabemos el 2
llamado la base, el 4 llamado el exponente y el 16 llamado la potencia.
Si lo que conocemos es la potencia y la base, podemos determinar el
exponente con la operación llamada logaritmación. El exponente que
hay que hallar se llama logaritmo de la potencia en la base dada. En
este ejemplo la operación se indica aśı: 4 = log2 16 (léase: 4 igual al
logaritmo de 16 en base 2)
Definición 2.14. Logaritmo
Se llama logaritmo de un número, b, en una base dada, a, al exponente
n al que hay que elevar la base para obtener el número b. Si
an = b −→ loga b = n
n se llama el logaritmo, a es la base y b es el número al que se le halla
el logaritmo
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Logaritmación en los Naturales 25
Propiedades de los Logaritmos
I. Propiedades Fundamentales
• El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero
logb 1 = 0
• El logaritmo en base a de a siempre será 1
loga a = 1
II. Logaritmo de un Producto y un Cociente
• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de cada factor
logb (u · v) = logb u+ logb v
• El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo del numerador
menos el logaritmo del denominador
logb
(u
v
)
= logb u− logb v
III. Logaritmo de una potencia: el logartimo de una potencia es igual al exponente
por el logaritmo de la base
loga P
n = n loga P
IV. Cambio de base
loga b =
logc a
logc b
Problemas
1. Establecer la relación adecuada entre los números 3 y 5; 9 y 7
2. Qué significa que el número m es igual a n; que m > n; m < n?
3. En un colegio hay x dormitorios e y estudiantes. ¿Cuándo será x = y, cuándo
x > y y cuando x < y, de acuerdo con la coordinación de los conjuntos que ellos
representan?
4. a es un número de hombres y b es un número de mujeres. ¿Qué relaciones se
podrán escribir si al formar parejas sobran jóvenes; si sobran muchachas; si no
sobran jóvenes ni muchachas?
5. ¿Por qué cierto número de lápices es igual a cierto número de naranjas?
6. Explique cuándo cierto número de personas es menor que cierto número de som-
breros
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
26 Principios Básicos de Aritmética
7. Explique por qué el número de profesores de un colegio es mayor que el número de
aulas del colegio
8. Reparto x lápices entre los n alumnos de una clase dando uno a cada alumno y
quedan alumnos sin lápices. ¿Qué podrás escribir?
9. En un tranv́ıa de 32 asientos entran x personas y no quedan asientos vaćıos. ¿Qué
relación se puede escribir?
10. Reparto m lápices entre los 18 alumnos de una clase y sobran lápices ¿Qué puede
escribir?
11. En un ómnibus que tiene 20 asientos entran n personas y no quedan personas de
pie. ¿Qué relación puede escribir?
12. La velocidad x de un automóvil que poseo no puede pasar de 140 Kms. por hora.
¿Qué puede escribir?
13. Si la velocidad x de un auto no puede bajar de 8 Kms. por hora ¿qué puede escribir?
14. Yo no tengo 34 años de edad. Si mi edad es x años, ¿qué puede escribir?
15. Para contraer matrimonio un hombre necesita tener 14 años cumplidos. Si Juan
que tiene n años se casa, ¿cuál es su edad?
16. Aplicar el carácter rećıproco de las igualdades a x = y; a+ b = c; p = q + r
17. Mis x años son tantos como los y hermanos de Enrique. ¿Qué puede escribir de
acuerdo con el carácter rećıproco de las igualdades
18. Aplicar el carácter transitivo a las igualdades siguientes:
m = n y n = p
p = q y r = p
x = y y n = y
a+ b = c y x = a+ b
19. Mi aula tiene tantos alumnos como años tengo yo y Maŕıa tiene tantos primos como
alumnos tiene mi aula, luego...¿Qué carácter aplica para ello?
20. m = n+ p y n+ p = c+ d luego...
21. Si m > n resulta n?m
22. Siendo x < y resulta que y?x
23. Qué se deriva de cada una de las parejas siguientes de desigualdades de acuerdo con
el carácter transitivo?
7 > 5 y 5 > 2
9 > 3 y 3 > 2
a < b y b < m
m < n y n < p
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Logaritmación en los Naturales 27
24. De
6 > 3 y 2 < 3 resulta que...
9 < 11 y 9 > 7 resulta que...
20 > 6 y 3 < 6 resulta que...
25. Expresar el carácter transitivo de la relación de mayor con los números 8, 3 y 7.
26. Represente gráficamente el carácter transitivo de la relación de menor con los
números 2, 5 y 9
27. Exprese el carácter transitivo de la relación de menor con 11, 9 y 7.
28. Yo tengo más dinero que tú y menos que tu primo. ¿Quién es el más rico?
29. ¿Son coordinables los conjuntos formados por las letras de las palabras Argentina
y Venezuela?
30. ¿Qué condición debe cumplirse para que los alumnos de la clase y el conjunto de
sus libros sean coordinables?
31. En la siguiente resta, letras diferentes representan d́ıgitos diferentes:
M O R A
− A M O R
R O M A
¿Cuál es el valor de cada letra?
