Notas_de_Aula_Álgebra_Linear_2

Prévia do material em texto

� PAGE �1� 
Notas de Aula Álgebra Linear
Profª Cristiane Leitão
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
1) Matrizes
Def: Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Os elementos de uma matriz podem ser de naturezas diversas. Linhas e colunas são genericamente denominadas filas.
Ex: Consideramos os dados referentes a altura, massa e idade para cinco pessoas e dispomos esses dados na tabela abaixo:
 Altura Massa Idade
 
 
Convenções: Representamos uma matriz de m linhas e de n colunas por:
 
A quantidade 
 denota o elemento da matriz A que se encontra na i-ésima linha e j-ésima coluna. Empregamos letras maiúsculas para denotarem matrizes e subscrevemos o número de linhas e colunas na forma 
.
Ex: Uma matriz A com 3 linhas e 2 colunas pode ser extensamente expressa na forma:
 A = 
 
Ou compactamente nas formas 
 e 
.
Def: Duas matrizes 
 e 
 são iguais se, e somente se, m = p e n = q e 
, para todo i e j , com i variando de 1 a m (ou p) , j variando de 1 a n (ou q).
Ex: As matrizes 
 e 
 são iguais.
Tipos especiais de Matrizes:
Matriz Quadrada – é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ou, equivalentemente m = n. No caso de matrizes quadradas 
, dizemos que A é de ordem m.
Obs: Se a matriz A não for quadrada , dizemos que A é retangular e de ordem m por n ou 
.
Matriz Nula – é aquela matriz onde todos os elementos são nulos.
Matriz -coluna – é aquela que possui uma única coluna ou equivalentemente n =1.
Obs: é também chamada de vetor coluna.
Matriz -linha – é aquela que possui uma única linha ou equivalentemente m = 1.
Obs: é também chamada de vetor linha.
Matriz Diagonal – é uma matriz quadrada (m = n) onde 
 para 
, ou equivalentemente, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Ex: As matrizes 
 e 
 Diagonal Principal 
Diagonal Secundária 
Matriz Identidade (unidade) – é a matriz diagonal em que 
, para todo i . Indica-se por 
 ou simplesmente I.
Ex: 
 
Matriz Triangular Superior – é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou equivalentemente, m = n e 
 para i > j. Se 
 para 
, então a matriz quadrada é denominada matriz estritamente triangular superior.
Ex: A matriz 
 é uma matriz triangular superior.
 
 A matriz 
é uma matriz triangular estritamente superior.
Matriz Triangular Inferior – é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou equivalentemente, m = n e 
 para i < j. Se 
 para 
, então a matriz quadrada é denominada matriz estritamente triangular inferior.
Ex: A matriz 
 é uma matriz triangular inferior.
 
 A matriz 
é uma matriz triangular estritamente inferior.
Matriz Simétrica – é uma matriz quadrada onde 
 para todo i e j.
 Ex: As matrizes 
 e 
 são simétricas.
Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte inferior com o espelho na diagonal principal.
1.1) Operações com Matrizes: 
Adição de Matrizes: A soma de duas matrizes de mesma ordem 
 e 
 é uma matriz 
 cujos elementos são as somas dos correspondentes elementos de A e B, isto é, A + B = 
.
Ex: 
+ 
=
A adição de matrizes tem as mesmas propriedades da adição de escalares (números).
Propriedades da Adição de Matrizes
Dadas as matrizes A, B e C de ordem 
, temos as propriedades:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula. Usamos a notação 
.
 
Multiplicação de Matriz por escalar: Seja 
e k um escalar. Definimos uma nova matriz 
. Definimos uma nova matriz 
.
Ex: 
Obs: Quando k = -1 teremos kA = –A , onde essa matriz –A diz-se matriz oposta de A.
Ex: 
 
