Gabarito Autoatividades Geometria Analítica

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Gabarito
utoatividades
MAD | 2014/1 | Módulo III
GEOMETRIA ANALÍTICA
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2015
Prof.ª Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Construa um plano cartesiano e localize os seguintes pontos (pares 
ordenados):
a) A(-4, 3)
b) B(-1, 1)
c) B(2, 1)
d) D(-1, 2)
e) E(3, -2)
f) F(-1, -1)
g) G(3, 2)
h) H(-1, 3)
i) Um ponto I na origem do sistema
j) J(3, 3/5)
k) K(1/2, -4)
l) L(-2,5, -3,3)
m) M(2, 0)
n) N(0, -3)
R.:
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2015
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2 No exercício anterior:
a) Quais são os pontos que pertencem ao 1º quadrante? 
R.: C, G e J. 
b) Quais são os pontos que pertencem ao 2º quadrante? 
R.: A, B, D e H.
c) Quais são os pontos que pertencem ao 3º quadrante? 
R.: F e L.
d) Quais são os pontos que pertencem ao 4º quadrante? 
R.: E e K.
3 Verifique se os pontos estão localizados nos quadrantes e identifique 
em qual quadrante.
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a) A(2, 0) 
R.: Nenhum.
b) B(-1, -1) 
R.: 3º Q.
c) C(0, 3) 
R.: Nenhum. 
d) D(2, -3) 
R.: 4º Q.
e) E(0, 0) 
R.: Nenhum. 
f) F(-1, 0) 
R.: Nenhum. 
g) G(0, -2) 
R.: Nenhum. 
 
4 No exercício anterior:
a) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das abscissas? 
R.: A, E e F.
b) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das ordenadas? 
R.: C, E e G.
5 Complete utilizando os símbolos = (igual) ou ≠ (diferente):
a) A(2,0) ≠ M(0,2) 
b) B(3, -1) = N(3,-1) 
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c) C(2,5) = P(6/3,10/2) 
d) C(-2,1) ≠ Q(1,-2) 
e) E(-3,-2) ≠ R(-2,-3) 
6 Determine x e y nos pares ordenados, para que cada uma das 
igualdades seja verdadeira:
 
a) (x, y) = (1, -2) 
R.: x = 1 e y = - 2
b) (3, y) = (x, 1 ) 
R.: x = 3 e y = 1
c) (x , -7) = (-1 , y) 
R.: x = - 1 e y = - 7
d) (2x, -2) = ( 10, y) 
R.: 2x = 10, x = 5 e y = - 2
e) (x, y +2) = (1, 7) 
R.: x = 1 e y + 2 = 7, y = 7 – 2 = 5
f) (3x, 2y) = (-15, -8) 
R.: 3x = -15, x = -15/3, x = - 5 e 2y = -8, y = -8/2, y = - 4
g) (x, y - 5) = (0, 10) 
R.: x = 0 e y – 5 = 10, y = 10 + 5 =15
h) (x + 1, y -1) = (2, 4) 
R.: x + 1 = 2, x = 2 – 1= 1 e y – 1 = 4, y = 4 +1 = 5
7 Determine as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a 
seguir:
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R.: A (2, 3), B (0, 1), C (-2, -2), D (2, -3), E (-4, 3), F (-3, 0), G (4, 0), H (1, 
-1), I (3, -1), L (-4, -1), K (-1, 2), M (0,0).
8 Para que o ponto P(-3m +5, 2m+10) pertença à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, m deverá ser:
1º Quadrante (+, +)
(-3m+5, 2m +10)
-3m +5 = 2m +10
-3m -2m = 10 – 5
-5m = 5
 m = -1 
3º Quadrante (-, -)
(-3m + 5, 2m +10)
Invertendo-se os sinais
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(3m - 5 , -2m -10)
3m -5 = -2m – 10
3m + 2m = -10 + 5
5m = -5
m = -1
Portanto, m = -1 (letra D).
9 Observe o sistema cartesiano a seguir, no qual as bissetrizes de cada 
quadrante estão representadas. 
a) O que caracteriza um ponto “A” situado sobre a bissetriz dos quadrantes 
ímpares? 
b) Se o ponto C(x, y) é um ponto situado sobre a bissetriz dos quadrantes 
pares, podemos afirmar que x + y = 0 sempre? Por quê? 
c) Calcule o valor de m, sabendo que o ponto B (2m² + 5, 7m) pertence à 
bissetriz dos quadrantes pares.