32. Sergio tiene 11 años y Raúl tiene 6. ¿Dentro de cuántos años tendrán ambos la
misma edad?
33. Si de la suma de dos números se resta su diferencia, ¿qué se obtiene?
34. ¿Qué número de la siguiente sucesión está equivocado?:
60, 52, 45, 38, 34, 30
35. ¿Qué modificaciones pueden hacerse a las cantidades del minuendo y del sustraendo
de una resta para que la diferencia:
(a) permanezca igual?
(b) aumente en 5 unidades?
(c) disminuya en 3 unidades?
36. Si tengo 17 ovejas y se me escapan todas menos 9, ¿cuántas me quedan?
37. Dados los d́ıgitos 2, 5, 9, y utilizados sin repetición, calcule la menor diferencia
posible entre los números de tres cifras que pueden construirse con ellos.
38. ¿Cuántas hojas de un libro tengo que pasar para llegar a la página 117 desde la
página 112? ¿Y de la página 263 a la 268? ¿Es igual en ambos casos?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
28 Principios Básicos de Aritmética
39. Vamos corriendo 10 atletas. Si soy el 8o por la cola, ¿en qué puestovoy en la
carrera?
40. Hoy he léıdo la novela desde el comienzo de la página 13 hasta el final de la página34
¿Cuántas páginas he léıdo hoy?
41. Las 4 cifras que componen un número son d́ıgitos pares escritos en orden ascendente
de izquierda a derecha. Este número, al sumarse con otro, da como resultado 2.989.
¿Con qué otro número se ha sumado?
42. ¿Cuántas veces puede sustraerse 20 de 80?
43. ¿Cuántos d́ıas tarda un sastre en cortar una pieza de 20 metros de largo en lotes de
2 metros diarios?
44. Si a la suma de dos números se agrega su diferencia, se obtiene 82. ¿Cuánto vale el
número mayor?
45. En la secuencia numérica 4, , , , 32, cada término a partir del 3o se obtiene sumando
los dos anteriores. Halle los tres términos faltantes.
46. Carlos tiene la mitad de dinero que Julio. Si Julio le diera 5.000 pesos a Carlos,
éste tendŕıa 4.000 pesos menos de los que tiene Julio ahora. ¿Cuánto teńıan entre
ambos al comienzo?
47. Luisa, Amalia y Miriam tienen 10 caramelos cada una. ¿Cuántos caramelos debeŕıa
dar Amalia a cada una de sus dos amigas para que, luego del reparto, Luisa tenga
13 caramelos más que Amalia, y Miriam tenga 2 menos que Luisa?
48. La suma de 4 números es 3.584. Si el 1o aumenta en 13, el 2o disminuye en 21, el
3o disminuye en 18 y el valor de la suma no se altera, ¿qué le pasó al 4o sumando?
49. La Sra. Tomasa nació 17 años después que el Sr. Ramón, y murió 2 años antes que
éste. Si el Sr. Ramón vivió 85 años, ¿cuántos años vivió la Sra. Tomasa?
50. Cuatro socios han ganado 21.175 pesos. El 1o ha de recibir 4.250 pesos más que el
2o; éste, 1.700 más que el 3o; y este último, 1.175 más que el 4o. ¿Cuánto recibirá
el 1o?
51. Una botella y su tapón cuestan $1, 10. La botella cuesta $1 más que el tapón.
¿Cuánto cuesta la botella?
52. A fin de año, los alumnos de la Escuela de Fútbol votan para elegir al mejor
compañero. Este año fueron votados 5 alumnos. Cada uno sacó 6 votos menos
que el anterior, y Pedro, que quedó de 5o, obtuvo 10 votos. ¿Cuántos alumnos
votaron?
53. Dos arrieros tienen un tonel de 8 arrobas lleno de vino, y dos vaćıos de 3 y 5 arrobas.
Al separarse quieren llevar cada uno la mitad del vino. ¿Cómo hacer el reparto por
transvases sucesivos?
54. Después de la graduación, todos los estudiantes intercambiaron fotos entre śı de tal
forma que cada estudiante se quedó con una foto de cada uno de sus compañeros.
Si en total se intercambiaron 870 fotos, ¿cuántos estudiantes se graduaron?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Logaritmación en los Naturales 29
55. Un hombre pesca 60 truchas en un ŕıo. Se supone que 30 son hembras. Cada trucha
pone 100 huevos al año. Se supone que 50 huevos dan hembras. ¿Cuántas truchas
más tendŕıa el ŕıo al cabo de tres años si el pescador no las hubiera pescado? (Se
supone que las cŕıas hembras producen a partir del primer año en la misma cantidad
y que ni se mueren ni son pescadas por otros pescadores)
56. Dos trenes salen al mismo tiempo de dos ciudades diferentes, en sentidos opuestos.
Uno se mueve a 95 km/h y el otro a 120 km/h (velocidades promedio). Si se cruzan
a las 3 horas de haber salido, ¿cuál es la distancia entre ambas ciudades?