Propriedades da multiplicação de Matrizes por escalares
Dadas as matrizes A e B de ordem 
 e os escalares 
 e 
, temos as propriedades:
i) 
(A + B) = 
A + 
B
ii) (
+
) A = 
A + 
A
iii) 0A = 
Transposição de Matrizes: Seja 
. Podemos obter uma matriz 
 cujas as colunas são as linhas de A, isto é, 
= 
 i =1.....m e j = 1....n. A matriz B é denominada matriz transposta de A e empregamos a notação 
ou 
 para B.
Ex: 
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Propriedades da Transposição de Matrizes
Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta.
, isto é, uma dupla transposição conduz a matriz original.
Ex: 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 = 
= A
, isto é, a transposição da matriz satisfaz a propriedade distributiva. (A transposta da soma é a soma das transpostas)
Multiplicação de Matrizes: Sejam as matrizes 
 e 
. Definimos 
, onde:
 
 u = 1.....m v = 1.....p
Obs: O produto entre as matrizes 
 e 
 é definido se, e somente se, n = l e a matriz produto tem ordem 
.
Ex: 
 
= 
E 
 Não está definida pois 
 
 e 
.
Propriedades da Multiplicação entre Matrizes
Em geral AB
BA, ainda que os produtos AB e BA estejam definidos.
Ex: Sejam 
�� EMBED Equation.DSMT4 
AB = 
 e 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Obs: Note que AB = 
 sem que A = 0 ou B = 0.
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
 
2) Determinantes
Antes de definirmos o determinante, vamos introduzir duas definições necessárias.
Def: Sejam n elementos distintos de um conjunto ordenado. Uma permutação desses n elementos consiste em uma n-upla ordenada desses elementos.
Ex: Considere os elementos (letras) a, b, c de um conjunto (alfabeto). Uma permutação desse conjunto será por exemplo: (a, b, c); (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, b, a), (c, a, b) também são permutações. Observe que o número de permutação de n elementos será igual a 
Def: Dada uma permutação de n elementos pertencentes ao conjunto dos inteiros, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele.
Ex: (1, 2, 3, 4) – 0 inversões
 (2, 1, 4, 3) – 2 inversões
 (4, 1, 3, 2) – 4 inversões
 (4, 3, 1, 2) – 5 inversões
 (1, 3, 2, 4) – 1 inversão
 (4, 3, 2, 1) – 6 inversões
Termo principal e Termo secundário: Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, o produto dos elementos da diagonal principal tem o nome de termo principal, e o produto dos elementos da diagonal secundária tem o nome de termo secundário.
Termo principal: 
Termo secundário: 
Determinante de uma Matriz: Chama-se determinante de uma matriz quadrada, à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou – .
 J – nº de inversões da permutação
Ex: Cálculo do determinante de 2ª ordem:
, o termo principal é 
.
, então:
det A = 
 = 
�� EMBED Equation.DSMT4 det A = 
- 
 
Ex: Cálculo do determinante de 3ª ordem:
 
det A = 
+
 +
+
 +
det A = 
 = 
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 
Regra de Sarrus 
A fórmula do determinante pode ser obtida pela Regra de Sarrus, que consiste no seguinte:
1º) Repetem-se as duas primeiras colunas à direita do quadro dos elementos da matriz A.
2º) Multiplicam-se os três elementos da diagonal principal, bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal +.
3º) Multiplicam-se os três elementos da diagonal secundária, bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal –.
 
 – – – + + +
Assim:
det A = 
 = 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Obs: A Regra de Sarrus só pode ser utilizada para calcular determinantesde 3ª ordem.
Ex: Calcular det A = 
Desenvolvimento do determinante por uma linha
Podemos transformar a definição do determinante para:
det A = 
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 
ou
det A = 
�� EMBED Equation.DSMT4 - 
�� EMBED Equation.DSMT4 + 
�� EMBED Equation.DSMT4 
isto é, o determinante da matriz A, de ordem 3 é igual à soma algébrica dos produtos de cada elemento da 1ª linha pelo determinante menor que se obtém suprimindo a 1ª linha e a coluna correspondente ao respectivo elemento dessa linha, fazendo-se preceder esses produtos, alternadamente, pelos sinais + e - , iniciando pelo sinal +.
Essa maneira de calcular um determinante de 3ª ordem é denominada desenvolvimento do determinante pela 1ª linha.
Ex: det A = 
= 2 
 - 5 
 + 7 
 det A = 2 (2 – 32) – 5 (6 – 24) + 7 (24 – 6) 
 det A = 2 ( – 30) – 5 ( – 18) + 7 (18)
 det A = – 60 + 90 + 126 
 det A = 156
Um determinante pode ser calculado por qualquer linha (ou por qualquer coluna), cuidando da alternância dos sinais + e – .
Para isso vamos introduzir o cálculo do determinante, usando Laplace.
Desenvolvimento de Laplace
O Desenvolvimento de Laplace é dado pela fórmula:
= 
onde 
 é a submatriz quadrada de ordem (n – 1), obtida retirando-se a i-ésima linha e 
a j-ésima coluna de A. Os termos 
 são chamados de cofatores da matriz A. Esse método também pode ser definido como determinante dos menores.
Ex: Calcular o det A = 
Ex: Calcular o determinante de A, usando Laplace:
 det A = 
Obs: Podemos usar Laplace, utilizando linhas ou colunas onde fazemos menos conta.
Ex: Calcular det A = 
Propriedade dos Determinantes
1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta 
, isto é, det A = det 
.
Ex: 
 
