Transformada de Laplace _ Parte 1

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Transformada de Laplace
Prof° Dr. Graciliano Antonio Damazo
Equações Diferenciais
❑ O profissional de exatas, poderia ser, com certa generalidade, rotulado como 
aquele que resolve EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. 
❑ Estas equações auxiliam muito os engenheiros a desenvolverem quase todos 
os produtos que são requisitados pelas necessidades tecnológicas de hoje. 
❑ As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como: 
❑O crescimento de culturas de bactérias, 
❑Evolução de uma epidemia devido a vírus, 
❑Escoamento de fluidos em dutos, 
❑O movimento dos planetas em torno do sol, 
❑Trajetória de projeteis, 
❑Mecanismos de transferência de calor, 
❑Problemas de servos-mecanismos, 
❑Realimentação de sistemas, Etc, ..., etc. 
Podemos dizer que estas equações armazenam informações de tudo aquilo 
que podemos abordar através da linguagem matemática
Justificativa
❑A TRANSFORMADA DE LAPLACE serve, entre outras coisas, para resolver 
este tipo de equação, proporcionando aos estudiosos maior clareza e abrangência 
na interpretação de mundo no qual vivemos.
❑A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao 
projetista de sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace.
❑O método da transformada de Laplace substitui a solução mais difícil de 
equações diferenciais pela solução mais fácil de equações algébricas.
❑Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de sistemas, sem a 
necessidade de resolver equações diferenciais. 
❑Após a resolução via transformada de Laplace, pode-se obter a resposta 
transitória e a resposta em regime.
Justificativa
Resolver uma equação significa encontrarmos a variável que satisfaz uma 
identidade pré-estabelecida pelo sinal de igualdade.
Esta variável comumente chamada de incógnita pode ser representada por: 
um número, um vetor, uma função ou um objeto matemático qualquer. 
Justificativa
Quando temos uma 
equação algébrica, a 
variável será um número 
Caso a equação seja 
vetorial, a solução será 
representada por um vetor.
Sendo uma equação 
diferencial a variável 
procurada será uma função.
Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar as soluções dos 
vários tipos de equações. 
Laplace criou um método muito curioso e de uma beleza inigualável que o 
conduziu às soluções de várias equações diferenciais ordinárias.
Este método, simples e elegante, foi desenvolvido do seguinte modo: 
Consideremos a equação diferencial abaixo 
𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥 , 𝑓 0 = −1
PERGUNTA: Qual será esta função f(x) ? 
RESPOSTA: A função que satisfaz a equação acima é: 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥
Verificando a resposta:
𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥
𝑓′ 𝑥 = 2𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥
Portanto temos:
𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 2𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥
𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 2𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 − 𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥
𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥 Verdadeiro!!!
Assim:
𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥 − 2𝑒𝑥 Resposta correta!!!
Derivando a função f(x) temos
Como Laplace obteve esse resultado ?
𝑓′ 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 − 𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑠𝑥𝑒2𝑥
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑠𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 − න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 − න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
∞
𝑒−(𝑠−2)𝑥𝑑𝑥
Para resolver estas integrais, Laplace utilizou-se da identidade de Leibniz.
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 − න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
∞
𝑒−(𝑠−2)𝑥𝑑𝑥
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑒−𝑠𝑥 ฬ
∞
0
+ 𝑠න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑢′ = 𝑓′(𝑥) 𝑣 = 𝑒−𝑠𝑥
𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑣′ = −𝑠𝑒−𝑠𝑥
න
0
∞
𝑒−(𝑠−2)𝑥𝑑𝑥 =
𝑒−(𝑠−2)𝑥
2 − 𝑠
ฬ
∞
0
= 0 −
1
2 − 𝑠
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑓 0 + 𝑠න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
න
0
∞
𝑒−(𝑠−2)𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑠 − 2
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 − න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
∞
𝑒−(𝑠−2)𝑥𝑑𝑥
−𝑓 0 + 𝑠න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑠 − 2
−(−1) + න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑠 − 1 =
1
𝑠 − 2
Manipulando algebricamente temos :
න
0
∞
𝑒−𝑠𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑠 − 2
−
2
𝑠 − 1
A indagação de Laplace agora era:
A função f(x) que procuramos, multiplicada por 𝒆−𝒔𝒙
e integrada de zero a infinito resultou 
𝟏
𝒔−𝟐
−
𝟐
𝒔−𝟏
... 
Qual será esta função?
Justificativa
Definição
❑ Seja f(t) é uma função do tempo t, tal que f(t) = 0 para t < 0. 
❑ s é a variável complexa.
❑ ℒ é um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é 
para ser transformada pela integral Laplace.
❑ F(s) é a transformada de Laplace de f(t). 
