Sistema de Equações do 1º e do 2º Grau

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Sistema de Equações do 1º e do 2º Grau 
Um sistema de equações é formado por duas ou mais expressões, no qual o número de 
equações deve ser igual ao número de variáveis. Por exemplo, se uma das funções 
possui três variáveis: x, y e z, devemos ter três equações para que o sistema permita 
possíveis soluções dentro dos números reais. 
O sistema pode ser formado por diferentes tipos de equações. Vamos abordar os 
sistemas envolvendo equações do 1º e do 2º grau. O método de resolução, nesses casos, 
é o da substituição. Observe: 
Exemplo 1 
 
 
Isolando y na 2ª equação: 
y – 2x = 0 
y = 2x 
Substituindo o valor de y na 1ª equação: 
y – x² = 2 
2x – x² = 2 
–x² + 2x – 2 = 0 
x² – 2x + 2 = 0 
Resolver a equação do 2º grau utilizando Bháskara: 
a = 1, b = 2 e c = 2 
∆ = b² – 4ac 
∆ = 2² – 4 * 1 * 2 
∆ = 4 – 8 
∆ = – 4 
Nesse caso, a equação não possui raízes reais e, dessa forma, não existe ponto em 
comum entre as equações y – x² = 2 e y – 2x = 0. Observe o gráfico referente a elas: 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Isolando y na 1ª equação: 
y – 2x = 0 
y = 2x 
Substituindo o valor de y na 2ª equação: 
y – x² = 1 
2x – x² = 1 
–x² + 2x – 1 = 0 
Resolver a equação do 2º grau utilizando Bháskara: 
a = –1, b = 2 e c = – 1 
∆ = 2² – 4*(–1)*(–1) 
∆ = 4 – 4 
∆ = 0 
 
 
Calculando o valor de y: 
y = 2x 
y = 2 * 1 
y = 2 
A solução do sistema é o par ordenado (1, 2), no qual x = 1 e y = 2. Isso indica que, em 
uma situação gráfica, a reta representativa da equação do 1º grau intercepta a parábola 
representativa da equação do 2º grau. Veja o gráfico representativo das equações y – 2x 
= 0 e y – x² = 1: 
 
 
 Exemplo 3 
 
 
Isolando y na 1ª equação: 
y – x = 0 
y = x 
Substituindo o valor de y na 2ª equação: 
y – x² = – 2 
x – x² = – 2 
–x² + x + 2 = 0 
Resolver a equação do 2º grau utilizando Bháskara: 
a = –1, b = 1 e c = 2 
∆ = b² – 4ac 
∆ = 1² – 4 *(–1) * 2 
∆ = 1 + 8 
∆ = 9 
 
 
 
Calculando o valor de y, de acordo com y = x: 
Quando x = –1, y = –1. 
Quando x = 2, y = 2. 
 
A solução do sistema são os pares ordenados (–1, –1) e (2, 2). Nessa situação, as 
equações y – x = 0 e y – x² = –2 possuem dois pontos em comum. Observe o gráfico: 
 
 
Por Marcos Noé 
Graduado em Matemática 
Equipe Brasil Escola