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CÁLCULO DE 
FLECHAS EM VIGAS
Veja nesse e-book como calcula-las passo a passo 
com um exercício resolvido
Eng. Marcus Nóbrega – www.engenheiroplanilheiro.com.br
1
Exemplo) Dados de entrada
■ Calcule a flecha em uma viga biapoiada com as seguintes características
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3m
Dados de Entrada - Planilha
0,5kN/m
1,5kN/m
0,6kN/m
0,6kN/m q
g3
g2
g1
Exemplo) Dados de entrada
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-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Exemplo) Concepção
■ O exemplo nos solicita calcular a viga em uma vigota de uma laje pré fabricada de 
altura total igual a 16cm, altura da capa igual a 4cm, com largura colaborante igual a 
30cm e base igual a 10cm.
■ Além disso, essa viga já foi dimensionada para E.L.U e calculada para a armadura de 
3,615cm²
■ O problema nos pede então para determinarmos as flechas que essa viga terá nos 
instantes iniciais e também ao longo do tempo
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Exemplo – Solução 
✓ Passo 1
■ O primeiro passo consiste em determinarmos as características geométricas no estádio 
I, isto é, com a seção bruta. Ag é a área da seção bruta de concreto.
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𝑌𝑐𝑔 =
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 .
ℎ𝑓
2
2
+ 𝑏𝑤 .
ℎ²
2
𝐴𝑔
𝐼𝐼𝑔 =
𝑏𝑓−𝑏𝑤 .ℎ𝑓
3
12
+
𝑏𝑤.ℎ³
12
+ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 . ℎ𝑓 . 𝑦𝑐𝑔 −
ℎ𝑓
2
2
+ 𝑏𝑤. ℎ. 𝑦𝑐𝑔 −
ℎ
2
2
Ycg = 6,0cm
IIg = 0,0000544m
4
Exemplo – Solução
✓ Passo 2
■ Agora devemos determinar as características da seção no estádio II puro, isto é, 
considerando que todo concreto da região fissurada é agora desprezado. Além disso, os 
esforços de tração são resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da linha 
neutra. Há uma relação linear entre tensão e deformação específica no concreto para 
todos os pontos da seção transversal – Chust (2014), p.195
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𝛼𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
210.000
0,8 + 0,2.
𝑓𝑐𝑘
80 . 5600 𝑓𝑐𝑘 𝛼𝑒 = 9,865
Ecs = 21287MPa
Razão Modular
Exemplo - Solução
■ Para determinar a posição da linha neutra no estádio II, deve-se resolver uma equação 
do 2º grau. A questão é saber se a viga deverá ser calculada como retangular ou como 
seção T. Se a posição da linha neutra cair na alma, a viga será calculada como viga T, 
caso contrário, será calculada como viga retangular
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𝑥𝐼𝐼 =
−𝑎2 + 𝑎2
2 − 4. 𝑎1. 𝑎3
2. 𝑎1
𝑎1 =
𝑏𝑤
2
𝑎2 = ℎ𝑓 . 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 + 𝛼𝑒 − 1 . 𝐴𝑠
′ + 𝛼𝑒 . 𝐴𝑠
𝑎3 = −𝑑
′. 𝛼𝑒 − 1 . 𝐴𝑠
′ − 𝑑. 𝛼𝑒 . 𝐴𝑠 −
ℎ𝑓
2
2
. (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)
𝑥𝐼𝐼= 4,682cm
Como a capa tem 4cm e 
a linha neutra é maior, a 
viga deverá ser 
calculada como viga T
Exemplo - Solução
✓ Passo 3
■ Cálculo do momento de inércia para o estádio II puro
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𝐼𝑧,𝐼𝐼0 =
𝑏𝑓 . 𝑥𝐼𝐼³
3
+ 𝛼𝑒 . 𝐴𝑠. 𝑥𝐼𝐼 − 𝑑
2 + 𝛼𝑒 − 1 . 𝐴
′
𝑠. (𝑥𝐼𝐼 − 𝑑
′)²
𝐼𝑧,𝐼𝐼0 =
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 . ℎ𝑓³
12
+
𝑏𝑤. 𝑥𝐼𝐼³
3
+
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 . 𝑥𝐼𝐼 −
ℎ𝑓
2
2
+ 𝛼𝑒 . 𝐴𝑠. 𝑥𝐼𝐼 − 𝑑
2 + 𝛼𝑒 − 1 . 𝐴
′
𝑠. (𝑥𝐼𝐼 − 𝑑
′)²
Viga Retangular
Viga T
𝐼𝑧, 𝐼𝐼0= 0,0000361m
4
Exemplo - Solução
✓ Passo 4
■ Cálculo das flechas para as diversas combinações 
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𝑎 =
5. 𝑝. 𝑙4
384. 𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑚
𝐼𝑚 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝐼𝑔 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝑧,𝐼𝐼0