57. Hallar el siguiente término de la sucesión: 9, 18, 15, 30, 27, 54, 51, 102
58. En el mercado mayorista se vende el azúcar en empaques de 9, 6 y 2 kg, y la harina,
en empaques de 15, 8 y 7 kg. El precio del azúcar es el doble de la harina. La señora
Sandra compra cinco de los seis empaques disponibles y paga igual por la harina
que por el azúcar. ¿Qué empaque de cuál de los dos productos no ha comprado?
59. Si A, B, C, D, E representan 5 d́ıgitos diferentes entre śı y distintos de cero, hallar
su valor para que se verifique:
A B C D E
× 4
E D C B A
60. Si me das una naranja, tendré el doble de las tuyas. Pero si te doy una de las mı́as,
tendremos el mismo número de naranjas. ¿Cuántas tengo yo?
61. En un conjunto de vacas y de pollos el número de patas es 14 unidades mayor que
el de cabezas, que es 6. ¿Cuántas vacas hay?
62. Una señora tiene 33 años y su hijo, 7. ¿Dentro de cuántos años será la edad de la
mamá tres veces la de su hijo?
63. Hallar el término que falta en la serie: 3, 9, , 45, 93, 189
64. Hallar un número de cuatro d́ıgitos menores que 5 tales que, considerados de
izquierda a derecha, el 4o es el doble del 1o, el 2o es 3 unidades menor que el
3o, y la suma del 1o y del 4o es el doble del 3o.
65. En un año un carnicero vende 145 kg de carne a un panadero a un costo de 4.300
pesos/kg. En el mismo peŕıodo, el panadero le vende al carnicero 406 kg de pan a
un precio de 1.500 pesos/kg. ¿Quién de los dos es deudor del otro?
66. Entre billetes de 1.000 y de 2.000 pesos, Carlos tiene 10 billetes. Le faltan 4.000
pesos para comprar un pantalón. Si el número de billetes de 1.000 fuera el de 2.000
y viceversa, tendŕıa el dinero exacto para la compra. ¿Cuánto dinero tiene?
67. En la cooperativa necesitan un tractor para trabajar en la granja. Les han ofrecido
dos alternativas: A) 300.000 pesos por el alquiler + 5.000 pesos por cada hora de
trabajo; B) 250.000 pesos por el alquiler + 6.000 pesos por cada hora de trabajo.
Si el tiempo de trabajo se estima en algo más de 50 horas, ¿qué opción resulta más
barata?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
30 Principios Básicos de Aritmética
68. Julián pesa el doble de su esposa, ésta el doble de su hija, y los tres juntos, 154 kg.
¿Cuánto pesa la niña?
69. K, E y D representan a tres enteros consecutivos. G y B son otra pareja de enteros
consecutivos, diferentes de los anteriores. Se verifica que E x G B = K E D. ¿Cuál
es el valor de cada letra?
70. En este momento, la edad de Marcos triplica a la de Rosaura, pero dentro de 14
años sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene Rosaura actualmente?
71. Acabamos de enviar un paquete por medio de una agencia. La agencia cobra 5.000
pesos por los primeros 5 kg; por cada uno de los siguientes 5 kg, la mitad del
costo por kg de los 5 anteriores; y aśı sucesivamente. Si hemos pagado 8.000 pesos,
¿cuánto pesa el paquete?
72. Un vendedor tiene seis cestas, unas con huevos de gallina y otras con huevos de
codorniz. Los números de huevos en cada cesta son: 6, 29, 12, 23, 5, 14. El
vendedor considera: “Si vendo esta cesta, me quedaŕıa el doble de huevos de gallina
que de codorniz”. ¿A qué cesta se refiere? ¿Qué cestas quedaŕıan conteniendo
huevos de codorniz?
73. Sin efectuar la multiplicación, ¿cuántas cifras enteras y cuántos decimales tiene el
producto de 417, 201× 2, 56?.
74. En unas elecciones, un candidato ganador triplicó en votos a su oponente, y juntos
sacaron 116.000 votos. ¿Cuántos obtuvo el candidato ganador?
75. ¿Qué le ocurre al cociente en una división exacta si:
(a) el dividendo se multiplica por 7 y el divisor permanece igual?
(b) el dividendo se divide entre 3 y el divisor permanece igual?
(c) el dividendo permanece igual y el divisor se multiplica por 5?
(d) el dividendo permanece igual y el divisor se divide entre 3?
(e) el dividendo se multiplica por 3 y el divisor se divide entre 2?
76. ¿Qué modificaciones simultáneas pueden hacerse a las cantidades del dividendo y
del divisor de una división exacta para que el cociente:
(a) permanezca igual?
(b) se duplique?
(c) se reduzca a su tercera parte?
77. ¿Qué le puede haber ocurrido al dividendo de una división exacta si:
(a) el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha reducido a su mitad?
(b) el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha triplicado?
(c) el divisor se ha duplicado y el cociente se ha cuadruplicado?
78. En una división inexacta el divisor es 36 y el cociente 456; se sabe además que el
resto es el mayor posible. ¿Cuál es el dividendo?
