Notas_de_aula_Cálculo_II

Prévia do material em texto

� PAGE �16�
Notas de aula Cálculo II
Integral
1) Integral Indefinida (Antiderivação)
Estudamos até então, problemas que envolviam uma função f(x) e a obtenção de sua derivada 
. Agora, tentaremos resolver o problema oposto: Dada uma função f(x), determinar uma função F(x) (chamada primitiva), tal que 
. A obtenção de tal função F(x) é chamada de antiderivação.
Ex1: Dada uma função f(x) = 
, podemos obter como primitiva a função F(x) =
, 
. Assim como 
, 
, 
. Nos referimos a função F(x) + c como a antiderivada mais geral.
Ex2: Se  f(x) =
, então 
 é a derivada de f(x). Então a primitiva x4 é 
, pois 
.
Chamaremos de Integral Indefinida de uma função f(x), a sua antiderivada na forma mais geral e denotaremos:
Onde 
. O símbolo 
é chamado símbolo de integração e a função f(x) integrando.
Fórmula da Potência para Integral:
Ex1) 
Ex2) 
Ex3) 
Ex4) 
2) Propriedades das Integrais Indefinidas
    São imediatas as seguintes propriedades:
1ª.   
, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
2ª. 
 , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3) Tabela de Integrais Imediatas:
4)Técnicas de Integração
4.1) Método da Substituição de variáveis
 Seja expressão 
 . 
Através da substituição u = f (x) por u' = f '(x) ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
 
 
 = 
admitindo que se conhece 
.
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
Ex1: 
 
4.2) Método da Integração por Partes
�
Obs: Temos que salientar que a escolha de u e dv são feitas convenientemente.
Ex2: 
�� EMBED Equation.3 
Fazendo: 
 
Teremos: 
�� EMBED Equation.3 = 
 
 
Exercícios: 
I) Calcule as Integrais abaixo:
1) 
 
 Resp: 
2) 
 Resp: 
3) 
 Resp: 
4)
 Resp: 
5) 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
6) 
 Resp: 
7) 
 Resp: 
8) 
 
 Resp: 
9)
 Resp: 
10) 
 Resp: 
11) 
 
 Resp: 
12) 
 Resp: 
13) 
 Resp: 
14) 
 Resp: 
15) 
 
 Resp: 
16) 
 dt Resp: 
17)
 
 Resp: 
18) 
 
 
 Resp: 
19) 
 
 Resp: 
20) 
 
 Resp: 
21) 
 
 Resp: 
22) 
 Resp: 
23) 
 dt Resp: 
24) 
 dt Resp: 
25) 
 Resp: 
26) 
 Resp: 
27) 
 Resp: 
28) 
 Resp:
29) 
 
 Resp: 
30) 
 Resp: 
31) 
 Resp: 
32) 
 Resp: 
33)
 Resp: 
34)
 dt Resp: 
35) 
 Resp: 
36)
 dx Resp: 
37)
 Resp: 
38)
dx Resp: 
 
39)
 Resp:
40)
 Resp: 
41) 
 
 Resp: 
42) 
 Resp: 
43)
�� EMBED Equation.3 Resp:
44)
 
 Resp:
45)
 Resp:
46)
 Resp:
47)
 
 Resp:
48) 
 
 Resp:
49) 
 
 Resp:
50) 
 
 Resp:
51) 
�� EMBED Equation.3 Resp:
52)
 
 Resp: tg x + C 
53) 
 
 Resp: -cotg x + C
54)
 Resp:
55) 
 Resp: 
56) 
 Resp: 
57)
 Resp: 
58)
 Resp:
 
59)
dx Resp:
 
60)
 Resp: 
61)
 
 Resp: 
62)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
63)
 Resp: 
64)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
65)
 Resp: 
66)
 Resp: 
67) 
 Resp: 
68)
 Resp: 
69) 
 Resp: 
70)
 Resp:
71)
 Resp: 
72)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
73)
 Resp: 
74) 
 Resp: 
75) 
 Resp: 
76) 
 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
77)
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 Resp: 
78)
 
 Resp: 
79)
 
 Resp: 
80)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
81)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
82)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
83)
 Resp: 
84)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
85)
 Resp: 
86)
 Resp: 
87)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
88)Resp: 
89)
 Resp: 
90) 
 Resp: 
91) 
 Resp: 
92) 
 Resp: 
93) 
 Resp: 
94) 
 Resp: 
95) 
 Resp: 
96) 
 Resp: 
97) 
 Resp: 
98) 
 Resp: 
99) 
 Resp: 
100) 
 Resp: 
101) 
 Resp: 
102) 
 Resp: 
103) 
 Resp: 
104)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
105)
 Resp: 
106)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
107)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
108) 
 