 det A = 2.3 – 5.7 = 6 – 35 = – 29
 det A = 2.3 – 7.5 = 6 – 35 = – 29
2) Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o determinante de A é nulo.
3) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, o determinante de A é nulo.
Ex: 
 = 5.(-1)
�� EMBED Equation.DSMT4 + 5.(- 1)
 
 + 2 .(- 1)
 
 
 det A = 5 (18 – 4) – 5 (18 – 4) + 2 (12 – 12) = 0
4) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) onde seus elementos correspondentes são proporcionais, o determinante de A é nulo.
 Ex: det A = 
= 0
Obs: Resumindo: Se uma matriz tem linhas (ou colunas) múltipla da outra, o determinante dessa matriz será nulo.
 Ex: det A = 
= 0
5) det (A
B) = det A . det B
6) O determinante de uma matriz A triangular (superior ou inferior) é igual ao termo principal, ou seja, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex: det A = 
= 4.
 + 0. 
+ 0 
 = 4.(2 – 0) = 8
Ou seja, det A = 4.1.2 =8 (produto dos elementos da diagonal principal).
Com isso podemos fazer duas observações:
1ª) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal principal.
2ª) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1.
7) Se trocarmos entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz A, o determinante dela muda de sinal.
Ex: 
 = - 8 
 = 8
Logo det A = - det B.
8) Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) por uma constante real, o determinante da nova matriz fica multiplicado por essa constante.
Ex: 
 = - 1 
 = - 2 
Assim det B =2.det A.
Uma última e importante propriedade dos determinantes nos diz que o determinante de uma matriz não se altera quando somamos os elementos de uma linha (ou coluna) com os correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por um número diferente de zero.
Essa propriedade nos será muito útil no processo de Triangularização para calcular o determinante de uma matriz, que veremos a seguir:
Processo de Triangularização
O processo de Triangularização consiste em transformar uma matriz A em uma matriz triangular superior, a partir de operações elementares, a fim de facilitar o cálculo do seu determinante.
Vamos explicar o processo, utilizando um exemplo, para facilitar o entendimento.
Ex: Calcular o determinante da matriz abaixo pelo processo de triangularização:
det A = 
 Resp: -55
Obs: Para facilitar nossas contas, é mais indicado, colocarmos o número 1 como primeiro elemento não nulo da linha.
Exercícios:
Calcule o determinante da matriz pelo processo da triangularização:
A = 
Calcule o determinante da matriz por Laplace:
A = 
 Resp: 372
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça a condição:
 AB = BA = I
Diz-se que B é a inversa de A e representamos por 
. Então:
 A
 =
A = I
Quando uma matriz quadrada A tem inversa, diz-se que A é inversível.
Matriz Singular: É uma matriz quadrada cujo determinante é nulo.
Matriz não-singular: É uma matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero.
Obs: A matriz não-singular sempre tem inversa.
Ex: 
 é singular pois det A = 0.
Ex: 
 é não-singular pois det A
0.
Propriedades da Matriz Inversa
1) 
2) A matriz identidade é a sua própria inversa: 
.
3) 
, 
4) (A + B)
= 
 A e B têm a mesma ordem.
5) 
Tente mostrar essas propriedades como exercícios:
Cálculo da Inversa usando a Matriz Identidade
Para determinar a inversa de uma matriz A:
1º) Colocamos ao lado da matriz A, uma matriz identidade I, separada por um traço vertical.
2º) Depois, transformamos a matriz A em uma matriz identidade I, aplicando as operações elementares, aplicando simultaneamente em I, quando encontrarmos I do lado esquerdo, a matriz do lado direito será a inversa de A.
Vamos entender melhor com um exemplo:
Ex: Determinar a inversa da matriz
 