79. ¿Cuál es el mayor número natural que dividido por 30 da un resto igual al cociente?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Logaritmación en los Naturales 3180. Un Hortelano lleva naranjas y se encuentra con 3 guardas. Al primero le regala la
mitad de las naranjas más dos; al segundo la mitad de las que le quedan más dos;
al tercero la mitad de las sobrantes más dos. Se queda con una naranja. ¿Cuántas
llevaba? (Razónese del final al principio)
81. Pedro tiene 43,75 pesos entre monedas de 0,25; 0,50; 1; 2 y 5 pesos. Si tiene el
mismo número de monedas de cada tipo, ¿cuántas monedas tiene en total?
82. La diferencia de dos números naturales es 940 y el cociente exacto del mayor entre
el menor es 11. ¿De qué números se trata?
83. Rafael tiene 40 años y la suma de las edades de sus tres hijos es 22 años. ¿Dentro
de cuántos años la edad de Rafael será igual a la suma de las edades de sus tres
hijos?
84. ¿Cuál es el menor número impar mayor que 1 tal que, al dividirse por 7 ó por 5, da
como resto 1?
85. Se reparten 134 libros en seis cajas A, B, C, D, E y F. En cada caja y siguiendo
el orden anterior, se va colocando un libro cada vez. ¿En qué caja se depositará el
último libro?
86. La suma de dos números enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor se
obtiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cuáles son los números?
87. Un desagüe vaćıa un depósito de 1 m3 a razón de 20 litros por minuto. ¿Cuántos
desagües iguales al anterior se necesitan para vaciarlo en 10 minutos?
88. Diariamente llegan al aeropuerto un promedio de 6.480 pasajeros. Cada avión trae
90 pasajeros. ¿Cuál es el promedio de aviones que aterrizan cada hora en el aerop-
uerto?
89. Se ha dividido un número entre 5. ¿Cuántas veces el dividendo contiene al cociente?
90. ¿Cuál es el divisor cuando el cociente contiene al dividendo 4 veces?
91. La edad de una persona al morir era casualmente el cociente de dividir su año de
nacimiento entre 31. ¿Qué edad teńıa esta persona en el año 1921?
92. A y B son dos números escogidos entre 1 y 45, ambos inclusive, tales que su suma
es 45. ¿Cuál es el mayor valor posible de la expresión A×B ÷ (A−B)?
93. Acabo de perder el tren por un minuto. Pero si pasaran 3 trenes más cada hora
tendŕıa que esperar al próximo tren 1 minuto menos que lo que tengo que esperar
ahora. Y a todo esto, ¿cuánto es lo que tengo que esperar ahora?
94. Todos los números naturales desde 8 hasta 2.004 se dividen entre 7. ¿Cuánto da la
suma de los residuos de todas esas divisiones?
95. Un tanque de agua tiene dos grifos. El primero lo llena en 10 minutos y el segundo
en media hora. ¿En cuánto tiempo se llenará si se abren los dos grifos a la vez?
96. Deb́ıa multiplicar 78 por un número de dos cifras, cuya cifra de las decenas es el
triple de la de las unidades. Pero me equivoqué y multipliqué 78 por el número con
las dos cifras cambiadas de posición. El producto obtenido aśı es 2.808 unidades
menor que el que debeŕıa haberse obtenido. ¿Cuál era este producto?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
32 Principios Básicos de Aritmética
97. Un comerciante compra 12 cajas de mercanćıa a 87 pesos cada una y vende 4 de
ellas por un total de 380 pesos. ¿A cómo tendrá que vender cada una de las cajas
restantes para que pueda obtener una ganancia de 156 pesos por la venta de las 12
cajas?
98. Divida 45 en cuatro sumandos tales que si al 1o le agrega 2, al 2o le resta 2, al 3o
lo multiplica por 2, al 4o lo divide entre 2, y vuelve a sumar estos cuatro nuevos
números, obtiene otra vez 45.
99. Escriba los números pares hasta el 12 utilizando cada vez 4 cuatros y sirviéndose
de los signos de las operaciones aritméticas, incluida la potencia (Vale escribir dos
d́ıgitos juntos para constituir un solo número de dos digitos)
100. Un tren de kilómetro y medio de longitud viaja a una velocidad de 30 km/h.
¿Cuánto tiempo tardará en atravesar un túnel de kilómetro y medio de largo?
101. La señora Antonia compró un lote de caramelos a razón de 270 pesos por cada 9
caramelos y los vendió a razón de 10 caramelos por 800 pesos. Al venderlos todos
obtiene una ganancia de 21.000 pesos. ¿Cuántos caramelos compró?
102. Una prueba comienza a las 8.25 a.m. y debe terminar a las 9.55 a.m. Si ha tran-
scurrido la quinta parte del lapso previsto, ¿qué hora es?
103. En una ferreteŕıa, 1 cuesta 2.500 pesos y 918 cuesta 7.500 pesos. ¿Qué se está
comprando?
104. Una persona ha vivido hasta ahora 44 años, 44 meses, 44 semanas, 44 d́ıas y 44
horas. ¿Cuántos años y meses cumplidos tiene?
105. Maŕıa compra tres piezas de la misma tela, en distintos momentos pero al mismo
precio. El costo de la primera pieza fue de 31,05 pesos; la segunda, que teńıa 5
metros más que la primera, costó 36,80 pesos; y la tercera, 85,10 pesos. ¿Cuántos
metros de tela ha comprado en total?
