Análise_de_sensibilidade

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PESQUISA OPERACIONAL I 
 
Crédito do conteúdo desta nota de aula: Prof. José Gomes de Carvalho Júnior 
 
 
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 
Analisando a solução ótima 
O método SIMPLEX encontra a solução ótima de um sistema que possua soluções 
praticáveis caminhando sobre os vértices (soluções praticáveis) adjacentes do espaço de solução a 
partir de uma solução inicial. Entretanto, o sistema de equações em si deriva da análise de uma 
situação que envolve vários parâmetros observados, que nem sempre são 100% exatos. Ou seja, 
pode ser que haja alterações nos coeficientes da função objetivo, nos coeficientes das restrições ou 
nos valores do lado direito das equações derivadas das restrições. Nestes casos, após a obtenção da 
solução ótima, será que essa solução continuaria sendo ótima? Ou seja, qual é a sensibilidade da 
solução ótima à variação de cada um desses parâmetros? A esse estudo é que chamamos Análise 
Depois do Ótimo. 
Como sempre, vejamos o processo a partir de um exemplo: 
Uma empresa produz 3 produtos em uma de suas fábricas. Na fabricação dos 3 produtos, 3 
insumos são críticos em termos de restringir a capacidade de produção: a mão de obra disponível, a 
quantidade de matéria prima e o espaço para armazenamento. Para o próximo mês, a fábrica terá 
disponíveis 100 kg de matéria prima, 360 m2 de área para estocar as unidades produzidas e 400 
homens/hora de mão de obra. 
Cada unidade do produto 1 consome 1 kg de matéria prima, precisa de 6 m2 para ser 
armazenada e de 8 homens/hora de mão de obra. Cada unidade do produto 2 consome 2 kg de 
matéria prima, necessita também de 6 m2 para ser armazenada e envolve o uso de 4 homens/hora. Já 
as unidades do produto 3 precisam de 2 kg de matéria prima, 4 m2 para serem armazenadas e do 
trabalho de 4 homens/hora. 
Foi determinado que o lucro unitário é de $4 para o produto 1, $5 para o produto 2 e $3 para 
o produto 3. 
Levando-se em conta que o objetivo da empresa é maximizar o lucro com a produção e a 
venda dos 3 produtos foi formulado o seguinte modelo de P.Linear visando determinar as 
quantidades que deveriam ser fabricadas de cada produto no próximo mês: 
Variáveis de decisão: quantidades de cada produto (xi) 
Função objetivo: (MAX) Z = 4 x1 + 5 x2 + 3 x3 
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Restrições: 
x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 100 (matéria prima) 
6 x1 + 6 x2 + 4 x3 ≤ 360 (espaço de armazenamento) 
8 x1 + 4 x2 + 4 x3 ≤ 400 (mão de obra) 
x1 , x2 e x3 ≥ 0 (quantidades positivas) 
Aplicando o SIMPLEX teremos a seguinte solução inicial (I): 
(1) Z - 4 x1 - 5 x2 - 3 x3 = 0 
(2) x1 + 2 x2 + 2 x3 + F1 = 100 
(3) 6 x1 + 6 x2 + 4 x3 + F2 = 360 
(4) 8 x1 + 4 x2 + 4 x3 + F3 = 400 
Variável entrante: x2 
Variável Sainte: F1 
 
Fazendo as manipulações, a nova solução básica será: 
(1) Z – 3x1/2 + 2 x3 + 5F1/2 = 250 
(2) x1/2 + x2 + x3 + F1/2 = 50 
(3) 3 x1 - 2 x3 – 3 F1 + F2 = 60 
(4) 6 x1 – F1 + F3 = 200 
Variável entrante: x1 
Variável Sainte: F2 
 
Continuando com o SIMPLEX teremos a seguinte solução final (F): 
(1) Z + x3 + F1 + F2/2 = 280 
(2) x2 + 4x3/3 + F1 – F2/6 = 40 
(3) x1 - 2 x3/3 – F1 + F2/3 = 20 
(4) 4 x3 + 4F1 – 2F2 + F3 = 80 
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Análise depois do ótimo 
Como dissemos, os parâmetros do modelo podem ser simples estimativas sujeitas a 
variações. Vamos começar analisando a sensibilidade da solução ótima encontrada, à variação dos 
coeficientes da função objetivo. Primeiramente faremos a análise para o coeficiente de uma variável 
não básica (x3, neste caso). 
 
