Movimento de 2 partículas e Força Central

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
MOVIMENTO DE DUAS PARTÍCULAS E FORÇA 
CENTRAL 
 
Interação entre duas partículas; 
vemos que numa interação como essa, entre duas 
partículas, tem uma força de atração entre elas, ou 
seja, 
�⃗�12 = 𝑚1. �̈�1 �⃗�21 = 𝑚2. �̈�2 
Pesando no Centro de Massa, 
�⃗�12 + �⃗�21 = 𝑚1. �̈�1 + 𝑚2. �̈�2 
Derivando em relação a t: 
(𝑚1 + 𝑚2). �̇⃗⃗� = 𝑚1. �̇�1 + 𝑚2. �̇�2 = 𝑝1 + 𝑝2 = �⃗⃗� 
�⃗⃗� = (𝑚1 + 𝑚2). �̇⃗⃗� 
Observações: 
- �⃗⃗� é o Momento Linear - constante; 
- Não temos forças externas agindo no sistema; 
- A velocidade é uniforme; 
 
Centro de Massa 
�⃗⃗� =
𝑚1. 𝑟1 + 𝑚2. 𝑟2
𝑚1 + 𝑚2
 
 
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Fazendo algumas manipulações algébricas, temos, 
(�⃗�12 = 𝑚1. �̈�1) x 𝑚2 𝑚2. �⃗�12 = 𝑚1. 𝑚2. �̈�1 
(�⃗�21 = 𝑚2. �̈�2) x 𝑚1 𝑚1. �⃗�21 = 𝑚1. 𝑚2. �̈�2 
Subtraindo o sistema; 
𝑚1. 𝑚2. ( �̈�1 − �̈�2) = 𝑚2. �⃗�12 − 𝑚1. �⃗�21 
�⃗�21 = −�⃗�12 = �⃗� 
𝑚1. 𝑚2. ( �̈�1 − �̈�2) = (𝑚2 + 𝑚1). �⃗� 
Massa reduzida: 
𝜇 =
𝑚1. 𝑚2
𝑚2 + 𝑚1
 
Ou seja, 
�⃗� = 𝜇. ( �̈�1 − �̈�2) 
𝑟1 − 𝑟2 = 𝑟 
Substituindo 𝑟 no centro de massa, teremos, 
𝑟1 = �⃗⃗� +
𝑚2
𝑚2 + 𝑚1
𝑟 
𝑟2 = �⃗⃗� −
𝑚1
𝑚1 − 𝑚2
𝑟 
Duas partículas que se interagem: 
- Velocidade no Centro de Massa: �⃗⃗� = (𝑚1 + 𝑚2). �̇⃗⃗� é constante; 
- Descreve o movimento das duas partículas como se fosse uma única: 
�⃗� = 𝜇. �̈� 
 
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- Encontra-se o movimento de cada partícula, 𝑟1 e 𝑟2. 
 
Caso especial 
O movimento de um planeta em torno do Sol. 𝑚2 ≫ 𝑚1 
Massa reduzida: 𝜇 ≅ 𝑚1 𝑚1. �̈� = �⃗� 
Se 𝑟2 = �⃗⃗� −
𝑚1
𝑚1−𝑚2
𝑟 𝑟2 ≈ �⃗⃗� 
Torque: 𝜏 = 𝑟 𝑥 �⃗� |𝜏| = 𝑟𝐹. 𝑠𝑒𝑛𝜃 
Momento Angular (L): �⃗⃗� = 𝑟 𝑥 𝑝 = 𝑚. 𝑟 𝑥 𝑣 |𝐿| = 𝑚𝑟𝑣. 𝑠𝑒𝑛𝜃 
�⃗⃗� =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 𝑥 𝑝) �⃗⃗� =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= �̇� 𝑥 𝑝 + 𝑟 𝑥 �̇� se �̇� 𝑥 𝑝 = 0 e 𝑟 𝑥 �̇� = 𝜏 
�⃗⃗� ⊥ 𝑟 𝑒 𝑣 
➔ Se o torque for nulo – o momento angular se conserva. 
 
