Exercícios de Módulos e Desigualdades

Prévia do material em texto

Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
MEC & LEGM – 1oSEM. 2009/10
1a FICHA DE EXERCI´CIOS
I. Mo´dulos e desigualdades
1. Mostre que:
1.1. {x ∈ R : |x + 2| = 3} = {−5, 1}
1.2. {x ∈ R : |x + 2| ≤ 1} = [−3,−1]
1.3. {x ∈ R : |3− x| > 2} = ]−∞, 1[ ∪ ]5,+∞[
1.4. {x ∈ R : 2 < |x| < 3} = ]−3,−2[ ∪ ]2, 3[
1.5. {x ∈ R : 3 < 2|x− 1| ≤ 5} = [−3
2
,−1
2
[ ∪ ]5
2
, 7
2
]
1.6. {x ∈ R : |x− 3| > 2 ∧ x ≥ 0} = [0, 1[ ∪ ]5,+∞[
1.7. {x ∈ R : |x + 2| ≤ 3 ∧ x + 1 > 0} = ]−1, 1]
1.8. {x ∈ R : |3− 4x| < 1} = ]1
2
, 1
[
1.9. {x ∈ R : |4x + 3| > 1} = ]−∞,−1[ ∪ ]−1
2
,+∞[
1.10. {x ∈ R : |5− 3x| ≤ 2} = [1, 7
3
]
1.11. {x ∈ R : |5 + 3x| ≥ 2} = ]−∞,−7
3
] ∪ [−1,+∞[
1.12. {x ∈ R : |4x + 1| > 5} = ]−∞,−3
2
[ ∪ ]1,+∞[
1.13. {x ∈ R : |1− 4x| < 5} = ]−1, 3
2
[
1.14. {x ∈ R : |5x + 2| ≥ 3} = ]−∞,−1] ∪ [1
5
,+∞[
1.15. {x ∈ R : |2− 5x| ≤ 3} = [−1
5
, 1
]
1.16. {x ∈ R : |3x− 4| ≤ 1} = [1, 5
3
]
1.17. {x ∈ R : |3x + 4| ≥ 1} = ]−∞,−5
3
] ∪ [−1,+∞[
1.18. {x ∈ R : |2x + 3| > 5} = ]−∞,−4[ ∪ ]1,+∞[
1.19. {x ∈ R : |3− 2x| < 5} = ]−1, 4[
1.20. {x ∈ R : |2− 3x| < 1} = ]1
3
, 1
[
1.21. {x ∈ R : |2 + 3x| > 1} = ]−∞,−1[ ∪ ]−1
3
,+∞[
1.22. {x ∈ R : |5x− 4| ≤ 1} = [3
5
, 1
]
1.23. {x ∈ R : |5x + 4| ≥ 1} = ]−∞,−1] ∪ [−3
5
,+∞[
1.24. {x ∈ R : |5− 2x| < 1} = ]2, 3[
1.25. {x ∈ R : |2x + 5| > 1} = ]−∞,−3[ ∪ ]−2,+∞[
1.26. {x ∈ R : |5− 6x| ≤ 1} = [2
3
, 1
]
1.27. {x ∈ R : |6x− 5| > 1} = ]−∞, 2
3
[ ∪ ]1,+∞[
1.28. {x ∈ R : |9− 2x| < 1} = ]4, 5[
1.29. {x ∈ R : |2x− 9| ≥ 1} = ]−∞, 4] ∪ [5,+∞[
1.30. {x ∈ R : |4− 3x| < 8} = ]−4
3
, 4
[
1.31. {x ∈ R : |3x− 4| ≥ 8} = ]−∞,−4
3
] ∪ [4,+∞[
1.32. {x ∈ R : |3− 4x| ≤ 7} = [−1, 5
2
]
1.33. {x ∈ R : |4x− 3| > 7} = ]−∞,−1[ ∪ ]5