R.: a) Abscissa e ordenada iguais em módulo e de mesmo sinal.
b) Sim, pois teremos (-, +) ou (+, -), ou seja, abscissa e ordenada de valores 
opostos, e a soma de números opostos é igual a zero.
c) (2m2 + 5, 7m)
quadrantes pares (-, +) ou (+, -)
Aplicando a primeira condição:
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-2 m2 – 5 = 7m
-2 m2 – 7m - 5 = 0
Resolvendo a equação do Segundo Grau obtida, temos:
m1 = -1
m2 = -5/2 
TÓPICO 2
 
1 Calcule a distância entre os pontos:
a) A (2,3) e B (2, 5) 
R.:
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2 Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A (2, 3) e B (8, 5)
R.:
b) C (3, -2) e D (-1, -6 
R.:
c) E (-2, -4) e F (5, 2) 
R.:
d) H (0, 7) e I (6, 0) 
R.: 
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e) J (3, 2) e K (5, 4)
R.:
f) P (-3, -4) e Q (-7, 0) 
R.:
3 Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as 
coordenadas dos pontos médios dos segmentos:
a) AB
R.: 
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b) AD
R.:
c) BD 
R.:
d) AC 
R.:
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e) CD 
R.:
4 Represente, no Sistema Cartesiano Ortogonal, os triângulos ABC e 
PQR. Determine as coordenadas dos pontos médios de cada lado dos 
triângulos e calcule o comprimento (distância) dos lados AC e PQ.
a) Δ ABC : A (3, 5), B (5, 9) e C (3, 7)
R.: Representação:
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b) Δ PQR: P(2, 8), Q(2, 2) e R(6, 2)
R.: Representação:
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5 Calcule os pontos médios dos lados dos triângulos com vértices:
a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2) 
b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4) 
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c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)
6 Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M (-1, -1) é o 
ponto médio de AB com A (-1, 1).
R.:
7 O ponto A (-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto 
médio é M (-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse 
segmento B (x, y)?
R.:
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8 Sabendo que os pontos A (x, y), B (-3, 2) e M (3, 5) são colineares, e 
M é o ponto médio de AB, determine as coordenadas do ponto A.
9 (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio 
arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. 
Para facilitar a localização dos pontos de escavação, foi adotado um 
sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar 
escavações nos pontos A (0, 0), B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da 
expedição pretende acampar em um ponto equidistante (situado a 
igual distância) dos locais de escavação, determine as coordenadas 
do local do acampamento.
R.: Ponto de acampamento: Ponto Z (x,y)
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A distância entre Z e A deve ser igual à distância entre Z e B e Z e C
DAZ = DBZ
 
(x – 0)2 + ( y- 0)2 = ( x-6)2 + (y- 18)2 
x2 + y2 = (x-6)2 + (y - 18)2
DBZ = DCZ
(x-6)2 + (y – 18)2 = (x-18)2 + (y-6)2
x2 – 12 x + 36 + y2 – 36 y + 324 = x2 – 36x + 324 + y2 – 12 y + 36
Simplificando os termos semelhantes, temos:
24 x - 24 y = 0
Portanto x = y
Substituindo x por y:
x2 + y2 = (x-6)2 + (y - 18)2
y2 + y2 = (y-6)2 + (y-18)2
2 y2 = y2 – 12 y + 36 + y2 – 36 y + 324
Reduzindo os termos semelhantes, temos:
48 y = 360
y= 7,5
Se x = y
x = 7,5
As coordenadas do ponto de acampamento são (7,5; 7,5).
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10 Um campo de futebol tem 60m de comprimento por 40m de largura. 
Construa um sistema de coordenadas e determine as coordenadas 
dos seguintes pontos (REIS, 2008, p. 17):
a) Dos quatro cantos do campo.
R.: (60, 0), (60, 40), (0, 40) e (0, 0)
b) Do centro do campo.
R.: Vamos multiplicar cada eixo por 20 na representação
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TÓPICO 3
 
1 Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos (2,3) e (1,5) 
e faça a representação geométrica.
R.:
teremos na diagonal 
secundária:
Como temos DP - Ds = 0:
3x + y + 10 – (5x + 2y + 3) = 0
-2x - y +7 = 0 ou 2x + y - 7= 0
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Representação Geométrica
2 Dada a equação da reta r: - x + y – 1 = 0 e as afirmações:
I – O ponto (1,1) pertence a r. 
II – A reta passa na origem do sistema cartesiano.
III – O coeficiente angular de r é –1. 
IV – r intercepta a reta s: x + y – 2 = 0 no ponto P(1,2).
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas III é verdadeira.
c) Nenhuma é falsa.
d) Apenas I é falsa.
e) Nenhuma das alternativas.
R.:
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R.: Letra E.
 
3 Verifique a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) 
e B(5, -4), e confirme com a representação geométrica.