FORÇA CENTRAL 
Exemplos de Força Central são, Força Gravitacional e Força de Coulomb 
�⃗�(𝑟) = 𝐹(𝑟)�̂� = 𝐹(𝑟)
𝑟
𝑟
 
1º - conservação do Momento Angular (�⃗⃗�) 
�⃗⃗� =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝑟 𝑥 𝐹(𝑟)
𝑟
𝑟
= 0 
Ou seja, o momento angular se conserva, 𝑣 e 𝑟 estão no plano com 
orientação fixa. 
 
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Momento Angular em Coordenadas Polares; 
�⃗⃗� = 𝑚. 𝑟 𝑥 𝑣 �⃗⃗� = 𝑚. 𝑟2. �̇�. �̂� �̂� = �̂� 𝑥 𝜃 
Energia Cinética (T); 
𝑇 = 𝐸𝑐 =
1
2
𝑚. 𝑣2 𝑇 =
1
2
𝑚. �̇�2 +
1
2
𝑚. 𝑟2. �̇�2 
substituindo �⃗⃗� escrito em coordenadas polares, 
�⃗⃗�2 = 𝑚2. 𝑟4. �̇�2 �̇�2 =
�⃗⃗�2
𝑚2.𝑟4
 
𝑇 =
1
2
𝑚. �̇�2 +
1
2
𝑚. 𝑟2.
�⃗⃗�2
𝑚2. 𝑟4
 
𝑇 =
1
2
𝑚. �̇�2 +
�⃗⃗�2
2𝑚. 𝑟2
 
*o primeiro termo diz o movimento radial das partículas e o segundo termo 
diz o movimento angular. 
Energia Mecânica (E); 
𝐸0 = 𝑇 + 𝑉(𝑟) 
𝐸0 =
1
2
𝑚. �̇�2 +
�⃗⃗�2
2𝑚. 𝑟2
+ 𝑉(𝑟) 
Nesta situação de Força Central para duas partículas, já vimos que não há 
presença de força externa, ou seja, a Energia Mecânica se conserva, para 
isso, vamos provar – a derivada da Energia Mecânica tem que ser igual a 
zero; 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
[
1
2
𝑚. �̇�2 +
�⃗⃗�2
2𝑚. 𝑟2
+ 𝑉(𝑟)] = 0 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0 
 
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𝐹(𝑟) = −∇𝑉(𝑟) = −
𝑑𝑉
𝑑𝑟
�̂� = −
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 
𝐸0 – é constante – se conserva. 
Potencial Efetivo (Vef) – só depende da posição da partícula. 
𝑉𝑒𝑓 =
�⃗⃗�2
2𝑚. 𝑟2
+ 𝑉(𝑟) 
Equação da Trajetória; 
�⃗�(𝑟) = 𝑚. (�̈� − 𝑟. �̇�2) 
mudança de variável, 
𝑟(𝜃, 𝑡) =
1
𝜇(𝜃,𝑡)
 �̇� =
1
𝜇2
.
𝑑𝜇(𝜃,𝑡)
𝑑𝑡
=
1
𝜇2
.
𝑑𝜇(𝜃,𝑡)
𝑑𝑡
�̇� = 𝑟2. �̇�.
𝑑𝑉
𝑑𝜃
= −
𝐿
𝑚
.
𝑑𝑉
𝑑𝜃
 
�̈� = −
𝐿2
𝑚2
. 𝜇2
𝑑2𝜇
𝑑𝜃2
 
substituindo, temos: 
�⃗� (
1
𝜇
) = 𝑚. (−
𝐿2
𝑚2
. 𝜇2
𝑑2𝜇
𝑑𝜃2
− 𝑟. �̇�2) 
𝑑2𝜇
𝑑𝜃2
+ 𝜇 = −
𝑚
𝐿2. 𝜇2
�⃗� (
1
𝜇
) 
Portanto, esta é a equação da trajetória para duas partículas no caso de 
Força Central. 
 
 
 
Espero ter ajudado