2
,+∞[
1.34. {x ∈ R : |7− 2x| ≤ 1} = [3, 4]
1.35. {x ∈ R : |2x− 7| > 1} = ]−∞, 3[ ∪ ]4,+∞[
1.36. {x ∈ R : |5− 2x| < 9} = ]−2, 7[
1.37. {x ∈ R : |2x− 5| ≥ 9} = ]−∞,−2] ∪ [7,+∞[
1.38. {x ∈ R : |5− 3x| < 1} = ]4
3
, 2
[
1.39. {x ∈ R : |3x− 5| ≥ 1} = ]−∞, 4
3
] ∪ [2,+∞[
1.40. {x ∈ R : 2 < 3|x + 1| ≤ 5} = [−8
3
,−5
3
[ ∪ ]−1
3
, 2
3
]
1
2 CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1
2. Mostre que:
2.1. {x ∈ R : |3− 2x| ≥ |x + 2|} = ]−∞, 1
3
] ∪ [5,+∞[
2.2. {x ∈ R : |x| = |x− 2|} = {1}
2.3. {x ∈ R : |x| ≤ |x− 2|} = ]−∞, 1]
2.4. {x ∈ R : |2x− 5| ≥ |1− x|} = ]−∞, 2] ∪ [4,+∞[
2.5. {x ∈ R : |6x− 5| < |1− 8x|} = ]−∞,−2[ ∪ ]3
7
,+∞[
2.6. {x ∈ R : |5− 6x| ≥ |8x− 1|} = [−2, 3
7
]
2.7. {x ∈ R : |2x− 9| < |1− 8x|} = ]−∞,−4
3
[ ∪ ]1,+∞[
2.8. {x ∈ R : |9− 2x| ≥ |8x− 1|} = [−4
3
, 1
]
2.9. {x ∈ R : |3x− 4| ≤ |8− 9x|} = ]−∞, 2
3
] ∪ [1,+∞[
2.10. {x ∈ R : |4− 3x| > |9x− 8|} = ]2
3
, 1
[
2.11. {x ∈ R : |4x− 3| < |7− 6x|} = ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[
2.12. {x ∈ R : |3− 4x| ≥ |6x− 7|} = [1, 2]
2.13. {x ∈ R : |2x− 7| < |1− 6x|} = ]−∞,−3
2
[ ∪ ]1,+∞[
2.14. {x ∈ R : |7− 2x| ≥ |6x− 1|} = [−3
2
, 1
]
2.15. {x ∈ R : |2x− 5| ≤ |9− 4x|} = ]−∞, 2] ∪ [7
3
,+∞[
2.16. {x ∈ R : |5− 2x| > |4x− 9|} = ]2, 7
3
[
2.17. {x ∈ R : |3x− 5| ≤ |1− 4x|} = ]−∞,−4] ∪ [6
7
,+∞[
2.18. {x ∈ R : |5− 3x| > |4x− 1|} = ]−4, 6
7
[
2.19. {x ∈ R : 3|2− x| ≤ |x|} = [3
2
, 3
]
2.20. {x ∈ R : 3|x− 2| > |x|} = ]−∞, 3
2
[ ∪ ]3,+∞[
2.21. {x ∈ R : |4x− 9| ≥ |6− x|} = ]−∞, 1] ∪ [3,+∞[
2.22. {x ∈ R : |9− 4x| < |6− x|} = ]1, 3[
2.23. {x ∈ R : |3x + 4| ≤ |x + 8|} = [−3, 2]
2.24. {x ∈ R : |3x + 4| > |x + 8|} = ]−∞,−3[ ∪ ]2,+∞[
2.25. {x ∈ R : |5x− 2| ≥ |x + 2|} = ]−∞, 0] ∪ [1,+∞[
2.26. {x ∈ R : |2− 5x| < |x + 2|} = ]0, 1[