R.:
teremos na diagonal 
secundária:
Como temos DP - Ds = 0:
2x + 5y + 12 – (-4x - 3y + 10) = 0
6x + 8y + 2 = 0 
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R.: 6x + 8y + 2 = 0 
Representação Geométrica
4 Quais são os coeficientes angular e linear da reta 2y - x + 8 = 0?
R.: Y = (x – 8)/2 
M = 1/2 e N = -4
5 Determine a equação segmentária da reta representada pelo gráfico:
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6 Verifique a equação geral e reduzida da reta representada no gráfico:
teremos na diagonal 
secundária:
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Como temos DP - Ds = 0:
-32 – (-4x + 8y) = 0
4x - 8y - 32 = 0 , equação geral
Y = (32 – 4x)/8
Y = 4 – x/2, equação reduzida
7 Ache a equação segmentária da reta de equação -x + y – 9 = 0.
R.: - x + y = 9 (dividindo tudo por 9)
8 Calcule a distância do ponto P(1, 3) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
R.:
9 Determine a distância do ponto P(1,3) à reta que passa pelos pontos 
(-1,1) e (3, 1).
R.:
teremos na diagonal 
secundária:
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10 Quais são os coeficientes angular e linear da reta y +3x – 6 = 0?
R.: Isolando, temos: y = -3x +6, portanto m = -3 e n = 6.
11 Determine a distância entre a reta(s): - 4x + y – 1 = 0 e o ponto P(1,-2):
R.:
12 Determine o ângulo formado entre as retas r e s: 
a) (r) 2x – 2y + 6 = 0 e (s) – 4x + 4y – 1 = 0 
R.: 
2x – 2y + 6 = 0 – 4x + 4y – 1 = 0
Y = (-2x – 6)/-2 = x + 3 y = (4x + 1)/4 = x + 1/4
mr = 1 ms = 1
R.: 0º
b) (r) – 4x + 2y - 1 = 0 e (s) 2x – 5y - 4= 0 
R.:
– 4x + 2y - 1 = 0 2x – 5y - 4= 0
Y = (4x +1)/2 = 2x + 1/2 y = (-2x + 4)/-5 = 2/5 x - 4/5
arc tg 8/9 ≅ 42º
R.: ≅ 42º.
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1 Verifique se as retas r: 4x - 2y – 3 = 0 e s: -10x + 5y + 9 = 0 são 
concorrentes ou paralelas.
R.:
r: 4x - 2y – 3 = 0 s: -10x + 5y + 9 = 0
y = (-4x + 3)/-2 = 2x -3/2 y = (10x -9)/5 = 2x – 9/5
mr = 2 e ms = 2, são paralelas
2 Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (-1,-3) e é 
perpendicular à reta s: -2x + 5y + 6 = 0, e faça a representação 
geométrica.
R.: s: -2x + 5y + 6 = 0
y = (2x -6)/5 = 2/5 x - 6/5 m = 2/5
mr . ms = -1 (perpendiculares)
mr. 2/5 = -1
3 Determine o ponto de interseção entre as retas 3x + 2y + 3 = 0 e – x 
– y - 1=0.
R.:
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Somando as equações: -y = 0, logo y = 0.
Substituindo o valor de y na equação: -x – y = 1, logo –x – 0 = 1, x = -1.
P(-1, 0).
4 Encontre a equação reduzida da reta r, que passa pelo ponto P(2, -2) 
e é paralela à reta: 2x – 3y -6 = 0.
R.:
5 Determine a equação segmentária da reta que passa pelo ponto A(2, 
1) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.
R.:
6 Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é 
perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0, e confirme o resultado 
com a representação geométrica.
R.:
x + 3y - 12 = 0
y = (- x + 12)/3 = -x/3 + 4 m = -1/3
mr . ms = -1.
mr. -1/3 = -1
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7 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2,5) e é paralela 
à reta s: y = 4x + 3, e utilize o programa Winplot para confirmar o 
resultado com a representação geométrica.
R.:
ms = 4
Representação geométrica
8 Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 6y 
– 3 = 0 sejam paralelas. 
R.: 
y = (- 2x + 1)/3 = -2x/3 + 1/3, m = -2/3
y = (-mx + 3)/6 = -mx/6 + ½
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-2/3 = -m/6
-12 = -3m
4 = m, m = 4.
9 Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção das retas r: - 
2x + y - 6 = 0 e s: -2x - 3y + 6 = 0 e faça a representação geométrica 
utilizando o programa Winplot. 
R.:
Somando as equações:
Ox – 4y= -12
Y = 3
-2x + 3 = 6
- 2x = 6 – 3
X = -3/2 
P(-1,5; 3)
Representação Geométrica
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10 (OSEC-SP) Qual é a posição relativa das retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: 
4x + 8y + 10 = 0?
R.:
x + 2y + 3 = 0 4x + 8y + 10 = 0
y = (- x – 3)/2, mr = -1/2 y = (- 4x -10)/8 = -x/2 – 5/4, ms = -1/2
R: mr = ms = -1/2 são paralelas.
11 Determine o ponto de intersecção da reta que passa pelo ponto P (-1,-
3) e é perpendicular à reta s: -2x + 5y + 6 = 0, e faça a representação 
geométrica.
