Exercícios - Apostila II

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EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
1. Uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos 
preços de venda são, respectivamente, R$ 110,00 e R$ 65,00. A fábrica possui 7 peças de 
madeira e dispõe de 30 horas de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o 
modelo A requer 2 peças de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita 
de 1 peça de madeira e 7 horas de trabalho. Qual deve ser o modelo de produção se a fábrica 
deseja maximizar o rendimento obtido com as vendas? 
2. Uma empresa fabrica dois produtos P1 e P2. Cada um destes produtos requer uma certa 
quantidade de tempo na linha de montagem e ainda mais algum para a sua finalização. Cada 
produto do tipo P1 necessita de 5 horas na linha de montagem e de 2 horas para a finalização. 
Cada produto de tipo P2 necessita de 3 horas na linha de montagem e de 4 horas para a 
finalização. Numa semana, a empresa dispõe de 108 horas para a linha de montagem e 60 
horas para a finalização. O lucro de cada produto é de 120 € para o produto P1 e de 210 € 
para o P2. Qual o modelo de produção que maximiza o lucro? 
3. Uma empresa do ramo de madeira produz madeira tipo compensado e madeira serrada 
comum. Pinho e canela são os recursos utilizados na produção de madeira, com 
disponibilidades de 40 m3 e 80 m3 respectivamente. A madeira serrada dá um lucro de R$ 
5,00 por m3 e a madeira compensada dá um lucro de R$ 0,70 por m3. Para produzir uma 
mistura de 1 metro cúbico de madeira serrada são requeridos 1 m3 de pinho e 3 m3 de canela. 
Para produzir 1 metro cúbico de madeira compensada são requeridos 3 m3 de pinho e 5 m3 
de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m3 de 
madeira serrada e 900 m3 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que 
maximiza o lucro? 
4. Uma fábrica produz dois artigos A e B, que devem passar por duas máquinas diferentes 
M1 e M2. M1 tem 12 horas de capacidade diária disponível e M2 tem 5 horas. Cada unidade 
de produto A requer 2 horas em ambas as máquinas. Cada unidade de produto B requer 3 
horas em M1 e 1 hora em M2. O lucro de A é de R$ 60,00 por unidade e o de B, R$ 70,00 por 
unidade. Determine o modelo que maximiza o lucro. 
5. (Adaptado de LACHTERMARCHER, 2009) A indústria Alumilâminas S.A. iniciou suas 
operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiros, com 
contratos fechados de fornecimento para todos os três tipos diferentes de lâminas de alumínio 
que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda produção da companhia é realizada em 
duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os 
contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas 
de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. A fábrica de São Paulo tem um custo 
de produção diária de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 lâminas finas, 1 
de lâminas médias e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do 
Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas 
médias e 7 de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S.A., pode-
se considerar uma demanda extra para cada tipo de lâmina. Elabore um modelo de 
programação linear que determine quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para 
atender aos pedidos ao menor custo possível. 
6. Uma empresa deseja diminuir o gasto com a sua folha de pessoal. As categorias 
profissionais adotadas são C1, C2, C3, C4, C5 e C6, e os colaboradores em cada categoria 
recebem R$ 650, R$ 780, R$ 820, R$ 1.800, R$ 2.500 e R$ 3.600, respectivamente. A 
empresa paga alguns benefícios aos seus funcionários. Os benefícios (percentuais 
calculados em função do salário) atribuídos a cada categoria estão descritos no quadro 
abaixo. 
 
Benefício C1 C2 C3 C4 C5 C6 
B1 2 2 3 3 - - 
B2 2 4 5 6,2 6,3 7,5 
B3 - - - 10 13 14,5 
B4 - - - - 15,3 17 
B5 5 5 5,5 5,5 - - 
B6 3 3 4 - - - 
 
Sabe-se que a empresa não deve pagar menos que 300% para B1, 600% para B2, 200% 
para B3, 100% para B4, 800% para B5 e 500% para B6. Determine o modelo de programação 
linear. 
7. (Adaptado de LACHTERMARCHER, 2009) A empresa de logística Deixa Comigo S.A. tem 
uma frota de caminhões para realizar transportes de cargas para terceiros. A frota é composta 
por caminhões médios com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos 
para consumo, como arroz e feijão. A frota tem uma capacidade de peso de 70.000 kg e um 
limite de volume de 30.000 m3. O próximo contrato de transporte refere-se a uma entrega de 
100.000 kg de sementes e 85.000 kg de grãos, sendo que a Deixa Comigo S.A. pode aceitar 
levar tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para outra transportadora. O 
volume ocupado pelas sementes é de 0,4 m3 por kg, e o volume dos grãos é de 0,2 m3 por 
kg. Sabendo que o lucro para transportar as sementes é de R$ 0,12 por kg e o lucro para 
transportar os grãos é de R$ 0,35 por kg, construa um modelo de programação linear que 
descubra quantos quilogramas de sementes e de grãos a Deixa Comigo S.A. deve transportar 
para maximizar o seu lucro. 
8. Deseja-se obter uma dieta para rações de gado que contenha os nutrientes N1, N2, N3, 
N4. As indústrias locais de alimentos fabricam dois produtos: “A” e “B”, os quais contém as 
seguintes quantidades de nutrientes por quilo: 
 