 Resp: 
 
109) 
 
 Resp: 
110) 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
111)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
112) 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
113)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
114)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
115) 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
 
116) 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 Resp: 
 
117)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
118)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
119)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
120)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
121)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
122) 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
123) 
�� EMBED Equation.3 Resp: 
124)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
125)
�� EMBED Equation.3 Resp:
126)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
127)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
128)
�� EMBED Equation.3 Resp: 
129) 
 
 Resp: 
130) 
 
 Resp: 
5) Integral Definida (Integral de Riemann)
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
	
onde: 
a é o limite inferior de integração; 
b é o limite superior de integração; 
f(x) é o integrando. 
Vamos definir o problema de definir a área de uma região plana S , delimitada pelo gráfico de uma função contínua f, pelo eixo x e por 
.
Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a,b], isto é, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos, escolhemos os pontos: 
a = x0 ,  x1, x2,....., xn = b.
Seja 
 o comprimento do intervalo 
, ou seja, 
.
Para cada i , i = 1, ...., n construímos um retângulo de base 
 e altura 
.
Se dividirmos novamente esses retângulos, teremos retângulos cada vez menores. Então a soma das áreas desses n retângulos, que representamos por 
, é dada por:
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Observamos que a medida que n cresce muito e cada 
 torna-se muito pequeno, a soma das áreas dos retângulos aproxima-se do que entendemos como a área de S.
Def: Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a,b]. A área sob a curva
 y = f(x) , de a até b, é definida por:
, onde para cada i, c
é um ponto arbitrário.
Def: Seja f uma função definida no intervalo [a,b]. A integral definida de f de a até b , é dada por:
 = 
Ou seja, se 
, 
 representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 
	 
 Obs: Se 
, então 
.
          
6) Área entre duas curvas
 Se 
, então 
 representa a área entre as curvas, para 
	A =
Propriedades:
1) Se 
 para 
 e 
 para 
, então a área entre f(x) e o eixo x para 
 é dada por:
  
	
  2) Se 
, para 
 e 
 para 
, então a área entre f e g para 
 é dada por:  
	
   Exemplo:
                 Seja a área entre y = x e o eixo x, para 
Esta área é dada por: 
Utilizando a fórmula da integral, teremos: 
     7) Cálculo da Integral Definida:
	  