106. Un perro persigue a un conejo que le lleva una ventaja equivalente a 50 saltos de
conejo. Si un salto del perro equivale a 3 del conejo, y si el conejo da 8 saltos
mientras el perro da 3, ¿en cuántos saltos alcanza el perro al conejo?
107. Tres niños están jugando. En cada jugada, uno pierde y dos ganan. Los que ganan
doblan el puntaje que tráıan y el que pierde resta a su puntaje la suma de los
puntajes que tráıan los dos ganadores. Después de tres jugadas, cada jugador ha
ganado dos veces y ha perdido una. Al final, los tres tienen 40 puntos. ¿Cuántos
puntos teńıa cada uno al comienzo del juego?
108. A, B y C son tres números diferentes cuya suma es 28. Si A es la tercera parte de
la suma de B y C, ¿cuánto suman estos dos últimos?
109. ¿Cuál es el número siguiente en la secuencia: 1, 9, 36, 100, . . .?
110. ¿Qué potencia de 10 equivale a diez millones?
111. La diferencia de los cuadrados de dos números naturales no consecutivos es 93.
¿Cuáles son los números?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Logaritmación en los Naturales 33
112. Supón que una sustancia decae de tal modo que 1/2 de ella queda después de 1
hora. Si hab́ıa 640 gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? ¿Cuánto
queda después de n horas?
113. Si una cuerda tiene 243 pies de longitud, ¿cuánto queda después de 5 cortes si cada
vez se corta la tercera parte? ¿Cuánto queda después de n cortes?
114. Una empresa tiene un plan de 4 años para aumentar su personal a la cuarta parte
cada uno de esos años. Si el personal actual es de 2560, ¿cuántos habrá al final
del plan cuatrienal? Formula una expresión exponencial que represente la fuerza
laboral después de n años.
115. Cuando una inversión de P dólares gana el i% de interés anual, y el interés se
compone (capitaliza) anualmente, la formula de la cantidad final, A, después de n
años, es A = P (1+i)n, en la cual i se expresa en forma decimal. Calcula la cantidad
A si se invierten $1, 000 al 10% compuesto anualmente durante 3 años.
116. Usa la fórmula del problema anterior para calcular el número de años que tardaŕıa
en duplicarse una inversión de $1, 000, invertida al 10% de interés compuesto an-
ualmente.
117. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el
metro de valla cuesta 380 pesos?
118. Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m de
ancho, y quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cuál
debe de ser el lado del terreno cuadrado?
119. Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2 ¿Cuánto mide su lado?
120. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04 m2 ¿Cuál es la longitud que
tiene la valla que lo rodea?
121. Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones por $256. Sabiendo que el
número de pantalones coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones
compró?
122. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2,209 m2 y se quiere rodear con una
valla que cuesta $3.50 cada metro. ¿Cuánto cuesta la obra?
123. ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 867 m2 si su longitud es
triple que su ancho?
124. Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántosalumnos habrá en cada lado del cuadrado?
125. Se compra cierto número de boĺıgrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de un
boĺıgrafo coincide con el número de boĺıgrafos comprados, ¿cuál es el precio de un
boĺıgrafo?
126. Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125,000 cm3. Si se corta la mitad
superior, ¿cuáles serán las dimensiones del recipiente resultante?
127. Un depósito en forma cúbica tiene una capacidad de 1,728 m3. Si el agua contenida
en el depósito ocupa un volumen de 1,296 m3, ¿qué altura alcanza el agua en el
depósito?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
34 Principios Básicos de Aritmética
128. Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada,
¿cuáles seŕıan las dimensiones de este cuadrado?
129. En un depósito hay 250047 dms3 de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Si
el agua llega a 15 dms del borde, ¿cuáles serán las dimensiones del estanque?
130. Se compra cierto número de libros por $729. Si el número de libros comprado es el
cuadrado del precio de un libro, ¿cuántos libros he comprado y cuánto costó cada
uno?
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Caṕıtulo 3
Los Números Enteros
Antes de empezar el estudio de los números enteros es conveniente establecer el concepto
de sistema numérico.
Definición 3.1. Sistema Matemático
Si en un conjunto A se define una o más operaciones binarias tenemos
un sistema matemático
Ejemplo • Los enteros positivos son un sistema matemático porque en él se han
definido la adición y la multiplicación que son operaciones binarias.
• Los enteros son un sistema matemático porque en él se han definido la
adición, la sustracción y la multiplicación que son operaciones binarias.