2.27. {x ∈ R : |7− 4x| ≤ |2x + 1|} = [1, 4]
2.28. {x ∈ R : |4x− 7| > |2x + 1|} = ]−∞, 1[ ∪ ]4,+∞[
2.29. {x ∈ R : |5x− 4| ≥ |x + 4|} = ]−∞, 0] ∪ [2,+∞[
2.30. {x ∈ R : |4− 5x| < |x + 4|} = ]0, 2[
2.31. {x ∈ R : |7− 2x| ≤ |x + 1|} = [2, 8]
2.32. {x ∈ R : |2x− 7| > |x + 1|} = ]−∞, 2[ ∪ ]8,+∞[
2.33. {x ∈ R : |5− 2x| < |x− 1|} = ]2, 4[
2.34. {x ∈ R : |2− x| ≥ |3 + 2x|} = [−5,−1
3
]
2.35. {x ∈ R : |3− 5x| < |7x− 6|} = ]−∞, 3
4
[ ∪ ]3
2
,+∞[
2.36. {x ∈ R : |5x− 3| ≥ |6− 7x|} = [3
4
, 3
2
]
2.37. {x ∈ R : |3x− 2| > |4− 9x|} = ]1
3
, 1
2
[
2.38. {x ∈ R : |2− 3x| ≤ |9x− 4|} = ]−∞, 1
3
] ∪ [1
2
,+∞[
2.39. {x ∈ R : |2x− 5| > |4− x|} = ]−∞, 1[ ∪ ]3,+∞[
2.40. {x ∈ R : |5− 2x| ≤ |x− 4|} = [1, 3]
CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1 3
3. Mostre que:
3.1. {x ∈ R : 4 < x2 < 9} = ]−3,−2[ ∪ ]2, 3[
3.2. {x ∈ R : 9 ≤ (x− 1)2 < 25} = ]−4,−2] ∪ [4, 6[
3.3. {x ∈ R : x2 − 1 > 0 ∧ x− 3 ≤ 0} = ]−∞,−1[ ∪ ]1, 3]
3.4. {x ∈ R : x2 − 4 ≤ 0 ∧ x + 1 > 0} = ]−1, 2]
3.5. {x ∈ R : x2 − 2x− 3 ≥ 0} = ]−∞,−1] ∪ [3,+∞[
3.6. {x ∈ R : 2− x− x2 > 0} = ]−2, 1[
3.7. {x ∈ R : |x2 − 2| ≤ 1} = [−√3,−1] ∪ [1,√3]
3.8. {x ∈ R : |3− 2x + x2| = 5} = {1−√3, 1 +√3}
3.9. {x ∈ R : |3− 2x + x2| < 5} = ]1−√3, 1 +√3[
3.10. {x ∈ R : |15 + 2x− x2| ≥ 9} = ]−∞,−4] ∪ [1−√7, 1 +√7] ∪ [6,+∞[
3.11. {x ∈ R : |x2 + 2x− 15| < 9} = ]−6,−1−√7[ ∪ ]−1 +√7, 4[
3.12. {x ∈ R : |4x− 3x2| > 1} =
]
−∞, 2−
√
7
3
[
∪ ]1
3
, 1
[ ∪ ]2+√7
3
,+∞
[
3.13. {x ∈ R : |3x2 + 4x| ≤ 1} =
[
−2−√7
3
,−1
]
∪
[
−1
3
, −2+
√
7
3
]
3.14. {x ∈ R : |3x2 − 5x + 1| ≥ 1} = ]−∞, 0] ∪ [2
3
, 1
] ∪ [5
3
,+∞[
3.15. {x ∈ R : |3x2 + 5x + 1| < 1} = ]−5
3
,−1[ ∪ ]−2
3
, 0
[
3.16. {x ∈ R : |x2 + 4x− 3| > 2} = ]−∞,−5[ ∪ ]−2−√5,−2 +√5[ ∪ ]1,+∞[
