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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMA´TICA PRIMEIRA PROVA UNIFICADA – CA´LCULO I. 2010-I. GABARITO Questa˜o 1.(2,0 pontos) (a) Considere a func¸a˜o 푔 : IR→ IR definida por: 푔(푥) = ⎧⎨ ⎩ cos [ (푥 − 1)2 sin ( 1 푥3 − 1 )] , se 푥 ∕= 1 0 , se 푥 = 1. Determine o valor de lim 푥→1 푔(푥). (b) Considere as func¸o˜es 푓, 푔 : IR→ IR definidas por : 푓(푥) = 푥3 − 푥+ 1 e 푔(푥) = 푥3(1 + sin푥). Mostre que os gra´ficos de 푓(푥) e 푔(푥) se interceptam pelo menos em um ponto. Soluc¸a˜o. (a) Primeiro temos que lim 푥→1 (푥− 1)2 sin ( 1 푥3 − 1 ) = 0. (1) De fato, −(푥− 1)2 ≤ (푥− 1)2 sin ( 1 푥3 − 1 ) ≤ (푥− 1)2. Logo, como lim 푥→1 −(푥− 1)2 = lim 푥→1 (푥− 1)2 = 0, podemos usar o teorema do confronto para mostrar (1). Ale´m disso, sendo a func¸a˜o cos(푥) cont´ınua em IR, temos : lim 푥→1 푔(푥) = 1. (b) Seja ℎ(푥) = 푓(푥)− 푔(푥). Sendo ℎ(푥) a diferenc¸a de duas func¸o˜es cont´ınuas, ℎ(푥) e´ cont´ınua. Ale´m disso temos que ℎ(0) = 1 > 0 e ℎ(1) = 1− (1 + sin 1) < 0. Logo, usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, existe 푐 ∈ (0, 1) onde ℎ(푐) = 0, isto e´ 푓(푐) = 푔(푐). Questa˜o 2.(2,0 pontos) (a) Determine 푓 ′(푥); onde 푓(푥) = ln(sin2(푥)). (b) Determine as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de 푓(푥) = 푥2 − 3푥 que passam pelo ponto (3,−4). (c) Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o impl´ıcita definida por 푥3 + 푦3 = 6푥푦, no ponto (3, 3). Soluc¸a˜o. (a) Sendo 푔(푥) = ln(푥), ℎ(푥) = 푥2 e 푢(푥) = sin(푥), temos que 푓(푥) = 푔 ∘ ℎ ∘ 푢(푥). Pela Regra da Cadeia, 푓 ′(푥) = 푔′((ℎ ∘ 푢)(푥)).ℎ′(푢(푥)).푢′(푥). Logo 푓 ′(푥) = 1 sin2(푥) .2 sin(푥). cos(푥) = 2 cot(푥). (b) O ponto dado na˜o pertence ao gra´fico de 푓 . Por outro lado a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de 푓 no ponto (푥0, 푓(푥0)) e´ 푦(푥) = 푓(푥0) + 푓 ′(푥0)(푥 − 푥0), onde 푓 ′(푥0) = 2푥0−3 e 푓(푥0) = 푥20−3푥0. O ponto (3,−4) pertence a` reta tangente, logo, obtemos: −4 = 푦(3) = 푥20 − 3푥0 + (2푥0 − 3)(3− 푥0) = −푥20 + 6푥0 − 9. Resolvendo a equac¸a˜o, obtemos: 푥0 = 1 ou 푥0 = 5. Enta˜o, as equac¸o˜es obtidas sa˜o 푦 + 푥+ 1 = 0 e 푦 − 7푥+ 25 = 0. (c) Derivando a equac¸a˜o implicitamente: 푑푦 푑푥 = 2푦 − 푥2 푦2 − 2푥. No ponto (3, 3) temos que 푑푦 푑푥 = −1, e a equac¸a˜o da reta tangente e´ 푥+ 푦 = 6. Questa˜o 3.(3,0 pontos) Considere a func¸a˜o definida por 푓(푥) = 푥1/3 + 2푥4/3. Determine, caso existam: (a) O domı´nio e a imagem de 푓(푥). (b) As ass´ıntotas verticais e horizontais. (c) Os intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente e onde e´ decrescente. (d) Os valores de ma´ximo e mı´nimo locais e/ou absolutos. (e) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o. (f) Use as informac¸o˜es anteriores para fazer um esboc¸o do gra´fico de 푓 . Soluc¸a˜o. (a) A func¸a˜o esta´ definida para 푥 ∈ IR. Logo veremos que a imagem de 푓(푥) e´ [−3/8,∞) (ver ı´tem (d)). (b) Como o domı´nio de 푓(푥) e´ IR, na˜o existem ass´ıntotas verticais. Ale´m disso, como lim 푥→∞ 푓(푥) = lim 푥→∞ 