Definición 3.2. Operación Binaria
Una operación binaria en un conjunto S es una regla que asigna a
cualquier par de elementos de S, tomados en un orden definido, otro
elemento del conjunto S
Nota:
La sustracción en N no es una operación binaria, porque no siempre la
resta de naturales produce otro natural. Por el contrario, la sustracción
en Z si es binaria
35
36 Principios Básicos de Aritmética
Definición 3.3. Sistema Numérico
Si en un conjunto A se han definido dos operaciones binarias que verifi-
can:
1) Ambas operaciones son conmutativas
2) Ambas operaciones son asociativas
3) Una de ellas es distributiva respecto a la otra
4) Ambas poseen elemento identidad (o neutro)
Entonces A con dichas operaciones constituye un sistema numérico
Por ejemplo, 〈N,+,×〉 es un sistema numérico porque:
1. + y × son clausurativas en N
∀a, b ∈ N a+ b ∈ N, a× b ∈ N
2. + y × son conmutativas en N
∀a, b ∈ N a+ b = b+ a, a× b = b× a
3. + y × son asociativas en N
∀a, b, c ∈ N (a+ b) + c = a+ (b+ c), (a× b)× c = a× (b× c)
4. × es distributiva sobre la suma
∀a, b, c ∈ N a× (b+ c) = a× b+ a× c, (b+ c)× a = b× a+ c× a
5. Existe un elemento neutro
∀a ∈ No, a+ 0 = 0 + a = a
∀a ∈ N, a× 1 = 1× a = a
Si ahora definimos el conjunto de los enteros Z como
Z = N ∪ N− ∪ {0}
entonces Z es un sistema numérico para las operaciones + y × y se nota 〈Z; +,×〉
Es un sistema numérico porque cumple las anteriores propiedades definidas para
N. Además en el se cumplen otras propiedades:
(a) Existencia del inverso aditivo. ∀a ∈ Z, existe un único elemento
(−a) ∈ Z tal que a+ (−a) = (−a) + a = 0
(b) Clausurativa para la sustracción
Si a, b ∈ Z −→ a− b ∈ Z
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Divisibilidad en Z 37
(c) Inverso multiplicativo
∀a ∈ Z, a 6= 0, a× 1
a
=
1
a
× a = 1
(d)
∀a ∈ Z, n ≥ 0 a−n = 1
an
= (a−1)n
3.1 § Divisibilidad en los Números Enteros §
Definición 3.4. Divisibilidad
Un entero b es divisible por un entero a 6= 0 si existe un entero c tal que
b = a× c
Los divisores de un número entero es el conjunto de números que
lo dividen exactamente
En este caso decimos que a divide exactamente a b, que a es un divisor de b, que a es un
factor de b o que b es divisible por a
La notación a | b significa que a es un divisor de b. La negación es a ∤ b (a no es un
divisor de b).
Propiedades de la Divisibilidad en Z
I. Reflexiva
∀a ∈ Z, a 6= 0 a | a
II. Antisimétrica
Si a, b ∈ Z, a, b 6= 0 y si a | b y b | a −→ a = b
III. Transitiva
Si a, b, c ∈ Z, y si a | b y b | c −→ a | c
Demostración.
Si a | b, −→ ∃x tal que ax = b Definición de divisibilidad (1)
Si b | c, −→ ∃y tal que by = c Definición de divisibilidad (2)
Reemplazando (1) en (2) se tiene (ax)y = c de donde a(xy) = c y por tanto
a | c
Veamos a continuación algunas proposiciones interesantes que se cumplen en los enteros.
Proposición 1.
0 es divisible por cualquier entero a, a 6= 0
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
38 Principios Básicos de Aritmética
Demostración.
Sea a 6= 0, x = 0, entonces ax = a× 0 = 0, −→ a | 0
Proposición 2.
Si a | b y a | c, −→ a | (b± c)
Demostración.
Si a | b −→ ax = b Por definición
Si a | c −→ ay = c Por definición
ax+ ay = b+ c Propiedad de igualdad
de donde
ax+ ay = b+ c −→ a(x+ y) = b+ c −→ a | (b+ c)
Proposición 3.
Si a | b y a | c −→ a | (bx+ cy)
Proposición 4.
Si a | b −→ a | −b, − a | b y − a | −b
Proposición 5.
Si a | b −→ |a| ≤ |b|
Demostración.
Si a | b −→ b = ax −→ |b| = |ax| = |a||x| Propiedad valor absoluto
como |a||x| ≥ |a| −→ |b| ≥ |a|
Proposición 6.
Si a | b y b | a −→ a = ±b
Demostración. Usando la proposición anterior se tiene
Si a | b −→ |a| ≤ |b|
y
Si b | a −→ |b| ≤ |a|
por tricotomı́a
|a| = |b| −→ a = ±b
Proposición 7.
Si a 6= 0 −→ a | a, a | a2, . . . , a | an, n ∈ Z+
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
Números Primos 39
Proposición 8.
∀x ∈ Z, 1 | x, − 1 | x
Proposición 9.
Si a 6= 0 −→ a | −a, − a | a
Proposición 10.
Si a 6= 0 −→ a | |a|, |a| | a
3.2 § Números Primos §
Definición 3.5. Número Primo
Un número p ∈ Z+, p 6= 1, es un número primo si no tiene otros
divisores distintos de p y 1
Ejemplo El 17 es un número primo porque solo es divisible por 1 y por 17
Nota:
• Un número primo no puede tener menos de dos divisores, ni más de
dos, es decir, tiene exactamente dos divisores.
• El único primo par es el 2. Todos los números primos diferentes de 2
son impares. No podemos afirmar que todos los números impares son
primos.
