prova p2 calc1 2009 2 eng

Prévia do material em texto

M
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Universidade Federal do Rio de Janeiro
2 a Prova Unificada de Ca´lculo I
Engenharia e Engenharia Qu´ımica
09/12/2009
JUSTIFIQUE TODAS SUAS RESPOSTAS
1 a Questa˜o: (1.5 pontos)
Deseja-se construir uma caixa, de forma cil´ındrica, com 1 m3 de volume. Na parte lateral
da caixa e no fundo sera´ usado um material que custa R$ 10,00 o metro quadrado e,
na tampa, outro tipo de material cujo metro quadrado custa R$ 20,00. Determine as
dimenso˜es da caixa que minimizem o custo do material utilizado.
2 a Questa˜o: (3.0 pontos)
Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
e3arctg(t)
t2 + 1
dt b)
∫
x(ln(x))2 dx c)
∫
(4− 2x)
(x2 + 1)(x− 1) dx.
3 a Questa˜o: (2.0 pontos)
Considere a regia˜o R, de a´rea finita, limitada pelos gra´ficos das 4 curvas dadas por :
C1 : y
2 = x C2 : y = x
2 C3 : y
2 = −x C4 : y = −x2.
1)Esboce os gra´ficos destas 4 curvas.
2) Determine o valor da a´rea R.
4 a Questa˜o: (2.0 pontos)
Considere a regia˜o S limitada por y = 1 + √x e(x2) ,
y=1 e x = A , segundo a figura ao lado.
Determine o valor A para que o volume do so´lido gerado
pela rotac¸a˜o da regia˜o S em torno da reta y=1 seja
igual a 2pi
5 a Questa˜o: (1.5 pontos)
A entrada de um dos esta´dios para as Olimp´ıadas de
2016 tem a forma de figura ao lado, e e´ constitu´ıda de
por 2 tubos circulares na forma de arco de curvas C1
e C2, iluminados internamente com as cores dos pa´ıses
participantes. O custo estimado para estes tubos e´ de
R$ 10.000,00 por metro. A curva C1 e´ determinada por:
y = 3x2/3 e a curva C2 por: y = 3(16 − x)2/3.
Determine o custo total desta obra.
DURAC¸A˜O DA PROVA 2H E 30 MIN.