Exemplos:
8) Propriedades da Integral Definida
Se a > b. Então: 
Se a = b. Então: 
, como nas integrais indefinidas.
Exercícios:
1) Calcule a área abaixo do gráfico da função 
 entre x =1 e x = 2.
2) Determine a área delimitada pela função 
 e o eixo x.
3) Determine a área delimitada pela função 
 e o eixo x e a reta x = – 2 .
4) Calcule a área delimitada pelo eixo das abscissas e o gráfico da função 
 entre x = – 1 e x = 1 .
5) Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função 
 e o eixo y.
6) Ache a área da região limitada pela curva 
 , pelo eixo x e pela reta x = 2.
7) Ache a área da região limitada pela curva 
, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 3.
8) Ache a área da região limitada pela curva 
, entre x = –1 e x = 2.
9) Ache a área da região limitada pela curva 
 e pelas retas x = 0 e x = 2.
10) Encontre a área entre as curvas f(x) = x e g(x) = x2.
11) Encontre a área limitada por y = x2 e y = x +2.
12) Encontre a área limitada por y = x3 e y = x.
13) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x +1.
14) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = – x +2 e por 
.
15) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 
.
16) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = 9 – x2 e y = x +3.
17) Ache a área da região limitada pelas curvas 
 e 
.
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
_1126284177.unknown
_1142769460.unknown
_1142773151.unknown
_1161082366.unknown
_1342718453.unknown
_1342721186.unknown
_1342721637.unknown
_1342721787.unknown
_1342722138.unknown
_1342722313.unknown
_1342722170.unknown
_1342722074.unknown
_1342721707.unknown
_1342721367.unknown
_1342721442.unknown
_1342721293.unknown
_1342721075.unknown
_1342721139.unknown
_1342718580.unknown
_1161084261.unknown
_1161084767.unknown
_1161085189.unknown
_1161085458.unknown
_1342718339.unknown
_1161085214.unknown
_1161085408.unknown
_1161084981.unknown
_1161085071.unknown
_1161084952.unknown
_1161084602.unknown
_1161084688.unknown
_1161084508.unknown
_1161084601.unknown
_1161082858.unknown
_1161082930.unknown
_1161083316.unknown
_1161084084.unknown
_1161084141.unknown
_1161083947.unknown
_1161083167.unknown
_1161082898.unknown
_1161082660.unknown
_1161082823.unknown
_1161082447.unknown
_1142776201.unknown
_1142778439.unknown
_1142802631.unknown
_1142803351.unknown
_1142803755.unknown
_1142805047.unknown
_1161082211.unknown
_1161082236.unknown
_1161082158.unknown
_1142804785.unknown
_1142804975.unknown
_1142804834.unknown
_1142804524.unknown
_1142803505.unknown
_1142803647.unknown
_1142803467.unknown
_1142803103.unknown
_1142803188.unknown
_1142803214.unknown
_1142803129.unknown
_1142803053.unknown
_1142803078.unknown
_1142801260.unknown
_1142802493.unknown
_1142802601.unknown_1142802269.unknown
_1142802478.unknown
_1142778640.unknown
_1142778663.unknown
_1142778621.unknown
_1142778074.unknown
_1142778230.unknown
_1142778431.unknown
_1142778153.unknown
_1142776858.unknown
_1142777476.unknown
_1142777685.unknown
_1142777409.unknown
_1142777284.unknown
_1142776662.unknown
_1142776784.unknown
_1142776342.unknown
_1142774514.unknown
_1142775823.unknown
_1142776071.unknown
_1142774809.unknown
_1142774919.unknown
_1142775638.unknown
_1142774560.unknown
_1142774062.unknown
_1142774152.unknown
_1142773574.unknown
_1142773677.unknown
_1142773817.unknown
_1142773513.unknown
_1142770456.unknown
_1142771305.unknown
_1142773036.unknown
_1142773108.unknown
_1142773125.unknown
_1142773062.unknown
_1142772842.unknown
_1142772974.unknown
_1142772732.unknown
_1142770690.unknown
_1142770785.unknown
_1142770968.unknown
_1142771087.unknown
_1142771162.unknown
_1142771003.unknown
_1142770820.unknown
_1142770736.unknown
_1142770602.unknown
_1142770644.unknown
_1142770579.unknown
_1142769936.unknown
_1142770076.unknown
_1142770229.unknown
_1142770254.unknown
_1142770426.unknown
_1142770228.unknown
_1142770054.unknown
_1142769751.unknown
_1142769902.unknown
_1142769812.unknown
_1142769488.unknown
_1128944197.unknown
_1128946101.unknown
_1128946817.unknown
_1128947846.unknown
_1128948126.unknown
_1142769436.unknown
_1142769445.unknown
_1142769388.unknown
_1128947985.unknown
_1128948044.unknown
_1128947862.unknown
_1128947947.unknown
_1128947847.unknown
_1128947230.unknown
_1128947438.unknown
_1128947656.unknown
_1128947299.unknown
_1128947401.unknown
_1128947034.unknown
_1128947112.unknown
_1128946948.unknown
_1128946471.unknown
_1128946593.unknown
_1128946697.unknown
_1128946592.unknown
_1128946171.unknown
_1128946313.unknown
_1128946148.unknown
_1128944875.unknown
_1128945626.unknown
_1128945757.unknown
_1128945920.unknown
_1128945720.unknown