R.:
s: -2x + 5y + 6 = 0 
y = (2x – 6)/5, ms = 2/5 
mr . ms = -1.
mr. 2/5 = -1
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Multiplicando a segunda equação por -5 e somando com a outra equação:
-29x/2 + 0y = 43/2
-29x/2 = 43/2, temos:
-58x = 86
x = 86/-58 = -1,48
-2 x + 5y = -6
-2. (-1,48) + 5 y = -6
2,96 + 5y = -6
5 y = -6 -2,96
5y = -8,96
y = - 1,792
Ponto de Intersecção (-1,48; 1,792).
Representação geométrica
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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12 Verifique se as retas r: 4x - 2y – 3 = 0 e s: 4x + 5y + 9 = 0 são 
concorrentes ou paralelas.
R.:
reta r: 4x -2y -3 =0
 y = (-4x + 3)/2
 y = -2 x + 3/2
mr = -2
reta s: 4x+5y + 9 = 0
 y = (-4x – 9)/5
 y = -4/5 x – 9/5
ms = -4/5
Como mr ≠ mr , as retas r e s são concorrentes.
35UNIASSELVI
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36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Determine a equação reduzida da circunferência que tem:
a) C(-2,5) e r = 3.
R.:
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – (-2))² + (y – 5)² = 3²
(x +2)² + (y – 5)² = 9
 
b) C(1, -4) e r = 2.
R.:
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 1)² + (y – (-4))² = 2²
(x – 1)² + (y +4)² = 4
c) C(1,2) e r = 4. 
R.:
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 1)² + (y – 2)² = 4²
(x – 1)² + (y – 2)² = 16
d) C( -1, - 4) e r = 5.
R.:
(x – (-1))² + (y – (-4))² = 5²
(x +1)² + (y + 4)² = 25
2 Determine aequação reduzida da circunferência cujo centro coincide 
com a origem do sistema cartesiano e o raio mede 3 unidades. 
R.:
(x – 0)² + (y – 0)² = 3²
x ² + y ² = 9
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3 Determine as coordenadas de centro e raio da circunferência de 
equação 2x²+ 2y² - 8x -16y + 38 = 0.
R.:
primeiro vamos dividir a equação toda por 2.
4 Determine a equação geral da circunferência: 
a) Com centro C(0, -2) e raio r = 4. 
R.:
(x – 0)² + (y – (-2))² = 4²
x ² + (y + 2)² = 16
x² + y ² + 4y + 4 =16
x ² + y ² + 4y + 4 -16 = 0
x ² + y ² + 4y -12 = 0
b) Com centro C(-1, -4) e raio r = 7 .
R.:
(x – (-1))² + (y – (-4))² = ( 7 )²
(x + 1) ² + (y + 4)² = 7
x ² + 2x + 1 + y ² + 8y+ 16 – 7 = 0
x ² + 2x + y ² + 8y + 10 = 0
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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c) Com centro C(0, 0) e raio r = 1. 
R.:
(x – 0)² + (y – 0)² = 1²
x ² + y ² -1 = 0
d) Com centro C(-3, 6) e diâmetro 8. 
R.:
(x – (-3))² + (y – 6)² = 4²
(x + 3) ² + (y – 6)² = 16
x ² + 6x + 9 + y ² - 12y + 36 - 16 = 0
x ² + y ² + 6x – 12y + 29 = 0
5 Encontre o centro e o raio de cada equação e confirme com a 
representação geométrica: 
a) x²+ y² + 4x -8y = 0
R.:
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b) 4x²+ 4y² - 8x + 8y - 28 = 0 (dividindo toda a equação por 4)
R.:
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6 Determine a equação geral das circunferências e faça a representação 
geométrica: 
a) ( x + 1)² + (y – 1)² = 3
R.:
x ² + 2x + 1 + y ² - 2y + 1 – 3 = 0
x ² + y ² + 2x - 2y - 1 = 0
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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b) ( x - 4)² + y² = 6
R.:
x ² - 8x + 16 + y ² - 6 = 0
x ² + y ² - 8x + 10 = 0
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7 Qual das equações representa uma circunferência? 
a) x² - y² + 4x -8y = 0
R.: Essa não é uma circunferência porque o coeficiente de x ² é igual a 1 e 
de y ² = -1, ou seja, são diferentes.
b) x² + y² - 10x - 4y = 0
R.:
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Essa equação é de uma circunferência.
c) x² + y² + x + 4y + 10= 0
R.:
Como o valor de R é negativo, essa equação não é de uma circunferência.
8 Verifique se a equação – x² - y² - 8x + 7 = 0 pode ser considerada uma 
equação da circunferência.
R.:
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Sim, pode ser considerada equação de uma circunferência.
9 Determinar a equação da circunferência cujas extremidades de um 
diâmetro são os pontos A(0, -8) e B(6,0).
