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Cálculo Diferencial e Integral I – Prof.ª Ivete Baraldi – 1º semestre de 2010 – Engenharia Mecânica 1
 
1ª Lista de Exercícios – funções 
 
1 – Se f(x) = 
7
13
−
−
x
x , determine: 
a)
7
)5(3)0(2)1(5 fff +−−
 b) [ f (-1/2) ]2 c) f(3x - 2) d) f(t) + f(t/4) e) f [f (5) ] 
Respostas: a) -263/98; b) 1/9; c) 
93
79
−
−
x
x ; d) 
)28)(7(
561106 2
−−
+−
tt
tt ; e) 11/7. 
 
2 – Determinar o domínio das seguintes funções: 
a) y = 2−x b) y = 342 +− xx c) y = 4 73 xx −++ d) 
ax
axy −
+= 
e) y = x - 
x
1 f) y = 
1+x
x g) y = 
x+1
1 h) a(x) =
53
12
+
−
x
x 
i) c(x)=
3
12 +
−+−
x
xx j) d(x)=
127
4
2 +−
+
xx
x k) e(x)= 3 53 +x 
l) f(x)=
3 42
53
−
+
x
x m) f(x)= 1712 2 +− xx n) b(x)= )3)(2( 2 xxx +− 
o) y = p) y = )103(log 292 −−− xxx )1(log 222 −+− xxx
 
Respostas: 
53);203)
;3/22/1);2/13/5););43);2);3/5)
;0);01);0););73);40);2)
>−<≥≤≤−
≥≤≠−≥≠≠≥>
≥≥−<≠≠≤≤−≥≤≥
xouxoxouxn
xouxmxexlRkxexjxixh
xgxouxfxeaxdxcxouxbxa
 
 
3 – Construir o gráfico das seguintes funções: 
a) y = - (x + 2)2 b) f(x) = 4 – x3 c) y = 
2
1
−x d) f(x) = ⎩⎨
⎧
<<
≤≤−−
20,
02,
xx
xx
 
4 – Sabendo-se que 5p = 2, podemos concluir que log 2100 é igual a: 
a) 2/p b) 2p c) 2 + p2 d) 2 + 2p e) (2 + 2p) / p 
Resposta: alternativa e) 
 
5 – Sabendo que log
A
E = 2; log
B
 
E = 4; log
C
E = 6; log
D
E = 8; pede-se que seja determinado o valor 
real positivo y = [ log
E
 (A.B.C.D) ]-1/2 . 
Resposta: 
5
62
 
 
6 – A raiz da equação log 2x + log 4x = 1 é igual a: 
a) 2 b) 3 2 c) 3 4 d) 3 42 e) 3 3 2 
Resposta: alternativa c) 
 
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7 – A primeira astronave do programa Apolo tinha a forma de um tronco de cone circular reto. Na 
figura, os raios das bases a e b já foram determinados. 
a) utilize a semelhança de triângulos para expressar y como função de h; 
b) expresse o volume do tronco em função de h; 
c) se a = 2m e b = 1m, para que valor de h o volume do tronco é de 20 m3? 
OBS.: Volume do cone = 1/3 πr2H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas:a) y=h.b/a; b) V= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
222 )(
3
. aba
ba
bhπ ; c)h = 60π/7 
 b 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 h 
 
 
 
 a 
 
8 – Sejam f(x) = .3,1
2
1)(4 ≥+=− xxxgex Calcular fog. Dê o domínio e o conjunto imagem 
de f(x), g(x) e (fog)(x). 
 
9 – Seja 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
8,
80,
0,5
)(
xx
xx
xx
xf e g(x) = x3. Calcule fog. 
 
 10 – Use a equação y = x2 – 6x + 8 para responder as questões. 
a) para quais valores de x, y = 0? (2 e 4) 
b) Para quais valores de x, y = -10? (não existe x real) 
c) Para quais valores de x, y ≥ 0? ( x ≤ 3 ou x ≥ 4) 
d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo? Se assim for, determine-o. (y = -1) 
 
11 – Seja f: R→ R uma função do 1º grau onde f(1) = 5 e f(-2) = 1. Escreva a lei de formação dessa 
função. F(x) = 4/3x + 11/3 
 
12 – Determine a lei de formação da função f cujo 
gráfico é: 
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2
x
y
f(x) = - 2x –2 
 
 
 
 
 
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13 – A partir do estudo de várias contas de energia elétrica, elaborou-se a tabela abaixo, da qual 
constam alguns valores de consumo (em kwh) e seus respectivos valores, em reais, aproximados 
para duas casas decimais. 
Consumo (kwh) Preço (R$) 
125 23,75 
150 28,50 
200 38,00 
250 47,50 
O valor a ser pago pela energia elétrica varia linearmente em função do consumo e, portanto, pode-
se escrever o preço (P) em função do consumo (c). Isto posto, e baseado na tabela dada, pede-se: 
a) Determinar lei que define a função P(c); (P(c) = 0,19x) 
b) Construir no plano cartesiano o gráfico de P(c) para um consumo variando de 0 kwh a 300 kwh. 
 
