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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	MATEMÁTICA
	
	
	MÓDULO 19 - Revisão
 Prof. Carlos
BIZU PARA PROVA
01) FUNÇÕES
Domínio e imagem
1. Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras 
2. Funções Inversas (Troca de x por y)
3.  Funções Compostas 
a) Função afim
Estudo da variação do sinal de y = ax + b 
1º) a > 0 (a função é crescente) 
2º) a < 0 (a função é decrescente) 
b) Função quadrática
1º possibilidade → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º possibilidade → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.
3º possibilidade → Δ < 0: A função não possui raízes reais.
· Máximo e mínimos:
É o ponto de coordenadas:
Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo.
Se a < 0, o vértice é ponto de máximo.
c) Função logarítmica
Definição log b a = x bx = a
Propriedades operatórias
Mudança de base: 
PA e PG
 Termo geral da P.A. : an = a1 + (n – 1) . r
Soma dos termos de uma P.A.: 
Termo geral da P.G.: an = a1 . qn 1
Soma dos n termos de uma P.G finita: 
Soma dos n termos de uma P.G infinita 
pRODUTO DE MATRIZES
IPC: Não é Comutativa, pois, em geral, A.B B.A
A.B = .
AB = 
Inversa de uma matriz
Dada a matriz A quadrada chamamos de inversa de A à matriz A –1, tal que A . A –1= A –1 . A = In.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
· SPD → det (M) ≠ 0
· SPI → det (M) = 0
· SI→ det (M) = 0
ANÁLISE COMBINATÓRIA
	PERMUTAÇÕES SIMPLES
	ARRANJOS SIMPLES
	COMBINAÇÕES SIMPLES
	 Tipo de agrupamento em que:
· Diferem pela ordem;
· Não há repetição de elementos;
· Todos os elementos são utilizados de uma só vez;
· Indica-se por Pn ;
· Desenvolve-se Pn = n!
	 Tipo de agrupamento em que:
· Diferem pela ordem ou pela natureza;
· Não há repetição de elementos;
· Os elementos não são utilizados todos de uma só vez;
· 
Indica-se por ;
· 
Desenvolve-se 
	 Tipo de agrupamento em que:
· Diferem apenas pela natureza;
· Não há repetição de elementos;
· Os elementos não são utilizados todos de uma só vez;
· 
Indica-se por ;
· 
Desenvolve-se 
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	01) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?
	01) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar ?
	01) De quantos maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo 12 atletas à sua disposição ?
	PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
	PERMUTAÇÃO CIRCULAR
	
A permutação de n elementos dos quais são de um tipo, são de outro e são de outro, com é dada por:
	· Chama-se permutação circular de n objetos distintos qualquer disposição desses objetos em torno de um círculo.
· 
Indica-se por: ou 
	Exemplos
	Exemplos
	01) Quantos são os anagramas da palavra ARARA ?
	01) Para uma foto de recordação da turma, Ana, Bia, Caio, Déa, Enéas e Fábio formarão uma “roda”. Quantas formações diferentes são possíveis ?
PROBABILIDADE
NÚMEROS COMPLEXOS
Complexo conjugado: = a – bi
Módulo: = z=
Forma Trigonométrica: z = a + bi = |z|(cos θ + isen θ).
POLINÔMIOS
Teorema do resto
· O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x - c é o valor numérico de P (x) em x = c, isto é, o resto é P (c).
Teorema de D’Alambert
· Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x – c se e somente se P(c) = 0 , isto é, c é uma raiz de P(x).
TRIGONOMETRIA
Relação fundamental: 
sem²x + cos²x = 1
Adição de arcos
Subtração de arcos
 PONTO
Distância entre dois pontos:
Ponto médio:
 e 
Coordenadas do baricentro:
 e 
Área de um triângulo:
 , onde 
RETA
Equação geral da reta:
Equação reduzida de uma reta:
Cálculo do coeficiente angular:
Condição de paralelismo:
r // s 
Condição de perpendicularismo
r ┴ s 
Distância entre ponto e reta:
Equação reduzida da circunferência
Equação geral da circunferência
GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
PRISMAS E CILINDRO
Volume: 
Área lateral: 
Área total: 
CONE E PIRÂMIDE
Volume: 
Área lateral: 
Área total: 
ESFERA
Área da superfície 
Volume 
ESTATÍSTICA
Média aritmética:
A média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn, que se indica por , é dada por:
Média aritmética ponderada
A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ..., xn, com pesos p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é o número tal que:
Moda:
Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece um maior número de vezes, ou seja, é o valor de maior freqüência absoluta.
Mediana:
O valor que ocupa a posição central de um conjunto de valores, colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é chamado mediana.
	