Sensibilidade a coeficientes de variáveis não básicas 
Vamos analisar se a solução (F) continua sendo a ótima quando o coeficiente de x3 na 
função objetivo for menor que 3. 
Ora, se um lucro igual a 3 não foi suficiente para tirar x3 de zero, um lucro menor, menos 
ainda. 
Mas e se o coeficiente de x3 for maior que 3, a solução (F) continua sendo a ótima? Para 
responder a esta pergunta podemos imaginar um coeficiente, para x3, maior que 3 na solução inicial 
e, baseando-nos nas propriedades dos sistemas de equações lineares, calcular como ficaria a 
equação de Z no sistema ótimo. 
Tomemos então 3 + ∆ como coeficiente de x3 , onde ∆ ≥ 0. Temos: 
(1)I Z - 4 x1 - 5 x2 - 3 x3 = 0 ⇒ (1)I Z - 4 x1 - 5 x2 - 3 x3 - ∆ x3 = 0 
Chamando (- ∆ x3) ≡ k, temos: 
(1)I Z - 4 x1 - 5 x2 - 3 x3 + k = 0 
Como o método do SIMPLEX manipula a função objetivo somando a ela combinações 
lineares de outras equações, nas quais k não aparece, ao final teríamos: 
(1)F Z + x3 + k + F1 + F2/2 = 280 
Substituindo pelo valor de k = (- ∆ x3), teremos: 
(1)F Z + x3 - ∆ x3 + F1 + F2/2 = 280 ∴ 
(1)F Z + (1-∆) x3 + F1 + F2/2 = 280 
Para esta solução continuar sendo ótima, o coeficiente de x3 tem que ser positivo, ou seja, 
(1-∆) ≥ 0 ∴ ∆ ≤ 1 
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Assim, quando ∆ > 1 a solução deixa de ser ótima, pois x3 passa a ser candidata a variável 
entrante, por ser positiva. 
 
Valores Limite 
Os valores limite Lower Limit e Upper Limit para os parâmetros de um modelo são os que 
definem um intervalo de variação em que não há “alteração da solução ótima”. Ou seja, não há 
alteração no time de variáveis básicas e não básicas. 
Por exemplo, se [LL;UL] = [2; 12], isto significa que neste intervalo fechado, o time de 
variáveis básicas (e não básicas) não se altera podendo, no entanto, se alterar o valor numérico 
delas. 
No caso anterior, o valor do coeficiente de x3 pode variar no intervalo [0;3+∆] = [0;4]. LL=0 
porque é um lucro não negativo. 
Sensibilidade a coeficientes de variáveis básicas 
Mas, quais são os limites do coeficiente de x1 na função objetivo? 
Vamos supor que o coeficiente de x1 original seja 4 + ∆. 
(1)I Z – (4+∆) x1 - 5 x2 - 3 x3 = 0 ⇒ Z – 4 x1 – ∆ x1 - 5 x2 - 3 x3 = 0 
Chamando (- ∆ x1) ≡ k, temos: 
(1)I Z - 4 x1 - 5 x2 - 3 x3 + k = 0 
Como o método do SIMPLEX manipula a função objetivo somando a ela combinações 
lineares de outras equações, nas quais k não aparece, ao final teríamos: 
(1)F Z + x3 + k + F1 + F2/2 = 280 
Substituindo pelo valor de k = (- ∆ x1), teremos: 
(1)F Z + x3 - ∆ x1 + F1 + F2/2 = 280 
Agora, como x1 é variável básica, temos que eliminá-la da equação (1). Para isto 
multiplicamos a equação (3), que é onde x1 aparece como básica na solução (F), por ∆ e somamos à 
equação (1): 
(
1)F 
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Para garantir que a solução (F) continua sendo a ótima, temos que ter todos os coeficientes ≥ 
0, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, os valores válidos para ∆ são: 
 
e o intervalo para o coeficiente de x1 é: 
 