14 – Considere as funções f(x) = 2x e g(x) = x2, ambas definidas no conjunto dos números reais. 
Sobre essas funções pode-se afirmar que: 
a) a imagem de f(x) está contida na imagem de g(x). 
b) a imagem de f(x) é igual à imagem de g(x). 
c) g(x) = f(x) para todo número real x. 
d) g(x) ≥ f(x) para todo número real x. 
e) g(x) ≤ f(x) para todo número real x. 
Resposta: alternativa a) 
 
15 – Para uma pesquisa sobre o comportamento de certos microorganismos quando sujeitos à 
variação de temperatura, um forno especial é preparado de modo a iniciar um experimento já 
aquecido a 10 graus celsius. Em quatro minutos o forno deve atingir uma temperatura máxima de 
18 graus e começar a resfriar-se, de modo a atingir 0 grau celsius e desligar-se. O forno foi 
programado para atender às exigências dos pesquisadores usando-se, para isso, uma função 
T(t) = at2 + bt + c, que relaciona temperatura (T) e tempo (t). A equação que melhor descreve essa 
situação é 
a) 
2
2t - + 10. b) - t4
2
2t - + 10. c) t4
2
2t - - 10. t4
d) - 
2
2t + + 10. e) t4
2
2t + . t4
Resposta: alternativa d) 
 
16 – Seja F uma função real de uma variável real tal que F(x) = ax2 + bx + c, a≠0. Sabendo que as 
duas raízes são x1 = -1 e x2 = 5 e que F(1) = -8: 
a) Determine a, b e c; (1, - 4, 5) 
b) Calcule F(0); (-5) 
c) Verifique se F apresenta máximo ou mínimo; (min = -9) 
d) Dê as coordenadas do ponto extremo; (-2,-9) 
e) Faça um esboço do gráfico. 
 
17 – O valor mínimo da função f(x) = x2 – mx + 15 é –1. Sendo m um número positivo, determine 
seu valor. (m = 8) 
 
18 – Se o lucro de uma empresa é dado por L = - x2 + 7x – 6, sendo x a quantidade vendida, 
determine a produção necessária para que a empresa tenha lucro máximo. (6,25) 
 
19 – Considere um investimento, com um capital inicial C0 = $900. Considerando um regime de 
juros compostos, determine: 
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a) após quanto tempo o montante será de $ 2500, a uma taxa de 10% a. a . (10,8 a) 
b) após quantos meses de investimento, a uma taxa de 1,25% a. m., o montante será de $1100. 
(17,2 m) 
(use: log 1,22 = 0,086 log 1,0125 = 0,005 log 2, 78 = 0, 444 log 1, 1 = 0, 041) 
 
20 – Dados log 2 = 0,30, log 3 = 048 e log 7 = 0,85, calcule utilizando as propriedades do 
logaritmo: 
a) log 8 b) log 49 c) log 28 d) log 7/2 e) log 5 
f) log 35 g) log 32 h) log 4 125 i) log 25/6 j) log 144 
k) 73
2
7 log);log l
Respostas: a) 0,90; b) 1,70; c) 1,45; d) 0,55; e) 0,70; f) 1,55; g) 1,50; h) 0,53; i) 0,62; j) 2,16; k) 0,35; l) 1,77 
 
21 – A lei abaixo representa o crescimento de uma população de bactérias, que se reproduz 
rapidamente em um laboratório de pesquisas: N(t) = a.2bt, onde N(t) é o número de bactérias no 
instante t (t em horas) e a e b são constantes reais. Sabendo que no início da observação havia 3000 
bactérias e que, após duas horas de observação, havia 48000, determine: 
(Use a aproximação 210 ~ 103) 
a) os valores das constantes a e b; (3000; 2) 
b) o número de bactérias existentes após meia hora de observação; (6000) 
c) o tempo mínimo necessário para que o número de bactérias seja maior que 3 milhões. (5 horas) 
 