Flecha de viga biapoiada
Momento de fissuração
𝑀𝑟 =
𝛼. 𝑓𝑐𝑡,𝑚. 𝐼𝑐
𝑦𝑡
α = 1,2 para seções em forma de T ou
duplo T
α = 1,3 para seções I ou T invertido
α = 1,5 para seções retangulares
𝛼 = 1,2
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 2210,42kN/m²
𝑴𝒓= 1,44kN.m
Inércia Média de Brunson
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3. 𝑓𝑐𝑘
2
3 . 1000
Exemplo - Solução
✓ Passo 4
■ Cálculo das flechas para as diversas combinações 
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𝑎 =
5. 𝑝. 𝑙4
384. 𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑚
𝐼𝑚 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝐼𝑔 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝑧,𝐼𝐼0
𝑝1 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 . 𝑏𝑓
𝑝2 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + 0,3. 𝑞 . 𝑏𝑓
𝑝3 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + 𝑞 . 𝑏𝑓
Combinação permanente
Combinação quase permanente
Combinação rara
𝒑𝟏= 2,6kN/m
𝒑𝟐= 2,78kN/m
𝒑𝟑= 3,2kN/m
Exemplo - Solução
✓ Passo 4
■ Cálculo das flechas para as diversas combinações 
■ Definição dos limites estabelecidos para as flechas
Cargas totais – L / 250 – NBR 6118-14 – ACEITABILIDADE SENSORIAL
Carga acidental – L / 350 – NBR 6118-14
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𝑎 =
5. 𝑝. 𝑙4
384. 𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑚
𝐼𝑚 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝐼𝑔 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝑧,𝐼𝐼0
Exemplo - Solução
✓ Passo 4
■ Cálculo das flechas para as diversas combinações 
Agora que temos as cargas para cada combinação, podemos determinar a inércia de 
Branson pois a única variável que faltava era o Momento Atuante, que pode ser calculado 
pelo momento de uma viga biapoiada (pL^2/8)
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Ação p (kN/m)
Mat = Mmáx
(kN.m)
Mr/Mmáx Im (m
4) p/Im a (cm)
Permanente 2,6 2,93 0,493 3,83E-05 67833 0,34
Quase permanente 2,78 3,13 0,461 3,79E-05 73292 0,36
Rara 3,2 3,60 0,401 3,73E-05 85761 0,42
Portanto a flecha devido a carga acidental é dada pela subtração entre a flecha da carga total (combinação 
rara) e carga permanente e igual a 0,09cm
Exemplo - Solução
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𝑝1 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 . 𝑏𝑓
𝑝3 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + 𝑞 . 𝑏𝑓
Combinação permanente
Combinação rara
Flecha acidental
Exemplo - Solução
✓ Passo 5
■ Verificação da flecha acidental
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𝑎𝑙𝑖𝑚∞ =
𝐿
350
=
300
350
= 0,86𝑐𝑚 > 0,09𝑐𝑚 → 𝑶𝑲
Exemplo - Solução
✓ Passo 6
■ Agora devemos determinar o fator 𝛼𝑓 para o efeito da fluência
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t0 = 14dias =
14
30
= 0, 𝟒𝟕meses Retirada do escoramento
𝜉 𝑡 = [0,68.0,996𝑡 . 𝑡0,32𝑠𝑒 𝑡 ≤ 70𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑜𝑢 2]
Coeficiente temporal do modelo da fluência
𝜉 𝒕𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟑
𝜉 ∞ = 𝟐
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50𝜌′
Fator multiplicativo da 
flecha imediata
𝜌′ =
𝐴𝑠′
𝑏𝑤. 𝑑
Taxa de armadura
𝒑′ = 𝟎, 𝟎𝟎
𝛼𝑓 = 𝟏, 𝟒𝟕
Exemplo - Solução
✓ Passo 7
■ Agora devemos determinar o efeito da fluência
■ O cálculo da flecha total no tempo infinito será a flecha devida a carga obtida pela 
combinação quase permanente multiplicada por (1 + αf)
■ Ou seja, no tempo infinito, essa viga se deformará em 9mm
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𝛼𝒕𝒐𝒕,∞ = 𝟏 + 𝜶𝒇 . 𝒂𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟎𝒄𝒎
Exemplo - Solução
✓ Passo 7
■ Verificação da flecha imposta pela norma
■ É necessário usar contra-flechas!
“Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de 
contraflechas; entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um 
desvio do plano maior que l/350”
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𝑎𝑙𝑖𝑚 = 0,86𝑐𝑚 < 0,9𝑐𝑚 → 𝐍Ã𝐎 𝐎𝐊
acf,max =
300
350
= 0,87cm → Adotar 0,5cm de contra − flecha - OK
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PLANILHA – CÁLCULO DE FLECHAS EM VIGAS BIAPOIADAS
SEÇÃO RETANGULAR
Veja nesse e-book como calcular as flechas desse 
tipo de viga
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Exemplo) Dados de entrada
■ Calcule a flecha em uma viga biapoiada com seção retangular de (14x50), fck de 
20MPa que suporta uma laje recebendo as cargas dadas na figura
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5m
• Não sabemos a armadura 
longitudinal;
• Para isso precisamos dimensionar a 
viga para o E.L.U;
• Vou utilizar um software de cálculo e 
detalhamento de vigas que 
desenvolvi no meu TCC para auxiliar 
os cálculos;• Caso queria, calcule essa viga na 
mão e confira os resultados.
q
g3
g2
g1
3kN/m
10kN/m
1,75kN/m
2kN/m
Exemplo) Concepção
■ Vamos imaginar que seja uma viga que recebe uma laje 
■ Essa viga tem um vão de 5m, atuando cargas permanentes primarias, secundárias e 
terciárias além de carga acidental proveniente do uso e ocupação da laje que ela 
sustenta
■ Você irá observar que essa viga resiste para E.L.U com armadura simples. Mais adiante 
vamos reduzir a altura da viga e implicar armadura dupla, de modo a verificar o impacto 
da armadura de compressão na viga
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Lançamento no software – VIGAS_V1_EP
Devemos obter a armadura longitudinal ...
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Passou com 4 barras de ½’’ - 4,91cm²
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Lançamento na planilha – Cálculo de flechas
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5m
3kN/m
10kN/m
1,75kN/m
2kN/m q
g3
g2
g1
Resultados de cálculo
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Análise dos resultados
■ Observe que não foi necessário utilizar contra flechas para resolver o problema pois a 
flecha no tempo infinito foi igual à 1,99cm, inferior ao valor máximo de 2,00cm
■ Usando o máximo permitido para a contraflecha (1,43cm), ainda há um valor líquido de 
flecha de 0,57cm, o que é inferior ao máximo estabelecido de 2,0cm obviamente
■ Vamos fazer alguns estudos nesse exemplo variando as seguintes condições 
a) Fck do concreto (15MPa ; 5MPa ; 50MPa)
b) Retirada do escoramento variando de 7 dias à 28 dias, de 7 em 7 dias para o fck de 
20Mpa
c) Vamos acrescentar armadura negativa, mesmo não precisando (pois foi necessário 
apenas armadura simples) e verificar o impacto na flecha (acrescentar 0,5cm² até 
3cm² variando de 0,5 em 0,5cm²
d) Verificar o máximo vão resistente para dada seção e armadura adotada
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a) Variando o fck do concreto
■ Observa-se que a 
deformação no tempo 
infinito decresce com o fck, 
■ Já para a flecha acidental, o 
crítico é um ponto entre 25 
e 30MPa
■ Porém devemos tomar
cuidado, nem sempre será
assim
■ Vamos aumentar o vão para 
5m e verificar
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a) Variando o fck do concreto – 5m
■ Veja, mudou completamente
o gráfico da flecha acidental
■ Porque? Você pode se 
perguntar pela formula:
■ Acontece que ao passo que 
cresce o módulo de 
elasticidade, a inércia média 
de Brunson pode decrescer 
devido ao fato de depender 
da inércia do estádio II puro