Começamos assim:
..........
Inversa de uma matriz de ordem 2:
Seja 
. A inversa 
será dada por:
 
 
Ex: Determine a inversa das matrizes abaixo:
 
 
Cálculo da Inversa usando Determinantes
- Matriz dos cofatores
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores de M, e indicamos por 
, a matriz que se obtém de M , substituindo cada elemento de M por seu cofator.
Assim, se 
, então 
Ex: Se 
 então 
 pois 
= (-1)
�� EMBED Equation.DSMT4 = 4 
= (-1)
�� EMBED Equation.DSMT4 = -3
= (-1)
�� EMBED Equation.DSMT4 = -2 
= (-1)
�� EMBED Equation.DSMT4 = 1
-Matriz adjunta
Seja M uma matriz quadrada de ordem n e 
, a matriz dos cofatores de M.
Chamamos de matriz adjunta de M , e indicamos por 
, a transposta da matriz 
.
- Processo para o cálculo da inversa de uma matriz 
Seja M uma matriz quadrada de ordem n e det A
0 , então a inversa de M é
 
Exercícios
De a inversa das matrizes:
 
 
Matriz Ortogonal: É a matriz quadrada A cuja transposta 
coincide a inversa 
.
3) Sistemas de Equações Lineares
Nesta unidade, faremos uma abordagem matricial de sistemas de equações lineares e estudaremos algumas técnicas algébricas importantes para a resolução desses sistemas. Em seguida, classificamos os sistemas lineares quanto à natureza de sua solução.
Vamos iniciar com um paralelo sistema x matriz e introduziremos uma técnica simples para a resolução de sistemas lineares em geral. Essa técnica pode não ser apropriada para sistemas muito simples, mas tem a vantagem de poder ser aplicada sempre. Esse método é conhecido como Gauss-Jordan.
Começaremos com um exemplo:
I) 
�� EMBED Equation.DSMT4 
1º Passo: Eliminamos 
 das equações (2) e (3). Para tanto, multiplicamos a equação (1) por – 2, somamos com a equação (2) e geramos a equação (2’). Em seguida, multiplicamos a equação (1) por – 1, somamos com a equação (3) e geramos a equação (3’). O sistema resultante e a correspondente formal matricial podem ser expressos como:
II) 
�� EMBED Equation.DSMT42º Passo: Fazemos o coeficiente 
 na equação (2’) igual a 1. Para tanto, multiplicamos a equação (2’) por –
 e obtemos: 
III) 
�� EMBED Equation.DSMT4 
3º Passo: Eliminamos 
 das equações (1’’) e (3’’). Para tanto, multiplicamos a equação (2’’) por – 4, somamos com a equação (1’’) e geramos a equação (1’’’). Em seguida, multiplicamos a equação (2’’) por 7, somamos com a equação (3’’) e geramos a equação (3’’’). O sistema resultante e a correspondente formal matricial podem ser expressos como:
IV) 
�� EMBED Equation.DSMT4 
4º Passo: Fazemos o coeficiente 
 na equação (3’’’) igual a 1. Para tanto, multiplicamos a equação (3’’’) por –3 e obtemos:
V) 
�� EMBED Equation.DSMT4 
5º Passo: Eliminamos 
 das equações (1
) e (2
). Para tanto, multiplicamos a equação (3
) por – 
, somamos com a equação (1
) e geramos a equação (1
). Em seguida, multiplicamos a equação (3
) por – 
, somamos com a equação (2
) e geramos a equação (2
). O sistema resultante e a correspondente formal matricial podem ser expressos como:
VI) 
�� EMBED Equation.DSMT4 
As equações 
= 3, 
 e
= 2 são as equações resultantes de operações básicas nas equações do sistema (I) e fornecem explicitamente o termo solução (3,
, 2) do sistema (VI).
Exercício:
�� EMBED Equation.DSMT4 Obs: Nosso primeiro passo seria permutar as equações (1) e (2) acima, de modo a obtermos o coeficiente de 
 diferente de zero na primeira equação, essa operação não altera a solução inicial do sistema.
Sistema e Matrizes
Vamos formalizar alguns resultados que podem ser informalmente obtidos na seção anterior.
- Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
(*)
�� EMBED Equation.DSMT4 
com 
, i = 1,..., m e j = 1,...., n , pertencentes a um grupo de escalares. Uma solução do sistema (*) é uma n-upla de números (
,
,....,
) que satisfaz simultaneamente estas m equações. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de um sistema é solução do outro.
- Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:
�� EMBED Equation.DSMT4 = 
 