3.17. {x ∈ R : |3 + 4x− x2| ≤ 2} = [−1, 2−√5] ∪ [2 +√5, 5]
3.18. {x ∈ R : |2x2 − 5x| ≥ 3} = ]−∞,−1
2
] ∪ [1, 3
2
] ∪ [3,+∞[
3.19. {x ∈ R : |2x2 + 5x| < 3} = ]−3,−3
2
[ ∪ ]−1, 1
2
[
3.20. {x ∈ R : |1 + 4x− 3x2| > 1} =
]
−∞, 2−
√
10
3
[
∪ ]0, 4
3
[ ∪ ]2+√10
3
,+∞
[
3.21. {x ∈ R : |3x2 + 4x− 1| ≤ 1} =
[
−2−√10
3
,−4
3
]
∪
[
0, −2+
√
10
3
]
3.22. {x ∈ R : |x2 + 3x− 2| ≥ 2} = ]−∞,−4] ∪ [−3, 0] ∪ [1,+∞[
3.23. {x ∈ R : |2 + 3x− x2| < 2} = ]−1, 0[ ∪ ]3, 4[
3.24. {x ∈ R : |x2 − 5x + 2| ≥ 2} = ]−∞, 0] ∪ [1, 4] ∪ [5,+∞[
3.25. {x ∈ R : |x2 + 5x + 2| < 2} = ]−5,−4[ ∪ ]−1, 0[
3.26. {x ∈ R : |2x2 − 3x− 1| > 1} = ]−∞,−1
2
[ ∪ ]0, 3
2
[ ∪ ]2,+∞[
3.27. {x ∈ R : |2x2 + 3x− 1| ≤ 1} = [−2,−3
2
] ∪ [0, 1
2
]
3.28. {x ∈ R : |2x2 + 4x− 3| > 3} = ]−∞,−3[ ∪ ]−2, 0[ ∪ ]1,+∞[
3.29. {x ∈ R : |3 + 4x− 2x2| ≤ 3} = [−1, 0] ∪ [2, 3]
3.30. {x ∈ R : |x2 + 3x− 7| ≥ 3} = ]−∞,−5] ∪ [−4, 1] ∪ [2,+∞[
3.31. {x ∈ R : |x2 − 3x− 7| < 3} = ]−2,−1[ ∪ ]4, 5[
3.32. {x ∈ R : |4− x− x2| ≥ 2} = ]−∞,−3] ∪ [−2, 1] ∪ [2,+∞[
3.33. {x ∈ R : |x2 − x− 4| < 2} = ]−2,−1[ ∪ ]2, 3[
3.34. {x ∈ R : |3x2 + 2x− 3| > 2} = ]−∞,−5
3
[ ∪ ]−1, 1
3
[ ∪ ]1,+∞[
3.35. {x ∈ R : |3 + 2x− 3x2| ≤ 2} = [−1,−1
3
] ∪ [1, 5
3
]
3.36.
{
x ∈ R : |5x2 + 4x− 1
2
| > 1
2
}
= ]−∞,−1[ ∪ ]−4
5
, 0
[ ∪ ]1
5
,+∞[
3.37.
{
x ∈ R : |5x2 − 4x− 1
2
| ≤ 1
2
}
=
[−1
5
, 0
] ∪ [4
5
, 1
]
3.38. {x ∈ R : |5x2 + 4x− 5| ≥ 4} = ]−∞,−9
5
] ∪ [−1, 1
5
] ∪ [1,+∞[
3.39. {x ∈ R : |5 + 4x− 5x2| < 4} = ]−1,−1
5
[ ∪ ]1, 9
5
[
4 CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1
4. Mostre que:
4.1. {x ∈ R : |x(x− 3)| = |1− 3x|} = {−1, 3− 2√2, 1, 3 + 2√2}
4.2. {x ∈ R : |x(x− 3)| > |1− 3x|} = ]−∞,−1[ ∪ ]3− 2√2, 1[ ∪ ]3 + 2√2,+∞[
4.3.
{
x ∈ R : |x2 + x| ≤ |x + 3
4
|} = [−3
2
, −
√
3
2
]
∪
[
−1
2
,
√
3
2
]
4.4.