Definición 3.6. Número Compuesto
Un número m ∈ Z, m > 1 se llama compuesto si admite otros divisores
diferentes de 1 y de m
Teorema 1. Números Compuestos
Todo número compuesto puede descomponerse en factores y presentarse
como el producto de dos números enteros menores que él.
Teorema 2. Fundamental de la Aritmética
Todo número entero mayor que 1 puede expresarse como el producto de
primos. Este producto de primos es único, no existen dos conjuntos
diferentes de primos cuyo producto dé como resultado un mismo número
compuesto.
G. Wagner de G., A. Caicedo B., H. Colorado T.
40 Principios Básicos de Aritmética
Criba de Eratóstenes
Una técnica para hallar los números primos menores que un número natural n ≥ 1 es la
llamada Criba de Eratóstenes, en honor al matemático griego Eratóstenes (276-194 a.C).
Esta técnica es útil cuando el número n es relativamente pequeño. El método consiste
es escribir los números naturales entre 2 y n y luego tachar aquellos números menores o
iguales a n que sean compuestos, es decir:
1. Tachamos cada segundo número después del 2, es decir, 4, 6, 8, 10, . . . ya que cada
uno de ellos es compuesto
2. Eliminamos cada tercer número después del 3, es decir 6, 9, 12, 15, . . . ya que cada
uno de ellos es compuesto
3. Repetimos el proceso anterior eliminando cada quinto después del 5, cada séptimo
después del 7, etc.
En esta pasada por la criba o cedazo muchos números se tachan más de una vez y
terminamos el proceso cuando todos los múltiplos de un número primo p se han eliminado.
Los naturales que quedan después del tamizado son los números primos menores o iguales
a n
Procedimiento para Descomponer un Entero en FactoresPrimos
1. Dividir el número que se quiere descomponer por el menor primo por el cual sea
divisible
2. Dividir el cociente obtenido en el paso anterior por el menor primo por el cual sea
divisible
3. Continuar el proceso de dividir el cociente obtenido por el menor primo por el cual
sea divisible hasta obtener un cociente que sea un número primo, en cuyo caso el
menor primo que lo divide es el mismo.
Ejemplo Vamos a descomponer los números 425 y 316 es sus factores primos
425 5 316 2
85 5 158 2
17 17 79 79
1 1
Aśı, podemos afirmar que
425 = 5× 5× 17 316 = 2× 2× 79
Teorema 3. Descomposición en Números Primos
Todo número compuesto puede dividirse entre el producto de cualquier
combinación de sus factores primos
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Números Primos 41
Determinación de los Primos por Divisiones Sucesivas
Para averiguar si un número n es primo, se divide este por la sucesión de primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
hasta que en una de las divisiones se obtenga un cociente menor que el divisor. Si en este
punto la división no es exacta, se puede afirmar que el número n es primo.
Ejemplo Determinar si el número 137 es primo o no
137 2 68 > 2
1 68
137 3 45 > 3
2 45
137 5 27 > 5
2 27
137 7 19 > 7
4 19
137 11 12 > 11
5 12
137 13 10 < 13
7 10
Como en esta última división el cociente es menor que el divisor, con-
cluimos que el número 137 es primo
En el ejemplo anterior, si alguna de las divisiones nos hubiera dado exacta (sin residuo)
se habŕıa concluido que el número dado es compuesto y no un primo.
Cálculo de los divisores de un número
Conviene en algunas ocasiones conocer los divisores de un número dado. Para ello, de-
scompuesto el número en factores primos, formaremos el cuadro de los divisores aśı: en
la primera fila se escribirán la unidad y las sucesivas potencias del primer factor primo;
se multiplican los números de esta primera fila por las sucesivas potencias del siguiente
factor primo; todas las filas formadas se multiplican por las sucesivas potencias de un
nuevo factor primo, y aśı sucesivamente hasta agotarlos.
Ejemplo Cuadro de divisores del número 720.
La descomposición de 720 será 720 = 24325
1a fila, potencias de 2 1 2 4 8 16
2a fila, producto por 3 3 6 12 24 48
3a fila, producto por 32 9 18 36 72 144
4a fila, producto de la 1a por 5 5 10 20 40 80
5a fila, producto de la 2a por 5 15 30 60 120 240
6a fila, producto de la 3a por 5 45 90 180 360 720
De antemano se puede conocer el número de divisores que se obtendrán. La regla es
la siguiente: El número de divisores se obtiene multiplicando los números que resultan
de aumentar en una unidad todos los exponentes que aparecen en la descomposición en
factores primos.
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42 Principios Básicos de Aritmética
Ejemplo En el caso anterior los exponentes son 4, 2, 1; luego el número de divisores
es
(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5× 3× 2 = 30
como efectivamente se ve en el cuadro
3.3 § Criterios de Divisibilidad §
En muchas ocasiones interesa saber si un número es divisible por otro sin necesidad de
efectuar la división. Para ello existen, en algunos casos, procedimientos muy sencillos
que permiten determinar en forma rápida cuándo un número es divisible por otro. Estos
procedimientos se llaman “Criterios de Divisibilidad”
Criterio de divisibilidad por 2
Un número n ∈ Z es divisible por 2 si la cifra de las unidades es un número par.