_1128945315.unknown
_1128945443.unknown
_1128945618.unknown
_1128945484.unknown
_1128945343.unknown
_1128945273.unknown
_1128944661.unknown
_1128944678.unknown
_1128944771.unknown
_1128944874.unknown
_1128944714.unknown
_1128944662.unknown
_1128944347.unknown
_1128944510.unknown
_1128944562.unknown
_1128944295.unknown
_1128944323.unknown
_1126285894.unknown
_1126286684.unknown
_1126286881.unknown
_1126286968.unknown
_1128944129.unknown
_1126287057.unknown
_1126286934.unknown
_1126286772.unknown
_1126286850.unknown
_1126286707.unknown
_1126286421.unknown
_1126286522.unknown
_1126286669.unknown
_1126286466.unknown
_1126286047.unknown
_1126286125.unknown
_1126286169.unknown
_1126286353.unknown
_1126286086.unknown
_1126285946.unknown
_1126285079.unknown
_1126285544.unknown
_1126285632.unknown
_1126285733.unknown
_1126285874.unknown
_1126285668.unknown
_1126285583.unknown
_1126285410.unknown
_1126285473.unknown
_1126285218.unknown
_1126285270.unknown
_1126285324.unknown
_1126285145.unknown
_1126284826.unknown
_1126284962.unknown
_1126285024.unknown
_1126284909.unknown
_1126284257.unknown
_1126284458.unknown
_1126284793.unknown
_1126284794.unknown
_1126284521.unknown
_1126284417.unknown
_1126284209.unknown
_1064739083.unknown
_1064741160.unknown
_1081631544.unknown
_1125699251.unknown
_1126283988.unknown
_1126284075.unknown
_1126284176.unknown
_1126284074.unknown
_1126283809.unknown
_1126283828.unknown
_1126283893.unknown
_1126283775.unknown
_1126283652.unknown
_1081633288.unknown
_1081635843.unknown
_1115724974.unknown
_1125698942.unknown
_1088020873.unknown
_1115724731.unknown
_1081636189.unknown
_1081635085.unknown
_1081635391.unknown
_1081633621.unknown
_1081633859.unknown
_1081633430.unknown
_1081631920.unknown
_1081632855.unknown
_1081633110.unknown
_1081632037.unknown
_1081631728.unknown
_1064741477.unknown
_1064741820.unknown
_1081629764.unknown
_1081630640.unknown
_1081631356.unknown
_1081630319.unknown
_1064742031.unknown
_1067542946.unknown
_1067542988.unknown
_1067542901.unknown
_1064741853.unknown
_1064741891.unknown
_1064741920.unknown
_1064741871.unknown
_1064741839.unknown
_1064741673.unknown
_1064741724.unknown
_1064741732.unknown
_1064741784.unknown
_1064741708.unknown
_1064741551.unknown
_1064741561.unknown
_1064741493.unknown
_1064741320.unknown
_1064741356.unknown
_1064741394.unknown
_1064741432.unknown
_1064741449.unknown
_1064741409.unknown
_1064741377.unknown
_1064741338.unknown
_1064741273.unknown
_1064741298.unknown
_1064741188.unknown
_1064740120.unknown
_1064740700.unknown
_1064740788.unknown
_1064741118.unknown
_1064741140.unknown
_1064740842.unknown
_1064740768.unknown
_1064740784.unknown
_1064740785.unknown
_1064740776.unknown
_1064740745.unknown
_1064740750.unknown
_1064740266.unknown
_1064740673.unknown
_1064740690.unknown
_1064740293.unknown
_1064740150.unknown
_1064740193.unknown
_1064740140.unknown
_1064739530.unknown
_1064739710.unknown
_1064739867.unknown
_1064740061.unknown
_1064740096.unknown
_1064740083.unknown
_1064739919.unknown
_1064739865.unknown
_1064739866.unknown
_1064739733.unknown
_1064739622.unknown
_1064739634.unknown
_1064739572.unknown
_1064739587.unknown
_1064739544.unknown
_1064739387.unknown
_1064739438.unknown
_1064739525.unknown
_1064739409.unknown
_1064739278.unknown
_1064739358.unknown
_1064739368.unknown
_1064739329.unknown
_1064739215.unknown
_1064739236.unknown
_1064739231.unknown
_1064739184.unknown
_1064739202.unknown
_1064739173.unknown
_1064737971.unknown
_1064738374.unknown
_1064738505.unknown
_1064738667.unknown
_1064738906.unknown
_1064738982.unknown
_1064739028.unknown
_1064739009.unknown
_1064738945.unknown
_1064738684.unknown
_1064738586.unknown
_1064738627.unknown
_1064738527.unknown
_1064738555.unknown
_1064738457.unknown
_1064738491.unknown
_1064738413.unknown
_1064738092.unknown
_1064738119.unknown
_1064738340.unknown
_1064738366.unknown
_1064738246.unknown
_1064738273.unknown
_1064738227.unknown
_1064738107.unknown
_1064738039.unknown
_1064738073.unknown
_1064738004.unknown
_1064737610.unknown
_1064737707.unknown
_1064737780.unknown
_1064737886.unknown
_1064737938.unknown
_1064737959.unknown
_1064737906.unknown
_1064737840.unknown
_1064737733.unknown
_1064737675.unknown
_1064737691.unknown
_1064737641.unknown
_1064736654.unknown
_1064737115.unknown
_1064737568.unknown
_1064737591.unknown
_1064737544.unknown
_1064737262.unknown
_1064736799.unknown
_1064737068.unknown
_1064736813.unknown
_1064736722.unknown
_1053179653.unknown
_1053179886.unknown
_1054333272.unknown
_1054333300.unknown
_1053179710.unknown
_1053179460.unknown
_1053179556.unknown
_1053179380.unknown