푥4/3 ( 1 푥 + 2 ) = ∞ e lim 푥→−∞ 푓(푥) = lim 푥→−∞ 푥4/3 ( 1 푥 + 2 ) = ∞, na˜o existem ass´ıntotas horizontais. (c) Como 푓 ′(푥) = 1 + 8푥 3푥2/3 , Os pontos cr´ıticos correspondem aos valores 푥 = −1/8 (pois 푓 ′(−1/8) = 0) e 푥 = 0 ( pois 푓 ′(0) na˜o existe). Estudando o sinal da derivada, note que 푥2/3 > 0 para qualquer 푥 ∕= 0. Logo ∙ 푓 ′(푥) > 0 quando 푥 > −1/8 e ∙ 푓 ′(푥) < 0 quando 푥 < −1/8. Assim, a func¸a˜o 푓(푥) e´ crescente quando em (−∞,−1 8 ) e e´ decrescente em (−1 8 ,∞). (d) Pelo estudo de sinal da derivada primeira, o ponto ( −1 8 ,−3 8 ) e´ um ponto de mı´nimo local e o ponto (0, 0) na˜o e´ ponto nem de ma´ximo nem de mı´nimo local. Logo o ponto ( −1 8 ,−3 8 ) e´ um ponto de mı´nimo absoluto. Podemos concluir tambe´m que a imagem de 푓 e´ o intervalo [−3/8,∞). (e) Como 푓 ′′(푥) = 2 9 ( 4푥− 1 푥5/3 ) , enta˜o 푓 ′′(푥) = 0 quando 푥 = 1/4 e na˜o existe 푓 ′′(0). Logo, os candidatos a pontos de inflexa˜o sa˜o: ( 1 4 , 3 2 3 √ 4 ) e (0, 0). Pelo estudo de sinal da derivada segunda: ∙ 푓 ′′(푥) > 0 quando 푥 < 0 ou 푥 > 1/4 ∙ 푓 ′′(푥) < 0 quando 0 < 푥 < 1/4. Portanto, a concavidade esta´ voltada para cima em (−∞, 0) e (1 4 ,∞) e a concavidade esta´ voltada para baixo em (0, 1 4 ). Assim, os pontos (0, 0) e ( 1 4 , 3 2 3 √ 4 ) sa˜o pontos de inflexa˜o. (f) Um esboc¸o do gra´fico: 푥 푦 − 1 8 − 3 8 1/4 3/(2 3√ 4) Questa˜o 4.(1,0 pontos) Um triaˆngulo iso´sceles ABC tem o ve´rtice A em (0,0). A base deste triaˆngulo que esta´ situada acima deste ve´rtice e´ paralela ao eixo x, e tem os ve´rtices B e C localizados sobre a para´bola 푦 = 9− 푥2. Sabendo que o lado BC aumenta a` raza˜o de 2cm/s, determine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo, no instante em que o lado BC mede 4 cm. Soluc¸a˜o. Denotando-se 퐴퐷 = ℎ(푡) e 퐵퐶 = 2푥(푡) , a a´rea do triaˆngulo ABC e´ escrita como : 푆(푡) = 2ℎ(푡)푥(푡) 2 = ℎ(푡)푥(푡). 푥 푦 ℎ(푡) −푥(푡) 푥(푡)−푥(푡) S(t) 퐴 퐵 퐶 Assim, 푆(푡) = ℎ(푡)푥(푡) = (9− 푥2)푥(푡) ⇒ 푆(푡) = 9푥− 푥3. Logo 푑푆 푑 푡 = 9푥 ′ − 3푥2푥′ . Como (2푥(푡)) ′ = 2푥 ′ = 2푐푚/푠, enta˜o 푥 ′ (푡) = 1푐푚/푠. Sendo 퐵퐶 = 4 = 2푥(푡)⇒ 푥(푡) = 2푐푚. Logo, 푑푆 푑 푡 = 9− 12 = −3 푐푚2/푠. Assim, como 푑푆 푑 푡 < 0, a a´rea decresce. Questa˜o 5.(2,0 pontos) Calcule os seguintes limites. (a) lim 푥→0 cos(sin(푥)) − cos(푥) 푥2 (b) lim 푥→1 ( 1 ln푥 − 푥 (푥− 1)2 ) . Soluc¸a˜o. (a) Temos a indeterminac¸a˜o 0/0. Aplicando a regra de L’Hoˆspital temos: lim 푥→0 cos(sin(푥)) − cos(푥) 푥2 = lim 푥→0 [− sin(sin(푥)) cos(푥) + sin(푥) 2푥 ] = lim 푥→0 − sin(sin(푥)) cos(푥) 2푥 + lim 푥→0 sin(푥) 2푥 . Usando o fato que lim 푥→0 sin(푥) 푥 = 1, teremos que lim 푥→0 − sin(sin(푥)) cos(푥) 2푥 = −1 2 lim 푥→0 [ sin(sin(푥)) sin(푥) . sin(푥) 푥 . cos(푥) ] = −1 2 . Logo lim 푥→0 cos(sin(푥)) − cos(푥) 푥2 = −1 2 + 1 2 = 0. (b) Este limite e´ da forma ∞−∞. Escrevendo [ 1 ln푥 − 푥 (푥− 1)2 ] = (푥− 1)2 − 푥 ln푥 (푥 − 1)2 ln푥 = 0 0 , podemos usar L´Hospital. Assim lim 푥→1 [ 1 ln푥 − 푥 (푥 − 1)2 ] = lim 푥→1 2(푥− 1)− 1− ln푥 (푥− 1)2 + 2(푥− 1) ln푥 = −∞.
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