{
x ∈ R : |x− x2| ≤ |x− 3
4
|} = [−√3
2
, 1
2
]
∪
[√
3
2
, 3
2
]
4.5. {x ∈ R : |3x + 4| > |x2 + 3x|} = ]−3−√5,−2[ ∪ ]−3 +√5, 2[
4.6. {x ∈ R : |4− 3x| > |3x− x2|} = ]−2, 3−√5[ ∪ ]2, 3 +√5[
4.7. {x ∈ R : |2x2 − 5x| ≤ |5x− 8|} = [−2, 1] ∪ [2, 4]
4.8. {x ∈ R : |2x2 + 5x| ≤ |5x + 8|} = [−4,−2] ∪ [−1, 2]
4.9. {x ∈ R : |2x− x2| < |1− 2x|} = ]−1, 2−√3[ ∪ ]1, 2 +√3[
4.10. {x ∈ R : |x2 + 2x| < |2x + 1|} = ]−2−√3,−1[ ∪ ]−2 +√3, 1[
4.11. {x ∈ R : |5x + 4| > |4x2 + 5x|} = ]−2,−1[ ∪ ]−1
2
, 1
[
4.12. {x ∈ R : |5x− 4| > |4x2 − 5x|} = ]−1, 1
2
[ ∪ ]1, 2[
4.13. {x ∈ R : |3− 2x| ≥ |2x− x2|} = [−√3, 1] ∪ [√3, 3]
4.14. {x ∈ R : |2x + 3| ≥ |x2 + 2x|} = [−3,−√3] ∪ [−1,√3]
4.15. {x ∈ R : |x2 + 3x| ≤ |3x + 5|} = [−5,−√5] ∪ [−1,√5]
4.16. {x ∈ R : |x2 − 3x| ≤ |3x− 5|} = [−√5, 1] ∪ [√5, 5]
4.17. {x ∈ R : |2x2 + 3x| < |3x + 4|} = ]−2,−√2[ ∪ ]−1,√2[
4.18. {x ∈ R : |2x2 − 3x| < |3x− 4|} = ]−√2, 1[ ∪ ]√2, 2[
4.19. {x ∈ R : |2x2 + x| > |2x + 1|} = ]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[
4.20. {x ∈ R : |x− 2x2| ≥ |1− 2x|} = ]−∞,−1] ∪ {1
2
} ∪ [1,+∞[
4.21. {x ∈ R : |3x2 + x| ≤ |3x + 1|} = [−1, 1]
4.22. {x ∈ R : |x− 3x2| < |1− 3x|} = ]−1, 13
[ ∪ ]1
3
, 1
[
4.23. {x ∈ R : |3x2 + 4x| ≥ |3x + 2|} = ]−∞,−2] ∪ [−1,−1
3
] ∪ [2
3
,+∞[
4.24. {x ∈ R : |4x− 3x2| > |2− 3x|} = ]−∞,−2
3
[ ∪ ]1
3
, 1
[ ∪ ]2,+∞[
4.25. {x ∈ R : 3|x + 1| ≤ 2|x2 + 2x|} = ]−∞,−3] ∪ [−3
2
,−1
2
] ∪ [1,+∞[
4.26. {x ∈ R : 3|1− x| < 2|2x− x2|} = ]−∞,−1[ ∪ ]−1
2
, 3
2
[ ∪ ]3,+∞[
4.27. {x ∈ R : 8|x2 + x| ≥ 3|2x + 1|} = ]−∞,−3
2
] ∪ [−3
4
,−1
4
] ∪ [1
2
,+∞[
4.28. {x ∈ R : 8|x2 − x| > 3|1− 2x|} = ]−∞,−1
2
[ ∪ ]1
4
, 3
4
[ ∪ ]3
2
,+∞[
4.29. {x ∈ R : 3|x + 6| ≤ |x2 + 4x|} =
]
−∞, −1−
√
73
2
]
∪
[
−1+√73
2
,+∞
[
4.30. {x ∈ R : 3|6− x| < |4x− x2|} =
]
−∞, 1−
√
73
2
[
∪
]
1+
√
73
2
,+∞
[
CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1 5
II. Induc¸a˜o Matema´tica
1. Demonstre por induc¸a˜o as relac¸o˜es seguintes (entre parentesis, cada relac¸a˜o e´
escrita usando o s´ımbolo de somato´rio, cf. exerc´ıcios do grupo II).
(a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n + 1)/2 para qualquer n ∈ N.
(
∑n
k=1 k = n(n + 1)/2 )
(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 para qualquer n ∈ N.
(
∑n
k=1(2k − 1) = n2 )
(c) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 para qualquer n ∈ N.
(
∑n
k=1 k
2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 )
(d) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2 para qualquer n ∈ N.
(
∑n
k=1 k
3 = (
∑n
k=1 k)
2 )
(e) 03 + 13 + · · ·+ (n− 1)3 < n4/4 < 13 + 23 + · · ·+ n3 para qualquer n ∈ N.