ou compactamente, Ax = b , onde 
A = 
 é a matriz dos coeficientes, 
 é a matriz das incógnitas e 
é a matriz dos termos independentes. Podemos alternativamente definir a matriz ampliada do sistema:
A = 
, onde cada linha desta matriz corresponde a uma representação abreviada para cada equação do sistema (*). As operações básicas efetuadas nas equações dos sistemas podem ser identificadas nas correspondentes linhas das matrizes ampliadas. Assim, na resolução do sistema (I), partimos da matriz ampliada:
 e chegamos à matriz ampliada do sistema (VI) 
.
Def: Sejam as matrizes 
. Se 
 resulta de um número finito de operações elementares sobre as linhas de 
, então empregamos a denominação B é linha equivalente a A e adotamos a notação 
.
Ex: A matriz B =
 é linha equivalente à matriz A =
, pois B é obtida através de um número finito de operações elementares em A.
Esse processo utilizado para resolver o sistema de equações lineares associado à matriz ampliada A, consiste em chegar a uma matriz conveniente que indique a solução do sistema. Essa matriz é chamada de matriz reduzida à forma escada.
 
Forma Escada: Uma matriz m
n é linha reduzida á forma escada se, e somente se as quatro condições são satisfeitas:
O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os outros elementos iguais a zero.
Não há linha nula acima de uma linha não nula.
Seja r o número de linhas não nulas. Se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então 
.
Ex: a)
 não satisfaz a 2ª condição
 b) 
 não satisfaz a 4ª condição
 c) 
 satisfaz todas as condições
Def: Seja 
 a matriz linha reduzida á forma escada que é linha equivalente a 
. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n – p. (n = nº de colunas)
Ex: Encontrar o posto e a nulidade da matriz
 Para obter o posto de uma matriz, temos que obter a matriz linha reduzida à forma escada equivalente a A.
Portanto 
 é a matriz linha reduzida à forma escada e equivalente à matriz A. O posto de A é 3 e a nulidade é 4 - 3 = 1 .
Soluções de um Sistema de Equações Lineares
Vamos fazer um estudo de um sistema de equações lineares quanto à solução.
Considere o sistema de m equações a n incógnitas.
Este sistema pode ter uma e somente uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da matriz associada dos coeficientes e da matriz associada dos termos independentes. No primeiro caso, dizemos que o sistema é possível e determinado. No segundo caso, dizemos que o sistema é possível e indeterminado e no terceiro caso, dizemos que o sistema é impossível.
Teorema: 
Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes
Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n a solução é única
Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n . Neste caso dizemos que o grau de liberdade do sistema é n – p.
- Vamos apreciar a aplicação deste teorema com alguns exemplos:
Ex1) Considere a matriz linha reduzida à forma escada 
B
 =
 m = 3 n = 3 pB = 3 = pA 
que é linha equivalente a uma matriz ampliada de um sistema de 3 equações a 3 incógnitas. Como pB = 3 = pA, a solução do sistema equivalente é única e igual a (3, - 2, 2).
Ex2) Considere a matriz linha reduzida à forma escada
 m = 2 n = 3 pB = 2 = pA 
uma vez que pB = pA = 2 < 3 = n , a solução do sistema apresenta 3 – 2 = 1 grau de liberdade, ou seja temos uma variável livre.
 Ex3) Considere a matriz linha reduzida à forma escada
de acordo com B, m = 3, n = 3 pB = 3 pA = 2. Portanto, o sistema não tem solução.
Ex4) Considere a matriz linha reduzida à forma escada
de acordo com B, m = 3, n = 4 pB = 2 = pA. Uma vez que pB = pA = 2 < 4 = n, a solução do sistema equivalente apresenta 4 – 2 = 2 graus de liberdade.
Exercício: Resolver o sistema:
A matriz ampliada do sistema é 
. Vamos obter 
:
�� EMBED Equation.DSMT4 
�� EMBED Equation.DSMT4 
= 
De acordo com 
, m = 2 , n = 4 pB = 2 = pA. Uma vez que pB = pA = 2 < 4 = n , a solução do sistema apresenta 2 graus de liberdade. O conjunto solução será:
 