R.: O diâmetro corresponde à distância entre A e B
As coordenadas do centro C (a,b)
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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10 Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 1) e 
B(1, 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2.
R.: Substituindo A (0,1) e B (1,4) e centro C (2,b) na equação da circunferência.
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11 Encontre a equação da circunferência de centro (3,2) que é tangente 
ao eixo X. 
R.: A circunferência está afastada da origem de uma unidade no sentido 
positivo de X. 
O raio, portanto, vale 2. 
Equação reduzida é (x – 3)² + (y – 2)² = 4. 
Equação geral: x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 – 4 = 0 ⇒ x² + y² – 6x – 4y + 9 = 0. 
12 Qual é a equação reduzida da circunferência que tem raio 3, tangencia 
o eixo das abscissas no ponto A(4,0) e está contida no 4º quadrante?
R.: A circunferência está afastada da origem de uma unidade no sentido 
positivo de X. Se pertence ao 4º quadrante, o centro será (4, - 3).
Equação reduzida é (x – 4)² + (y + 3)² = 9. 
Equação geral: x² – 8x + 16 + y² – 6y + 9 – 9 = 0 ⇒ 
⇒ x² + y² – 8x – 6y + 16 = 0. 
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13 Por redução da equação dada à forma padrão, determine se representa 
ou não uma circunferência. Se for, encontre seu centro e raio.
(não é possível determinar o raio, portanto a equação NÃO representa uma 
circunferência).
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Essa equação representa uma circunferência de centro C(1,5; 2,5) e raio 5 .
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Não representa circunferência, pois R= 0
52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Não é possível determinar o raio, portanto, a equação NÃO representa uma 
circunferência.
Essa equação representa uma circunferência de centro C(-4; 0,66) e raio 5 .
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TÓPICO 2
1 Mostre que o ponto P(7, 0) é exterior à circunferência x2 + y2 - 6x + 4y 
+ 9 = 0.
R.:
P (7, 0)
2 Mostre que o ponto P(-2, 1) é interior à circunferência x2 + y2 + 8x + 
4y – 16 = 0.
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R.:
3 Verifique as posições relativas dos pontos A(-2,2), B(-4,1), D(1,1), E(- 
4, -1) em relação à circunferência de equação (x + 1)² + (y + 1)² = 9 e 
faça a representação geométrica.
R.:
C ( -1, -1) e R = 3 A(-2,2)
Como D< R, o ponto A é interno à circunferência.
C ( -1, -1) e R = 3 B (-4,1)
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Como D> R, o ponto B é externo à circunferência.
C ( -1, -1) e R = 3 D(1,1)
Como D< R, o ponto D é interno à circunferência.
C ( -1, -1) e R = 3 E (- 4, -1) 
Como D= R, o ponto E pertence à circunferência.
4 Qual é a posição de cada um dos pontos a seguir em relação à 
circunferência x² + y² – 3x + 4y – 9 = 0?
a) (1, -4) 
R.: INTERNO À CIRCUNFERÊNCIA. 
b) (4, 5) 
56 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.: EXTERNO À CIRCUNFERÊNCIA. 
c) (1, 1) 
R.: INTERNO À CIRCUNFERÊNCIA.
5 Qual é a posição de cada uma das retas a seguir em relação à 
circunferência x² + y²+ 6x - 2y + 6 = 0?
a) 3x + y + 2 = 0 
R.:
D > 2, A RETA É EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
b) 4x + 3x + 5 = 0 
R.:
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D < 2, A RETA É INTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
c) 4x – y – 8 = 0
R.:
D > 2, A RETA É EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
6 Dê a posição relativa dos pares de circunferências e comprove com 
a representação geométrica.
a) x ² + y ² – 3x + 4y – 9 = 0 e x ² + y ² – 6x + 2y – 6 = 0
R.:
58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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As circunferências são secantes.
b) x ² + y ² – 6x + 2y – 6 = 0 e x ² + y ² – 6x + 2y – 10 = 0
R.:
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As circunferências são tangentes.
c) (x – 3)² + (y – 2) ² = 9 e (x – 7) ² + (y – 5) ² = 4
R.:
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d) x ² + y ² – 6x - 6y – 7 = 0 e x ² + y ² – 10x - 6y + 12 = 0
R.:
x ² + y ² – 6x - 6y – 7 = 0 
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As circunferências são secantes.
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e) x ² + y ² – 3x + 4y – 9 = 0 e x ² + y ² – 8x + 6y + 21 = 0
R.:
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7 Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x ² + y ² = 9 e σ: (x – 
7)² + y² = 16,verifique a posição relativa entre elas.
R.:
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TÓPICO 3
1 Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 
10,4 cm? (Utilize π = 3,14).
R.:
C = 2 . π . R.
C = 2.3,14 . 10, 4 = 65,31cm
2 Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 8 cm (Utilize π = 
3,14).
