Aula_1_-_Plank_e_os_quanta

Prévia do material em texto

Aula 1 - Plank e os quanta 1
Aula 1 - Plank e os 
quanta
Física Quântica
 A física quântica é uma área que não foi desenvolvida 
apenas por uma pessoa. Não há consenso geral sobre seus 
princípios fundamentais ou sobre seu significado.
Conceitos Fundamentais e Corpo Negro
Radiação Eletromagnética
 J. Wedgwood foi a primeira pessoa a ver a relação entre a 
cor da radiação emitida de um objeto com a temperatura. Após 
incidir num objeto, a radiação é emitida por ele. A frequência 
ou comprimento de onda do máximo da radiação influência 
diretamente na cor que se observa o objeto.
Emissão e Absorção
 Para sistemas isolados que estão em equilíbrio, a razão 
entre a energia emitida e (potência emissiva) e a energia 
absorvida a (absorvidade) são constantes. Chegando numa 
expressão:
 
Corpo Negro
 Um corpo negro, por definição, é um corpo hipotético que 
tem a capacidade de absorver toda a radiação eletromagnética 
que "bate" nele. A luz ao incidir num corpo negro não consegue 
=
aA
eA
aB
eB
Aula 1 - Plank e os quanta 2
atravesá-lo e também não é refletida. Ele é um absorvedor 
ideal, pois sua absorvidade é 1.
 Supondo um sistema com um corpo negro, tendo , se tem 
que:
 O que implica que vai ser sempre maior que , visto que 
a absorvidade de um corpo que não seja um corpo negro será 
sempre menor que 1. Isso também implica que o corpo negro é um 
ótimo emissor de energia.
Lei de Wien
 A lei de deslocamento de Wien relaciona o comprimento de 
onda máximo de emissão de um corpo negro com a temperatura, 
dada por:
 Em outros termos, o comprimento de onda em produto com 
a temperatura são iguais a uma constante. A unidade dessa 
lei é (metros Kelvin). O valor da constante é de 
 Essa lei possui diversas aplicações como por exemplo, 
conseguir deduzir a temperatura de algum objeto a distância 
como por exemplo a temperatura da superfície de estrelas.
Lei de Stefan-Boltzmann
 Foi uma lei deduzida através da lei da radiação de Planck. 
A lei de Stefan-Boltzmann diz que a energia é proporcional a 
quarta potência da temperatura. Ela se da pela expressão:
 Sendo chamado de constante de Stefan-Boltzmann, e tem 
valor aproximado de .
a =N 1
e =N
aA
eA
eN eA
λ .T =m xá b
λm xá
T
m.K b
2, 9.10  m.K.−3
U = σT 4
σ
5, 6704.10  W/m K−8 2 4
Aula 1 - Plank e os quanta 3
 Essa lei ainda pode ser dada em termos da potência média 
irradiada (Q), a emissividade(e) e a área(A) de um corpo:
Lei Clássica da Radiação de Rayleigh
 Rayleigh, com o uso da mecânica clássica, mostrou que 
. Ele conseguiu determinar o valor da constante 
 usando o Teorema de Equipartição de Energia de Maxwell-
Boltzmann nas oscilações eletromagnéticas da radiação que 
ocorriam na cavidade de um cubo imaginário de metal com aresta 
a. Seu método tinha como princípio realizar o cálculo do 
numero de ondas estacionárias, sendo o mesmo que calcular a 
distribuição de modos eletromagnéticos permitidos numa 
frequência delimitada por e , isso dentro da cavidade 
.
 A lei expressa por Rayleigh para a radiação de um corpo 
negro não é nada mais que o produto da quantidade de ondas 
eletromagnéticas na cavidade pela energia de cada uma dessas 
ondas. A lei pode ser dada por:
 A lei ficou conhecida como Rayleigh-Jeans após uma correção 