(
∑n
k=1(k − 1)3 < n4/4 <
∑n
k=1 k
3 )
(f) 1/
√
1 + 1/
√
2 + · · ·+ 1/√n > √n para qualquer n ∈ N tal que n ≥ 2.( ∑n
k=1 1/
√
k >
√
n
)
2. Seja P (n) a proposic¸a˜o: n2 + 3n + 1 e´ par para todo o n ∈ N.
(a) Mostre que se P (k) e´ verdadeira para um dado k ∈ N, enta˜o P (k + 1)
tambe´m e´ verdadeira.
(b) Critique a afirmac¸a˜o: “Por induc¸a˜o fica provado que P (n) e´ verdadeira para
todo o n ∈ N”.
(c) Prove que n2 + 3n + 1 e´ ı´mpar para todo o n ∈ N.
3. Seja P (n) a proposic¸a˜o: 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = (2n + 1)2/8 para todo o n ∈ N.
(a) Mostre que se P (k) e´ verdadeira para um dado k ∈ N, enta˜o P (k + 1)
tambe´m e´ verdadeira.
(b) Critique a afirmac¸a˜o: “Por induc¸a˜o fica provado que P (n) e´ verdadeira para
todo o n ∈ N”.
(c) Modifique P (n), mudando a igualdade para uma desigualdade que seja ver-
dadeira para todo o n ∈ N.
4. Mostre a desigualdade de Bernoulli, i.e. (1 + x)n ≥ 1 + nx para qualquer
n ∈ N e qualquer x ∈ R tal que x ≥ −1.
6 CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1
III. S´ımbolo de Somato´rio
Dado n ∈ N e uma sequeˆncia de nu´meros reais a1, a2, . . . , an ∈ R, o s´ımbolo de
somato´rio
∑n
k=1 ak define-se por recorreˆncia da seguinte forma:
n∑
k=1
ak = a1 se n = 1 ,
n∑
k=1
ak =
(
n−1∑
k=1
ak
)
+ an se n > 1 .
Resolva os exerc´ıcios seguintes com base nesta definic¸a˜o.
1. Determine os valores nume´ricos das seguintes somas:
(a)
8∑
i=1
(2i− 3) ; (b)
7∑
k=1
(k − 4)2 ; (c)
4∑
j=1
j(j + 1)(j + 2) ; (d)
4∑
i=1
6 ;
(e)
3∑
j=1
j2j ; (f)
7∑
k=1
(−1)k(2k − 3) ; (g)
5∑
n=1
1
n(n + 1)
.
2. Demonstre as seguintes propriedades do somato´rio:
(a)
∑n
k=1(ak + bk) =
∑n
k=1 ak +
∑n
k=1 bk (propriedade aditiva);
(b)
∑n
k=1(c ak) = c
∑n
k=1 ak para qualquer constante c ∈ R (homogeneidade);
(c)
∑n
k=1(ak − ak−1) = an − a0 (propriedade telesco´pica).
3. Utilizando os resultados do Exerc´ıcio I.1 e as propriedades anteriores do so-
mato´rio, calcule:
(a)
18∑
k=1
(k + 1) ; (b)
20∑
k=1
(2k − 1)2 ; (c)
15∑
k=1
(k − 3)3 ;
(d)
20∑
k=1
(
1
k + 1
− 1
k
)
; (e)
20∑
k=1
(
3k − 3k+2) .
4. Mostre que para qualquer n ∈ N
n∑
k=1
1
k(k + 1)
=
n
n + 1
pelos seguintes dois me´todos distintos:
(a) usando induc¸a˜o.
(b) observando que 1
k(k+1)
= 1
k
− 1
k+1
e usando as propriedades do Exerc´ıcio 2.
5. Mostre que para qualquer n ∈ N e quaisquer nu´meros reais a, b ∈ R e´ va´lida a
igualdade
an − bn = (a− b)
n∑
k=1
an−kbk−1 .
CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1 7
6. Mostre que para quaisquer n ∈ N e r ∈ R com r 6= 1
n∑
k=0
rk =
1− rn+1
1− r
pelos seguintes dois me´todos distintos:
(a) usando induc¸a˜o.