Exercício: calcule os limites para o coeficiente de x2 
 
Sensibilidade aos valores do lado direito 
Depois de analisarmos a sensibilidade da solução aos coeficientes da função objetivo, vamos 
avaliar a sensibilidade aos coeficientes independentes que aparecem do lado direito das restrições. 
No problema anterior, peguemos a 3ª restrição: 
8 x1 + 4 x2 + 4 x3 ≤ 400 (mão de obra) 
Vamos supor que a constante do lado direito seja 400 + ∆, onde ∆ é um valor qualquer. 
Teremos então a equação: 
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(4)I 8x1 + 4x2 + 4x3 + F3 = 400 + ∆ 
Como F3 e ∆ aparecem somente nessa equação e com o mesmo coeficiente, todas as 
manipulações que forem feitas durante a aplicação do SIMPLEX com essa equação, redundarão nos 
mesmos coeficientes finais de F3 e ∆. Assim, ao final teremos: 
(4)F 4 x3 + 4F1 – 2F2 + F3 = 80 + ∆ 
Nessa equação da solução final, apenas F3 é variável não básica. Mas, para que a solução 
seja praticável, temos que ter as variáveis não básicas maiores ou iguais a zero. Ou seja, F3 ≥ 0 ∴ 
80 + ∆ ≥ 0 
⇒ ∆ ≥ -80 Logo, para a constante do lado direito da 3a restrição temos: [400 − 80; 400 +∞] 
⇒ [320;∞] 
De fato, F3 representa a folga da mão de obra, que na solução final é 80. Naturalmente que 
aumentar a folga não prejudica a solução ótima. Já diminuí-la, somente não prejudica se o valor for 
≥ -80. 
Façamos a análise para a 1ª restrição: x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 100 
(2)I x1 + 2 x2 + 2 x3 + F1 = 100 + ∆ Pelo mesmo motivo do caso anterior, ao final teremos: 
(1)F Z + x3 + F1 + F2/2 = 280 + ∆ 
(2)F x2 + 4x3/3 + F1 – F2/6 = 40 + ∆ 
(3)F x1 - 2 x3/3 – F1 + F2/3 = 20 - ∆ 
(4)F 4x3 + 4F1 – 2F2 + F3 = 80 + 4∆ 
Para a solução continuar praticável, todas as constantes do lado direito, exceto na função 
objetivo, devem ser ≥ 0. Assim: 
 40 + ∆ ≥ 0 ∴ ∆ ≥ -40 
 20 - ∆ ≥ 0 ∴ ∆ ≤ 20 
 80 + 4∆ ≥ 0 ∴ ∆ ≥ -20 
⇒ -20 ≤ ∆ ≤ 20 ⇒ na 1a restrição: [100−20; 100+20] ⇒ [80;120] 
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Assim, se quantidade de matéria prima estiver entre 80 e 120 kg, o time de variáveis básicas 
ótimas e conseqüentemente o de variáveis não básicas, será o mesmo encontrado na solução (F). 
Mas, como dissemos anteriormente, isso não significa que o valor da solução fica inalterado. 
Por exemplo, usando ∆ = 10, ou seja se tivermos 110 kg de matéria prima, o valor numérico ótimo 
das variáveis básicas vai ser: 
(1)F Z + x3 + F1 + F2/2 = 280 + 10 ∴ Z = 290 
(2)F x2 + 4x3/3 + F1 – F2/6 = 40 + 10 ∴ x2 = 50 
(3)F x1 - 2 x3/3 – F1 + F2/3 = 20 - 10 ∴ x2 = 10 
(4)F 4x3 + 4F1 – 2F2 + F3 = 80 + 4∆ ∴ F3 = 120 
Ou seja, o conceito de upper e lower limit implica apenas na não alteração do time de 
variáveis básicas (e não básicas), que caracteriza que a solução ótima permaneceu a mesma, mesmo 
tendo alterado o seu valor numérico. 
Exercício: Ache os limites da constante direita da 2ª restrição. 
Resposta: [300; 400]