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Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.ª Ivete Baraldi – 1º semestre de 2010 – Engenharia Mecânica 1 1ª Lista de Exercícios – funções 1 – Se f(x) = 7 13 − − x x , determine: a) 7 )5(3)0(2)1(5 fff +−− b) [ f (-1/2) ]2 c) f(3x - 2) d) f(t) + f(t/4) e) f [f (5) ] Respostas: a) -263/98; b) 1/9; c) 93 79 − − x x ; d) )28)(7( 561106 2 −− +− tt tt ; e) 11/7. 2 – Determinar o domínio das seguintes funções: a) y = 2−x b) y = 342 +− xx c) y = 4 73 xx −++ d) ax axy − += e) y = x - x 1 f) y = 1+x x g) y = x+1 1 h) a(x) = 53 12 + − x x i) c(x)= 3 12 + −+− x xx j) d(x)= 127 4 2 +− + xx x k) e(x)= 3 53 +x l) f(x)= 3 42 53 − + x x m) f(x)= 1712 2 +− xx n) b(x)= )3)(2( 2 xxx +− o) y = p) y = )103(log 292 −−− xxx )1(log 222 −+− xxx Respostas: 53);203) ;3/22/1);2/13/5););43);2);3/5) ;0);01);0););73);40);2) >−<≥≤≤− ≥≤≠−≥≠≠≥> ≥≥−<≠≠≤≤−≥≤≥ xouxoxouxn xouxmxexlRkxexjxixh xgxouxfxeaxdxcxouxbxa 3 – Construir o gráfico das seguintes funções: a) y = - (x + 2)2 b) f(x) = 4 – x3 c) y = 2 1 −x d) f(x) = ⎩⎨ ⎧ << ≤≤−− 20, 02, xx xx 4 – Sabendo-se que 5p = 2, podemos concluir que log 2100 é igual a: a) 2/p b) 2p c) 2 + p2 d) 2 + 2p e) (2 + 2p) / p Resposta: alternativa e) 5 – Sabendo que log A E = 2; log B E = 4; log C E = 6; log D E = 8; pede-se que seja determinado o valor real positivo y = [ log E (A.B.C.D) ]-1/2 . Resposta: 5 62 6 – A raiz da equação log 2x + log 4x = 1 é igual a: a) 2 b) 3 2 c) 3 4 d) 3 42 e) 3 3 2 Resposta: alternativa c) Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.ª Ivete Baraldi – 1º semestre de 2010 – Engenharia Mecânica 2 7 – A primeira astronave do programa Apolo tinha a forma de um tronco de cone circular reto. Na figura, os raios das bases a e b já foram determinados. a) utilize a semelhança de triângulos para expressar y como função de h; b) expresse o volume do tronco em função de h; c) se a = 2m e b = 1m, para que valor de h o volume do tronco é de 20 m3? OBS.: Volume do cone = 1/3 πr2H. Respostas:a) y=h.b/a; b) V= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− 222 )( 3 . aba ba bhπ ; c)h = 60π/7 b y h a 8 – Sejam f(x) = .3,1 2 1)(4 ≥+=− xxxgex Calcular fog. Dê o domínio e o conjunto imagem de f(x), g(x) e (fog)(x). 9 – Seja ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤<− ≤ = 8, 80, 0,5 )( xx xx xx xf e g(x) = x3. Calcule fog. 10 – Use a equação y = x2 – 6x + 8 para responder as questões. a) para quais valores de x, y = 0? (2 e 4) b) Para quais valores de x, y = -10? (não existe x real) c) Para quais valores de x, y ≥ 0? ( x ≤ 3 ou x ≥ 4) d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo? Se assim for, determine-o. (y = -1) 11 – Seja f: R→ R uma função do 1º grau onde f(1) = 5 e f(-2) = 1. Escreva a lei de formação dessa função. F(x) = 4/3x + 11/3 12 – Determine a lei de formação da função f cujo gráfico é: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 x y f(x) = - 2x –2 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.ª Ivete Baraldi – 1º semestre de 2010 – Engenharia Mecânica 3 13 – A partir do estudo de várias contas de energia elétrica, elaborou-se a tabela abaixo, da qual constam alguns valores de consumo (em kwh) e seus respectivos valores, em reais, aproximados para duas casas decimais. Consumo (kwh) Preço (R$) 125 23,75 150 28,50 200 38,00 250 47,50 O valor a ser pago pela energia elétrica varia linearmente em função do consumo e, portanto, pode- se escrever o preço (P) em função do consumo (c). Isto posto, e baseado na tabela dada, pede-se: a) Determinar lei que define a função P(c); (P(c) = 0,19x) b) Construir no plano cartesiano o gráfico de P(c) para um consumo