Produto N1 N2 N3 N4 
A 0,1 - 0,1 0,3 
B - 0,1 0,2 0,2 
 
Sabe-se que o gado deve consumir diariamente, pelo menos 0,4 kg de N1, 0,6 Kg de N2, 2 
Kg de N3 e 1,8 kg de N4. O alimento “A” custa R$ 80,00 por quilo e o “B” R$ 32,00/kg. 
Determine o modelo mais adequado se o objetivo é alcançar o menor custo. 
9. (Adaptado de LACHTERMARCHER, 2009) Um pequeno entregador pode transportar 
madeira ou frutas em seu caminhão. Ele cobra R$ 20,00 para cada fardo de madeira e R$ 
35,00 por saco de frutas. Os fardos pesam 1 kg e ocupam 2 dm3 de espaço. Os sacos de 
fruta pesam 1 kg e ocupam 3 dm3 de espaço. Por uma questão de marketing pessoal, o 
entregador deseja entregar sempre os dois produtos. No mínimo 20 kg de fardos e 30 kg de 
frutas devem ser entregues em cada viagem. O caminhão tem capacidade para transportar 
12.000 kg e 10.000 dm3. Formule um modelo de programação linear para determinar quantos 
sacos de fruta e quantos fardos de madeira devem ser transportados para que o entregador 
ganhe o máximo possível. 
10. Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos T1, T2 e T3. O 
papel é cortado, dobrado e empacotado. O lucro unitário de cada produto é respectivamente 
R$ 1,00, R$ 1,50, e R$ 2,00. O quadro abaixo identifica o tempo requerido (em horas) na 
produção de cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis, cada 
uma trabalhando 40 horas por semana. Qual deve ser o modelo de produção que maximiza 
o lucro? 
 
Seção 
Produto 
T1 
Produto 
T2 
Produto 
T3 
Qtd. de 
Máquinas 
Corte 8 5 2 3 
Dobra 5 10 4 10 
Empacotamento 0,7 1 2 2 
 
11. (Adaptado de SILVA et al, 2009) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e 
níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais 
recuperados: MR1 e MR2. O MR1 custa $ 0,20 por kg e tem a seguinte composição: 60% 
ferro, 20% carvão, 20% silício. O MR2 custa $ 0,25 por kg e tem a seguinte composição: 70% 
ferro, 20% carvão, 5% silício, 5% níquel. A liga deve ter a seguinte composição final: 
 
Matéria-prima % mínima % máxima 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Níquel 5 8 
 
O custo dos materiais puros são (por kg): ferro $ 0,30, carvão $ 0,20, silício $ 0,28, níquel $ 
0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis com o 
menor custo por kg? Construa o modelo de decisão. 
12. (Questão 12/ENADE 2014 – Adaptado) Considere a situação em que uma empresa que 
comercializa softwarecustomizado precisa definir a alocação de quantidade de horas de 
trabalho para um programador e um desenvolvedor. Considere, ainda, que os profissionais 
estão envolvidos no projeto de um sistema composto por módulos de controle de estoque e 
vendas e que os recursos financeiros a serem investidos para realizar as atividades de 
programação e desenvolvimento para cada hora trabalhada nos respectivos módulos são 
indicados na tabela abaixo. Assim, por exemplo, o custo unitário por hora trabalhada na 
atividade de programação no modulo de estoque é $ 3,00, ao passo que o custo do 
desenvolvimento do respectivo módulo é $ 6,00. 
 
Atividade 
Módulo 
Estoque Vendas 
Programação $ 3 $ 3 
Desenvolvimento $ 6 $ 3 
 
O valor previsto em orçamento para a atividade de programação é de $ 30,00, e para a de 
desenvolvimento é de $ 48,00. Ao modelar esse problema para ser resolvido com a técnica 
de pesquisa operacional, define-se V como a quantidade de horas alocadas no modulo de 
vendas e E como a quantidade de horas alocadas no modulo de estoque. Considerando que 
a empresa deseja aumentar seu lucro, com E vendido a $ 4.000,00 e V vendido a $ 5.000,00, 
construa o modelo de programação linear correspondente. 
13. (Adaptado de SILVA et al, 2009) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 
lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 
(loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas 
distâncias às lojas estão no quadro abaixo (em km): 
 
Portos 
Lojas 
L1 L2 L3 L4 
P1 30 20 24 18 
P2 12 36 30 24 
P3 8 15 25 20 
 
O caminhão pode transportar 10 m3 por viajem. Os portos têm areia para suprir qualquer 
demanda. Estabeleça um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre 
os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.