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• Pergunta 1 1 em 1 pontos Leia o trecho a seguir: “Se as funções e forem contínuas em um intervalo aberto , então, existirá uma única solução do sistema de equações que também satisfaz às condições iniciais , em que é qualquer ponto em e são números dados. Além disso, a solução existe em todo o intervalo ”. BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C.; MEADE, D. B. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno . 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. Considerando o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem , e sabendo que , assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução do Problema de Valor Inicial (PVI). Resposta Selecionada: . Resposta Correta: . Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é , então: Logo: , e . Considerando , então: . Isso significa que , e . Portanto, a solução do PVI é: . • Pergunta 2 1 em 1 pontos As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) podem ser reescritas no formato de um sistema de equações diferenciais. Para isso, basta reescrever a equação diferencial, isolando a derivada de maior ordem. Na sequência, é preciso escrever uma equação para cada função, mudando-se as variáveis. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Para ser um sistema possível, o sistema de equações deve ser linearmente dependente. Pois: II. Em um sistema Linearmente Dependente (LD), as equações são múltiplas umas das outras. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: As asserções I e II são proposições falsas. Resposta Correta: As asserções I e II são proposições falsas. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois as asserções I e II são asserções falsas. Para que o sistema de equações diferenciais seja um sistema possível, deve ser Linearmente Independente (LI) e o número de equações precisa ser igual (ou maior) ao número de funções a serem determinadas. Além disso, em um sistema LI as equações não são múltiplas umas das outras. • Pergunta 3 1 em 1 pontos Leia o trecho a seguir. “Sejam soluções linearmente independentes do sistema homogêneo no intervalo I, onde é uma função matricial contínua em I, então, toda solução em pode ser expressa na forma , onde são constantes”. NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais . 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 414. Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução geral do sistema . Resposta Selecionada: . Resposta Correta: . Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é , os autovalores são , e , cujos autovetores associados estão expostos a seguir. ● Autovetor associado a : . ● Autovetor associado a : . ● Autovetor associado a : . Logo, a solução geral é dada por: • Pergunta 4 1 em 1 pontos Diferentes modelos podem ser utilizados para representar a dinâmica de populações. Em ecologia, a equação é utilizada para representar a taxa de crescimento populacional. No caso, é o tamanho da população, é o tempo e é a taxa de crescimento per capita . CRESCIMENTO exponencial e logístico. Khan Academy , [2021]. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/science/biology/ecology/population-growth-and- regulation/a/exponential-logistic-growth. Acesso em: 23 jun. 2021. Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. É possível afirmar que r é somente função das taxas de natalidade e de mortalidade, se considerarmos que não há imigração ou emigração de indivíduos. Pois: II. Quando r assume valor positivo, há crescimento exponencial, independentemente do tamanho populacional. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. Resposta Correta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois as asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é justificativa da I. Em , r é função das taxas de natalidade e mortalidade, se considerarmos que não há movimento de indivíduos para dentro ou para fora da população. Além disso, sempre que r (taxa per capita de crescimento) assumir o mesmo valor positivo, independentemente do tamanho populacional, há crescimento exponencial. • Pergunta 5 1 em 1 pontos Leia o trecho a seguir. “As funções vetoriais são ditas linearmente dependentes em um intervalo I, se existirem constantes , não todas zero, tais que , para todo em I. Se os vetores não forem linearmente dependentes, eles são considerados linearmente independentes em I”. NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais . 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 413. Com base no apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. As funções vetoriais , e são LD (Linearmente Dependentes) em . Pois: II. é 3 vezes , portanto, para todo . A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Resposta Correta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois as duas asserções estão corretas, e a II é uma justificativa da I. As funções vetoriais , e são LD (Linearmente Dependentes) em , porque é 3 vezes , portanto, para todo . • Pergunta 6 1 em 1 pontos Para os valores de que satisfazem à equação , damos o nome de autovalores da matriz A. Para encontrar os autovalores da matriz A, basta encontrar as raízes do polinômio característico, as quais podem ser raízes reais distintas, complexas conjugadas ou repetidas. No que se refere à matriz , analise as afirmativas a seguir. I. . II. Os autovalores são: e . III. O autovetor associado a é dado por . IV. O autovetor associado a é dado por . Está correto o que se afirma em: Resposta Selecionada: I, III e IV, apenas. Resposta Correta: I, III e IV, apenas. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se a matriz é , então, , cujas raízes (autovalores) são: e . O autovetor associado a é dado por . O autovetor associado a é dado por . • Pergunta 7 1 em 1 pontos Considerando um sistema da forma , para achar a sua solução, é preciso encontrar o autovalor e o autovetor associado. Segundo Oliveira (2019), existem três possibilidades de autovalores: todos os autovalores são reais e distintos entre si, alguns são conjugados e alguns são repetidos. OLIVEIRA, R. L. Equações diferenciais ordinárias : métodos de resolução e aplicações. Curitiba: InterSaberes, 2019. Considerando o sistema dado por , assinale a alternativa que apresenta a solução correta. Resposta Selecionada: . Resposta Correta: . Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é dado por , então, precisamos calcular . Nesse caso, verificamos que existe apenas um autovalor, o qual tem multiplicidade algébrica dois. O autovetor associado é dado por: . Logo, a solução é: . • Pergunta 8 1 em 1 pontos Os sistemas homogêneos com coeficientes constantes são da forma , que é igual a . Tal estrutura vem da forma dos sistemas de equações , em que ; por isso, o sistemaé considerado homogêneo. Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução geral do sistema . Resposta Selecionada: e . Resposta Correta: e . Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, se o sistema é , então, , cujas raízes (autovalores) são: e . Para , temos: Para , temos: Logo, as soluções do sistema são dadas por: • Pergunta 9 1 em 1 pontos Um sistema de equações diferenciais pode ser escrito assim: … Nesse caso, ele é considerado um sistema homogêneo na forma normal, tanto que a formulação de matriz de tal sistema é , em que A é a matriz dos coeficientes e x é o vetor-solução. Sabendo disso, assinale a alternativa que representa o seguinte sistema corretamente: Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois o sistema é: Então, para expressá-lo como uma equação matricial, basta expressar o lado direito como o produto escalar, . Assim, a forma matricial correta é: • Pergunta 10 1 em 1 pontos Segundo Nagle, Saff e Snider (2012), um sistema de equações diferenciais lineares está na forma normal se ele for expresso como . O sistema é considerado homogêneo quando , caso contrário, é não homogêneo. Quando os elementos de A são todos constantes, há um sistema de coeficientes constantes. NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais . 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a solução geral do sistema . Resposta Selecionada: . Resposta Correta: . Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois a primeira coluna é da variável , e a segunda coluna é da variável . Assim, e . Desse modo, podemos escrever a solução na forma vetorial: Logo, as duas possíveis são:
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