variando de 0 kwh a 300 kwh. 14 – Considere as funções f(x) = 2x e g(x) = x2, ambas definidas no conjunto dos números reais. Sobre essas funções pode-se afirmar que: a) a imagem de f(x) está contida na imagem de g(x). b) a imagem de f(x) é igual à imagem de g(x). c) g(x) = f(x) para todo número real x. d) g(x) ≥ f(x) para todo número real x. e) g(x) ≤ f(x) para todo número real x. Resposta: alternativa a) 15 – Para uma pesquisa sobre o comportamento de certos microorganismos quando sujeitos à variação de temperatura, um forno especial é preparado de modo a iniciar um experimento já aquecido a 10 graus celsius. Em quatro minutos o forno deve atingir uma temperatura máxima de 18 graus e começar a resfriar-se, de modo a atingir 0 grau celsius e desligar-se. O forno foi programado para atender às exigências dos pesquisadores usando-se, para isso, uma função T(t) = at2 + bt + c, que relaciona temperatura (T) e tempo (t). A equação que melhor descreve essa situação é a) 2 2t - + 10. b) - t4 2 2t - + 10. c) t4 2 2t - - 10. t4 d) - 2 2t + + 10. e) t4 2 2t + . t4 Resposta: alternativa d) 16 – Seja F uma função real de uma variável real tal que F(x) = ax2 + bx + c, a≠0. Sabendo que as duas raízes são x1 = -1 e x2 = 5 e que F(1) = -8: a) Determine a, b e c; (1, - 4, 5) b) Calcule F(0); (-5) c) Verifique se F apresenta máximo ou mínimo; (min = -9) d) Dê as coordenadas do ponto extremo; (-2,-9) e) Faça um esboço do gráfico. 17 – O valor mínimo da função f(x) = x2 – mx + 15 é –1. Sendo m um número positivo, determine seu valor. (m = 8) 18 – Se o lucro de uma empresa é dado por L = - x2 + 7x – 6, sendo x a quantidade vendida, determine a produção necessária para que a empresa tenha lucro máximo. (6,25) 19 – Considere um investimento, com um capital inicial C0 = $900. Considerando um regime de juros compostos, determine: Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.ª Ivete Baraldi – 1º semestre de 2010 – Engenharia Mecânica 4 a) após quanto tempo o montante será de $ 2500, a uma taxa de 10% a. a . (10,8 a) b) após quantos meses de investimento, a uma taxa de 1,25% a. m., o montante será de $1100. (17,2 m) (use: log 1,22 = 0,086 log 1,0125 = 0,005 log 2, 78 = 0, 444 log 1, 1 = 0, 041) 20 – Dados log 2 = 0,30, log 3 = 048 e log 7 = 0,85, calcule utilizando as propriedades do logaritmo: a) log 8 b) log 49 c) log 28 d) log 7/2 e) log 5 f) log 35 g) log 32 h) log 4 125 i) log 25/6 j) log 144 k) 73 2 7 log);log l Respostas: a) 0,90; b) 1,70; c) 1,45; d) 0,55; e) 0,70; f) 1,55; g) 1,50; h) 0,53; i) 0,62; j) 2,16; k) 0,35; l) 1,77 21 – A lei abaixo representa o crescimento de uma população de bactérias, que se reproduz rapidamente em um laboratório de pesquisas: N(t) = a.2bt, onde N(t) é o número de bactérias no instante t (t em horas) e a e b são constantes reais. Sabendo que no início da observação havia 3000 bactérias e que, após duas horas de observação, havia 48000, determine: (Use a aproximação 210 ~ 103) a) os valores das constantes a e b; (3000; 2) b) o número de bactérias existentes após meia hora de observação; (6000) c) o tempo mínimo necessário para que o número de bactérias seja maior que 3 milhões. (5 horas) 22 – Sob condições ideais, o número de bactérias em uma cultura cresce de acordo com a fórmula Q(t) = Q0.ekt, onde Q0 denota o número de bactérias inicialmente presentes na cultura, k é alguma constante determinadapelo tipo de bactéria em consideração, e t é o tempo transcorrido em horas. Suponha que inicialmente estão presentes na cultura 10000 bactérias e que 60000 estão presentes 2 horas depois. Quantas bactérias haverá na cultura ao final de 4 horas? (360000) 23 – Substâncias