 z = qualquer
 t = qualquer
Regra de Cramer
Um outro método de resolução de sistemas lineares de equações é a Regra de Cramer, porém este método só se aplica a sistemas lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Vamos explicar o processo da Regra de Cramer, para facilitar o entendimento com um exemplo:
Ex: Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
O primeiro passo da Regra de Cramer é calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
det 
= -1 
Obs: Só podemos usar a Regra de Cramer quando o determinante da matriz é diferente de zero.
Para calcular o 1º termo x, fazemos:
 
Para calcular o termo y, fazemos:
Para calcular o termo z, fazemos:
Assim temos que x = - 49, y = 9 e z = 18 é a solução do sistema.
Cabe aqui um comentário sobre a Regra de Cramer: Embora seja muito útil, pois dá de forma explícita as soluções de um sistema, ela não é muito usada para cálculos numéricos. Isto porque o número de operações que ela envolve é muito grande, quando trabalhamos com muitas equações. 
Colocamos os termos independentes na coluna de x e divido pelo determinante da matriz dos coeficientes.
Colocamos os termos independentes na coluna de y e divido pelo determinante da matriz dos coeficientes.
Colocamos os termos independentes na coluna de z e divido pelo determinante da matriz dos coeficientes.
_1109413678.unknown
_1109416780.unknown
_1109420391.unknown
_1109447508.unknown
_1109862508.unknown_1128854639.unknown
_1128855160.unknown
_1128855205.unknown
_1128855781.unknown
_1129460216.unknown
_1161507949.unknown
_1128856003.unknown
_1129460215.unknown
_1128855831.unknown
_1128855568.unknown
_1128855669.unknown
_1128855406.unknown
_1128855186.unknown
_1128855195.unknown
_1128855169.unknown
_1128855010.unknown
_1128855035.unknown
_1128855125.unknown
_1128855150.unknown
_1128855134.unknown
_1128855115.unknown
_1128855019.unknown
_1128854902.unknown
_1128854935.unknown
_1128854834.unknown
_1109870703.unknown
_1109873817.unknown
_1109878705.unknown
_1128854030.unknown
_1128854169.unknown
_1128854564.unknown
_1128854087.unknown
_1109878867.unknown
_1109879597.unknown
_1109879748.unknown
_1109879927.unknown
_1109880096.unknown
_1109879652.unknown
_1109879031.unknown
_1109878794.unknown
_1109878818.unknown
_1109878754.unknown
_1109878580.unknown
_1109878612.unknown
_1109878656.unknown
_1109878581.unknown
_1109878578.unknown
_1109878579.unknown
_1109878386.unknown
_1109878577.unknown
_1109872593.unknown
_1109873292.unknown
_1109873473.unknown
_1109873672.unknown
_1109873423.unknown
_1109873012.unknown
_1109873235.unknown
_1109872978.unknown
_1109872030.unknown
_1109872124.unknown
_1109872183.unknown
_1109872077.unknown
_1109870926.unknown
_1109871102.unknown
_1109870825.unknown
_1109862717.unknown
_1109863811.unknown
_1109870021.unknown
_1109870204.unknown
_1109870647.unknown
_1109870215.unknown
_1109870535.unknown
_1109863949.unknown
_1109869223.unknown
_1109869931.unknown
_1109862816.unknown
_1109862817.unknown
_1109862553.unknown
_1109862627.unknown
_1109862688.unknown
_1109862583.unknown
_1109862521.unknown
_1109861191.unknown
_1109861980.unknown
_1109862263.unknown
_1109862462.unknown
_1109862487.unknown
_1109862447.unknown
_1109862075.unknown
_1109862195.unknown
_1109862070.unknown
_1109861429.unknown
_1109861598.unknown
_1109861823.unknown
_1109861497.unknown
_1109861302.unknown
_1109861421.unknown
_1109861220.unknown
_1109448579.unknown
_1109860648.unknown
_1109861182.unknown