❑ Então, a transformada de Laplace de f(t) é definida por:
EXEMPLO
Considere a função: 
os termos A e b são constantes. Assim a transformada de Laplace é obtida da 
seguinte maneira, 
𝑓 𝑡 = 0, 𝑡 < 0;
= 𝐴𝑒−𝑏𝑡 , 𝑡 ≥ 0;
Transformada dos principais sinais
1. Degrau Unitária
A função degrau unitário, denotada por u0 (t), é definida por:
𝑢 𝑡 = ቊ
0 , 𝑡 < 0
1 , 𝑡 ≥ 0
Transformada dos principais sinais
1. Degrau Unitária
A transformada de Laplace da função degrau unitário é calculada:
ℒ 𝑢 𝑡 = න
0
+∞
𝑢 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
ℒ 𝑢 𝑡 = න
0
+∞
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
0
+∞
= −0 − −
1
𝑠
ℒ 𝑢 𝑡 =
1
𝑠
Transformada dos principais sinais
A função degrau unitário deslocada, denotada por u(t-c), é definida por:
𝑢 𝑡 − 𝑐 = ቊ
0 , 𝑡 < 𝑐
1 , 𝑡 ≥ 𝑐
Transformada dos principais sinais
A transformada de Laplace da função degrau unitário é calculada:
ℒ 𝑢 𝑡 − 𝑐 = න
0
+∞
𝑢 𝑡 − 𝑐 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
ℒ 𝑢 𝑡 − 𝑐 = න
𝑐
+∞
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
𝑐
+∞
= −0 − −
𝑒−𝑠𝑐
𝑠
ℒ 𝑢 𝑡 − 𝑐 =
𝑒−𝑠𝑐
𝑠
Dada a função pulso abaixo, escreva-a como a diferença de funções degrau
f 𝑡 = ቐ
0 , 𝑡 < 𝑎
1 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
0 , 𝑡 > 𝑏
Exemplo
Exemplo (SOLUÇÃO)
𝑢 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑎 − 𝑢 𝑡 − 𝑏
Transformada dos principais sinais
2. Impulso unitário
𝛿 𝑡 = ቊ
0 , 𝑡 ≠ 0
+∞ , 𝑡 = 0
න
−∞
+∞
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
A função impulso unitário, denotada por 𝛿(𝑡), é definida por:
Transformada dos principais sinais
2. Impulso unitário
A função impulso é o caso limite da função pulso de área unitária:
ℒ 𝛿 𝑡 = 1
Transformada dos principais sinais
3. Rampa unitária
𝑟 𝑡 = ቊ
0 , 𝑡 < 0
𝑡 , 𝑡 ≥ 0
A função rampa unitária, denotada por r(𝑡), é definida por:
Transformada dos principais sinais
A transformação da função rampa unitária, é calculado como segue:
ℒ 𝑟 𝑡 =
1
𝑠2
Transformada das Funções Trigonométricas
❑ Função seno
ℒ 𝑓 𝑡 =
𝜔
𝑠2 + 𝜔2f 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
❑ Função cosseno
ℒ 𝑓 𝑡 =
𝑠
𝑠2 + 𝜔2f 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
Propriedades da Transforma de Laplace
P1: Linearidade
𝑆𝑒𝑗𝑎 ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠
Demonstração
Propriedades da Transforma de Laplace
P2: Diferenciação
⋮
Propriedades da Transforma de Laplace
P3: Integração
Sendo 𝑓−1 0 = 𝑓׬ 𝑡 𝑑𝑡 avaliada para t = 0.
Teoremas
Teorema do valor inicial (TVI)
Se f(t) e f’(t) são ambos transformáveis segundo Laplace, e se lims→0 F(s) 
existe, então:
Teoremas
Teorema do valor final (TVF)
mais adiante neste curso, veremos que um sistema que tem todos os polos 
com parte real negativa, é dito estável
Se os polos de sF(s) possuem parte real negativa, ou seja, Re{pi}<0,então:
𝒑𝟏 = −𝟏 ⇒ ℜ 𝒑𝟏 = −𝟏 < 𝟎
Aplicando o TVF
Dessa forma 
o teorema 
TVF poderá 
ser aplicado
Solução:
Polo
Confirmado ao resultado:
De acordo com a tabela de transformada de Laplace
lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑡→∞
1 − 𝑒−𝑡 = 1
Valor de Regime da função f(t)
𝑓(𝑡)
𝑡
1
Exemplo: Seja 𝑓(𝑡) uma função cuja transformada de Laplace é dada por 
𝐹 𝑠 =
1
𝑠2+1
. Aplique o teorema do valor final nessa função para determinar o 
valor em regime (𝑡 → ∞) e comente o resultado encontrado.
Solução: 𝑓 +∞ = lim
𝑠→0
𝑠 𝐹 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 1
= 0 Função seno não 
tende a zero, ela 
oscila sempre!!!
Por que o TVF 
não deu certo?
𝑠𝐹 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 1
Polo
𝒑𝟏 = +𝒋 𝒆 𝒑𝟐 = −𝒋 ⇒ ℜ 𝒑𝟏 = ℜ 𝒑𝟐 = 𝟎
Como os polos NÃO tem parte real negativa NÃO
podemos aplicar o teorema do valor final para determinar 
o valor da funçãopara um tempo muito grande