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R.:
A = π . R²
A = 3,14 . 4² = 3,14+16 = 50,24 cm²
3 Calcule a área de uma coroa circular onde o raio menor mede 4 cm 
e o raio maior é o triplo do raio menor (Utilize π = 3,14).
R.:
4 Calcule o perímetro e a área de um círculo de raio 12 cm (Utilize π 
= 3,14).
R.:
C = 2 . 3,14. 12 = 75,36 cm
A = π . 12² = 452,16 cm²
5 Determine a área de um círculo sabendo que a circunferência dele 
tem comprimento igual a 15 π cm.
R.:
15 π = π . 3,14. R
R = 4,78cm
A = 3,14. (4,78)²
A = 71,74 cm²
6 Calcule a área da região limitada por duas circunferências 
concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.
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FONTE: Disponível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/areas/circ-a.htm>. 
Acesso em: 10 mar. 2014.
R.: Na figura a região que está hachurada é a área do círculo maior menos 
a área do círculo menor.
Área=π (R²-r²)=π (100-36)=64 π cm²
7 Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade 
de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada 
uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura 
desta borda?
R.:
8 No sistema cartesiano ortogonal, uma circunferência tem centro 
no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da 
circunferência?
FIGURA 112 - CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS
68 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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FONTE: Disponível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/areas/circ-a.ht>. 
Acesso em: 10 mar. 2014.
R.: O raio da circunferência é a distância entre o centro (2,1) e o ponto (5,-3). 
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
R²=(5-2)²+(-3-1)²=9+16=25
R=5 
O comprimento da circunferência é 2×5×π =10 π unidades.
FIGURA 113 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Determine o eixo principal e a concavidade da parábola, cuja equação é:
Eixo principal: x
Concavidade para cima.
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Eixo principal: x
Concavidade para baixo
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Eixo principal: y
Concavidade para esquerda.
2 Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz da 
parábola cuja equação é:
a) (x - 2)² = - 16(y + 2)
72 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.:
R.:
R.:
b) (y - 1)2 = - 4x
c) (x - 2)2 = - 8x
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3 Determine a equação das parábolas que apresentam os seguintes 
focos e diretrizes:
R.:
R.:
R.:
d) (x - 1)2 = 12(y - 1)
a) F(-3, -2); y + 4 = 0
b) F(0, -3); y - 3 = 0
c) F(5, 0); x - 2 = 0
R.:
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4 Obtenha a equação da parábola de vértice V(2,-1), com eixo de simetria 
paralelo ao eixo y, passando pelo ponto P(-2,-3).
5 Das equações a seguir, verifique qual se refere à equação de uma 
parábola de eixo coincidente com a reta y = 0:
a) y = x² + 1
R.:
R.:
d) F(-1, 0); x - 1 = 0
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b) x = y² + 1
R.:
R.:
76 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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c) y – x² = 0
d) x² - y² = 1
R.:
R.:
77UNIASSELVI
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e) xy = 1 + 3y
R.:
78 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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6 Determine as coordenadas do vértice, a distância focal, as 
coordenadas do foco e a equação reduzida da parábola, cuja equação 
é 2x² – 4x + y – 8 = 0.
R.:
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7 Escreva a equação da parábola de vértice (2, 5) e diretriz x = - 8. 
8 Descubra as coordenadas do vértice, a distância focal, as coordenadas 
do foco e a equação reduzida da parábola da equação y² + 4x + 2y + 
9 = 0.
R.:
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TÓPICO 2
1 Determine a distância focal da elipse 9x ² +25y ² – 225 = 0.
Sendo assim, temos que a² = 25 e b² = 9, portanto a = 5 e b = 3, e utilizando 
o teorema de Pitágoras encontramos o valor de c.
Portanto, a distância focal é 2c = 2. 4 = 8
2 Calcular a distância focal e a excentricidade da elipse 25x ² + 169y 
² = 4225.
Sendo assim, temos que a² = 169 e b² = 25, portanto a = 13 e b = 5, e utilizando 
o teorema de Pitágoras encontramos o valor de c.
a ² = b ² + c ²
13 ² = 5 ² + c ²
169 = 25 + c ²
c ² = 144, c =12
 
e = c/a = 12/13 e a distância focal = 2c = 24.
a ² = b ² + c ²
5 ² = 3² + c²
25 – 9 = c ²
16 = c ²
c = 4
R.:
R.:
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3 Os vértices de uma elipse são os pontos (4, 0) e (-4, 0) e seus focos 
são os pontos (3, 0) e (-3, 0), determine a equação dessa elipse.
