MAE0311-2021-Lista2

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MAE 311 - Inferência Estatística
2a. Lista de Exercícios - 2o. Semestre de 2021
1. Um vetor aleatórioX ′ = (X1, . . . , Xp) tem distribuição Normal p-variada
se sua função densidade de probabilidades é dada por
fX(x | µ,Σ) =
1
(2π)p/2|Σ|1/2
exp
{
− 1
2
(x− µ)′Σ−1(x− µ)
}
, (1)
com x,µ ∈ Rp, µ um vetor cujos elementos são dados por E(Xj) = µj ,
j = 1, . . . , p, e Σ uma matriz simétrica, positiva de�nida cujo elemento
(i, j) é dado pela Cov(Xi, Xj), 1 ≤ i, j ≤ p.
(a) Mostre que, para p = 2, a expressão (1) é dada por
f(x | µ,Σ) = 1
2πσ1σ2
√
1− ρ2
exp
{
− 1
2(1− ρ2)
[(x1 − µ1
σ1
)2
− 2ρ
(x1 − µ1
σ1
)(x2 − µ2
σ2
)
+
(x2 − µ2
σ2
)2]}
,
em que µi = E(Xi), σ2i = Var(Xi), i = 1, 2 e ρ = Cov(X1, X2)/(σ1σ2).
(b) Supondo p = 1 em (1) com µ e σ desconhecidos, foi tomada uma
amostra aleatória X1, . . . , Xn. Mostre com detalhes que a função de
verossimilhança correspondente pode ser escrita como
L(µ, σ) =
1
(2πσ2)n/2
exp
{
− 1
2
n∑
i=1
(xi − x
σ
)2
− n
2
(x− µ
σ
)2}
,
o que facilita a obtenção de estatísticas su�cientes pelo critério da
fatoração de Fisher-Neyman.
1
2. Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatória de X . Para as densidades a seguir,
encontre uma estatística su�ciente usando o critério da fatoração de
Fisher-Neyman. Explicite o espaço paramétrico em cada situação.
(a) X ∼ N(µ, σ2), µ ∈ R conhecido, σ2 > 0.
(b) X ∼ Unif[θ − 1/2, θ + 1/2], θ > 0.
(c) f(x; θ) = e−(x−θ)I(θ,+∞)(x), θ > 0
(d) f(x; θ) = [log(θ)/(θ − 1)]θxI(0,1)(x), θ > 1
(e) f(x; θ) = e−(x−θ) exp(−e−(x−θ))I(−∞,+∞)(x), θ ∈ R
3. Veri�que em quais das situações do exercício anterior a distribuição de X
pertence à família exponencial.
4. Seja X1, X2, . . . , Xn a.a. de X ∼ N(θ, θ2), θ ∈ R, desconhecido. Mostre que
a família de distribuições de X faz parte da família exponencial. Encontre
uma estatística su�ciente para θ.
5. Supondo uma amostra aleatória (X1, . . . , Xn) de uma população X ∼
Exp(λ), mostre pela de�nição (isto é, sem usar o critério da fatoração) que
a estatística T =
∑n
i=1Xi é su�ciente para θ.
6. Suponha X1, X2, X3 uma amostra aleatória de X ∼ Bernoulli(θ), 0 < θ < 1.
Usando a de�nição de su�ciência (isto é, sem considerar o critério da
fatoração de Fisher-Neyman), mostre que a estatística T = X1 + 2X2 +X3
não é su�ciente para θ.
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