radioativas decaem exponencialmente. Por exemplo, a quantidade existente de uma substância radioativa no instante t varia de acordo com a fórmula Q(t) = Q0.e-kt, onde Q0 é a quantidade inicial de rádio e k é uma constante positiva apropriada. A meia vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para a uma dada quantidade da substância ser reduzida pela metade. O carbono-14, um isótopo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770 anos. Qual é sua constante de decaimento? Use ln ½ = -0,693147 (~0,00012) OBS.: O teste do carbono-14 é um método bastante conhecido pelos antropólogos para estabelecer a idade de fósseis de plantas e animais. Esse método assume que a proporção de carbono-14 (C-14) presente na atmosfera permaneceu constante nos últimos 50000 anos. O professor Willard Libby, que ganhou o Prêmio Nobel em Química em 1960, propôs essa teoria. A quantidade de C-14 nos tecidos de uma planta ou animal vivo é constante. Entretanto, quando o organismo morre ele pára de absorver novas quantidades de C-14, e a quantidade de C-14 nos restos mortais começa diminuir devido ao decaimento natural desta substância radioativa. Dessa forma, a idade aproximada de um fóssil animal ou vegetal pode ser determinada medindo-se a quantidade de C-14 presente nos restos mortais. 24 – De acordo com as informações anteriores e sabendo que a constante k do C-14 é, aproximadamente, 0,00012, determine o que é solicitado: Um crânio encontrado num local de escavações arqueológicas tem um décimo da quantidade de C-14 que possuía originalmente. Determine a idade aproximada do crânio. Use ln 1/10 = -2,30259 (~19200 anos) 25 – A taxa de crescimento populacional da bactéria Escherichia coli no intestino humano é proporcional ao seu tamanho. Em condições laboratoriais ideais, quando esta bactéria é Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.ª Ivete Baraldi – 1º semestre de 2010 – Engenharia Mecânica 5 desenvolvida em um caldo de cultura, o número de células na cultura dobra, aproximadamente, a cada 20 minutos. a) se a quantidade inicial de células era de 100, determine a função Q(t) que expressa o crescimento exponencial do número de células desta bactéria em função do tempo t (em minutos). Lembre-se Q(t) = Q0.ekt. (Q(t) = 100.e0,035 t ) b) quanto tempo levará para um colônia de 100 células atingir o valor de 1 milhão de células? (266 min) 26 – Mostre que a função )]()([ 2 1 xfxf −+ é par e que a função )]()([ 2 1 xfxf −− é ímpar. 27 – Seja f(x) uma função cujo gráfico para x , tem o aspecto indicado na figura. Completar esse gráfico no domínio x < 0 se: 0≥ a) f é par; b) f é ímpar. 28 – Mostre que a função 12 2)( − +== x xxfy coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y) ou f[f(x)] = x. 29 – Dada a função 21 )( x xxfy +== definida para todo x real, demonstrar que sua inversa é a função 21 )( y yygx − == definida para |y| < 1. 30 – Dada ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤≤ < = 9,27 91, 1, )( 2 xx xx xx xf . Verifique que f tem uma função inversa e encontre f-1(x). 31 – Traçar o gráfico das funções trigonométricas, f, g e h no mesmo par de eixos cartesianos. Comparar cada conjunto identificando a transformação ocorrida. Identificar domínio, conjunto imagem, máximos e mínimos, crescimento e decrescimento. a) f(x) = senx g(x) = 2senx h(x) = ½ senx b) f(x) = senx g(x) = sen2x h(x) = sen( ½ x) c) f(x) = cos x g(x) = cos x + 3 h(x) = cos x – 3 d) f(x) = cos x g(x) = cos (x + 2) h(x) = cos (x – 2) e) f(x) = senx g(x) = - senx 1ª Lista de Exercícios – funções 24 – De acordo com as informações anteriores e sabendo que a
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