4 Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as 
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
Solução: C(0,0)
a² = 25, a = 5, eixo maior 2.a = 2.5 = 10
b ² = 9, b =3, eixo menor 2.b = 2.3 = 6
a ² = b ² + c ²
5² = 3 ² + c ²
c = 4, distância focal = 2.c =2.4 = 8
F( )0,4(±
Excentricidade: e = c/a = 4/5
R.:
R.:
84 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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5 A equação 9x² + 4y² - 18x – 16y – 11 = 0 é de uma elipse. Os semieixos 
maior e menor medem:
Vamos verificar através do Winplot:
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a) 4 e 3
b) 4 e 2
c) 4 e 1
d) 3 e 2
e) 3 e 1
Solução: Observamos na representação geométrica que o eixo menor 
paralelo ao eixo x, vai de -1 até 3, ou seja, o eixo menor é igual a 4, semieixo 
será 4/2 = 2.
E o eixo maior paralelo a y, vai de -1 até 5, ou seja o eixo maior é igual a 6, 
semieixo será 6/2 = 3.
Resposta correta letra d.
6 Na figura, tem-se a elipse de equação inscri ta no 
retângulo ABCD. O perímetro do retângulo é:
Solução: observamos no gráfico que o eixo maior mede aproximadamente 7 
e o menor aproximadamente 4, logo, o perímetro é de aproximadamente 22. 
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7 Determine a equação reduzida da elipse de cada equação a seguir:
a) 3x2 + 4y2 - 8y -8 = 0
R.:
88 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 3
1 Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a 
excentricidade e os focos das hipérboles.
b) x2 + 4y2 - 6x -8y -3 = 0
c) x2 + 4y2 + 2x -12y +6 = 0
R.:
R.:
R.:
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O centro: C (3,4)
a = 3 e b = 4
Medidas do eixo real 2.a= 2.3 = 6
Medidas do eixo imaginário 2.b = 2.4 = 8
c² = a² + b²
c ² = 9 + 16 = 25, c = 5.
Excentricidade: e = c/a = 5/3
Os focos: 
(±c,0)+ ( ),βα 
(±5,0)+ (3, 4) 
(8, 4) e (-2, 4)
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Medidas do eixo real 2.a= 2. 5
Medidas do eixo imaginário 2.b = 2.2 = 4
c² = a² + b²
c ² = 5 + 4 = 9, c = 3.
R.:
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R.:
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R.:
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2 Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados:
a) os vértices (± 2; 0) e os focos (-3; 0);
c = 3 e a =2
c² = a ² + b ²
9 = 4 + b ²
b = 5
b) as retas assíntotas y = -x e um ponto da hipérbole (5; 9):
3 Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a 
excentricidade e a equação das hipérboles representadas a seguir:
R.:
R.:
R.:
a)
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Centro (-2,4)
Medida do eixo real: 10 
Medida do eixo imaginário: 4
FONTE DAS IMAGENS: Disponível em: <https://www.google.com.br/#q=determine+o+centro
%2c+as+medidas+do+eixo+real+e+do+eixo>. Acesso em: 7 mar. 2014.
4 Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e 
represente geometricamente as hipérboles:
b)
R.:
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R.:
a) -5x2 + 4y2 + 30x +16y = 9
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b) -4x2 + y2 + 8x +4y + 4 = 0
R.:
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c) -x2 + 9y2 + 4x -36y + 41 = 0
R.:
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d) x2 - 4y2 + 6x + 24y - 31 = 0
R.:
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5 A cônica representada pela equação 3x2 - 4y2 + 8y - 16 = 0 é:
a) Parábola.
b) Hipérbole.
c) Elipse.
d) Circunferência.
R.:
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Portanto a resposta correta é a letra b.
6 Escreva a equação reduzida das curvas a seguir, identifique-as e 
represente-as geometricamente.
R.:
a) 2y2 + 5x + 8y - 7 = 0
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Portanto, tem-se uma parábola.
Vértice: (3,-2)
Foco: (2,375;-2)
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b) x2 + 4y2 + 2x - 12y + 6 = 0
R.:
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c) x2 - 20x + y + 100 = 0
R.:
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Foco: (10;-0,25)
d) x2 - y2 - 6x = 0
R.:
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e) x2 + 16y2 - 6x - 7 = 0
R.:
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TÓPICO 4
1 A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa 
um dos focos. O comprimento do eixo maior é 14957000 Km e a 
excentricidade é 0,0167. Determine uma distância a que a Terra fica 
do Sol.
R.: 2a = 14957000 km <=> a = 7478500 km
Excentricidade da elipse: 0.0167 
Distância focal: 2c = 249781.9
Uma distância possível a que a Terra fica do Sol é, por exemplo, 
a - c = 7353609.1 km. Esta distância corresponde à situação em que a Terra 
se encontra no vértice mais à esquerda e o Sol se encontra no foco mais à 
esquerda.
 
2 O teto de uma igreja tem 30 metros de largura e a forma de uma 
semielipse. No centro da igreja a altura é de 16 metros e as paredes 
laterais têm de altura 10 metros. Determine a altura da igreja a 5 
metros de uma das paredes laterais.
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/problemas.htm>. Acesso 
em: 20 maio 2013.