22 – Sob condições ideais, o número de bactérias em uma cultura cresce de acordo com a fórmula 
Q(t) = Q0.ekt, onde Q0 denota o número de bactérias inicialmente presentes na cultura, k é alguma 
constante determinadapelo tipo de bactéria em consideração, e t é o tempo transcorrido em horas. 
Suponha que inicialmente estão presentes na cultura 10000 bactérias e que 60000 estão presentes 2 
horas depois. Quantas bactérias haverá na cultura ao final de 4 horas? (360000) 
 
23 – Substâncias radioativas decaem exponencialmente. Por exemplo, a quantidade existente de 
uma substância radioativa no instante t varia de acordo com a fórmula Q(t) = Q0.e-kt, onde Q0 é a 
quantidade inicial de rádio e k é uma constante positiva apropriada. A meia vida de uma substância 
radioativa é o tempo necessário para a uma dada quantidade da substância ser reduzida pela 
metade. O carbono-14, um isótopo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770 anos. Qual é sua 
constante de decaimento? Use ln ½ = -0,693147 (~0,00012) 
 
OBS.: O teste do carbono-14 é um método bastante conhecido pelos antropólogos para estabelecer 
a idade de fósseis de plantas e animais. Esse método assume que a proporção de carbono-14 
(C-14) presente na atmosfera permaneceu constante nos últimos 50000 anos. O professor Willard 
Libby, que ganhou o Prêmio Nobel em Química em 1960, propôs essa teoria. A quantidade de C-14 
nos tecidos de uma planta ou animal vivo é constante. Entretanto, quando o organismo morre ele 
pára de absorver novas quantidades de C-14, e a quantidade de C-14 nos restos mortais começa 
diminuir devido ao decaimento natural desta substância radioativa. Dessa forma, a idade 
aproximada de um fóssil animal ou vegetal pode ser determinada medindo-se a quantidade de C-14 
presente nos restos mortais. 
 
24 – De acordo com as informações anteriores e sabendo que a constante k do C-14 é, 
aproximadamente, 0,00012, determine o que é solicitado: Um crânio encontrado num local de 
escavações arqueológicas tem um décimo da quantidade de C-14 que possuía originalmente. 
Determine a idade aproximada do crânio. Use ln 1/10 = -2,30259 (~19200 anos) 
 
25 – A taxa de crescimento populacional da bactéria Escherichia coli no intestino humano é 
proporcional ao seu tamanho. Em condições laboratoriais ideais, quando esta bactéria é 
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desenvolvida em um caldo de cultura, o número de células na cultura dobra, aproximadamente, a 
cada 20 minutos. 
a) se a quantidade inicial de células era de 100, determine a função Q(t) que expressa o crescimento 
exponencial do número de células desta bactéria em função do tempo t (em minutos). Lembre-se 
Q(t) = Q0.ekt. (Q(t) = 100.e0,035 t ) 
b) quanto tempo levará para um colônia de 100 células atingir o valor de 1 milhão de células? (266 
min) 
 
26 – Mostre que a função )]()([
2
1 xfxf −+ é par e que a função )]()([
2
1 xfxf −− é ímpar. 
 
27 – Seja f(x) uma função cujo gráfico para x , tem o aspecto indicado na figura. Completar esse 
gráfico no domínio x < 0 se: 
0≥
 
a) f é par; 
 
b) f é ímpar. 
 
 
 
 
 
 
 
28 – Mostre que a função 
12
2)( −
+==
x
xxfy coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y) ou 
f[f(x)] = x. 
 
29 – Dada a função 21
)(
x
xxfy +== definida para todo x real, demonstrar que sua inversa é a 
função 
21
)(
y
yygx
−
== definida para |y| < 1. 
 
30 – Dada 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤≤
<
=
9,27
91,
1,
)( 2
xx
xx
xx
xf . Verifique que f tem uma função inversa e encontre f-1(x). 
 
31 – Traçar o gráfico das funções trigonométricas, f, g e h no mesmo par de eixos cartesianos. 
Comparar cada conjunto identificando a transformação ocorrida. Identificar domínio, conjunto 
imagem, máximos e mínimos, crescimento e decrescimento. 
a) f(x) = senx g(x) = 2senx h(x) = ½ senx 
b) f(x) = senx g(x) = sen2x h(x) = sen( ½ x) 
c) f(x) = cos x g(x) = cos x + 3 h(x) = cos x – 3 
d) f(x) = cos x g(x) = cos (x + 2) h(x) = cos (x – 2) 
e) f(x) = senx g(x) = - senx 
	1ª Lista de Exercícios – funções
	24 – De acordo com as informações anteriores e sabendo que a