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𝑎 =
5. 𝑝. 𝑙4
384. 𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑚
𝐼𝑚 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝐼𝑔 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝑧,𝐼𝐼0
a) Variando o fck do concreto – 5m
■ O estádio II puro depende 
da solução de uma eq. do 
segundo grau para se obter 
a linha neutra, que também 
depende do fck
■ Além disso, a viga caso se 
aumente muito o fck, a linha 
neutra pode cair na mesa e 
portanto a viga pode ser 
calculada como retangular, 
o que pode gerar uma seção 
menos resistente que uma 
seção T e portanto gerar 
mais flecha acidental
■ Em conclusão, se pode 
falar que aumentar o fck
diminui a flecha!
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𝐼𝑚 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝐼𝑔 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
3
. 𝐼𝑧,𝐼𝐼0
b) Variando a data de retirada do escoramento
■ Há um padrão
■ Quanto mais tempo de 
escoramento, menor a 
flecha no tempo infinito
■ Contudo observe que a 
redução não é tão grande, 
talvez tenha outras variáveis 
com maior sensibilidade! 
■ Vamos continuar nossos 
estudos ...
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b) Variando a data de retirada do escoramento para 5m
de vão ■ O padrão se mantém
■ Há uma rápida diminuição 
da flecha nos dias iniciais
■ Um ganho eficiente pode ser 
obtido por acrescentar mais 
alguns dias de escoramento 
na estrutura
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c) Acrescentando armadura negativa
■ Houveram reduções nas
flechas no tempo inifinito e 
na acidental
■ Parece ser uma alternativa
interessante em alguns
casos
■ Há uma tendência linear em
relação a armadura de 
compressão e a redução da 
flecha
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0,050
0,051
0,051
0,052
0,052
0,053
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
F
le
c
h
a
 a
c
id
e
n
ta
l 
[c
m
]
F
le
c
h
a
 n
o
 t
e
m
p
o
 i
n
fi
n
it
o
 [
c
m
]
Armadura de compressão (cm²)
Flecha no tempo infinito x Flecha acidental fck admitido
Flecha no tempo infinito Flecha acidental
c) Acrescentando armadura negativa – aumentando o 
vão para 5m
■ Não se engane com a 
escala da flecha acidental, a 
redução não é tão grande 
assim
■ O mesmo padrão é 
encontrado confirmando 
nossa hipótese
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d) Avaliando o vão máximo p/ dado fck
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Fck = 20MPa Fck = 30MPa
Fck = 40MPa Fck = 50MPa
d) Avaliando o vão máximo p/ dado fck
■ Não tem muito milagre
■ Não da pra vencer vãos gigantescos só alterando o fck
■ Uma diferença de mais ou menos uns meio metro de vão é conseguido alterando o fck
de 20MPa para 50MPa
■ Evidentemente conseguimos vencer vãos maiores, mas é necessário usar contra-
flechas
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Conclusões
■ O cálculo de flechas em vigas depende de muitas variáveis e o projetista deve entender 
a sensibilidade delas para tomar as melhores decisões 
■ Além disso, atenção redobrada deve ser dada para o uso de contra-flechas, lembrando 
que não podem ocasionar desvio no pano inferior a L/350
■ Soma-se a isso a importância da Inércia. Na verdade, quem governa o modelo de 
flechas em vigas é sem dúvidas a seção transversal e o vão
■ Portanto foque em aumentar as rigidezes das vigas e eventualmente, em problemas 
mais complexos, envolver o uso de armadura de compressão, alterar fck, usar contra 
flechas
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