na fórmula num erro que foi apontado por James Jeans, 
mostrando a redundância do número 8 na fórmula. Rayleigh 
corrigiu isso e adicionou um fator exponencial como o proposto 
por Wien, deixando a expressão então igual a:
 Apesar de um bom funcionamento dessa lei quando aplicada em 
ondas de baixas frequência ou com grande comprimento, ocorre 
uma falha no momento em que as frequências aumentam, deixando 
uma discordância na densidade de energia total. Esse problema 
ficou conhecido como Catástrofe do Ultravioleta.
⚗
U =
e.A
Q
ρ(ν,T ) = c ν T1 2
c1
ν ν + dν
N(ν)dν
ρ(ν,T )dν = N(ν)dν.u(T ) = k Tν dν
c3
8πV
B
2
ρ(ν,T )dν = C Tν e dν1 2 (−C )2 T
ν
Aula 1 - Plank e os quanta 4
Proposta de Planck ⚗
 Depois de muitos estudos e deduções a Lei Empírica de Wien, 
Planck, através da Termodinâmica e da Teoria Eletromagnética, 
demonstrou que:
 Sendo a energia média por unidade de volume presente 
no sistema. Com isso foi possível definir uma forma funcional 
da dependência da densidade de radiação com a frequência. 
Faltando agora apenas a determinação de maneira também 
funcional de .
 Com a junção da lei de deslocamento e a formulação empírica 
de Wien e a expressão obtida por ele mesmo, Plank obteve uma 
expressão para a entropia em função da energia média por 
unidade de volume do sistema. Após experimentos de Heirich 
Rubens, foi posssível que Planck concluísse que:
 Logo, se tem também que:
 Insatisfeito com a dependência de resultados experimentais 
para a chegada da expressão, mais tarde Planck fez uso da 
Mecânica Estatística juntamente com a definição de entropia e 
a contagem da quantidade de maneiras possíveis que 
osciladores podem ser distribuídos numa cavidade ressonante, 
obtendo:
 Também levando em consideração que , Planck 
conseguiu concluir que:
ρ(ν,T )dν = dν (T ) =
V
N(ν)
ū (T )dν
c3
8π
ū
(T )ū
(T )ū
u =
e − 1T
α
α
ρ(ν,T ) =
c3
8π
e − 1T
α
α
N
S = k (1 +B )ln(1 +
ϵ
u
) −
ϵ
u
( )ln( )
ϵ
u
ϵ
u
=
T
1
∂U
∂S
ϵ
Aula 1 - Plank e os quanta 5
 O elemento de energia deve ser proporcional à frequência 
do oscilador. A Relação de Planck é uma expressão que denota 
essa relação sendo igual a , onde h é a constante de 
Planck. 
 Então, se tem que a distribuição espectral da densidade de 
energia tem a forma de:
 Depois de análises nos resultados de Rubens, Planck também 
define por fim os valores de e . Essa lei de Planck 
implica em que nem todas as frequências são permitidas. 
Através dessa propriedade que se originou a Física Quântica, 
por conta do argumento básico de quantização de energia: não 
são todos os valores de energia que são permitidos e sim 
apenas os múltiplos inteiros de um valor elementar — definição 
dos quantum.
 Outra implicação do postulado de Planck é:
▶ De maneira clássica, um sistema pode atingir energicamente 
qualquer valor (0 até ∞).
▶ Quanticamente, a energia total de um sistema é dada por uma 
quantia finita de partes iguais.
� Num sistema onde são realizadas oscilações harmônicas 
simples, as possibilidades de energias totais discretas são: 
E=0, hv, 2hv, 3hv,..., nhv. Sendo h a constante de Planck e v 
a frequência de oscilação do corpo.
🎚 Os possíveis estados de energia são chamados de estados 
quânticos e os inteiros n de números quânticos.
u =
e − 1k TB
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ = hν
ρ(ν,T ) =
c3
8π
e − 1k TB
hν
hν3
h kB