	- 4 -
	
	
y
mx
n
=
+
0
0
 
tg
x
x
y
y
m
r
-
-
=
=
q
m
m
r
s
=
m
m
r
s
.
=
-
1
d
P
r
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by
c
a
b
(
,
)
|
|
=
+
+
+
0
0
2
2
2
2
2
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(
)
(
r
b
y
a
x
=
-
+
-
0
2
2
2
2
2
2
2
=
-
+
+
-
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
H
A
V
B
.
=
H
P
S
L
.
2
=
L
B
T
A
A
S
+
=
2
V
A
H
B
=
×
1
3
.
H
P
S
L
.
=
L
B
T
A
A
S
+
=
4²
AR
p
=
4
³
3
VR
p
=
x
n
x
...
x
x
x
x
n
3
2
1
+
+
+
+
=
n
3
2
1
n
n
3
3
2
2
1
1
p
...
p
p
p
p
x
...
p
x
p
x
p
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
=
{
{
)
a
4
,
a
2
b
(
V
v
y
v
x
D
-
-
b
log
a
log
)
b
.
a
(
log
c
c
c
+
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b
log
a
log
)
(
log
c
c
b
a
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-
=
a
log
.
n
a
log
c
n
c
=
n
a
log
a
log
n
1
a
log
c
c
n
c
=
=
b
log
a
log
a
log
c
c
b
=
2
n
 
.
 
)
a
(a
S
n
1
n
+
=
(
)
1
q
1
q
a
S
n
1
n
-
-
=
1
lim
1
n
a
S
q
=
-
¹
2
 x 
2
1
4
3
2
ú
û
ù
ê
ë
é
2
 x 
2
4
3
2
1
ú
û
ù
ê
ë
é
2
 x 
2
12
7
16
11
4
8
3
4
12
4
9
2
4
.
1
2
.
4
3
.
1
1
.
4
4
.
3
2
.
2
3
.
3
1
.
2
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
+
+
=
ú
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ù
ê
ë
é
+
+
+
+
p
n
A
,
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(
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,
p
n
n
A
p
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-
=
p
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C
,
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!
,
p
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C
p
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-
=
a
b
g
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=
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+
g
b
a
!
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!.
!
,
,
g
b
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g
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n
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1
(
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(
-
=
n
PC
n
n
n
PC
n
!
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(
=
n(E) 
P(A)
n(S) 
=
i
i
i
i
i
i
-
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=
=
3
2
1
0
1
 
 
1
 
 
z
2
2
b
a
+
sen 
sen 
cos 
cos 
sen 
(
)
.
.
b
a
b
a
b
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+
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+
cos 
cos 
cos 
sen 
sen 
(
)
.
.
b
a
b
a
b
a
+
=
-
tg 
tg 
tg 
tg 
tg 
(
)
.
a
b
a
b
a
b
+
=
+
-
1
sen 
sen 
cos 
cos 
sen 
(
)
.
.
b
a
b
a
b
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-
=
-
cos 
cos 
cos 
sen 
sen 
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)
.
.
b
a
b
a
b
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+
tg 
tg 
tg 
tg 
tg 
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a
b
a
b
a
b
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-
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1
d
A
B
x
x
y
y
B
A
B
A
(
,
)
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)
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)
=
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+
-
2
2
x
x
x
M
A
B
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2
y
y
y
M
A
B
=
+
2
x
x
x
x
G
A
B
C
=
+
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3
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y
y
y
G
A
B
C
=
+
+
3
A
D
=
×
1
2
|
|
D
x
y
x
y
x
y
A
A
B
B
C
C
=
 
 
1
1
1
 
 
x
y
x
y
x
y
A
A
B
B
1
1
1
0
=