Exercícios Resolvidos - Integrais de Linha

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
CAPÍTULO 16.2 - INTEGRAIS DE LINHA 
 
1. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. 
∫ 𝑦³
𝐶
𝑑𝑠, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶: 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
 
Temos que: 
𝑥 = 𝑡3 𝑒 𝑦 = 𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
Logo, podemos usar a Fórmula 3. Então, temos: 
 
∫ 𝑦3
𝐶
𝑑𝑠 = ∫ 𝑡3 ∙
2
0
√(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
𝑑𝑡 = ∫ 𝑡3 ∙
2
0
√(3𝑡2)2 + (1)2𝑑𝑡 = ∫ 𝑡3 ∙
2
0
√9𝑡4 + 1𝑑𝑡 
=
1
36
∙
2
3
∙ (9𝑡4 + 1)
3
2⁄ ]
0
2
=
1
54
∙ (145
3
2⁄ − 1) 𝑜𝑢 
1
54
∙ (145 ∙ √145 − 1) 
3. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. 
∫ 𝑥𝑦4
𝐶
𝑑𝑠, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶 𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑥2 + 𝑦2 = 16 
Temos que as equações paramétricas para C são: 
𝑥 = 4 cos 𝑡 , 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 −
𝜋
2
≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
Logo, temos que: 
 
∫ 𝑥𝑦4
𝐶
𝑑𝑠 = ∫ (4 cos 𝑡)
𝜋
2
−
𝜋
2
∙ (4 𝑠𝑒𝑛 𝑡)4 ∙ √(−4 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + (4 cos 𝑡)2𝑑𝑡 
= ∫ 45 ∙ (cos 𝑡)
𝜋
2
−
𝜋
2
∙ ( 𝑠𝑒𝑛4 𝑡) ∙ √16 ∙ ( 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + cos2 𝑡)𝑑𝑡 = 45 ∙ ∫ (𝑠𝑒𝑛4 𝑡 ∙ cos 𝑡) ∙ 4 𝑑𝑡
𝜋
2
−
𝜋
2
 
= 46 ∙ (
1
5
∙ 𝑠𝑒𝑛5 𝑡)]
−
𝜋
2
𝜋
2
=
2 ∙ 46
5
= 1638,4 
13. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. 
∫ 𝑥²𝑦√𝑧
𝐶
𝑑𝑧, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶: 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
Temos que: 
𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡 𝑒 𝑧 = 𝑡2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
Logo, 
∫ 𝑥2𝑦√𝑧
𝐶
𝑑𝑧 = ∫ (𝑡3)2 ∙ 𝑡 ∙ √𝑡2 ∙ 2𝑡 𝑑𝑡
1
0
= ∫ 2𝑡9 𝑑𝑡
1
0
=
1
5
∙ 𝑡10]
0
1
=
1
5
 
25. Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de linha correta até a quarta casa 
decimal. 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑦 + 𝑧) 
𝐶
𝑑𝑠, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶 𝑡𝑒𝑚 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡3, 𝑧 = 𝑡4, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5 
Temos que: 
𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡3 𝑒 𝑧 = 𝑡4 
Logo, pelo Fórmula 9, temos: 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑠
𝐶
= ∫ 𝑡2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑡3 + 𝑡4) ∙ √(2𝑡)2 + (3𝑡2)2+(4𝑡3)2 𝑑𝑡
5
0
 
= ∫ 𝑡2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑡3 + 𝑡4) ∙ √4𝑡2 + 9𝑡4+16𝑡6 𝑑𝑡
5
0
≅ 15,0074 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010