Criterio de divisibilidad por 3
Un número n ∈ Z es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un divisible por 3.
• 1359 es divisible por 3 porque 1 + 3 + 5 + 9 = 18 = 6× 3
• 77744 no es divisible por 3 porque 7 + 7 + 7 + 4 + 4 = 29 y 2 + 9 = 11 y 11 no es
divisible por 3
Criterio de divisibilidad por 4
Un número n ∈ Z es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son ceros o el número formado
por ellas es divisible por 4.
• 7800 es divisible por 4 porque termina en dos ceros
• 4524 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son divisibles por 4, 24÷ 4 = 6
Criterio de divisibilidad por 5
Un número n ∈ Z es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.
Criterio de divisibilidad por 9
Un número n ∈ Z es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9
Criterio de divisibilidad por 8 y 125
Un número n ∈ Z es divisible por 8 o por 125 si termina en 3 ceros o el número formado
por las tres últimas cifras en divisible por 8 o 125 respectivamente.
• 82456 es divisible por 8 porque 456 es divisible por 8: 456 = 8× 57. No es divisible
por 125 porque 456 no es divisible por 125.
• 4000 es divisible por 8 y 125 porque termina en tres ceros
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Máximo Común Divisor (MCD) 43
Criterio de divisibilidad por 25
Un número n ∈ Z es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son ceros o el número
formado por ellas es divisible por 25.
Criterio de divisibilidad por 11
Un número n ∈ Z es divisible por 11 si la suma alternada de las cifras del número escrita
en orden inverso es 0 o divisible por 11
• 1507 es divisible por 11 porque 7− 0 + 5− 1 = 11
• 1584 es divisible por 11 porque 4− 8 + 5− 1 = 0 y cero es divisible por 11
• 35904 es divisible por 11 porque 4− 0 + 9− 5 + 3 = 11
• 35425 no es divisible por 11 porque 5− 2 + 4− 5 + 3 = 5 y este no es divisible por
11.
3.4 § Máximo Común Divisor (MCD) §
Definición 3.7. Primos Relativos
Dos números enteros son primos relativos o primos entre si, si el único
divisor común para ellos es el 1
Ejemplo 14 y 15 son primos relativos porque
Divisores de 14: 1, 2, 7, 14
Divisores de 15: 1, 3, 5, 15
}
−→ El único divisor común es el 1
Nota:
Para que dos números sean primos relativos no es necesario que ambos
sean primos. Por ejemplo, 4 y 9 son primos relativos, pero 4 y 9 no son
números primos
Definición 3.8. MCD
Un entero d > 0 es el máximo común divisor de dos enteros a y b si d | a
y d | b y además si c es cualquier otro divisor común de a y b entonces
c | d
Ejemplo 3 es el MCD de 6, 12 y 21 proque 3 | 6, 3 | 12, 3 | 21, es decir que es el
mayor entero que divide simultáneamente a 6, 12 y 21.
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44 Principios Básicos de Aritmética
Proposición 11. El M.C.D de dos enteros es único
Demostración. Supóngase que d y d′ son dos M.C.D de a y b. Entonces d | d′ y también
d′ | d. Luego por la proposición 6 se tiene que d′ = ±d y como d > 0 y d′ > 0, entonces
d = d′
Nota:
El M.C.D de dos enteros a y b diferente de cero se simboliza como d =
(a, b) y se cumplen la siguientes propiedades:
1. (a, b) > 0
2. (a, b) = (b, a) = (−a, b) = (a,−b) = (−a,−b)
3. (a, b) ≤ |a| y (a, b) ≤ |b|
Ejemplo Hallar el conjunto de divisores comunes y el M.C.D de 36 y 48
Los divisores de 36 son:
D[36] = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Los divisores de 48 son:
D[48] = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
Los divisores comunes de 36 y 48 son los que pertenecen a la instersección
de D[36] y D[48].
Divisores comunes: D[36]∩D[48] = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. El M.C.D. de 36 y
48 es el mayor número de esta intersección, es decir, (36, 48) = 12
Teorema 4.
Dos enteros a y b son primos relativos o primos entre śı, si su M.C.D.
es 1
Ejemplo Los números 2 y 3 son primos relativos porque (2, 3) = 1
Teorema 5.
Si a y b son primos relativos y a | c y b | c, entonces a · b | c
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Máximo Común Divisor (MCD) 45
Ejemplo Sea a = 2, b = 5, entonces (a, b) = 1 (son primos relativos). a y b son
divisores de 20, entonces el producto ab = 10 es un divisor de 20.
Ejemplo Demostrar que un número c que es divisible por 2 y 3 también es divisible
por 6
Demostración. Sabemos que 2 | c y 3 | c y como (2, 3) = 1, entonces,
por el teorema anterior, 2 · 3 | c, es decir 6 | c
Ejemplo Sabemos que 4 | 24 y 8 | 24 pero 4 × 8 ∤ 24 porque 8 y 4 no son primos
relativos.
Cálculo del M.C.D. de dos o más enteros
Para hallar el M.C.D. de dos números enteros