R.: Consideremos que o semieixo maior da elipse é a = 15, o semieixo menor 
é b = 6 e o centro da elipse é (0,0). Nestas condições, a equação da elipse é: 
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Substituindo na equação x por 10 (a 5 metros de uma das paredes laterais), 
obtemos:
Portanto, a altura da Igreja a cinco metros de uma das paredes laterais é 10 
(altura das paredes laterais) + 4.472, ou seja, 14.472 metros.
3 Em 1957, a União Soviética lançou o primeiro satélite. Depois de 
entrar em órbita, a altura máxima relativamente à superfície da Terra 
que o Sputnik alcançou foi de 383 milhas e a distância mínima foi 
de 132 milhas. Se o centro da Terra coincidir com um foco da órbita 
elíptica do Sputnik e se o raio da Terra for 4000 milhas, determine a 
excentricidade da elipse.
R.: Temos que a distância máxima é 383 milhas, a distância mínima é 132 
milhas, e o raio da Terra é 4000 milhas. Temos 132 + 4000 + 4000 + 383 = 
8515, que corresponde ao eixo maior da elipse, ou seja,
Atendendo aos dados do problema, Sabemos que c = 4383 - a.
4 Um arco de uma ponte tem a forma de uma semielipse de 50 m de 
base e 18 m de altura. Pretende-se colocar duas colunas de 10 m de 
altura, como se indica na figura, para limitar a zona de passagem dos 
barcos. A que distância vão ficar as colunas uma da outra? 
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FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/problemas.htm>. Acesso 
em: 20 maio 2013.
R.: Fixemos um referencial de tal modo que o centro da elipse seja: C=(0,0), o 
semieixo maior (a) seja 25 e o semieixo menor (b) seja 18. Nestas condições, 
a equação da elipse será: 
As colunas vão ficar, deste modo, à distância de 41.6 metros uma da outra.
5 A figura representa o esquema de uma ponte que se apoia no solo em 
A e B. AOB é um arco de parábola de eixo de simetria OD. Sabemos 
que d(A,B)=80m e d(O, D)=120m. Tomando por unidade 1 metro e 
considerando o referencial ortogonal e monométrico de origem O 
cujo semieixo positivo das abscissas é OC, determine:
a) uma equação da parábola que contém o arco AOB
Uma equação da parábola que contém o arco AOB: a expressão analítica da 
parábola cujo eixo de simetria é o eixo das abscissas e que tem a concavidade 
voltada para baixo é: . Sabemos que A=(-40, -120) e B=(40,-120). 
Substituindo na expressão analítica da parábola obtém-se:
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b) as coordenadas dos pontos da parábola, cuja distância ao solo é 90 
m.
R.: As coordenadas dos pontos da parábola cuja distância ao solo é 90 metros:
Os pontos vão ser da forma: P1= (x1, -30) e P2= (x2, -30), dado que 120-90 
= 30.
Substituindo na equação, obtém-se: 
Portanto P1 = (20, -30) e P2 = (-20, -30).
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/problemas.htm>. Acesso 
em: 20 maio 2013.
6 Os cabos de suspensão da ponte (na figura) estão presos a duas 
torres que distam 480m e têm 60m de altura. Os cabos tocam a ponte 
no centro. Determine a equação da parábola que tem a forma dos 
cabos.
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R.: A equação da parábola que tem a forma dos cabos tem a seguinte 
expressão analítica:
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/problemas.htm>. Acesso 
em: 20 maio 2013.
7 Um coletor solar, para aquecimento de água, tem a forma parabólica, 
como é indicado na figura. A água circula numa conduta que passa 
pelo foco da parábola de vértice V e que contém A e B. Determine a 
distância do foco ao vértice.
R.: A equação da parábola do enunciado é da forma: ,
sendo p a distância do foco à diretriz.
Sendo p a distância do foco à diretriz. Temos que 2.4 metros são 240 cm, e 
Fixemos um referencial tal que o vértice da parábolado enunciado seja 
Nestas condições temos A=(-120,40) e B=(120,40), como a parábola 
contém o ponto B, substituímos na equação da parábola x e y pelos valores 
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correspondentes à abscissa e à ordenada de B:
No caso deste problema temos F=(0,90). Portanto, a distância do foco ao 
vértice é: 
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/problemas.htm>. Acesso 
em: 20 maio 2013.
8 De acordo com os dados da figura, e considerando que o arco tem a 
forma de uma parábola, escolha um referencial e determine: a equação 
da parábola que contém o arco; a distância entre os dois pilares.
R.: Solução: Escolhemos um referencial tal que 
A equação da parábola do enunciado é da forma
para que o vértice da parábola seja V=(0,80).
Sabemos que Substituindo na expressão analítica da 
parábola obtém-se:
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FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/problemas.htm>. Acesso 
em: 20 maio 2013.