_1109448734.unknown
_1109860450.unknown
_1109860553.unknown
_1109860363.unknown
_1109448733.unknown
_1109448375.unknown
_1109448490.unknown
_1109448544.unknown
_1109448448.unknown
_1109447652.unknown
_1109448347.unknown
_1109447522.unknown
_1109443434.unknown
_1109445357.unknown
_1109446866.unknown
_1109447327.unknown
_1109447475.unknown
_1109447476.unknown
_1109447392.unknown
_1109447210.unknown
_1109447302.unknown
_1109447129.unknown
_1109446226.unknown
_1109446613.unknown
_1109446822.unknown
_1109446570.unknown
_1109445549.unknown
_1109445642.unknown
_1109445457.unknown
_1109444031.unknown
_1109444910.unknown
_1109445025.unknown
_1109445255.unknown
_1109444917.unknown
_1109445024.unknown
_1109444597.unknown
_1109444734.unknown
_1109444032.unknown
_1109443833.unknown
_1109443924.unknown
_1109443941.unknown
_1109444030.unknown
_1109443882.unknown
_1109443477.unknown
_1109443499.unknown
_1109443446.unknown
_1109421340.unknown
_1109440976.unknown
_1109441759.unknown
_1109443187.unknown
_1109443345.unknown
_1109442030.unknown
_1109442574.unknown
_1109441838.unknown
_1109441065.unknown
_1109441529.unknown
_1109441555.unknown
_1109441090.unknown
_1109441029.unknown
_1109421562.unknown
_1109421602.unknown
_1109421617.unknown
_1109421575.unknown
_1109421509.unknown
_1109421513.unknown
_1109421383.unknown
_1109420721.unknown
_1109421094.unknown
_1109421212.unknown
_1109421301.unknown
_1109421040.unknown
_1109421065.unknown
_1109420905.unknown
_1109420775.unknown
_1109420393.unknown
_1109420563.unknown
_1109420392.unknown
_1109417876.unknown
_1109418648.unknown
_1109420144.unknown
_1109420207.unknown
_1109420230.unknown
_1109420390.unknown
_1109420196.unknown
_1109419670.unknown
_1109419742.unknown
_1109419106.unknown
_1109418174.unknown
_1109418556.unknown
_1109418557.unknown
_1109418384.unknown
_1109418053.unknown
_1109418148.unknown
_1109418060.unknown
_1109418127.unknown
_1109417911.unknown
_1109417394.unknown
_1109417732.unknown
_1109417784.unknown
_1109417875.unknown
_1109417754.unknown
_1109417494.unknown
_1109417654.unknown
_1109417493.unknown
_1109417074.unknown
_1109417285.unknown
_1109417301.unknown
_1109417115.unknown
_1109416950.unknown
_1109417026.unknown
_1109416868.unknown
_1109414804.unknown
_1109416204.unknown
_1109416419.unknown
_1109416506.unknown
_1109416579.unknown
_1109416723.unknown
_1109416507.unknown
_1109416434.unknown
_1109416368.unknown
_1109416205.unknown
_1109415851.unknown
_1109416066.unknown
_1109416082.unknown
_1109415990.unknown
_1109415599.unknown
_1109415641.unknown
_1109415004.unknown
_1109415003.unknown
_1109413838.unknown
_1109414313.unknown
_1109414654.unknown
_1109414762.unknown
_1109413965.unknown
_1109413966.unknown
_1109414265.unknown
_1109413860.unknown
_1109413707.unknown
_1108728849.unknown
_1108729667.unknown
_1108729944.unknown
_1108730448.unknown
_1109413660.unknown
_1108730445.unknown
_1108729793.unknown
_1108729865.unknown
_1108729765.unknown
_1108729160.unknown
_1108729505.unknown
_1108729575.unknown
_1108729266.unknown
_1108729427.unknown
_1108729485.unknown
_1108729297.unknown
_1108729194.unknown
_1108728983.unknown
_1108729034.unknown
_1108728866.unknown
_1108727953.unknown
_1108728218.unknown
_1108728495.unknown
_1108728529.unknown
_1108728279.unknown
_1108728002.unknown
_1108728081.unknown
_1108727986.unknown
_1108727564.unknown
_1108727862.unknown
_1108727916.unknown
_1108727698.unknown
_1108726789.unknown
_1108727270.unknown
_1108726681.unknown