(b) aplicando as propriedades do Exerc´ıcio 2 a (1− r)∑nk=0 rk.
A que e´ igual a soma quando r = 1?
Nota: por definic¸a˜o, r0 = 1.
7. O s´ımbolo n!, designado por n-factorial, define-se por recorreˆncia da seguinte
forma:
0! = 1 e n! = n · (n− 1)! , para qualquer n ∈ N .
Observe que n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n. Dados inteiros 0 ≤ k ≤ n, o coeficiente
binomial
(
n
k
)
(a`s vezes tambe´m representado por Cnk ) e´ definido por(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! .
(a) Mostre que(
n
k
)
=
(
n
n− k
)
e
(
n + 1
k
)
=
(
n
k − 1
)
+
(
n
k
)
.
Esta u´ltima fo´rmula e´ a chamada lei do triaˆngulo de Pascal, permitindo
o ca´lculo ra´pido dos sucessivos coeficientes binomiais.
(b) Prove por induc¸a˜o a fo´rmula do desenvolvimento do bino´mio de New-
ton:
(a + b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
akbn−k , para quaisquer a, b ∈ R e n ∈ N0 .
(c) Use a fo´rmula anterior para estabelecer as igualdades
n∑
k=0
(
n
k
)
= 2n e
n∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)
= 0 , para qualquer n ∈ N0 .
8. Usando a desigualdade triangular (|x + y| ≤ |x| + |y|) e o me´todo de induc¸a˜o,
mostre que para todo o n ∈ N e quaisquer nu´meros reais x1, . . . , xn ∈ R e´ va´lida
a desigualdade ∣∣∣∣∣
n∑
k=1
xk
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
k=1
|xk| .
8 CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1
IV. Induc¸a˜o e Somato´rios
Use induc¸a˜o para mostrar que, para qualquer n ∈ N:
1.
n∑
k=1
k
(k + 1)!
= 1− 1
(n + 1)!
.
2.
n∑
k=1
1
(2k − 1)(2k + 1) =
n
2n + 1
.
3.
n∑
k=1
k(3k − 1) = n2(n + 1) .
4.
n∑
k=1
k(3k + 1) = n(n + 1)2 .
5.
n∑
k=1
(k − 1)(k + 2) = (n− 1)n(n + 4)
3
.
6.
n∑
k=1
(k − 1)(3k + 2) = (n− 1)n(n + 2) .
7.
n∑
k=1
(k + 1)2k = n2n+1 .
8.
n∑
k=1
(k + 1)2k−1 = n2n .
9.
n∑
k=1
k
2k
= 2− n + 2
2n
.
10.
n∑
k=1
k
2k+1
= 1− n + 2
2n+1
.
11.
n∑
k=1
k(k + 3) =
n(n + 1)(n + 5)
3
.
CDI I - MEC & LEGM – 1 SEM. 2009/10 – FICHA 1 9
12.
n∑
k=1
k(3k + 5) = n(n + 1)(n + 3) .
13.
n∑
k=1
(2k + 1)3k = n3n+1 .
14.
n∑
k=1
(2k + 1)3k−1 = n3n .
15.
n∑
k=1
2k + 1
k2(k + 1)2
= 1− 1
(n + 1)2
.
16.
n∑
k=1
5− 2k
3k
= 1 +
n− 1
3n
.
17.
n∑
k=1
2k − 1
3k
= 1− n + 1
3n
.
18.
n∑
k=1
k(k + 2)2k = (n2 + 1)2n+1 − 2 .
19.
n∑
k=1
k(k + 2)2k−1 = (n2 + 1)2n − 1 .
20.
n∑
k=1
(k − 2)2
2k
= 2− n
2 + 2
2n
.
21.
n∑
k=1
(k − 3)2
2k
= 3− (n− 1)
2 + 2
2n
.
22.
n∑
k=1
(k − 2)3k−1
(k + 1)!
= 1− 3
n
(n + 1)!
.
23.
n∑
k=1
(k − 3)3k−1
k!
= 1− 3
n
n!
.